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Pytorch中.backward()方法

再次提到这些文档: torch.autograd是一个计算向量-可比引擎。即给定任意向量v,计算其乘积J@v.T注:@表示矩阵乘法 一般来说,雅可比矩阵是一个全偏导数矩阵。...如果我们考虑函数y它有n维输入向量x它有m维输出。然后计算包含以J表示所有偏导数可比矩阵: ? v为backword函数提供外梯度。...当输出张量为标量时,则v_vector大小为1,即torch.tensor([1.]),可以用值1代替。这样就得到了完整可比矩阵,也就是J@v。...T = J 但是,当输出张量是非标量时,我们需要传递外部梯度向量v,得到梯度计算可比向量积,即J@v.T 在这里,对于F = a*b在a = [10.0, 10.0] b =[20.0, 20.0]...为了积累非叶子节点梯度,我们可以使用retain_grad方法如下: ? 在一般情况下,我们损失值张量是一个标量值,我们权值参数是计算图叶子节点,所以我们不会得出上面讨论误差条件。

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【干货】理解深度学习中矩阵运算

注意通过符号来巩固你理解是非常重要。特别注意诸如矢量形状(长或高),标量或矢量,矩阵尺寸等。矢量用粗体字表示。没有经验的人可能不会注意到粗体f和斜体f字体之间差异,但这在等式中有很大差异。...回顾一下,f(x)是标量函数使用简单导数规则),f(x)是向量变量x(使用向量运算规则)标量函数,f(x)是许多向量标量函数,每个函数依赖于输入x向量(使用矩阵微积分规则)。...本文演示了如何计算简单函数导数,以及多元函数偏导数(∂/∂x),矢量演算中梯度∇f函数和和矩阵演算中可比矩阵J。差不多可以说,∇f(x)函数是矢量形式f偏导数集合。...第一个假设是向量x基数等于f中标量函数个数。这提供了一个方形雅可比矩阵。...假设元素对角线性质使可比行列式(由第一个假设制成方形)变成对角矩阵,所有非对角线项都为零。 论文接下来几节将解释计算更复杂函数导数过程。函数可以从简单到复杂有几种方式。

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概率建模和推理标准化流 review2021

最后,在第6节中讨论了常见应用场景。 符号说明:我们使用粗体符号表示向量(小写)和矩阵(大写),否则变量是标量。我们用Pr(·)表示概率,用p(·)表示概率密度。...符号∇θ表示梯度算子,它收集了函数相对于参数集θ中所有偏导数,即 对于K维参数。函数 可比矩阵表示为 。最后,我们用符号x ∼ p(x)表示从分布p(x)中采样或模拟变量x。 2....我们始终可以使用D次前向模式或反向模式自动微分来计算具有D个输入和D个输出可微函数可比矩阵。然后,我们可以明确计算该可比行列式行列式。...因此,在接下来章节中,我们将描述函数形式,使得可比行列式计算时间与输入维度呈线性关系。 为了简化符号,从现在开始,我们将省略模型参数对k依赖,并用 表示模型。...另外,上面所写可比行列式在数学上没有多大意义,因为批量归一化现在是整个批次函数

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一文读懂深度学习中矩阵微积分,fast.ai创始人&ANTLR之父出品

深度学习所需矩阵微积分 先来看一眼这篇教程都涵盖了哪些内容: 基本概念 矩阵微积分 神经元激活梯度 神经网络损失函数梯度 ? 文章开篇,先介绍了一下人工神经元。 ?...神经网络中单个计算单元激活函数,通常使用权重向量w与输入向量x点积来计算。 神经网络由许多这样单位组成。它们被组织成称为层神经元集合。...比如在矩阵微积分这一节中,涵盖: 可比式(Jacobian)推广 向量element-wise二元算子导数 涉及标量展开导数 向量和降维 链式法则 ?...每一小节中,都有简洁明了示例,由浅入深,层层递进。 如果你在学习过程中遇到不理解地方,不要着急,耐心返回上一节阅读,重新演算一下文中示例,或许就能理顺思路。...如果实在是卡住了无法推进,你还可以在fast.ai论坛(链接见文末)“Theory”分类下提问,向Parr和Howard本人求解答。 而在文章末尾,作者附上了所有数学符号对照表。 ?

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ICCV 2021 | 用于无监督图像生成解耦正交可比正则化

OroJaR通过约束输入各维在输出引起变化之间正交特性来实现模型解耦,并使用输出对输入可比矩阵表示这种变化。...但其使用max函数将约束从标量函数推广到向量函数,独立约束输出各个值使得其不能很好解耦一些空间相关变化(如,形状、大小、旋转等)。...在论文中,作者使用可比向量 表示输入第维在输出中引起变化,同时为了实现解耦,作者约束输入各维对应可比向量相互正交, 两个向量正交也意味着它们是不相关,即输入各维所引起变化是独立。...考虑所有输入维度,作者提出了正交可比正则化(OroJaR),来帮助模型学习到解耦特征: 其中 表示 对z输入可比矩阵, 表示逐元素乘积。I表示单位阵, 表示全1矩阵。...2.2近似训练加速 实际训练时,公式 (2)中雅可比矩阵计算是非常耗时

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深度 | BP表达式与硬件架构:相似性构建更高效计算单元

根据链式法则,目标函数导数可以根据矩阵乘法形式写为: ? 其中,链式乘法中每一项都是雅可比矩阵(Jacobian matrix)。...为了计算目标函数导数,我们需要乘以这些雅可比矩阵。因此这种链式矩阵乘法维度就可以可视化为以下形式: ?...其次我们需要考虑如何具体地计算这些矩阵运算而不使用构建雅可比矩阵。这是非常重要,因为模型特征数量 m 可能是几万数量级,这意味着雅可比矩阵可能有数十亿元素。...为了简化表达,我们将计算生成中间值(即激活值)记为 A: ? 通过上图,我们将目标函数导数写为: ? 因为损失函数可比矩阵只是简单地转置输入矩阵,因此我们可以写为: ?...为了进一步简化,令 b 指代向量-可比乘积(即 backwards()、Left operator、grad_func),使用 Hadamard 乘积符号表示元素对应乘积。

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打破「反向传播」垄断,「正向自动微分」也能计算梯度,且训练时间减少一半

正向模式 给定一个函数 f: θ∈R n,v∈R n,正向模式AD会计算 f(θ) 和可比向量乘积Jf (θ) v,其中Jf (θ) ∈R m×n是f在θ处评估所有偏导数可比矩阵,v是扰动向量...值得注意是,正向模式在一次正向运行中同时评估了函数 f 及其可比向量乘积 Jf v。此外,获得 Jf v 不需要计算可比向量Jf,这一特点被称为无矩阵计算。...反向模式 给定一个函数 f : R n → R m,数值 θ∈R n,v∈R m,AD反向模式会计算f(θ)和可比向量乘积v |Jf (θ),其中Jf∈R m×n是f在θ处求值所有偏导数可比矩阵...请注意,v |Jf 是在一次前向-后向评估中进行计算,而不需要计算可比Jf 。 运行时间成本 两种AD模式运行时间以运行正在微分函数 f 所需时间恒定倍数为界。...将标量方向导数∇f(θ)-v与矢量v相乘,得到g(θ),即正向梯度。 图 1 显示了 Beale函数几个正向梯度评估结果。

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「笔记」PyTorch预备知识与基础操作

向量 矩阵 张量 向量是标量推广,矩阵是向量推广,张量是任意维度推广。...我们将在后续章节中讲到,我们也可以使用矩阵向量乘积来描述在给定前一层值时计算神经网络每一层所需要计算。在代码中使用张量表示矩阵向量积,我们使用与点积相同 dot 函数。...分别是函数 ? 自变量和因变量。以下表达式是等价: ? 其中符号 ? 和 ? 是_微分运算符_,表示_微分_操作。我们可以使用以下规则来对常见函数求微分: ? ( ?...向量积计算 现在我们来看一个可比向量积例子: In [38]: x = torch.randn(3, requires_grad = True) In [39]: y = x * 2 In [40...torch.autograd 不能直接计算完整可比矩阵,但是如果我们只想要可比向量积,只需将这个向量作为参数传给 backward: In [43]: v = torch.tensor([0.1,

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tf.quantization

如果对模式进行缩放,则不使用输出类型全范围,而是选择省略对称最小可能值(例如,输出范围是-127到127,而符号8位量化输出范围不是-128到127),因此0.0映射到0。...返回值:张量对象元组(backprops_wrt_input、backprop_wrt_min、backprop_wrt_max)。...name:操作名称(可选)。返回值:张量对象元组(backprops_wrt_input、backprop_wrt_min、backprop_wrt_max)。...如果对模式进行缩放,则不使用输出类型全范围,而是选择省略对称最小可能值(例如,输出范围是-127到127,而符号8位量化输出范围不是-128到127),因此0.0映射到0。...signed_input:如果量化是带符号或无符号,则为真。num_bits:量子化位宽。

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Jacobian矩阵和Hessian矩阵

希望看过此文后,你对这两类矩阵有一个更深刻理解。 在向量分析中,雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成矩阵,其行列式称为可比行列式....雅可比矩阵可比矩阵重要性在于它体现了一个可微方程与给出点最优线性逼近. 因此, 雅可比矩阵类似于多元函数导数 。 假设 是一个从欧式n维空间转换到欧式m维空间函数。...在此情况下, 由F(p)描述线性算子即接近点pF最优线性逼近, x逼近于p: 可比行列式 如果m=n,那么F是从n维空间到n维空间函数,且它可比矩阵是一个方块矩阵。...于是我们可以取它行列式,称为可比行列式。 在某个给定点可比行列式提供了在接近该点时表现重要信息。 例如, 如果连续可微函数F在p点可比行列式不是零,那么它在该点附近具有反函数。...矩阵, 而是每一步时候使用梯度向量更新hessian矩阵近似。

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hesse矩阵和jacobi矩阵_安索夫矩阵和波士顿矩阵区别Jacobian矩阵和Hessian矩阵

Jacobian矩阵和Hessian矩阵 发表于 2012 年 8 月 8 日 1. Jacobian 在向量分析中, 雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成矩阵, 其行列式称为可比行列式....雅可比矩阵可比矩阵重要性在于它体现了一个可微方程与给出点最优线性逼近. 因此, 雅可比矩阵类似于多元函数导数....可比行列式 如果m = n, 那么FF是从n维空间到n维空间函数, 且它可比矩阵是一个方块矩阵. 于是我们可以取它行列式, 称为可比行列式....在某个给定点可比行列式提供了 在接近该点时表现重要信息. 例如, 如果连续可微函数FF在pp点可比行列式不是零, 那么它在该点附近具有反函数. 这称为反函数定理....而从可比行列式绝对值, 就可以知道函数FF在pp点缩放因子;这就是为什么它出现在换元积分法中.

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可逆神经网络(Invertible Neural Networks)详细解析:让神经网络更加轻量化

可逆神经网络 可逆网络具有的性质: 网络输入、输出大小必须一致。 网络可比行列式不为 0。 1.1 什么是可比行列式?...可比行列式通常称为可比式(Jacobian),它是以 n 个 n 元函数偏导数为元素行列式 。...事实上,在函数都连续可微(即偏导数都连续)前提之下,它就是函数微分形式下系数矩阵(即雅可比矩阵行列式。若因变量对自变量连续可微,而自变量对新变量连续可微,则因变量也对新变量连续可微。...顺便提一下,flow-based Model 优化损失函数如下: 其实这里跟矩阵运算很像,矩阵可逆条件也是矩阵可比行列式不为 0,雅可比矩阵可以理解为矩阵一阶导数。...1.3.4 可比行列式计算 其编码公式如下: 其解码公式如下: 为了计算雅可比矩阵,我们更直观写成下面的编码公式: 它可比矩阵为: 其实上面这个可比行列式也是1,因为这里 ,

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pytorch 要点之可比向量积

可比向量积(Jacobian Vector Product) 雅可比矩阵描述了一个向量值函数导数。在深度学习中,我们通常不需要完整可比矩阵,而是只对可比向量积感兴趣。...可比向量积是一个向量和一个向量乘积,其中第一个向量是函数导数,第二个向量是任意向量。 PyTorch中autograd模块提供了autograd.grad函数,使我们能够计算可比向量积。...下面是一个简单例子,演示了如何使用可比向量积: import torch # 定义一个变量 x = torch.tensor([2.0], requires_grad=True) # 定义一个函数...可比向量积在训练神经网络中起到关键作用,特别是在使用优化算法进行参数更新时。它能够高效地计算梯度,提高训练速度和稳定性。 结论 PyTorch中自动微分和可比向量积是深度学习中不可或缺工具。...通过这篇博客,我们深入了解了如何在PyTorch中使用自动微分,并了解了可比向量积基本概念和应用。 这些技术使得模型训练更加简单和高效,为深度学习发展提供了强大支持。

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Free-form Flows比扩散模型提升两个数量级

诀窍是通过编码器和解码器可比一对向量-可比可比-向量乘积来估计编码器可比行列式梯度,这些乘积在标准自动微分软件库中很容易获得。...证明是通过直接应用可比公式,见附录A.1。这本身并不是一个简化,因为等式(3)右侧现在涉及到计算雅可比矩阵及其逆矩阵。...通过函数矩阵求逆矩阵 Matrix inverse via function inverse 为了计算J−1 θ v,我们注意到,当fθ是可逆时,fθ可比矩阵矩阵是逆函数f−1 θ可比矩阵...这意味着J−1 θ v只是一个与向量v可比矩阵f−1 θ点积。这个可比-向量乘积可以通过前向自动微分很容易地获得。...虽然这在这个简单例子中可能不重要,但在更高维度情况下,其中相邻区域可比矩阵可能是不一致(如果特征值有不同符号),能够穿越雅可比矩阵奇异区域而不必克服过大梯度障碍是有益

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GANs正在多个层面有所突破

矢量场 是一个简单函数, ,输入为矢量 并输出具有相同维数另一矢量 。 我们经常使用矢量场是标量函数梯度,例如 其中 可以是训练对象,能量或损失函数。这些类型矢量场是非常特别的。...它们被称为收敛矢量场,可以简单解释为“没有什么太复杂因子”。标量函数梯度和收敛矢量场是一对一映射:当且仅当向量v是收敛时候,则存在标量φ梯度等于v。...类似地,不可能将卷积矢量场表示为标量函数梯度。 一个坏消息是,即使旋度场在 处具有平衡点,同步梯度下降算法也将永远发现不了。...雅可比矩阵是矢量场导数,对于收敛矢量场,它被称为海森矩阵或二阶导数(译者注:关于雅可比矩阵和海森矩阵可以参阅网络资料——http://jacoxu.com/jacobian%E7%9F%A9%E9%...与总是对称海森矩阵不同,非收敛场可比是非对称,它可以具有复杂特征值。例如旋度场可比矩阵是 其特征值完全是虚构+ i和-i。

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有限元法在非线性偏微分方程中应用

: 此处,待求解因变量 u 在 Rn上为一维函数时,m、d、a、f 为标量,α、γ 和 β 为 n 维向量,c 为 n*n 矩阵。...另外,从等式(13)计算残差 r 时,左侧出现可比矩阵 ∇·Γ '(u0) – F '(u0) 计算量很大,这极大地影响了整体计算时间。...因此,在 Wolfram 语言中,当应用非线性 FEM 时,将使用仿射协变牛顿法(Affine Covariant Newton)代替 Newton-Raphson 法,并且在允许范围内可以重复使用上一步中可比法...从而显著减少可比计算次数。 对于时间相关积分,可以通过离散化空间维度以获得方程组(矩阵),然后将其作为关于时间常微分方程,从而应用各种计算方法。...由此,在等式(10)中只有 z 分量是有效,它是标量 u = Az PDE: 对于磁导率 μ(B),使用根据以下测量数据拟合方程。

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【深度学习】翻译:60分钟入门PyTorch(二)——Autograd自动求导

背景介绍 神经网络(NNs)是作用在输入数据上一系列嵌套函数集合,这些函数由权重和误差来定义,被存储在PyTorch中tensors中。...梯度是雅可比矩阵: 一般来说,torch.autograd是一个计算可比向量积引擎。也就是说,给定任何向量?=(?1?2...??)?,计算乘积?⋅?。如果?恰好是标量函数梯度?=?(?⃗...),即 然后根据链式法则,可比向量乘积将是?相对于?⃗ 梯度 可比向量积这种特性使得将外部梯度馈送到具有非标量输出模型中非常方便。external_grad 代表 ....,通过从根节点到叶节点跟踪这个图,您可以使用链式法则自动计算梯度。...值得注意是图是重新开始创建; 在调用每一个``.backward()``后,autograd开始填充一个新图,这就是能够在模型中使用控制流语句原因。

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