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从R中的SVD手动计算伪逆看起来是错误的吗？

SVD（奇异值分解）是一种矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积：U、Σ和V。其中，U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。SVD在数据降维、矩阵逆运算等领域有广泛的应用。

对于一个矩阵A，其SVD分解为A = UΣV^T。其中，U的列向量是AAT的特征向量，V的列向量是ATA的特征向量，Σ的对角线元素是AAT和ATA的非零特征值的平方根。

伪逆（Pseudo-inverse）是矩阵的一种广义逆，对于一个矩阵A，其伪逆记为A^+，满足AA^+A = A，A^+AA^+ = A^+，并且AA^+和A^+A都是对称矩阵。

在R中，可以使用svd()函数进行SVD分解，然后通过计算逆矩阵来得到伪逆。然而，从R中的SVD手动计算伪逆看起来是错误的。这是因为在计算伪逆时，需要考虑奇异值的大小，将较小的奇异值设为零或接近零，然后再进行逆运算。手动计算伪逆需要对奇异值进行处理，而直接使用R中的svd()函数得到的奇异值已经经过处理，因此手动计算可能会得到错误的结果。

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它表示从原点出发到向量 x 确定点的欧几里得距离。可简化表示为 \begin{Vmatrix} x \end{Vmatrix} ，平方 L^2 范数可简单地通过点积 x^Tx 计算。...标准正交：R^n 中，至多有 n 个范数非零向量相互正交，且范数都是 1 。正交矩阵指行向量和列向量是分别标准正交的方阵。...对角矩阵D对角线上的元素称为矩阵A的奇异值。 A的非零奇异值是A^TA特征值的平方根，同时也是AA^T特征值的平方根。 SVD最有用的性质可能是拓展矩阵求逆到非方矩阵上。...)^{-1}A^T 伪逆的计算公式: A^+=VD^+U^T ，对角矩阵D的伪逆D^+是其非零元素取到数之后再转置得到的。...当矩阵A的列数多于行数时，使用伪逆求解线性方程是众多可能解法中的一种。

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所以正交矩阵受到关注是因为求逆计算代价小。我们需要注意正交矩阵的定义。违反直觉的是，正交矩阵的行向量不仅是正交的，还是标准正交的。...然后，另R’ =RU，就实现了数据集在特征向量这组正交基上的投影。嗯，重点来了，R’中的数据列是按照对应特征值的大小排列的，后面的列对应小特征值，去掉以后对整个数据集的影响比较小。...所以在PCA中，SVD是一种实现方式上面的知识可能需要其他的一些前置知识，但我认为也不必要非学，用的不多，可以遇到再学吧，我们知道其主要公式，意义和应用就好，重要性也一目了然，对于矩阵的变换运算，比如降维...Moore-Penrose伪逆使我们能够解决这种情况，矩阵A的伪逆定义为：但是计算伪逆的实际算法没有基于这个式子，而是使用下面的公式：其中，矩阵U，D 和V 是矩阵A奇异值分解后得到的矩阵。...注意，这里的伪逆也是应用奇异值分解来求得的，这就很好体现知识是联系的啦，伪逆的应用在机器学习中也是大量存在的，比如最简单的线性回归中求广义逆矩阵，也就是伪逆。

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Randomized SVD 算法介绍与实现

之前的文章《矩阵奇异值分解法SVD介绍》中详细介绍了SVD分解算法，本文的Randomized SVD分解算法是在SVD算法基础上实现的，下面将详细介绍该算法的原理。...，从而得到A的近似基Q Stage 2 1.构建低维矩阵B，满足： 2.计算低维矩阵B的SVD分解，使得从1中的公式我们可以看到，B是一个k+p行n列的矩阵，相比初始矩阵A(mn)，B的行数非常小...其次Randomized SVD算法的关键就在于对原始矩阵的降维，从算法一、二到三我们可以看出，这就需要原始分布式矩阵右乘一个本地矩阵Ω，这在spark上是比较容易实现的。...A右乘以R的逆得到根据以上公式我们可以看到，当把分布式的矩阵A划分成多个本地矩阵，并对每个本地矩阵进行QR分解，以及整合他们的R矩阵再进行QR分解就可以并行的获得最终的R矩阵。...，并据此采用2.2节中的方式进行计算。

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R 语言中的矩阵计算

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8段代码演示Numpy数据运算的神操作

Numpy是Python中众多机器学习库的依赖，这些库通过Numpy实现基本的矩阵计算，Python的OpenCV库自然也不例外。...例如最终结果[1,8,81]可以表示为： # [1*1,2*2*2,3*3*3*3] np.linalg.pinv(matrix_a) ''' 求矩阵的逆矩阵，方法pinv()求的是伪逆矩阵，结果为...： array([[-2. , 1. ], [ 1.5, -0.5]]) 不使用伪逆矩阵的算法，直接使用逆矩阵的方法是inv()，即 np.linalg.inv(matrix_a) 结果相同...在推荐系统的实现过程中，就用到了矩阵分解算法。例如主流的开源大数据计算引擎Spark在ml机器学习库中通过ALS算法实现了推荐系统，也有的推荐系统采用SVD算法来实现整套系统中的矩阵分解过程。...仔细的读者可能会注意到，为什么这里使用SVD算法生成的矩阵U与VT是相同的。大家可能会注意到在上面的代码片段中，为何多了一个生成矩阵another_matrix的过程。

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关于SVD的应用详解

奇异值的计算 ? 为方阵，求这个方阵的特征值的平方根对应为矩阵A的奇异值。同样的SVD还可以用来求解伪逆，这里推荐一篇博客。 SVD矩阵分解后 ?...奇异值σ跟特征值类似，在矩阵Σ中也是从大到小排列，而且σ的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了。...SVD分解不仅能减少存储量和计算量，并且这三个矩阵还有着十分明确的物理含义。第一个矩阵X中的每一行表示意思相关的一类词，其中的每个非零元素表示这类词中每个词的重要性（或者说相关性），数值越大越相关。...所以如果我们要想进行协同过滤，需要经过向量相似度计算，而用户与用户的向量相似度计算或者是项目与项目的向量相似度计算都要涉及到获得用户的潜在特征向量和项目的潜在特征向量，而SVD的矩阵分解获得U矩阵和V矩阵的物理的含义无疑就是这样的...当我们拿到一个新的用户u3时，或许u3并没有对所有的项目打分或者是评价，那么这个行向量就是稀疏的，也就说N个元素的行向量中为0的元素非常多，我们希望能用协同过滤的方法推测出用户u3对这些缺失值的评分情况

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HDR关键技术：逆色调映射

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入门 | 奇异值分解简介：从原理到基础机器学习应用

计算奇异值分解 3. 根据 SVD 重建矩阵 4. 用于伪逆的 SVD 5....运行这个示例会显示原来的 3×3 矩阵和根据 SVD 元素直接重建的版本。 ? 用于伪逆的 SVD 伪逆（pseudoinverse）是将方形矩阵的矩阵求逆泛化应用到行数和列数不相等的矩形矩阵上。...当 A 的列数大于行数时，那么使用伪逆求解线性方程是众多解决方案中的一种。 ——《Deep Learning》，2016 年，第 46 页伪逆表示为 A^+，其中 A 是被求逆的矩阵，+ 是上标。...伪逆是使用 A 的奇异值分解计算的： ? 或者，没有点符号： ? 其中 A^+ 是 A 的伪逆，D^+ 是对角矩阵 Sigma 的伪逆，U^T 是 U 的转置。...我们可以通过 SVD 采用人工的方式计算伪逆，并将结果与 pinv() 函数的结果进行比较。首先我们必须计算 SVD。然后我们必须计算 s 数组中每个值的倒数。

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【机器学习】在向量的流光中，揽数理星河为衣，以线性代数为钥，轻启机器学习黎明的瑰丽诗章

线性代数入门：机器学习零基础小白指南欢迎讨论：如果你在阅读过程中对某些公式或内容有疑问，欢迎在评论区留言，大家一起交流进步！点赞、收藏与分享：觉得这篇文章对你有帮助吗？...) 3.4 矩阵的伪逆 3.4.1 什么是伪逆？...伪逆矩阵（Pseudo-Inverse）是逆矩阵的推广，用于处理非方阵或奇异矩阵。对于一个矩阵 A ，伪逆记为 A^+ 。...3.4.2 伪逆的计算方法伪逆可以通过 SVD 计算： A^+ = V \Sigma^+ U^T 其中 \Sigma^+ 是对奇异值矩阵的伪逆。...np.linalg.pinv(A) print("伪逆矩阵:\n", A_pinv) 四、矩阵在机器学习中的应用 4.1 数据表示特征矩阵：存储样本的特征数据，每一行表示一个样本，每一列表示一个特征。

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8种用Python实现线性回归的方法，究竟哪个方法最高效？

由于机器学习库scikit-learn的广泛流行，常用的方法是从该库中调用linear_model来拟合数据。...这里给出函数的详细描述。对于简单的线性回归来说，可以选择1维函数。但是如果你想拟合更高维的模型，则可以从线性特征数据中构建多项式特征并拟合模型。...如果a是方阵且满秩，则x（四舍五入）是方程的“精确”解。你可以使用这个方法做一元或多元线性回归来得到计算的系数和残差。一个小诀窍是，在调用函数之前必须在x数据后加一列1来计算截距项。...一个需要牢记的小技巧是，必须手动给数据x添加一个常数来计算截距，否则默认情况下只会得到系数。以下是OLS模型的完整汇总结果的截图。结果中与R或Julia等统计语言一样具有丰富的内容。...由下式给出：这里有两个选择： (a)使用简单的乘法求矩阵的逆 (b)首先计算x的Moore-Penrose广义伪逆矩阵，然后与y取点积。

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通俗易懂的讲解奇异值分解(SVD)和主成分分析(PCA)

这些步骤看起来是不是很熟悉… 的确，通过对对称矩阵AAᵀ和AᵀA进行奇异值分解，这个结果看起来几乎与对对称矩阵进行特征分解是相同的。...我们现在可以将任何矩阵分解成两个正交矩阵和一个对角矩阵，其中矩阵U的维度为m×r，对角阵Σ的维度为r×r和矩阵V的维度为r×n，其并且矩阵A的秩为r。...需要额外说明的是：所有奇异值的平方和与数据集的总体方差相等。 ? ? ? 对协方差矩阵A采用下式进行计算： ?...1.矩阵A是经过标准化后的矩阵，它的均值为0；2.m是样本数量从直观上可看出，总方差=协方差矩阵AᵀA的迹=矩阵AᵀA的特征值之和=奇异值平方之和。...通过奇异值分解得到的u即是n维空间中的主成分，第i个主成分的重要性可由下式计算所得（通过计算在方差中的比例来确定）： ?

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图解AI数学基础 | 线性代数与矩阵论

向量化的方式可以帮助AI算法在迭代与计算过程中，以更高效的方式完成。 3.矩阵（Matrix）矩阵是二维数组，其中的每一个元素被两个索引确定。矩阵在机器学习中至关重要，无处不在。...L2范数是我们最常用的范数，欧氏距离就是一种L2范数。 AI中的应用：在机器学习中，L1范数和L2范数很常见，比如『评估准则的计算』、『损失函数中用于限制模型复杂度的正则化项』等。...AI中的应用：SVD最有用的一个性质可能是拓展矩阵求逆到非方矩阵上。而且大家在推荐系统中也会见到基于SVD的算法应用。...Pseudoinverse] 但是计算伪逆的实际算法没有基于这个式子，而是使用下面的公式： \boldsymbol{A}^{+}=\boldsymbol{U} \boldsymbol{D}^{+} \...\boldsymbol{D}的伪逆\boldsymbol{D}^{+}是其非零元素取倒之后再转置得到的。

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