文章目录 1、算法思想 2、代码实现 1、算法思想 最近老是碰到迭代问题，小数太多手算又算不过来，写个矩阵乘法辅助一下吧。 有两个矩阵A和B，计算矩阵A与B相乘之后的结果C。...矩阵A的行等于C的行，矩阵B的列等于C的列，这两个数值用来控制循环的次数，但是每一步中需要把行和列中对应的乘机求和，所以再加一个内循环控制乘法求和就行。...下面我们进行矩阵乘法的测试 A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\\ 1 & 1& 1 \end{bmatrix} B= \...class Multiply { /** * 矩阵乘法 * * @param x1 第一个矩阵 * @param x2 第二个矩阵 */...[lineLength][listLength];//相乘的结果矩阵 //乘法 for(int i=0;i<lineLength;i++){ for
大数据计算中经常会遇到矩阵乘法计算问题，所以Mapreduce实现矩阵乘法是重要的基础知识，下文我尽量用通俗的语言描述该算法。...1.首先回顾矩阵乘法基础 矩阵A和B可以相乘的前提是，A的列数和B的行数相同，因为乘法结果的矩阵C中每一个元素Cij，是A的第i行和B的第j列做点积运算的结果，参见下图： 2.进入正题 在了解了矩阵乘法规则后...通过分析上述矩阵乘法过程我们可以发现，其实C矩阵的每一个元素的计算过程都是相互独立的，比如C11和C21的计算不会相互影响，可以同时进行。...这个所谓的“归到一组”，结合MR模型和矩阵乘法规则，其实就是Map将这些元素输出为相同的Key---C矩阵中元素的坐标，然后通过Shuffle就能把所有相同Key的元素输入到Reduce中，由Reduce...注意，这里是一对多的，每个A或者B的元素都会参与多个C元素的计算，如果不明白请再看第一遍矩阵乘法规则。
内容很简单，就是在CPU上实现单精度矩阵乘法。看了一下，结果非常好：CPU的利用率很高。更可贵的是核心代码只有很短不到200行。 之前总觉得自己很了解高性能计算，无外乎就是“局部性+向量”随便搞一搞。...但是嘴上说说和实际实现自然有很大差别。看完了大佬的代码觉得受益匪浅，在这里总结了一下，当作自己的读书笔记了。...所以我们的问题如下：输入是棕色矩阵A和蓝色矩阵B，求红色矩阵C ? 我们知道一般矩阵乘法就是一堆循环的嵌套，这个也不例外。在代码里，最外层结果是输出矩阵的行遍历。...又因为会有向量化的操作，所以最终结果是：最外层的循环每次算4行输出（PS：这里面的4是固定的，并不是我为了方便随便设的）。 就是下面的情况： ?...还剩一个，我们先把A的第一行第一列的数字读出来，把它复制8份拓展成一个ymm，然后和这三个B的ymm作element-wise的乘法，把结果累加到ymm0~ymm2里。 现在发现这个算法的精妙了么？
矩阵是二维数组，而向量是一维数组，内置函数matmul不能实现矩阵与向量的乘法运算。在这一点Fortran不如matlab灵活。 Fortran如何实现矩阵与向量的乘法运算，现有以下三种方法供参考。...数组c的第一列就是需要的计算结果。 spread(B,2,2)就是按列扩展，成为二维数组 ? 三)利用dot_product函数。...现在的软件发展趋势，越来越多的基础服务能够“开箱即用”、“拿来用就好”，越来越多的新软件可以通过组合已有类库、服务以搭积木的方式完成。...这是趋势，将来不懂开发语言的人都可以通过利用现有软件组件快速构建出能解决实际问题的软件产品。...对程序员来讲，在一开始的学习成长阶段，造轮子则具有特殊的学习意义，学习别人怎么造，了解内部机理，自己造造看，这是非常好的锻炼。每次学习新技术都可以用这种方式来练习。
上篇笔记里(基于硅光芯片的深度学习)提到：深度学习中涉及到大量的矩阵乘法。今天主要对此展开介绍。 我们先看一下简单的神经元模型，如下图所示， ?...可以看出函数f的变量可以写成矩阵乘法W*X的形式。对于含有多个隐藏层的人工神经网络，每个节点都会涉及矩阵乘法，因此深度学习中会涉及到大量的矩阵乘法。 接下来我们来看一看矩阵乘法如何在光芯片上实现。...而对角矩阵Sigma也可以通过衰减器等方法实现。因此，矩阵M就可以通过光学方法实现。MIT研究组的深度学习光芯片如下图所示，其中红色对应幺正矩阵，蓝色对应对角矩阵。 ?...通过多个MZ干涉器级联的方法，可以实现矩阵M，矩阵元对应深度学习中的连接权与阈值。...需要注意的是，激活函数f并没有在光芯片上实现，而是将信号输入进PC, 由PC实现激活函数，产生输出结果，进而调整矩阵M, 最终得到满足要求的学习模型。
实现两个N*N矩阵的乘法，矩阵由一维数组表示。...for(int j=0;j<cols;j++) 6 result[i][j]=mat1[i][j]+mat2[i][j]; 7 } 8 } 若两个矩阵要做乘法运...：只有在一个矩阵的行数与另一个矩阵的列数相同时，才能做两个矩阵的乘法。...如何得到矩阵的转置： 矩阵的转置也是一个矩阵，原始矩阵中的行转变为转置矩阵的列。...例如，有下述一个3×3矩阵： 1 2 3 6 7 8 4 5 9 那么它的转置矩阵为： 1 6 4 2 7 5 3 8 9 让我们从程序员的角度仔细地考察一下这一现象。
张量与张量网络 张量（Tensor）可以理解为广义的矩阵，其主要特点在于将数字化的矩阵用图形化的方式来表示，这就使得我们可以将一个大型的矩阵运算抽象化成一个具有良好性质的张量图。...在使用张量的形式来表示单个矩阵的同时，我们需要考虑如果有多个矩阵的乘法运算，我们该如何表示？...以上图中的 (a) 为例，一个 2\times2 的矩阵乘以一个 2\times1 的矢量，一共需要4次乘法运算，而由M和v所构成的张量网络一共有2条腿，那么4次的乘法预算符合 O(d^2) 的计算复杂性...相关的复杂性除了理论推导，用numpy.einsum的功能模块也可以实现程序判断： import numpy as np M = np.random.rand(2, 2) v = np.random.rand...然后再次使用numpy.einsum来进行验证。
网络剪枝 我们先来看看当前深度学习平台中，卷积层的实现方式，其实当前所有的深度学习平台中，都是以矩阵乘法的方式实现卷积的(如图1左侧)： 网络裁枝有两个大问题需要考虑： image.png 第二，若无规律的删掉一些连接...在当前的很多对低秩估计的研究中，笔者认为奇怪的一点是：对矩阵分解后，将分解后的矩阵乘法又转回成卷积操作，例如上式中将原参数矩阵分解成3个小矩阵，那么在实现中就是用3个卷积来实现分解后的矩阵乘法。...笔者认为这种操作实际上是增加了计算量，因为卷积需要经过im2col过程才可以转变成矩阵乘法，所以为什么不直接实现新的层或Op来做3个矩阵乘法呢？那么相对于用卷积实现，其实是少了2个im2col的过程。...模型量化 无论是网络裁枝，还是低秩估计，我们从矩阵乘法入手(图1很重要)，想方设法将参与计算的矩阵变小，直观地减少参数量和计算量。...总结 本文介绍了比较常见的4种卷积神经网络压缩和加速方法，其中网络裁枝与低秩估计的方法从矩阵乘法角度，着眼于减少标量乘法和加法个数来实现模型压缩和加速的；而模型量化则是着眼于参数本身，直接减少每个参数的存储空间
观察一下可以断言，若矩阵函数F是矩阵X经加减乘法、行列式、逆、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对F求微分，再做向量化并使用技巧将其它项交换至左侧，即能得到导数。...可以对做向量化来证明，一方面，；另一方面，。 接下来演示一些算例。 例1：，是矩阵，求。 解：先求微分：，再做向量化，使用矩阵乘法的技巧，注意在dX右侧添加单位阵：，对照导数与微分的联系得到。...为求，先求微分：，再做向量化，使用转置和矩阵乘法的技巧，对照导数与微分的联系，得到，注意它是对称矩阵。在X是对称矩阵时，可简化为。 例3：，是，是，是矩阵，为逐元素函数，求。...解：先求微分：，再做向量化，使用矩阵乘法的技巧：，再用逐元素乘法的技巧：，再用矩阵乘法的技巧：，对照导数与微分的联系得到。 例4【一元logistic回归】：。其中是取值0或1的标量，,是向量。...为求，先求微分：定义，，这里需要化简去掉逐元素乘法，第一项中 ，第二项中，故有，其中 ，代入有，做向量化并使用矩阵乘法的技巧，得到。 最后做个总结。
因此，研究社区在高效逼近矩阵乘法方面已经做了大量工作，比如实现高速矩阵乘法库、设计自定义硬件加速特定矩阵的乘法运算、计算分布式矩阵乘法以及在各种假设下设计高效逼近矩阵乘法（AMM）等。...这些结果表明，相较于最近重点进行了大量研究与硬件投入的稀疏化、因式分解和 / 或标量量化矩阵乘积而言，研究者所提方法中的核心操作——哈希、求平均值和 byte shuffling 结合可能是更有前途的机器学习构建块...对于有网友提到的「该研究在硬件实现方面似乎很有发展前景」，一作本人现身 reddit 并给出了回复：「我们的编码表示是密集矩阵，所以布局和访问模式看上去基本与 GEMM 内核相同，也就意味着可以很容易地使用脉动阵列或修正张量核心来实现...简而言之，这些方法使用线性函数对 A 和 B 进行预处理，并将问题简化为低维空间中的精确矩阵乘法。 该研究提出 MADDNESS 方法 ，该方法采用非线性预处理函数，将问题简化为查表。...然而，该研究没有使用太多的乘 - 加量化函数，而是引入了一系列不需要乘 - 加的量化函数。
矩阵乘法 任何现代机器学习模型的主体都是矩阵乘法。...而这很可能会导致，模型在训练时使用的格式与推理中使用的差异巨大。 目前，市面上有很多工具可以实现格式的转换。...- LLM.int8()将大部分权重，除了一小部分异常值，转换成INT8格式 - GPTQ利用权重矩阵的二阶信息来实现更精细的量化处理 - Smoothquant采用一种数学上等价的变换方法，来减少异常的激活值...虽然可以将激活函数的梯度量化为INT8格式（例如使用SwitchBack或AQT技术），但权重梯度至今仍难以进行这样的量化，因此它必须保持在FP16或者是特殊格式的 FP8（1,5,2）中。...硬件厂商 在量化技术这一领域，无论是HuggingFace的模型量化工具，还是硬件供应商们，都在为了实现更低的比特数、更高的准确率和更好的能效而不懈努力。
这样的操作天然体现一种并行化的结构，可以使用和输出节点大小相同的GPU核心排布来计算每一个输出的节点，下图演示了一个简单的实现。 工作组优化除了卷积外，还可以通过全局指标计算和负载调整来优化。...首先通过一个例子来看全局指标计算，假如有一个6X6的输入矩阵，相对矩阵所有元素做累加和，一个方法是使用一个节点采样所有64个数据然后累加，另一个方法是将矩阵进行分组，然后累加各个分组的和以计算整体数据，...此外还可以通过量化手段进行优化，比如当问题空间是基于float32进行预算时，可以将float32空间量化成int8空间，也就是通过降低精度来实现高效的、大规模的计算。...矩阵乘法天然具有子问题结构，可以通过加速子问题结构来实现整体的优化。...如图所示，当要计算绿色块时，可以看做是A的某些行和B的某些列根据矩阵乘法得到的，形象的看就是如紫色行拿出一块，黄色列拿出一块，这两个块按照矩阵法进行运算从而贡献了的绿色块的一部分，这个小型的输入是可以塞入到
《FlattenQuant》方法中引入的4比特矩阵乘法可以有效解决由大型矩阵计算引起的计算受限问题。作者的工作使LLM实现了高达2倍的速度提升和2.3倍的内存减少，同时精度损失几乎可以忽略不计。...然而，这些细粒度的量化方法在张量内部使用不同的缩放因子，这可能会阻止线性层的计算直接使用低比特矩阵乘法，从而降低了推理速度。...上述论述强调了通过减少位宽来解决大规模矩阵乘法中的计算限制性难题的可能性。 在使用细粒度量化方法时，面临的一个挑战是量化单元与矩阵乘法计算的兼容性问题。...作者基于CUTLASS INT8和INT4 GEMM Kernel 实现了量化线性层和批量矩阵乘法（BMM）函数，用于INT8和INT4。...另外，展平操作后的最终通道数被填充为32的倍数，以对齐矩阵乘法块。
传统的算法如预计算的隐式 GEMM（一般矩阵-矩阵乘法）最优化为大规模输出矩阵，而它的默认并行化策略并不能启用足够的线程块，因此批量大小在输出矩阵的一个维度中是一个乘法因子。...这些设备提供高效的内存块载入以优化卷积和一般矩阵-矩阵乘法，这些对边缘设备上快速和高能效的推理都是极其重要的。...量化（Quantization）极大地降低了最重要推理计算（矩阵乘法）的硬件占用和能耗。...指令集包括优化的 CISC 指令以从内存读取数据块和权值块，同时还优化了矩阵乘法或数据和权重的卷积以累和中间结果，应用硬连接的激活函数和将结果写入内存。...可配置的、可编程的三个硬件单元：矩阵乘法器单元、标准缓存和激活单元驱动了这些特殊设计的指令高效执行。矩阵乘法器单元是一个大规模并行矩阵处理器，它能在单个时钟周期内进行成百上千次矩阵运算（乘法和加法）。
因此，卷积神经网络中的有效推理问题很大程度上可以看做矩阵乘法的有效实现问题——在线性代数库中也称为 GEMM。...因此，它的目的是删除所有计算非必需的内存转换。 ? 在量化矩阵-矩阵乘法中，8 位整数的乘积通常会被累加至 32 位的中间结果中，随后重新量化以产生 8 位的输出。...vector-by-scalar 乘法，因此研究中使用的是向量乘法以及额外的命令 (VEXT.8 on AArch32, EXT on AArch64)，以旋转矩阵 A 中的向量；三，在 8-bit...元素上执行乘法，则无法在乘法之前减去零点（减去后结果的宽度是 9bit），需要预计算 A 的行的总和以在重新量化之前调整累加的 32-bit 结果。...对于每个输出像素，im2col 复制输入图像的图像块并将其计算为 2D 矩阵。
有的方法如2-bit/3-bit权重网络和bit-shifit网络，它们把权重限制为0或者，即把乘法操作用二进制移位来实现。但在某些硬件上，二进制移位实现并不比乘法，加法好。...4、每一块卷积求和，注意int32_accumulator求和有溢出的风险，可以换成固定点小数乘法。...3.1.2 纯整数算术矩阵乘法 从公式(1)可以看到，每个中的实数都表示带有一对参数和的实数。...则对实数矩阵，做乘法，其结果矩阵的每个实数可以用下面的公式表示： 这个公式可以重写为： 其中： 可以看到是式子(3)中唯一不是整数的值，并且经验发现的值总是在中，所以可以将表示为下面的式子： 其中是非负整数...将weights和input执行矩阵乘法后加上bias，公式表达为： 得到了int32之后的结果后需要再次转换成int8类型(反量化)，之后再执行激活函数的操作。 4.
最近，清华朱军团队提出了一种使用INT4算法实现所有矩阵乘法的Transformer训练方法。 使用超低INT4精度进行训练，是非常具有挑战性的。...这种MM形式，可以让我们设计更灵活的量化器，通过利用Transformer中激活、权重和梯度的特定结构，就可以更好地近似于FP32矩阵乘法。...为了抑制异常值，他们提出了Hadamard量化器，它会对激活矩阵的变换版本进行量化。这种变换是块对角Hadamard矩阵，它将离群值中携带的信息传播到矩阵的邻近条目，从而缩小了离群值的数值范围。...Transformer中的所有线性运算都可以写成矩阵乘法(MM)的形式。 为了便于表述，本文考虑以下简单矩阵乘法的加速： 这种MM的最主要用例是全连接层。...对于注意力层，可能需要批量矩阵乘法(BMMS)。 我们提出的技术可以应用于BMMS。
3 背景 量化可以通过降低卷积或全连接层中矩阵乘法因子的精度来减少推理时间和功耗。量化可能导致质量下降，因此QAT被用来恢复质量并确保模型的鲁棒性。...作者介绍了一种新颖的方法，其中同时应用了QAT和重参数化，通过在合并的重参数化块上执行伪量化来实现。 选项1-3是基于公认的模型量化方法，而选项4是作者的新颖方法，专为重参数化模型的量化而设计。...4.1 RepQ：带重参化的量化感知训练 让作者先考虑这样一个场景，即在重参数化块中没有使用BN。...[20, 21]中也提出了一种类似的程序来实现仅使用整数算法的量化。在作者的情况下，折叠BN将任务简化为第4.1节中描述的无BN情况。...1\times 1 卷积可以看作是一个大小为 [B\cdot H\cdot D, IN] 的输入 X 和大小为 [IN, OUT] 的权重 W 的矩阵乘法。
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