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从R中的SVD手动计算伪逆看起来是错误的吗？

SVD（奇异值分解）是一种矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积：U、Σ和V。其中，U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。SVD在数据降维、矩阵逆运算等领域有广泛的应用。

对于一个矩阵A，其SVD分解为A = UΣV^T。其中，U的列向量是AAT的特征向量，V的列向量是ATA的特征向量，Σ的对角线元素是AAT和ATA的非零特征值的平方根。

伪逆（Pseudo-inverse）是矩阵的一种广义逆，对于一个矩阵A，其伪逆记为A^+，满足AA^+A = A，A^+AA^+ = A^+，并且AA^+和A^+A都是对称矩阵。

在R中，可以使用svd()函数进行SVD分解，然后通过计算逆矩阵来得到伪逆。然而，从R中的SVD手动计算伪逆看起来是错误的。这是因为在计算伪逆时，需要考虑奇异值的大小，将较小的奇异值设为零或接近零，然后再进行逆运算。手动计算伪逆需要对奇异值进行处理，而直接使用R中的svd()函数得到的奇异值已经经过处理，因此手动计算可能会得到错误的结果。

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计算奇异值分解 3. 根据 SVD 重建矩阵 4. 用于伪逆的 SVD 5....运行这个示例会显示原来的 3×3 矩阵和根据 SVD 元素直接重建的版本。 ? 用于伪逆的 SVD 伪逆（pseudoinverse）是将方形矩阵的矩阵求逆泛化应用到行数和列数不相等的矩形矩阵上。...当 A 的列数大于行数时，那么使用伪逆求解线性方程是众多解决方案中的一种。 ——《Deep Learning》，2016 年，第 46 页伪逆表示为 A^+，其中 A 是被求逆的矩阵，+ 是上标。...伪逆是使用 A 的奇异值分解计算的： ? 或者，没有点符号： ? 其中 A^+ 是 A 的伪逆，D^+ 是对角矩阵 Sigma 的伪逆，U^T 是 U 的转置。...我们可以通过 SVD 采用人工的方式计算伪逆，并将结果与 pinv() 函数的结果进行比较。首先我们必须计算 SVD。然后我们必须计算 s 数组中每个值的倒数。

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所以，一旦采用 A 转置的处理，求解的系数x’仅仅是原方程Ax=b的最佳估计，此时将投影过程中产生的法向量e认为是误差，被从原始b中减去，得到投影向量p。...,w^{(n-1)i}] ，其中 w^i 表示w的i次幂，i从0开始。在 F^n 中定义 w^n=1 ，则w是1的n次方根，有 ?...17、左右逆和伪逆：当方阵A满秩，即r=m=n时，通常可以求解A逆使得 A·A^{-1}=A^{-1}·A=I 。...但现实中遇到的矩阵经常是长方形矩阵，这时就需要考虑3种情况，列满秩r=n，行满秩r=m与一般秩r<n&&r<m。...更一般的，若r<m&&r<n，则只能求A伪逆，A伪逆可以使A行空间向量一一映射至A列空间向量，A伪逆可以通过SVD来解决，SVD可以将对A伪逆的求解转化到求对角阵E的伪逆上来。

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利用 Numpy 进行矩阵相关运算

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之前的文章《矩阵奇异值分解法SVD介绍》中详细介绍了SVD分解算法，本文的Randomized SVD分解算法是在SVD算法基础上实现的，下面将详细介绍该算法的原理。...，从而得到A的近似基Q Stage 2 1.构建低维矩阵B，满足： 2.计算低维矩阵B的SVD分解，使得从1中的公式我们可以看到，B是一个k+p行n列的矩阵，相比初始矩阵A(mn)，B的行数非常小...其次Randomized SVD算法的关键就在于对原始矩阵的降维，从算法一、二到三我们可以看出，这就需要原始分布式矩阵右乘一个本地矩阵Ω，这在spark上是比较容易实现的。...A右乘以R的逆得到根据以上公式我们可以看到，当把分布式的矩阵A划分成多个本地矩阵，并对每个本地矩阵进行QR分解，以及整合他们的R矩阵再进行QR分解就可以并行的获得最终的R矩阵。...，并据此采用2.2节中的方式进行计算。

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作者：张丹(Conan) 来源：http://blog.fens.me/r-matrix/ 前言 R 是作为统计语言，生来就对数学有良好的支持。矩阵计算作为底层的数学工具，有非常广泛的使用场景。...SVD 是最可靠的分解法，但是它比 QR 分解法要花上近十倍的计算时间。[U,S,V]=svd(A)，其中 U 和 V 分别代表两个正交矩阵，而 S 代表一对角矩阵。...，是从 n 阶单位矩阵计算向量的外积导出的方阵。...c=r) 使得 r 阶 c 阶的子列表的分量，计算从 r 行和 c 列的单位矩阵的列向量的外积导出的方阵。...n 个组件中的每一个也是列表。每个子列表具有 n 个分量，每个分量是 n 阶矩阵。计算公式： ?

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8段代码演示Numpy数据运算的神操作

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这些步骤看起来是不是很熟悉… 的确，通过对对称矩阵AAᵀ和AᵀA进行奇异值分解，这个结果看起来几乎与对对称矩阵进行特征分解是相同的。...我们现在可以将任何矩阵分解成两个正交矩阵和一个对角矩阵，其中矩阵U的维度为m×r，对角阵Σ的维度为r×r和矩阵V的维度为r×n，其并且矩阵A的秩为r。...需要额外说明的是：所有奇异值的平方和与数据集的总体方差相等。 ? ? ? 对协方差矩阵A采用下式进行计算： ?...1.矩阵A是经过标准化后的矩阵，它的均值为0；2.m是样本数量从直观上可看出，总方差=协方差矩阵AᵀA的迹=矩阵AᵀA的特征值之和=奇异值平方之和。...通过奇异值分解得到的u即是n维空间中的主成分，第i个主成分的重要性可由下式计算所得（通过计算在方差中的比例来确定）： ?

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关于SVD的应用详解

奇异值的计算 ? 为方阵，求这个方阵的特征值的平方根对应为矩阵A的奇异值。同样的SVD还可以用来求解伪逆，这里推荐一篇博客。 SVD矩阵分解后 ?...奇异值σ跟特征值类似，在矩阵Σ中也是从大到小排列，而且σ的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了。...SVD分解不仅能减少存储量和计算量，并且这三个矩阵还有着十分明确的物理含义。第一个矩阵X中的每一行表示意思相关的一类词，其中的每个非零元素表示这类词中每个词的重要性（或者说相关性），数值越大越相关。...所以如果我们要想进行协同过滤，需要经过向量相似度计算，而用户与用户的向量相似度计算或者是项目与项目的向量相似度计算都要涉及到获得用户的潜在特征向量和项目的潜在特征向量，而SVD的矩阵分解获得U矩阵和V矩阵的物理的含义无疑就是这样的...当我们拿到一个新的用户u3时，或许u3并没有对所有的项目打分或者是评价，那么这个行向量就是稀疏的，也就说N个元素的行向量中为0的元素非常多，我们希望能用协同过滤的方法推测出用户u3对这些缺失值的评分情况

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