论文地址：https://arxiv.org/pdf/2205.11491.pdf 在一定意义上，定理证明要比构建 AI 来玩国际象棋等棋盘游戏更具挑战性。...下图 1 是交互式定理证明器 Lean 中的一个证明示例： 相应的证明树如下： 给定一个要自动证明的主要目标 g，证明搜索与学习模型和定理证明环境交互以找到 g 的证明超树。...Meta 在三个定理证明环境中开发和测试 HTPS：a）Metamath，b）Lean 和 c）Metamath。...Meta 首先从强化学习开始，该方法与现有的证明助手（proving assistants，例如 Lean）紧密结合。 Meta 将证明的当前状态解释为图中的一个节点，并将每一个新步骤解释为一条边。...在 Lean 中，该研究在 A100 GPU 上使用 32 个训练器和 200 个证明器进行实验。
这篇文章讨论了Java面向对象概念中一个基本的概念--Field Hiding（成员变量隐藏） 成员变量在Java中能够被重写么？...Paste_Image.png 按照我们已有的多态的概念，第二个应该是输出sub才对，但却输出了super。这是为什么呢？...不会重写成员变量，而是隐藏成员变量 Java文档中对隐藏域的定义： Within a class, a field that has the same name as a field in the superclass...意思就是： 在一个类中，子类中的成员变量如果和父类中的成员变量同名，那么即使他们类型不一样，只要名字一样。父类中的成员变量都会被隐藏。在子类中，父类的成员变量不能被简单的用引用来访问。...其实，简单来说，就是子类不会去重写覆盖父类的成员变量，所以成员变量的访问不能像方法一样使用多态去访问。
他说：每个人都该读一读数学家陶哲轩的博客。在此博客中，陶预测在2026年，AI将与搜索和符号数学工具相结合，成为数学研究中值得信赖的合著者。 为什么AI的第一个重大突破会在数学？...LeanDojo：定理证明交互式环境 机器学习，特别是大型语言模型，在使用证明助手Lean证明公式定理方面显示出广阔的前景。...主要特征 1：前提信息 LeanDojo Benchmark包含前提的细粒度标注（在证明中使用它们以及在库中定义它们），为前提选择（定理证明中的关键瓶颈）提供有价值的数据。...主要特征 2：具有挑战性的数据分割 将定理随机分割到训练/测试中会导致高估模型性能。大语言模型可以通过在训练期间记住类似定理的证明，就可以证明看似困难的定理。...他们发现miniF2F中有33个证明，ProffNet中有39个证明在Lean中是不存在的。 与此同时，最新研究还发现了ProofNet定理陈述公式中的多个错误。
这一次，他的试用场景是学习 Lean 语言并利用其形式化数学定理。 对于大模型来说，形式化的定理证明也算一种挑战。...形式化证明本质上是一种计算机程序，但与 C++ 或 Python 中的传统程序不同，证明的正确性可以用证明助手（比如 Lean 语言）来验证。...定理证明是代码生成的一种特殊形式，在评估上非常严格，没有让模型产生幻觉的空间。...Lean 的「重写」策略是不可或缺的，它可以通过有针对性的替换来修改冗长的假设或目标，无需完整地键入表达式就能对其进行操作。...「在用 LaTeX 撰写证明时，我经常粗略地模拟这种方法，将我要处理的冗长表达式从一行剪切粘贴到下一行，然后进行有针对性的编辑，但这有时会导致错字在文档中多行传播，因此能以自动和可验证的方式进行重写是件好事
或许在不久的将来，我们就可以在Lean之上构建一个AI层。 只要把证明中的各步描述给AI，AI就可以利用Lean来执行证明了，过程中还能各种调用计算机代数软件包。...今年6月，陶哲轩就曾在GPT-4试用体验的博客中预言—— 2026年，AI将与搜索和符号数学工具相结合，成为数学研究中值得信赖的合著者。 这期间，不断有人证明着这一点。...在证明论文定理1.3的过程中，陶哲轩用Lean4完成了定理证明的形式化。 在论文中，证明过程中只有一页纸，不过形式化证明却使用了200行Lean4。...在这个过程中，GitHub Copilot表现出了种种神预测，神奇地推测出了陶哲轩的研究接下来的方向。 而Lean的重写策略，让他能通过有针对性的替换，来修改冗长的假设或目标。...相对来说，在LaTex中，这种操作就麻烦多了。 陶哲轩表示自己需要粗略地模拟Lean4的重写策略，通过剪切、粘贴等操作，对从一行到下一行的冗长表达式进行有针对性的编辑。
在这轮问答中，虽然 ChatGPT 没能给出正确答案（库默尔定理），但根据它给出的近似答案（Legendre 公式），我们可以结合传统搜索引擎轻松找到正确答案。...形式化证明本质上是一种计算机程序，但与 C++ 或 Python 中的传统程序不同，证明的正确性可以用证明助手（如开头提到的 Lean）来验证。...在人类编写的 Lean 代码中，一个常见的惯用语法是为同一数学概念的略微不同的属性设置了一个类似的定理 / 证明块。例如，在图 3 中，最后两个定理不仅看起来相似，而且有相同的证明。...此外，许多定理在 Lean 中没有 ground- truth 证明。...他的研究工作主要集中在两个方向：1）神经定理证明和自动推理，结合大型语言模型（LLMs）和交互式定理证明器（ITPs）；2）用于能源效率机器学习推理的时间逻辑。
/blob/master/src/certigrad/aevb/grads_correct.lean#L20-L27 正式证明 在证明定理的过程中，Lean 构建了一个正式的证书，它可以通过一个小型独立可执行程序进行自动验证...但在新方法中，定理证明器知道如何使用数学方法，包括相关的梯度规则和张量的代数性质，它可以帮助推导出新算子的梯度。 合成的可能性不仅仅是简单的自动化代数推导。...正式规范最终是机器可检验的正确性证明，它使得我们能够正确地实现系统，而无需对「为什么系统正确」采取一致的全局理解。同样，大多数这样的负担被留给了电脑。...因此，检测实际实现中的误差是极其困难的。我们展示了一种方法，开发者可以使用一个交互式验证助手来实现他们的系统，并且证明和定义他们系统正确性的正式定理。...在验证助手中，交互地证明定理会揭示所有实现误差，因为程序的任何误差都会导致最后证明的失败。
就在今天，他的又一篇成果上线，关于麦克劳林不等式。 为了更好地展现其成果，48岁的他开始学习Lean4（一种可作为交互式定理证明工具的函数式编程语言）。...为什么可以？这主要归功于罗尔定理（Rolle’s theorem）。 但陶哲轩指出，关键点是是该运算保留了直到Sn-1为止的所有基本对称均值。...我们就可以验证基本对称均值sk中当k奇数时“消失”，为偶数时则等于： 特别地，一些常规估计可以得出量级界限（公式a）： 问题又来了，由于当0<k≤n上式也成立，因此即使在sk(y)上加上绝对值之后仍然严重违反了麦克劳林不等式...假设k=1，ℓ=n，我们就能得到不等式： 再结合算术平均数-几何平均数不等式又可以成立不等式： 以及等式： 与牛顿不等式的证明一样，公式b的一般情况可以通过一些标准操作（包括前面提到的微分运算）从这个特殊情况得到...相反，主要工具是新的不等式： 它对所有1≤ℓ≤n和r>0有效。 该式子的证明大家如果感兴趣可以进一步查阅博客或论文，主要涉及一些微积分、二项式定理和多项式的知识。
在数学领域被广泛使用的 Lean，在大模型（LLM）刷屏的今天，两者有没有更好的结合方式呢？...在 Lean 中使用 LLM，加快数学证明速度 一直以来，自动化定理证明面临重重困难，传统上，数学证明依赖于手工推导，需要细致的验证。...简而言之，Lean Copilot 为用户提供了一个灵活的方式，通过引入 LLM 来增强和优化在 Lean 中进行定理证明的过程。...如下图所示 search_proof 将 LLM 生成的策略与 aesop （用于 Lean 4 的白盒自动化项目）相结合，来搜索多策略证明。找到证明后，你可以单击该策略以将其插入编辑器中。...你还可以运行 Lean 中的任何 LLM 推理，不限于定理证明。在本地或远程运行任意模型（请参阅自带模型）。 项目中还提到了一些高级用法，感兴趣的读者，可以去原项目了解更多内容。
项目在4月上线后，公开的蓝图就会出现在网上，届时，Lean社区的任何人，都可以为形式化证明做出自己的贡献。 把一个开创性的100页数学证明，变成计算机代码，这个过程容易实现吗？...然而，费马大定理却是数学界百年来的一块绊脚石。 直到1993年，英国数学家Andrew Wiles用一份长达100页的书面证明，解开了这一谜团。 计算机为什么无法证明费马大定理？...是的，在Buzzard看来，费马大定理毫无意义，在现实世界中没有任何应用，不过因为这个「臭名昭著」的问题，几个实际来人们产生了大量绝妙的新想法。...「我认为他不太可能在未来五年内正式形式化整个证明，否则就太惊人了。但是，现在的数论和算术几何中，许多工具都无处不在，因此我预计，未来任何实质性的进展都将非常有用。」...从此，我们可能会发现，数学的边界变得越来越模糊。 这不是指真实性或逻辑上的模糊，而是指一个证明中可以融合的不同思想的范围。 Lean可以让数学家们的思想转化为代码，这就让同行更易于理解。
编辑：庸庸 乔杨 【新智元导读】陶哲轩在最新的采访中，系统地谈到了AI可能会对数学领域产生的影响。...他乐观地认为，使用Lean等工具「形式化」数学，在AI的辅助下实现规模化生产——一次证明数百或数千条定理。...我认为，在未来，我们不用再把证明打出来，而是直接与某个GPT交互。而GPT会在你进行的过程中，尝试用Lean将其形式化。...如果你想在一个研究项目中使用某个2040年的高级人工智能Lean，并想获得资金来使用这个高级人工智能，你必须同意你的尝试和失败过程都会被记录下来。 然后，这可以用来训练未来的人工智能。...或者，其他小组也在研究类似的问题，他们可以看到「哦，其他小组也尝试过同样的事情，但他们失败了」，这样你就不必浪费时间犯一模一样的错误了。 数学家是否在浪费大量时间？ 的确如此。
二项式定理描述了二项分布的概率计算方式，但当指数不是整数时二项定理就显得有些奇怪，此时需要用到广义牛顿二项式定理。...广义二项式定理 二项式定理: 本质 广义二项式定理实际上就是 (1+x)^\alpha 的幂级数展开: 证明 经典的二项式定理，就是牛顿二项式，也就是广义二项式定理的特殊情况。...牛顿猜测出这样的展开式之后并没有给出证明，后来欧拉完善了这个证明，现在根据欧拉的方法来证明一下。 构造一个函数： f(m)=1+m x+\frac{m(m-1)}{2 !}...x^{2}+\cdots 这里m是有理数，先证明f这个函数满足f(m)f(n)=f(m+n)，回忆经典二项式定理，若a，b是正整数，则 这样f(a+b)与f(a)f(b)同类项的系数一定相等，f(a+...我们在扩充数域的时候保证了运算法则的兼容，也就是不管是整数、有理数、实数、复数，它们都满足加法和乘法的交换律、结合律，满足乘法分配率，于是既然这个恒等式在整数集成立，在有理数集必然也成立。
著名数学家陶哲轩在个人博客中写道。 素数定理是数学中的一个重要定理，描述了素数在自然数中的分布规律，该定理在数论中是一个比较重要的研究方向。...形式化证明本质上是一种计算机程序，但与 C++ 或 Python 中的传统程序不同，证明的正确性可以用证明助手（比如 Lean 语言）来验证。...举例来说，陶哲轩在论文《A MACLAURIN TYPE INEOUALITY》中给出的证明只有不到一页，但形式化证明使用了 200 行 Lean 语言。...Lean 中证明素数定理。...现在，陶哲轩他们又将该工具用于素数定理的形式化证明，可见 Lean 已成为数学研究中的得力助手。
近年来，一种名为神经定理证明（neural theorem proving）的新范式以两种方式尝试将神经网络与形式定理证明相结合：使用神经网络对数学库中的定理和当前的证明目标分别进行向量表征并进行匹配，...然而，与数学文字问题一样，当前进行定理证明的方法通常是 “一次性的”，也即推理过程和中间结论仅仅作为通向最终证明的临时性路径，在完成证明的验证后即被丢弃、并不对后续的定理证明产生贡献。...在证明过程中，LEGO-Prover 还成功地生成了超过 20,000 个引理并将它们添加到了不断增长的定理库中。...，从具体的证明实例抽象出一般的数学命题，以增进定理库中命题的多样性、概括性和可复用性： 实验 实验表明，这些演化得到的新定理在后续的定理证明中起到了关键性的作用，miniF2F 数据集中的许多定理都是在利用这些从定理库中抽取得到的结果才得以证明的...在有一定的来自于真实世界的形式化定理数据后，研究团队利用引理生成器，从已标注的样本中初始化 Lean-gym 来自动生成新的引理以扩展数据集。
我们也一直在持续地关注，这不今天又看到了他使用 GPT-4 来帮助自己证明数学定理。 不禁好奇，是什么样的数学定理呢？...论文地址：https://browse.arxiv.org/pdf/2310.05328.pdf 陶哲轩在 IPAM 机器辅助证明研讨会上看过几次 Lean 演示，在那里有人建议他玩一玩自然数游戏，以此熟悉...Lean 中用来证明定理的基本语法和策略。...他发现自己很能上手这个游戏，其中证明结果与其本科实分析书中前面的章节非常相似，比如根据皮亚诺公理建立乘法交换律和结合律等基本算数事实。...此外还让他想起了自己在《QED-an interactive textbook》中编码过的逻辑游戏。 大约 3 个小时后，陶哲轩玩到了「高级乘法」，并计划之后在空闲时间继续玩下去。
实验结果表明，仅用HTPS算法就可以证明65.4%的Metamath定理，大大超过了之前GPT-f的56.5%的水平，对这些未被证明的定理进行的在线训练可以将准确率提高到82.6% 研究人员通过Lean...专家们长期以来一直认为，想要建立一个可以在IMO中与人类抗衡的AI系统是一个巨大的挑战。 总体来说，定理证明比下围棋、国际象棋这样的棋盘游戏更具挑战性。...并且在国际象棋或围棋比赛中，即便某一步没有找到最优解，最终仍然有可能赢得对局；而对于定理证明来说，死胡同就是死胡同，一步做错，满盘皆输，之前的所有计算工作全是白费力气。...同时数学题中也可能存在特殊的解题方法，对于人类来说，可能属于最简单的一类问题，但从AI的角度来看，这种方法因为其特殊性，在标准训练数据中很少出现，所以AI很难学会。...为了模拟一种更「类人」的方法，需要神经定理证明程序将特定的「状态」与当前「对问题不完全的理解」联系起来。 研究人员采取的方法是利用强化学习与现有的证明辅助(如 Lean)结合搭建训练环境。
三周前，他曾发布一篇博文，记录下自己使用Blueprint在Lean4中形式化多项式Freiman-Ruzsa猜想的证明过程。...已经有人开始畅想：很可能会有一段时间，大多数证明只是在Lean或类似系统中完成，再也没有人需要费心写一篇「人类可读」的论文了。 数学，将变成一种编程！...单击依赖关系图中PFR陈述下方的Lean链接，就可以进入相应的Lean文档： 这就是Lean中的典型定理的样子。...冒号后边的陈述是结论：A可以以c+H的和的形式包含在G的子群H中，以及在最多 的基数的集合c中。 聪明的读者可能会注意到，上面的定理似乎缺少一两个细节，例如，它没有明确断言H是一个子群。...，想知道如何把h和h'结合起来才能达到预期目标，结果成功了！ 可以看到，所有的下划线都消失了。也就是说，Lean已将其视为有效证明。
如今，数学家们不得不正视一股最新的革命性力量——AI。...1976年，四色定理成为第一个在暴力计算的帮助下被证明的主要定理。...最近，开源证明助手系统Lean再次引发了大量关注。 Lean是现在的亚马逊计算机科学家Leonardo de Moura在微软时开发的。...约翰霍普金斯大学的数学家Emily Riehl一直在使用实验证明辅助程序 她用了一个证明助手小程序，来证明自己此前发表过的文章中的定理。 使用完后，她大为震惊。...也有网友指出，可能人类和AI对于数学理解和关注本就有区别，AI证明了什么是真的，而人类总是关注为什么它是真的。
在大致了解 OpenAI 这项新研究之后，我们来看这个延续了 GPT 系列之名的方法到底是如何诞生的。 为什么用自动定理证明？...为什么使用自动定理证明呢？ 自动定理证明适合探索常规的推理，尤其是语言模型的推理能力，原因如下： 推理方式更广泛：定理证明可能需要通用和灵活推理，因此定理证明的进步也让推理有了更广泛的发展。...这种相似性以及 AlphaZero 的成功表明，自动定理证明可能会成为神经网络推理研究中富有研究成果的领域，将来可能取得重大进展。...而且，Metamath 缺乏高级策略（tactic），例如 HOL Light 定理证明器的 ARITH_RULE、Lean 证明器的 ring，而确保该模型能够证明其他系统的高级策略可以处理的基本定理是非常重要的...此外，该研究展示了预训练和值函数迭代训练的重要性。实验结果表明，将深度学习系统与形式系统紧密结合，将为未来研究提供有趣的方向，其目标是更好地利用深度学习系统的生成能力和形式系统的验证能力。
这节课内容太多了，再加上感冒身体不舒服，下面的定理就不一一证明了，大家可以自行练习。以后有空我会补上的！ 例题1 首先接着上节课同余继续讲，在第三章例题2中，我们遗留了一个问题：对于如下序列 ?...费马最后定理 对于所有的正整数 ? ，有 ? 费马小定理 如果 ? ，那么有 ? 证明也很好证。 之前证过了，序列 ? 结果就是 ? 的某个排列，所以有 ? 所以 ?...详细的性质及应用也不介绍了，给大家推荐一个牛逼的博客博客地址，我当时学ACM的时候这部分都是看着他的学的。 组合数入门 定义组合数 ? 为从 ? 个物品中取出 ?...个物品的方法数，具体计算为 ? 推广到实数领域，定义 ? 下面介绍一些组合数性质。 性质1 ? 这里为什么要限定 ? 呢？举个例子，如果 ? ，那么有 ? 因为左边等于 ?...二项式系数 ? 二项式系数也有很多有趣的性质。 ? ? 即奇数项系数和等于偶数项系数和。 推广到实数域： ? 可以通过泰勒展开证明。
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