在matlab的图像处理工具箱中，有一系列关于Binary Images的处理函数，都是以字母bw开头的，其中以bwmorph函数选项最为丰富，一共有'bothat'、'branchpoints'、...如何快速的实现领域的像素相加呢，这不就是Boxblur要干的事情吗，Boxblur如何优化：积分图、懒惰算法等等一大堆资料可以利用的。 ...参考 ： SSE图像算法优化系列十三：超高速BoxBlur算法的实现和优化（Opencv的速度的五倍） 13行代码实现最快速最高效的积分图像算法。 ...仔细想一想，这个和我们以前研究过的中值模糊不就是同一个算法吗，那里也有半径和百分比一说，但是因为其特殊性，这里的不用使用传统的中值模糊来实现算法，速度得到了极大的提升。 ...：34653 找到符合条件的连续块：59个 图像的欧拉数为：59 和原始图像的信息基本差不多了，但是很明显结果比原始图像更有利于后续的分析。
为了提高速度和充分利用大规模积分电路的性能，我们同时还需要考虑：通过将局部算子并行地作用于二值图，我们可以对什么量进行计算。...集合可加性使得我们可以：将一幅图分割为许多小块：然后，将对这些小块的处理结果合并到一起，从而得到对整张图像的处理结果。我们将以求图像的Euler数为例，来演示这个过程。...由于Euler数满足集合可加性，因此，我们可以得到 ： E(I \cup \Delta I)-E(I)=E(\Delta I)-E(I \cap \Delta I) 我们所真正感兴趣的是：图中那些使得...这是因为：B 和 H 不满足集合可加性，因此，我们无法通过：对局部计算结果进行求和，来得到整体的 B 和 H. 最后，我们需要将上面介绍的方法推广到离散二值图的情况。...Euler 数可加性示例 采用“手形”的示例图像，拆分成小图计算整体图像 Euler 数： 将原图分为十个小区域，整个图的欧拉数显然为 1，之后我们分别计算十个区域的欧拉数，作为欧拉数可加性的示例和验证
但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯.贝努利和他的弟弟丹尼尔.贝努利，由于欧拉当时和丹尼尔.贝努利在一块，他也因此得知了这个问题。...109⋅9⋯=π4 于是，欧拉利用 Wallis 公式得到了如下一个很漂亮的结果 (12)!...虽然Wallis 的时代微积分还没有发明出来，Wallis 是使用插值的方式做推导计算的，但是Wallis 公式的推导过程基本上就是在处理积分 ∫10x12(1−x)12dx，受 Wallis 的启发，...)，于是欧拉得到如下简洁漂亮的结果： n!...这种数学上的一致性是偶然的吗？这个问题我个人曾经思考了很久，终于想明白了从二项分布出发能把 Gamma 分布和 Poisson 分布紧密联系起来。
而欧拉的这个结果也是十分不寻常的，后世把这个公式称为“欧拉乘积公式”，因为左边是一个乘积形式的级数。...那这是否也蕴含着质数分布与 有关系呢？我觉得欧拉肯定也想过这个问题，但可能是他需要研究的问题太多了，忙不过来，欧拉最终没有提出质数定理的原型。 ...之前有听众问我为什么"黎曼猜想"蕴含有关质数分布的信息，从这个欧拉函数与黎曼 函数的关系中，可以看到其中的一些端倪。 再回过来讲质数定理。...你可能会问，既然是 的积分，为什么不找出它的原函数呢，这样 就不用积分符号，岂不是更好？ ...这是微积分里面有意思的一件事情，当给定一个函数时，求导函数，好像毫无困难，只要根据函数加减乘除和链式求导规则，一步步来，必然能写出导函数结果。
求解函数也被叫做积分曲线（因为我们可以通过对这个方程积分得到方程的解x(t)）.让我们尝试用SymPy软件包来解一下上面图片上的方程： from sympy import dsolve, Eq, symbols...与此同时，仔细看看欧拉方程，难道它没有让你想起最近的深度学习架构中的任何东西吗 残差网络是一种微分方程的解吗？ 确实是这样的！...，其精度比欧拉法高得多。...正是通过伴随系统，我们可以得到微分的初始状态，并以类似的方式，获得一个描述动态系统的函数(“残差块”或欧拉法离散化过程)的参数。...除了神经网络，这些想法在仅较简单的任务上才能显示出良好的结果，在任何接近实际应用或大规模数据集上都失败了。
在学习与科研中，经常会遇到一些数学运算问题，使用计算机完成运算具有速度快和准确性高的优势。...本文使用Python语言的NumPy库，解决数学运算问题中的线性方程组问题、积分问题、微分问题及矩阵化简问题，结果准确快捷，具有一定的借鉴意义。...然后从SymPy库载 入所有符号，并且定义了四个通用的数学符号x 、y、z 、t，三个表示整数的符号k、m、n， 以及三个表示数学函数的符号f、g、h。 欧拉恒等式 ?...此公式被称为欧拉恒等式，其中e是自然 常数，i是虚数单位， 是圆周率。此公式被誉 为数学中最奇妙的公式，它将5个基本数学常数 用加法、乘法和幂运算联系起来。...欧拉恒等 式可以将 代入下面的欧拉公式得到： ?
在无碰撞波尔兹曼方程的推导完成之后，该教科书在欧拉框架下推导出该方程的碰撞算子。...首先来研究该教科书是怎样在欧拉框架下推导无碰撞波尔兹曼方程的。...这些在欧拉框架下的数学和物理问题不仅造成了概念上的困扰，而且在很大程度上否定了我们能借今天或明天的计算机来解波尔兹曼方程的希望。 我们现在来看看在拉格朗日框架下到底发生了什么。...这样一个至关重要的问题就可以提出来了：上述两种不同的计算方法会产生同一种结果吗？很显然，答案是否定的。...其中一个理由是，那些与路径丛以及能量动量定理相关的信息完全寄存在牛顿方程中，提取这些信息的唯一恰当方式是积分牛顿方程。 E) 就欧拉框架下的处理碰撞而言，式子(2)好像具有一定的优越性。
选择数值方法： 选择适当的数值方法来近似解（需要考虑精度、稳定性和计算效率），常见的数值方法包括欧拉方法、改进的欧拉方法、Runge-Kutta 方法等。...判断停止条件： 判断是否达到满足指定精度的近似解：可以使用某种误差估计方法，例如控制局部截断误差或全局误差。 输出结果： 最终得到在给定定义域上满足初值问题的近似解。 2....，选择合适的步长对于数值解的准确性和稳定性非常重要。...向前欧拉法（前向欧拉法） 【计算方法与科学建模】常微分方程初值问题的数值积分法：欧拉方法（向前Euler及其python实现） 向前差商近似微商： 在节点 X_n 处，通过向前差商 \frac{...重复迭代，直到满足收敛条件，得到 y_{n+1} 的近似解。 向后 Euler 方法在处理某些问题（例如刚性问题）时可能更为稳定，但由于涉及隐式方程的求解，其计算成本可能较高。 b.
阿基米德用这种方法求得圆周率的上界和下界分别为 和 ，这是历史上第一次用科学方法求得圆周率的近似值。欧多克索斯和阿基米德在穷竭法中应用的思想已经非常接近定积分思想。...02 消失的鬼魂：贝克莱悖论 在牛顿和莱布尼茨发明微积分的通用方法后，许多数学家在很多领域都应用这种方法得到了很好的结果，这进一步加强了数学界对微积分方法的信心。...在18世纪，欧拉、达朗贝尔、拉格朗日都进行过尝试，但都没有成功。 欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，他在许多领域都有丰硕的成果。...在微积分领域，他创作了《无穷分析引论》《微分学原理》《积分学原理》，成为“分析的化身”。 但是欧拉对于无穷小量的解释依然是模糊的，他认为0∶0可以等于任意有限的比值。...在欧拉之后，分析一词变得更加流行，且欧拉通过对函数的定义，让分析的主要对象变成函数。
它通常是在自变量分布的核密度估计以及因变量和自变量联合分布的基础上，通过计算因变量的条件期望得到的。...我们可以通过狄拉克δ函数来计算f在一个固定位置的值，就像这样: 这将允许我们将整体损失 R[f] 写成一个积分，并且经验风险最小化变得可以通过变分计算的标准工具进行。...δ（delta）的正确定义需要对泛函分析有一定的了解，更准确地说是分布理论或“广义函数”的理解。但是根据我们的最终目标，可以将狄拉克δ函数想象为以原点为中心的非常窄的峰。...一般情况下这个名字就出现了 - 高斯： 这个函数族消失在 > 0的极限下，并在适当的意义上收敛于狄拉克函数。 最后，在用上述近似代替狄拉克函数之后，我们可以给出积分下的公式的名称:L代表拉格朗日。...计算相应的欧拉-拉格朗日方程是一项简单的任务: 当然，对于λ = 0，这个公式可以简化为传统的核回归。这是一个二阶线性微分方程一旦给出边界条件或初始条件它就有唯一解。
现在，你看不到这些知识与你有什么关系，但是你将来从事的职业有可能非常需要这些知识，所以你应该快速准确地完成这些定积分练习题。”...我对于这一点很有发言权，因为在我多年担任数学老师的时光里，我就为成百上千的大学生布置过很多定积分练习题。...职业足球运动员在比赛时会用到这些训练内容吗？不会的，我们从未在赛场上看到有足球运动员举杠铃或者在交通锥之间穿梭前行。...多少个世纪以来，由于人们辛勤钻研、反复辩论，数学的各种公式与定理已经得到了千锤百炼，可以帮助我们在处理事务时避免犯错。...这个理念不是战争题材的电影要表现的主题，而是战争的真实写照，其中的每一个环节都要用到数学知识。 瓦尔德拥有的空战知识、对空战的理解都远不及美军军官，但他却能看到军官们无法看到的问题，这是为什么呢？
这是平面几何最基本的结果之一。 毕达哥拉斯学派的故事说明了数学和这样宗教如果结合是多么的危险。毕达哥拉斯学派神化的整数，认为整数是宇宙的基石。...对两个非常大或者非常精细的小数做乘除法要比做加减法的时间长得多。所以，如果有人要对两个大数做乘法，他可以先查对数表的得到两个数的对数，在加起来，然后再用对数表返查得到结果。...当一种事情已经发生的条件下，定理让我们能计算这样的概率，当特定事件发生时，鉴于观测结果，基于我们把观测结果纳入特定事件看是否发生，这样能同时得到先前事件在特定事件下发生的可能性。...贝叶斯定理是一个分析信息缘由的强大工具，它还是整个统计学思想的底层框架。 欧拉(1707-1783) ? 曾有文章 算法帝国里的牛人们：欧拉 在牛顿和莱布尼兹之后，欧拉接过了对微积分的研究的工作。...欧拉还是最多产的数学家之一，在很多领域都有贡献。他对哥尼斯堡七桥问题的解决被认为是最早的拓扑和图论成果之一。
我对于这一点很有发言权，因为在我多年担任数学老师的时光里，我就为成百上千的大学生布置过很多定积分练习题。...职业足球运动员在比赛时会用到这些训练内容吗？不会的，我们从未在赛场上看到有足球运动员举杠铃或者在交通锥之间穿梭前行。...多少个世纪以来，由于人们辛勤钻研、反复辩论，数学的各种公式与定理已经得到了千锤百炼，可以帮助我们在处理事务时避免犯错。...这个理念不是战争题材的电影要表现的主题，而是战争的真实写照，其中的每一个环节都要用到数学知识。 瓦尔德拥有的空战知识、对空战的理解都远不及美军军官，但他却能看到军官们无法看到的问题，这是为什么呢？...这类基金1995~2004年增长了178.4%，年均增长率为10.8%，这是一个令人满意的增长速度。如果手头有钱，投资这类基金的前景似乎不错，不是吗？事实并非如此。
他说：「天琦很喜欢提出新想法，他有时会在我提出建议一周后再反馈：『老师你之前建议的方法不太合理。但是我研究出另外一套合理的方法，结果我也做出来了。』」...因此参数也是一个连续的空间，我们不需要再分层传播梯度与更新参数。总而言之，神经微分方程在前向传播过程中不储存任何中间结果，因此它只需要近似常数级的内存成本。...首先输入数据 Z(t_0)，我们可以通过一个连续的转换函数（神经网络）对输入进行非线性变换，从而得到 f。随后 ODESolver 对 f 进行积分，再加上初值就可以得到最后的推断结果。...调整误差容忍度能允许我们在准确度与计算成本之间做权衡，因此我们在训练时可以采用高准确率而学习更好的神经网络，在推断时可以根据实际计算环境调整为较低的准确度。 ?...同样在 ODEnet 中，获取隐藏状态的梯度后，再对参数求导并积分后就能得到损失对参数的导数，这里之所以需要求积分是因为「层级」t 是连续的。这一个方程式可以表示为： ?
简单的ODE示例 解微分方程，可以理解为有一些初始条件（此时过程开始），想看看过程将如何演变到某个最终状态。求解函数称为积分曲线（因为可以将方程积分得到解x（t））。...如果这些残差连接是欧拉方法的离散时间步长，这意味着可以调节神经网络的深度，只需选择离散方案，因此，使解决方案（又称神经网络）更多或不太准确，甚至使它无限层！...ODE（低键：我们的神经网络本身）的解决方案，其精度比欧拉方法好得多。...在现实生活中，可以将它们视为离散过程，因为在时间步骤t_i中的许多观察可能会有缺失。下面将介绍如何使用神经ODE处理它们。...这是个很好的想法。但是它不仅让人们想起Geoffrey Hinton的胶囊网络，现在它们在哪里......？它们可以在一些玩具任务上显示出良好的结果，但在接近实际应用或大规模数据集的任务上都失败了。
在他们之后，为微积分做出巨大贡献的还有其他几位数学家，最杰出的代表则是神奇的伯努利兄弟(雅各布 伯努利和约翰伯努利)，还有举世无双和蔼可亲的欧拉，以及为微积分严密化做出巨大贡献的柯西，黎曼，勒贝格等。...尽管最早的时候，莱布尼茨甚至跟我们一样， 有时会吃不准d(xy)跟dxdy以及d(x/y跟dy/dx是否一样，他依然给出了d(xy)=xdy+ydx,以及的d(x/y)=(ydx-xdy)/y2的正确结果...欧拉的学生，拉格朗日试图建立排除无穷小量，逐渐消失的量，极限等不明确的概念的微积分，他通过把f(x+i)表示成i的无穷级数的形式： ? 其中p，q，r..是从函数x得到的且与i无关的新函数。...图 6 达朗贝尔和拉格朗日 在欧拉去世后不久，一位在现代大学本科高等数学课本中举足轻重的人物，柯西诞生了。...由于h无法真正为零，因此会导致产生所谓的截断误差(Truncation error)或近似误差(error of approximation)，另外由于机器本身表示数字的不准确性则会产生舍入误差(Round-off
需要说明的是在处理这种题目时，计算的某一步中又会出现最初所要求的那个积分，这时应将这一步所得结果和第一步等式之前的式子看做一个方程，通过解方程的方式解出所要求的不定积分结果。...当被积表达式含有正整数次幂时，这样做得到的可能不是方程，而是一个递推公式，进而得到要求的积分。...为了将正弦余弦的高次幂化为一次，可以使用欧拉公式和二项式定理 ? （欧拉公式及其推论） ?...（三）、根式内为一般二次多项式的二次根式 处理这种问题，需要将根式内配方化为根号内只有二次项和常数项的情况，也可以使用欧拉代换。...欧拉代换是解决这种类型问题的通法，但使用这种方法也需要提前做好要做大量运算的心理准备。 ? （四）根号内为一次齐次分式的根式 将根号整体换元来脱根号，这种方法对大部分含有 ? 的积分都适用。
泛函和变分法 给定两点A(x_0, y_0)和B(x_1, y_1)，求AB两点之间的最短距离。两点之间直线最短，这还用球吗？可是为什么是直线最短呢，而不是其它曲线？...上述必要条件中的方程叫做泛函的欧拉方程，也叫欧拉-拉格朗日方程。而F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}称为F关于y的变分导（函）数。...案例分析--两点之间直线最短 好的，我们利用欧拉方程来证明博文刚开始提出的两点之间直线最短的问题。...此时，我们就得到了这条曲线确实就是连接两点的直线。...在Mathematica中使用变分法 鉴于本人计算能力超级差，手动求导对我来说实在太痛苦了，我将上述的计算借助于Mathematica计算了一遍，下面是计算过程。
你很着急，但知识不着急 我说的 你选择了学习，就慢下来学懂它 我爱信号处理，这东西太骚了。 我们打交道的就是时域空间，连续不间断的信号，电脑处理的是连续孤立的点。咋办咋办啊！ OK，连着是吧？...我这里不说这个东西咋来的，在信号系统是通过单位阶跃信号来的，然后还有一种是单位斜变信号，两个东西的关系就这样： 单位斜变信号是单位阶跃信号的积分（累积和） 单位阶跃信号是单位斜变信号的微分（导数） 至于为什么老是说...看起来不好看，也不直观，哪个年代大家都说不出来这个奇奇怪怪的函数是什么。 拉普拉斯方程听说过没有？没听过也不耽误晚上吃饭： 大哥大概就这样吧 这个变换在现代称为积分变换，以前我不知道。...然后把这个右面的欧拉旋转盘的旋转频率调整到和衰减系数一样 直接END，就出现了梦寐以求的单瓣图 来化解一下 你看这个红色部分，老演员了 我们给它搞个代换 没有对比就没有伤害，至少直观上面更好用了...这里单独的讨论最后一项，先不看原来的负号，S就是一个完整的复数，这次展开来计算，T是一个时间项，写完以后，前面的一项A，里面的参数可以控制是不是有衰减。后面这一项使用欧拉公式展开。
二·线性筛(欧拉筛) ： 这里就是上面的埃氏筛提前结束重复筛选（保证最小质因子筛除）的过程，就不演示了。 2.1定义： 线性筛，也叫欧拉筛，是一种用于筛选素数的算法。...n)，这使得它在处理大规模数据筛选素数时效率非常高。...在密码学中，也常用于生成大素数等基础操作，为加密算法提供必要的数学支持。例如，在一些现代密码系统的密钥生成过程中，需要快速准确地获取大量素数，线性筛就可以发挥作用。...例如，对于合数 12，在埃氏筛法中，当处理素数 2 时会标记 12（因为 12 是 2 的倍数），当处理素数 3 时也会标记 12（因为 12 是 3 的倍数）。...首先思考一下为什么不添加上j<=k呢？
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