Scalar addition 元素操作 在诸如加法，减法和除法的元素操作中，相应位置的值被重新组合以产生新的向量。 向量 A 中的第一个值与向量 B 中的第一个值配对。...也就是说，这两个向量必须有着相同的尺寸，才能完成元素操作*。...* 我们以元素组合的方式产生对应的值，得到新的矩阵。...了解二维上的操作是个很好的开始。 矩阵Hadamard乘积 矩阵的 Hadamard 乘积是一个元素运算，就像向量一样。 相应位置的值通过乘法运算来产生一个新的矩阵。...操作 a1 · b1 表示我们取矩阵 A 中 第一 行 （ 1,7 ） 和矩阵 B 中 第 1 列 （ 3,5 ）的点积 。 这里是另一种方法： 为什么矩阵乘法以这种方式工作？
向量 A中的第一个值与向量 B 中的第一个值相加，然后第二个值与第二个值配对，如此循环。这意味着，两个向量必须要有相同的维度才能进行元素操作。...向量场对于机器学习技术的可视化非常有用，如绘制梯度下降(Gradient Descent)的方向。 矩阵 一个矩阵是数字或元素的矩形网格（如Excel表格），有着特别加、减、乘的运算规则。...在 numpy中，矩阵的元素操作对矩阵维度的要求，通过一种叫做 broadcasting的机制实现。...规则 不是所有的矩阵都可以进行乘法运算。并且，对于输出的结果矩阵也有维度要求。 参考. 1....步骤 矩阵的乘法依赖于点积与各个行列元素的组合。 以下图为例(取自 Khan学院的线性代数课程)，矩阵 C中的每个元素都是矩阵 A 中的行与矩阵B中的列的点积。
点积的输出是一个标量。它不返回向量。 Hadamard（乘法） Hadamard 乘积用于执行逐元素乘法并返回一个向量。...在上图中，很明显，左侧矩阵中的每个向量（或行）都乘以第二个矩阵中的每个向量（或列）。因此，在此示例中，A 中的每个向量必须与 B 中的每个向量相乘，从而产生 16 个点积。...对于本节中的逐元素运算，假设两个张量的形状为 (3, 3, 2)。这意味着两个张量都包含三个 (3,2) 矩阵。...但是，第一个轴必须相同： (z, m, n) x (z, n, r) = (z, m, r) 为什么是这样？嗯，如前所述，二维的点积主要是将向量彼此相乘。...，张量乘法将具有与三维和二维中相同的要求。
向量（Vector） 向量是一个有序的数字数组，可以在一行或一列中。 向量只有一个索引，可以指向矢量中的特定值。 例如，V2代表向量中的第二个值，在上面的黄色图片中为“-8”。 ?...张量（Tensor） 张量是一组数字，排列在一个规则的网格上，具有不同数量的轴。 张量有三个指标，第一个指向行，第二个指向列，第三个指向轴。 例如，V232指向第二行，第三列和第二个轴。...输出将是一个具有与矩阵相同行数的向量。 下图显示了这是如何工作的： ? ? 为了更好地理解这个概念，我们计算第二个图像。...要求是矩阵具有相同的尺寸，并且结果将是具有相同尺寸的矩阵。 您只需在第一个矩阵中添加或减去第二个矩阵的每个值进行元素级的运算。如下图所示： ?...讨论哪些矩阵具有逆的情况超出了本文的范围。 为什么我们需要一个逆？ 因为我们不能除以矩阵。 没有矩阵除法的概念，但我们可以通过逆矩阵乘以矩阵，产生相同的结果。
由于向量是一维的，所以第一个每次输出都是一 length():返回数组行列大小的最大值，对于向量，表示其长度 例如: 索引向量 通过在括号内输入零个(全部输出)或多个元素的索引值，可以单个或分组访问向量中的元素...例子: 另外，索引环境中的关键字end表示向量中的最后一个元素的索引 **注意:**在Matlab中在赋值操作中输入的索引超过当前的边界，Matlab会自动扩列，空位用零补齐，比如，...例子 向量中的指数 . ∗ .* .∗ 和 ∗ * ∗的区别: 对于矩阵和数字之间的运算， . ∗ .* .∗ 和 ∗ * ∗没什么区别，但是对于矩阵和矩阵之间， . ∗ .* .∗ 表示矩阵对应元素相乘...逻辑运算 向量的逻辑运算会产生的逻辑结果向量。...()：常规取整、向上取整、向下取整、向零取整 切片 切片操作能将一个向量中的指定元素复制到另一个向量的不同位置。
在前向传递过程中，输入被矢量化(将图像转换为像素，将文本转换为嵌入)，并且通过一系列线性乘法和激活函数(如sigmoid或ReLU等非线性函数)在整个神经网络中处理每个元素。...在微调过程中，权重矩阵BA初始化为0，并遵循α/r的线性尺度，α为常数。当使用Adam算法优化权重时，α与学习率大致相同。...然而，在这个特定的例子中差异并不大，因为我们决定只用一个小数来表示数字，另外就是对于大模型来说，参数相互很大，之间也有关系，所以四舍五入的精度丢失不会对模型的结果产生很大的影响（是不产生很大影响，不是没影响...量化参数的完整性会导致性能下降，而在矩阵乘法过程中使用量化，结合混合精度分解和向量量化。在矩阵乘法过程中，从权重矩阵中提取包含异常值（高于阈值）的向量，从而产生两次乘法。...小数字矩阵（根据论文代表 99.9% 的值）被量化，而大数字则保留在 FP16 中。 按照混合精度分解原理，对小数乘法输出进行反量化，并添加到其他输出。
要进行矩阵乘法，我们现在要从共享内存 A 和共享内存 B 加载一个包含 32 个数字的向量，并执行融合乘加 (FFMA)。然后将输出存储在寄存器 C 中。...我们划分工作，使每个 SM 进行 8 次点积 (32×32) 来计算 C 的 8 个输出。为什么这恰好是 8（在旧算法中为 4）是非常技术性的。...这又将矩阵乘法加速了 15%。 从这些示例中可以清楚地看出为什么下一个属性内存带宽对于配备 Tensor-Core 的 GPU 如此重要。...取一个权重矩阵并将其分成 4 个元素的片段。现在想象这 4 个中的 2 个元素为零。如下图所示： 图 1：Ampere GPU 中稀疏矩阵乘法功能支持的结构。...使用 8 位输入，它可以让你以两倍的速度加载矩阵乘法的数据，在缓存中存储两倍的矩阵元素，现在使用 FP8 张量核心，你可以用一块 RTX 4090 获得 0.66 PFLOPS 的算力，这比 2007
矩阵乘法在现代计算机中更是无处不在，被广泛地应用于处理图像、语音、图形甚至仿真模拟、数据压缩等，在当代数字世界有着巨大的影响力。...世界各地的公司花费了大量的时间和金钱来开发计算软硬件，以有效地进行矩阵乘法。因此，即使是对矩阵乘法效率的微小改进也会产生广泛的影响。...意义重大的问题或者称之为根节点问题，是指如果解锁这些问题，其他位于根节点路径上的问题也将被解决，因而将产生很大的影响。如果能够使用机器学习自动化来寻找这些算法，可能会产生变革性的影响和巨大的价值。...参考文献[6]中较早地解释了如何用张量空间描述双线性操作，需要确定两个对应关系：（1）将矩阵乘法对应为表征张量（2）将表征张量的一种低秩分解 (将表征张量拆分为R个秩1的张量的和) 对应为一种包含R次数值乘法的矩阵乘法算法...通过对彼此更相关的元素进行受限的注意力操作，就将关于张量分解问题的直觉与先验纳入架构中。 成果 同一个Agent在所有不同的张量大小以及在不同的数域（离散域F2和实数域R）训练得到的结果如上图所示。
矩阵乘法（matmul），是机器学习中非常重要的运算，特别是在神经网络中扮演着关键角色。...通过对相应的左行和右列进行点乘计算每个结果元素。 我们在动画中看到的是乘法值矢量在立方体内部的扫描，每个矢量都会在相应位置产生一个求和结果。...矩阵-向量乘积 分解为矩阵向量乘积的matmul，看起来像一个垂直平面（左参数与右参数每列的乘积），当它水平扫过立方体内部时，将列绘制到结果上。 即使在简单的例子中，观察分解的中间值也会非常有趣。...除其他外，这也让我们明白了为什么「低秩因式分解」，即通过构建深度维度参数很小的矩阵乘法来逼近矩阵，在被逼近的矩阵是低秩矩阵时效果最好。...关键规则很简单：子表达式（子）矩阵乘法是另一个立方体，受与父表达式相同的布局约束，子表达式的结果面同时是父表达式的相应参数面，就像共价键共享的电子一样。
矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有意义 。一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。...从用户输入一行数字和列号，组成第一个矩阵元素和第二个矩阵元素。然后，对用户输入的矩阵执行乘法。...并且把输入的数字提取出来，放入一个float型数组中，这样我们就完成了读入工作，之后就是利用乘法公式进行运算，并把结果放入一个二维数组中，最后把结果输出来就行了。...如果直接用cin，那么碰到符号它并不会跳过，而是也会录入，这是不行的，但是对于这个问题，我们知道输入的格式都是类似于：123，1，2；1，2，3这样的，规律就是一个数字一个符号，我们可以用赋值的方式来跳过...这样就实现了矩阵A，B的录入，虽然录进去的是一个一维的数组，但也不妨碍后续的矩阵乘法计算。 3.矩阵相乘 在矩阵乘法第一矩阵中，一个行元素乘以第二矩阵所有列元素。
这篇文章中，我会通过不同的方法探索初始化神经网络层权值。一步一步地，通过各种简短的实验和思维练习，我们将发现为什么适当的初始化权重对训练深度神经网络如此重要。...请记住，如上所述，完成通过神经网络的正向传递所需要的数学只不过是矩阵乘法的连续。如果我们有一个输出y，它是我们的输入向量x和权重矩阵a之间矩阵乘法的乘积，那么y中的每个元素i都定义为： ?...其中i为权重矩阵a的给定行索引，k为权重矩阵a中的给定列索引，输入向量x中的元素索引，n为x中元素的范围或总数。...这就是为什么在上面的例子中，我们看到我们的层输出在29次连续矩阵乘法之后爆炸。在我们最基本的100层网络架构中，我们希望每个层的输出的标准偏差约为1。...如果我们首先对权重矩阵a进行缩放，将其随机选择的所有值除以√512，那么填充输出y中的一个元素的元素乘平均方差将只有1/√512。 ?
excelperfect MMULT表示矩阵乘法（matrix multiplication）。学习过前面文章的朋友，可能已经意识到乘法矩阵在Excel公式中有很多应用。...示例：使用公式计算加权成绩 如下图3所示，使用MMULT函数计算加权成绩，两个数组有相同的项数但维数不同。 ? 图3 示例：创建乘法表 下图4展示了一个简单的乘法表示例。 ?...在前面的系列中，我们学习了通过乘以单元格区域来避开SUMPRODUCT函数对区域都要具有相同尺寸的要求。然而，如果单元格区域C3:D5中含有文本，那么乘法操作将产生错误。...1.列标题数字直接乘以数字表会将列标题数字分别乘以数字表中相应列中的数字，得到与数字表相同大小的结果数组。...2.SUMPRODUCT函数接受相同大小的数组作为参数，将数组中的对应元素分别相乘，再计算乘积之和。
本文通过不同的方法初始化神经网络中的图层权重。通过各种简短的实验和思想练习，我们将逐步发现为什么在训练深度神经网络时足够的重量初始化非常重要。...如果我们的输出y是我们的输入向量x和权重矩阵a之间的矩阵乘法的乘积，则y中的每个元素i被定义为 ?...这就是为什么在上面的例子中我们看到我们的图层输出在29次连续矩阵乘法后爆炸。在我们简单的100层网络架构的情况下，我们想要的是每层的输出具有大约1的标准偏差。...如果我们首先通过将所有随机选择的值除以√512来缩放权重矩阵a，那么填充输出y的一个元素的元素乘法现在平均将具有仅1 /512的方差。 ?...证明了如果采用以下输入权重初始化策略，深层网络（例如22层CNN）会更早收敛： 使用适合给定图层的权重矩阵的尺寸创建张量，并使用从标准正态分布中随机选择的数字填充它。
在深度学习中，线性代数是一个强大的数学工具箱，它提供同时计算多维数组的方法。线性代数不仅会提供如同向量和矩阵那样的结构来储存这些数字，还会提供矩阵的加、减、乘、除和其他运算规则。...这和图像由像素块阵列构成，视频游戏使用巨量、连续展开的矩阵生成引人注目的游戏体验是一样的。GPU 会并行地操作整个矩阵里元素，而不是一个接一个地处理。 向量 向量由数字或其它项组成的一维阵列。...标量运算 标量运算即为向量和数字间的运算。向量与数的运算就是向量内每一个元素与这一个数进行相应的运算。如下图的一个标量运算： ? 向量间运算 在向量间的运算中，对应位置的值可以组合而产生一个新向量。...矩阵转置 神经网络在处理不同大小的权重或输入矩阵时，经常出现矩阵的阶不符合矩阵乘法的要求。矩阵的转置通过将矩阵旋转一下以满足矩阵乘法所需要的维度要求。下面，我们可以通过两步完成矩阵的转置。 1....因为不可能预期在改变向量的部分后还能得到相同的结果，而且第一个矩阵的列数必须要和第二个矩阵的行数相同，也可以看出为什么矩阵相乘的顺序会影响其结果。
Linear 层如何使用矩阵乘法将它们的输入特征转换为输出特征。...当输入特征被一个Linear 层接收时，它们以一个 展平成一维张量的形式接收，然后乘以权重矩阵。这个矩阵乘法产生输出特征。 让我们看看代码中的一个例子。...稍后我们将更详细地研究这个重要的细节，但是首先，检查这个输出。我们确实得到了一个包含三个元素的一维张量。然而，产生了不同的值。 callable Python objects....这意味着这两个例子中的线性函数是不同的，所以我们使用不同的函数来产生这些输出。 ? 记住权矩阵中的值定义了线性函数。这演示了在训练过程中，随着权重的更新，网络的映射是如何变化的。...这就是为什么我们把权矩阵张量放在一个参数类实例中。现在让我们看看这一层如何使用新的权重矩阵转换输入。我们希望看到与前面示例相同的结果。
首先严谨地概括这个想法：每个矩阵对应一个加权二分图。所谓「图」是指顶点（点）和线的集合；「二分」是指点有两种不同的类型/颜色;；「加权」是指每条线都有一个数字标记。...例如，在第二个绿点和第一个粉点间存在一条线，因为 M_21=4，即矩阵 M 第二行第一列的值不为 0。此外，我用非零数字标记了这条线。...尤其对于任何矩阵 M 来说，下图直观地解释了，为什么 MM^⊤和 M^⊤M 始终对称！ ? 若矩阵所有项都非零，则对应完全二分图。 如果一个矩阵的所有元素都不为零，那么它对应的图就没有缺失的连线。...为什么会这么好？因为一个矩阵 M:X×Y→Z_2 相当于一个「关系」。「关系」是笛卡尔积 X×Y 的子集 R 的名称。...Z_2 中的矩阵图与上面讨论的图完全相同，只是现在所有连线的值都是 0 或 1。如果权重是 0，那和之前一样，我们就不画这条连线了。
沿着这一向量，来自左边参数和右边参数的成对的 (i, k) (k, j) 元素会相遇并相乘，再沿 k 对所得积求和，所得结果放入结果的 i, j 位置。 这就是矩阵乘法的直观含义： 1....这也从直觉上说明了为什么「低秩因式分解」（即通过构造参数在深度维度上较小的矩阵乘法来近似矩阵）在被近似的矩阵为低秩矩阵时的效果最好。...3c 二元表达式 对于可视化工具，要有用，就不能只用于简单的教学式示例，也要能方便地用于更复杂的表达式。在真实世界用例中，一个关键性结构组件是二元表达式 —— 左侧和右侧都有子表达式的矩阵乘法。...attn @ V 具有惊人的垂直均匀性 —— 在嵌入的大柱状区域中，相同的值模式在整个序列中持续存在。人们可以将这些看作是每个 token 共享的属性。...我们可以在该工具中可视化这种分区，通过指定将给定轴划分为特定数量的块 —— 在这些示例中将使用 8，但该数字并无特别之处。
在进行各种小实验和思维训练时，你会逐步发现为什么在训练深度神经网络时，合适的权重初始化是如此重要。 那么如何使用不同的方法初始化神经网络中的每层权重呢？...为了弄明白个中原因，我们可以模拟网络的正向传播。 呃！在这100次矩阵乘法某次运算中，层输出变得非常大，甚至计算机都无法识别其标准差和均值。我们实际上可以看到产生这种结果需要多长时间。...如果输出y是输入向量x和权重矩阵a之间的矩阵乘法之积，则y中的第i个元素被定义为： 其中i是权重矩阵a给定行的索引，ķ既是给定列的索引及输入向量X的元素索引，n是X中元素的个数。...这就是为什么在上面的例子中层输出在29次连续的矩阵乘法后会发生梯度爆炸。...使用适合给定图层的权重矩阵创建张量，并使用从标准正态分布中随机选择的数字填充它。 2. 将每个随机选择的数字乘以√2/√n，其中n是从前一层输出到指定层的连接数（也称为“fan-in”）。 3.
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