和化项法：递推公式为Sn=f(n)Sn=f(n)或Sn=f(an)Sn=f(an)一般利用 an={S1，Sn−Sn−1，当n=1当n>=2an={S1，当n=1Sn−Sn−1，当n>=2 用特征方程求解递推方程...类似的，我们也可以用迭代法求解汉诺塔递归求解时的时间复杂度。但遗憾的是，迭代法一般适用于一阶的递推方程。...（这里省略快速排序算法平均复杂度T(n)的求解过程） 小结：上面6种递推关系是高中、本科知识，在此重点介绍了迭代法，其它几种方法虽未在本篇中使用，但可以加深对递推式求解的认识。...总结：递归树模型求解递归方程，本质上就是迭代思想的应用，利用递归方程迭代展开过程构造对应的递归树，然后把每层的时间代价进行求和。...这里我们只考虑最长常见的递归形式，形如：T(n)=c1T(n-1)+c2T(n-2)+c3T(n-3)+…+ckT(n-k)+f(n)，其中c1,c2,…ck为常数且不等于0；我们对该方程的求解如下：
实际上，这个问题是数学上求解渐近阶的问题，而递归方程的形式多种多样，其求解方法也是不一而足，比较常用的有以下四种方法： (1)代入法(Substitution Method) 代入法的基本步骤是先推测递归方程的显式解...(2)迭代法(Iteration Method) 迭代法的基本步骤是迭代地展开递归方程的右端，使之成为一个非递归的和式，然后通过对和式的估计来达到对方程左端即方程的解的估计。...一、代入法 大整数乘法计算时间的递归方程为：T(n) = 4T(n/2) + O(n)，其中T(1) = O(1)，我们猜测一个解T(n) = O(n2 )，根据符号O的定义，对n>n0，有...二、迭代法 某算法的计算时间为：T(n) = 3T(n/4) + O(n)，其中T(1) = O(1)，迭代两次可将右端展开为： T(n) = 3T(n/4) + O(n)...，这是一个递归方程，我们可以写出迭代i次后的方程： T(n) = O(n) + 3( O(n/4) + 3( O(n/42 ) + ... + 3( n/4i + 3T(n/4i+1 ) )
文章目录 1.问题描述 2.难度等级 3.热门指数 4.解题思路 5.递归实现 5.1 时间复杂度 5.2 空间复杂度 6.迭代法 6.1 C++ 6.2 Golang 7.矩阵法 8.问题拓展 8.1...一阶差分： \Delta y_t=y_{t+1}-y_t=f(t+1)-f(t) 二阶差分： 差分方程的定义： 含有自变量 t 和两个或两个以上的函数值 y_t,y_{t+1},......很明显是 O(2^n) 。也就是说斐波那契数列递归求解的算法时间复杂度是 O(2^n ) 。 关于斐波那契数列递归求解的期间复杂度我们简化其求解过程，按照如下方式求解。...6.迭代法 递归实现虽然简单易于理解，但是 O(2^n) 的时间复杂度和 O(n) 的空间却让人无法接受，下面采用迭代的方式来实现，时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(1)。...n-1); } // 迭代法 // 时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)。
3.递归实现 有了初始状态和状态转移方程，那么编程实现求解就不难了，参考下面的递归实现。...： 含有自变量t和两个或两个以上的函数值yt,yt+1,......很明显是O(2n)O(2^n)。也就是说斐波那契数列递归求解的算法时间复杂度是O(2n)O(2^n )。 关于斐波那契数列递归 求解的期间复杂度我们简化其求解过程，按照如下方式求解。...4.迭代实现 递归实现虽然简单易于理解，但是O(2n)O(2^n)的时间复杂度和O(n)的空间却让人无法接受，下面迭代法的具体实现，比较简单，就不再赘述实现步骤。...递归等式如下： image.png 6.2具体实现 递归等式是一个以2为公比的等比数列，所以递归和迭代实现起来都比较简单，参考如下： //递归法 //时间复杂度O(n),空间复杂度O(n) int
当n=1，很明显： T(1)=O(1) T(1)=O(1) 当n>1时为递归情况，需要将原数组划分为2个规模为n/2个元素的子数组进行求解，因此每个子数组求解时间为T(n/2)。...因此，对于递归的情况，我们有： T(n)=2T(n/2)+O(n) T(n)=2T(n/2)+O(n) 组合上面两个公式，得到求解最大子数组的运行时间T(n)的递归式： T(n)={O(1...),n=12T(n/2)+O(n),n>1 T(n)=\left\{ \begin{aligned} O(1) \hspace{2.4cm}, n=1\\ 2T(n/2)+O(n),n>1\end{...此递归式与归并排序的递归式一样，求解递归式的时间复杂度可以采用《算法导论中》中文第三版的4.5中提出的方法，可快速求解上面递归式的时间复杂度T(n)=O(nlgn)。...但是我建议应该以数学的方式去精确求解T(n)的表达式，求解的方法可见：解递归方程。
一.递归（Recursion） 1.递归：以相似的方式重复自身的过程 2.递归在程序中表现为：在函数的定义中直接或间接调用函数自身 3.递归和循环： （1）递归是有去（递去）有回（归来），因为存在终止条件...： （1）问题的定义是按递归定义的（Fibonacci函数，阶乘，…）； （2） 问题的解法是递归的（有些问题只能使用递归方法来解决，例如，汉诺塔问题，…）； （3） 数据结构是递归的（链表、树等的操作...，包括树的遍历，树的深度，…） 7.递归的优缺点 （1）递归的优点：简洁，容易处理问题，代码可读性高 （2）时间和空间消耗大 8.递归式求解的基本方法 （1）代换法 1.猜对答案 2.用数学归纳法求解常系数...，并验证递归式解的正确性 例：已知： T（n）= O（n lgn） 则计算 ： （2）递归树 （3）主方法：不是所有情况都包括 二.迭代 1.迭代：是一种为了逼近所需目标或结果...4.迭代和递归 （1）迭代：函数内某段代码实现循环，函数调用时使用前一次循环的返回值作为初始值，A调用B，使5用计数器结束循环 （2）递归：重复调用自身实现循环，A调用A，设置结束条件 （3）递归中一定有迭代
例题：解递归方程T(n)=3T(n/4)+cn2。假设n为4的幂。 递归树的构造过程如下： 分析： 图(a)表示T(n)。 图(b)表示对T(n)进行扩展，形成与递归方程等价的一棵树。...例题： T(n)=2T(n/2)+n-1 T(n)=kn-(2k-1)=nlogn-n+1=O(nlogn) 主方法 主方法(master method)为我们提供了解如下形式递归方程的一般方法。...3、算法应易于理解，易于编码，易于调试等。 主定理 简述递归方程 T(n)=4T(n/2)+n 是否可以使用主方法来进行求解。...使用主方法求解递归方程 T(n)=4T(n/2)+n，需写出满足主定理的哪一种情形。 解：由递归方程可得，a=4，b=2 且 f(n)=n。...因此， 使用递归树方法求解递归方程 T(n)=2T(n/2)+n-1，需画出完整的递归树。 写出矩阵链乘问题的递归方程。
算法设计关于递归方程T(n)=aT(n/b)+f(n)之通用解法 在算法设计中经常需要通过递归方程估计算法的时间复杂度T(n)，本文针对形如T(n)=aT(n/b)+f(n)的递归方程进行讨论，以期望找出通用的递归方程的求解方式...3. f(n)=w(nx+e)，e＞0且对于某个常数c＜1和所有充分大的n有af(n/b)≤cf(n)，那么T(n)=O(f(n))。 然而，Master定理并没有完全包括所有的f(n)的情况。...注意到条件1和3中的e总是大于0的，所以在条件1和2、条件2和3之间存在所谓的“间隙”，使得某些f(n)在该情况下不能使用该定理。...因此，我们需要找到在Master定理不能使用的情况下如何解递归方程的比较通用的办法——递归树。 经过分析，递归树解法包含了Master定理，但是Master定理可以方便的判断出递归方程的解。...综上所述，可以得出以下结论：在针对形如T(n)=aT(n/b)+f(n)的递归方程求解方法里，使用递归树是一种比较可行的通用办法。
，不可行； （2）如果没有太大的把握，工程中尽量少使用递归，容易把自己玩死； 二、正推法 从斐波那契数列的定义： f(0) = 0; f(1) = 1; f(n) = f(n-1) + f(n-2) n...线性递推数列： f(n) = f(n-1) + f(n-2) 对应的特征方程是： x^2 = x + 1 求解特征方程得到： x1=(1+√5)/2 x2=(1-√5)/2 于是得到： f(n) = a1...那么，带入通项公式求解，时间复杂度是多少呢？是O(1)么？ 通项公式的计算，并不能O(1)得到，而是一个a^n，即power(a, n)的求解过程。 那么，如何求解a的n次方呢？...不不不，稍安勿躁，上面讲的都是思路，求解a^n，可以使用之前文章里说过的减治法。 还记得分治法与减治法的区别么？...^n，O(lg(n))； （5）打表法，O(1)，空间换时间； 画外音：注意，面试现场求解通项公式，有可能会吓到面试官，请慎用。
5.将11（或12）枚分成3/4/4（或4/4/4），称量3/3，方法同上。 6.将剩下的3（或4）分为1/1/1（或1/1），称量1/1，若平衡，则剩下的一枚是假币，若不平衡，轻的是假币。...递归求解：递归调用求解各个子问题。 合并问题：合并子问题的解，形成原始问题的解。...缺点：需要辅助数组，所需空间复杂度为O(n)。...move(m-1,y,x,z); //再将整体代换的m-1个金片从Y移至Z } ---- 7 总结 分治法实际上就是类似于数学归纳法，找到解决本问题的求解方程公式，然后根据方程公式设计递归程序。...一定是先找到最小问题规模时的求解方法，然后考虑随着问题规模增大时的求解方法找到求解的递归函数式后（各种规模或因子），设计递归程序即可。
总结一下，大致可以分为这样的三步： 分解：将原问题划分成形式相同的子问题，规模可以不等，对半或2/3对1/3的划分。...这里引出了一个如何求解子问题的问题，显然是采用递归调用栈的方式。因此，递归式与分治法是紧密相连的，使用递归式可以很自然地刻画分治法的运行时间。...总结：这种方法需要经验的积累，可以通过转换为先前见过的类似递归式来求解。 递归树法： 起因：代换法有时很难得到一个正确的好的猜测值。 用途：画出一个递归树是一种得到好猜测的直接方法。...递归树法： 1）、对递归式T(n) = 3T(n/2) +ｎ，利用递归树确定一个好的渐近上界，用代入法进行验证。 ?...2）、对递归式T(n) = T(n/2) + n2，利用递归树确定一个好的渐近上界，用代入法进行验证。 ? 主方法： 1）、对于下列递归式，使用主方法求出渐近紧确界。
如果「只是简单的将状态转移方程转换成递归的代码就会带来严重的效率问题」。 ---- 使用缓存的递归代码 为了避免重复计算，一个常用的解决办法就是将「已经求解过的问题的结果保存下来」。...1]; 用一个for循环根据状态转移方程逐一求解f(2)到f(n-1) 时间复杂度和空间复杂度都是O(n) ---- 空间复杂度为O(1)的迭代代码 用一个长度为n的数组将所有f(i)的结果都保存下来。...状态转移方程要求i大于或等于2，因此函数helper单独处理了i分别等于0和1的特殊情况 ---- 空间复杂度为O(n)的迭代代码 「递归代码」是采用「自上而下」的处理方式，我们也可以选择使用「自下而上...[i-1],dp[i-2]+nums[i]) } return dp[nums.length-1] } ---- 空间复杂度为O(1)的迭代代码 在空间复杂度为O(n)的迭代代码中发现，计算dp...「每种硬币可以使用任意多枚」 输入：coins = [1, 2, 5], t = 11 输出：3 11 = 5 + 5 + 1 。
问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。...用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有： T（n）= k T(n/m)+f(n) 通过迭代法求得方程的解： 递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(...六、可使用分治法求解的一些经典问题 （1）二分搜索 （2）大整数乘法 （3）Strassen矩阵乘法 （4）棋盘覆盖 （5）合并排序 （6）快速排序 （7）线性时间选择 （8）最接近点对问题 （9）循环赛日程表...（10）汉诺塔 七、依据分治法设计程序时的思维过程 实际上就是类似于数学归纳法，找到解决本问题的求解方程公式，然后根据方程公式设计递归程序。...1、一定是先找到最小问题规模时的求解方法 2、然后考虑随着问题规模增大时的求解方法 3、找到求解的递归函数式后（各种规模或因子），设计递归程序即可。
问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。...如果原问题可分割成k个子问题，1n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。...用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有： T（n）= k T(n/m)+f(n) 通过迭代法求得方程的解： 递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值...---- 六、可使用分治法求解的一些经典问题 （1）二分搜索 （2）大整数乘法 （3）Strassen矩阵乘法 （4）棋盘覆盖 （5）合并排序 （6）快速排序...1、一定是先找到最小问题规模时的求解方法 2、然后考虑随着问题规模增大时的求解方法 3、找到求解的递归函数式后（各种规模或因子），设计递归程序即可。
动态规划的实现方法通常有两种： 自顶向下的递归方法：使用递归公式从一般到特殊解决问题，通常需要配合记忆化来避免重复计算，又称记忆化搜索。...自底向上的迭代方法：从最简单的子问题开始，逐步构建复杂问题的解。 深度优先搜索： 算法介绍： 深度优先搜索（Depth-First Search，简称DFS）是一种用于遍历或搜索树或图的算法。...基本步骤： DFS通常使用递归或栈来实现。以下是DFS的基本步骤： 选择起始点：选择图中的一个点作为起始点。 访问节点：标记起始节点为已访问，并将该节点加入递归或栈中。...递归或迭代：对每个未访问的邻接节点，将其标记为已访问，然后将其推入递归或栈中。 回溯：当当前节点的所有邻接节点都被访问后，递归中回溯/从栈中弹出该节点，继续搜索上一个点的其他分支。...可以验证当 N=3，K=2 时，7 分就是可以得到的连续的邮资最大值，MAX=7，面值分别为 1 分、3 分。 输入格式 2 个整数，代表 N，K。 输出格式 输出共 2 行。
例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。...如果原问题可分割成k个子问题，1n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。...用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有： T（n）= k T(n/m)+f(n) 通过迭代法求得方程的解： 递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为...实际上就是类似于数学归纳法，找到解决本问题的求解方程公式，然后根据方程公式设计递归程序。...一定是先找到最小问题规模时的求解方法 然后考虑随着问题规模增大时的求解方法 找到求解的递归函数式后（各种规模或因子），设计递归程序即可。
，该问题变得很简单，能够直接求解 - 设计一个策略，用于将一个问题划分为一个或多个一步步接近递归出口的相似的规模更小的子问题 - 将所解决的各个小问题的解组合起来，即可得到原问题的解 设计递归算法需要注意以下几个问题...每个递归求解的问题规模如何缩小？ 多大规模的问题可作为递归出口？ 随着问题规模的缩小，能到达递归出口吗？ 递归设计实例 1....P[1 ... n] else for j1 to n do if P[j]=0 then P[j]<-m Perm2(m-1) P[j]<-0 递归方程求解...公式法 对于下列形式的递归方程 - T(n) = aT(n/b) + f(n) - 其中 a >= 1, b > 1是常数，f(n)是一个渐进正函数，可以使用公式法(Master Method...) 方便快捷地求得递归方程地解 将一个规模为n的问题划分成a个规模为n/b的子问题，其中a和b为正常数，分别递归地解决a个子问题，解每个子问题所需时间为T(n/b)，划分原问题和合并子问题的解所需的时间由
迭代法的基本步骤是先将递归算法简化为对应的递归方程，然后通过反复迭代，将递归方程的右端变换成一个级数，最后求级数的和，再估计和的渐进阶。 1> 例：n!...算法的递归方程为： T(n) = T(n - 1) + O(1); 迭代展开： T(n) = T(n - 1) + O(1) = T(n...3> 例：如下递归方程： T(n) = 2T(n/2) + O(n), 且假设n=2的k次方。...上面介绍的3种递归调用形式，比较常用的是第一种情况，第二种形式也有时出现，而第三种形式(间接递归调用)使用的较少，且算法分析比较复杂。... 递归方程为：T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + n 为了更好的理解，先画出递归过程相应的递归树： n
✨欧拉函数 在C语言中，可以使用算法来计算欧拉函数（Euler's Totient Function）。欧拉函数，也被称为φ函数，用于计算小于或等于给定数字n的正整数中与n互质的数的个数。..., base, exponent, result); return 0; } 在上述代码中，fastExponentiation函数使用了迭代的方式来计算幂运算。...函数使用递归的方式来实现扩展欧几里得算法。...扩展欧几里得算法 ： ✨中国剩余定理 在C语言中，可以使用中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）来求解一组同余方程组的解。...中国剩余定理是一种在模数互质的情况下求解同余方程组的有效方法。
357^{-1} 357−1 mod 1234 (3)计算 gcd(57,93)，并找出整数s和t，使得57s+93t=gcd(57,93) (4）求解下列同余方程组...题，可以使用linearEquation函数完成对于线性等式a * s + p * t = gcd（a，p）的求解。...---- 3.对于（4）题求解同余方程组，可以采用不断合并方程的方式完成求解。...int main() { int n, b1, m1; bool tf = true; printf("请输入方程组的个数："); scanf("%lld", &n);...printf("请分别输入方程组的参数：\n"); scanf("%lld%lld", &b1, &m1); for (int u = 2; u n; u++) {
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