使用迭代或代换求解递归方程T(n) = T(n/3) +O(1

递归方程是一种用于描述递归算法时间复杂度的数学方程。对于给定的递归方程T(n) = T(n/3) + O(1)，其中T(n)表示规模为n的问题的解所需的时间复杂度。

这个递归方程可以使用迭代或代换的方法来求解。下面是使用迭代法求解的步骤：

首先，我们可以观察到每次递归调用的规模都是原来的1/3，即n/3。因此，我们可以通过不断将n除以3，直到n小于等于1为止，来迭代地计算递归方程的解。
接下来，我们需要确定每次迭代所需的时间复杂度。根据递归方程中的O(1)，我们可以假设每次递归调用的时间复杂度为常数级别。
在每次迭代中，我们将n除以3，并将结果作为下一次迭代的输入。同时，我们将每次迭代所需的时间复杂度累加起来。
当n小于等于1时，迭代结束。此时，累加得到的时间复杂度即为递归方程的解。

根据以上步骤，我们可以得到递归方程T(n) = T(n/3) + O(1)的解为O(log3(n))。

这个递归方程描述了一个问题规模为n的递归算法的时间复杂度。它的优势在于能够清晰地描述递归算法的时间复杂度，并且可以通过简单的迭代计算得到解。

在实际应用中，这个递归方程可以用于评估递归算法的时间复杂度，并帮助开发人员进行性能优化。例如，在设计算法时，可以根据递归方程的解来选择合适的数据结构或算法策略，以提高算法的效率。

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递归算法时间复杂度分析

和化项法：递推公式为Sn=f(n)Sn=f(n)或Sn=f(an)Sn=f(an)一般利用 an={S1，Sn−Sn−1，当n=1当n>=2an={S1，当n=1Sn−Sn−1，当n>=2 用特征方程求解递推方程...类似的，我们也可以用迭代法求解汉诺塔递归求解时的时间复杂度。但遗憾的是，迭代法一般适用于一阶的递推方程。...（这里省略快速排序算法平均复杂度T(n)的求解过程）小结：上面6种递推关系是高中、本科知识，在此重点介绍了迭代法，其它几种方法虽未在本篇中使用，但可以加深对递推式求解的认识。...总结：递归树模型求解递归方程，本质上就是迭代思想的应用，利用递归方程迭代展开过程构造对应的递归树，然后把每层的时间代价进行求和。...这里我们只考虑最长常见的递归形式，形如：T(n)=c1T(n-1)+c2T(n-2)+c3T(n-3)+…+ckT(n-k)+f(n)，其中c1,c2,…ck为常数且不等于0；我们对该方程的求解如下：

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实际上，这个问题是数学上求解渐近阶的问题，而递归方程的形式多种多样，其求解方法也是不一而足，比较常用的有以下四种方法： (1)代入法(Substitution Method) 代入法的基本步骤是先推测递归方程的显式解...(2)迭代法(Iteration Method) 迭代法的基本步骤是迭代地展开递归方程的右端，使之成为一个非递归的和式，然后通过对和式的估计来达到对方程左端即方程的解的估计。...一、代入法大整数乘法计算时间的递归方程为：T(n) = 4T(n/2) + O(n)，其中T(1) = O(1)，我们猜测一个解T(n) = O(n2 )，根据符号O的定义，对n>n0，有...二、迭代法某算法的计算时间为：T(n) = 3T(n/4) + O(n)，其中T(1) = O(1)，迭代两次可将右端展开为： T(n) = 3T(n/4) + O(n)...，这是一个递归方程，我们可以写出迭代i次后的方程： T(n) = O(n) + 3( O(n/4) + 3( O(n/42 ) + ... + 3( n/4i + 3T(n/4i+1 ) )

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青蛙跳台阶

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3.递归实现有了初始状态和状态转移方程，那么编程实现求解就不难了，参考下面的递归实现。...：含有自变量t和两个或两个以上的函数值yt,yt+1,......很明显是O(2n)O(2^n)。也就是说斐波那契数列递归求解的算法时间复杂度是O(2n)O(2^n )。关于斐波那契数列递归求解的期间复杂度我们简化其求解过程，按照如下方式求解。...4.迭代实现递归实现虽然简单易于理解，但是O(2n)O(2^n)的时间复杂度和O(n)的空间却让人无法接受，下面迭代法的具体实现，比较简单，就不再赘述实现步骤。...递归等式如下： image.png 6.2具体实现递归等式是一个以2为公比的等比数列，所以递归和迭代实现起来都比较简单，参考如下： //递归法 //时间复杂度O(n),空间复杂度O(n) int

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最大子数组问题

当n=1，很明显： T(1)=O(1) T(1)=O(1) 当n>1时为递归情况，需要将原数组划分为2个规模为n/2个元素的子数组进行求解，因此每个子数组求解时间为T(n/2)。...因此，对于递归的情况，我们有： T(n)=2T(n/2)+O(n) T(n)=2T(n/2)+O(n) 组合上面两个公式，得到求解最大子数组的运行时间T(n)的递归式： T(n)={O(1...),n=12T(n/2)+O(n),n>1 T(n)=\left\{ \begin{aligned} O(1) \hspace{2.4cm}, n=1\\ 2T(n/2)+O(n),n>1\end{...此递归式与归并排序的递归式一样，求解递归式的时间复杂度可以采用《算法导论中》中文第三版的4.5中提出的方法，可快速求解上面递归式的时间复杂度T(n)=O(nlgn)。...但是我建议应该以数学的方式去精确求解T(n)的表达式，求解的方法可见：解递归方程。

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递归和迭代

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编程实现“斐波那契数列”的5种方法！ | 经典面试题

，不可行；（2）如果没有太大的把握，工程中尽量少使用递归，容易把自己玩死；二、正推法从斐波那契数列的定义： f(0) = 0; f(1) = 1; f(n) = f(n-1) + f(n-2) n...线性递推数列： f(n) = f(n-1) + f(n-2) 对应的特征方程是： x^2 = x + 1 求解特征方程得到： x1=(1+√5)/2 x2=(1-√5)/2 于是得到： f(n) = a1...那么，带入通项公式求解，时间复杂度是多少呢？是O(1)么？通项公式的计算，并不能O(1)得到，而是一个a^n，即power(a, n)的求解过程。那么，如何求解a的n次方呢？...不不不，稍安勿躁，上面讲的都是思路，求解a^n，可以使用之前文章里说过的减治法。还记得分治法与减治法的区别么？...^n，O(lg(n))；（5）打表法，O(1)，空间换时间；画外音：注意，面试现场求解通项公式，有可能会吓到面试官，请慎用。

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算法设计关于递归方程T(n)=aT(nb)+f(n)之通用解法

算法设计关于递归方程T(n)=aT(n/b)+f(n)之通用解法在算法设计中经常需要通过递归方程估计算法的时间复杂度T(n)，本文针对形如T(n)=aT(n/b)+f(n)的递归方程进行讨论，以期望找出通用的递归方程的求解方式...3. f(n)=w(nx+e)，e＞0且对于某个常数c＜1和所有充分大的n有af(n/b)≤cf(n)，那么T(n)=O(f(n))。然而，Master定理并没有完全包括所有的f(n)的情况。...注意到条件1和3中的e总是大于0的，所以在条件1和2、条件2和3之间存在所谓的“间隙”，使得某些f(n)在该情况下不能使用该定理。...因此，我们需要找到在Master定理不能使用的情况下如何解递归方程的比较通用的办法——递归树。经过分析，递归树解法包含了Master定理，但是Master定理可以方便的判断出递归方程的解。...综上所述，可以得出以下结论：在针对形如T(n)=aT(n/b)+f(n)的递归方程求解方法里，使用递归树是一种比较可行的通用办法。

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经典优化算法之分治法（Divide-and-Conque Algorithm）

5.将11（或12）枚分成3/4/4（或4/4/4），称量3/3，方法同上。 6.将剩下的3（或4）分为1/1/1（或1/1），称量1/1，若平衡，则剩下的一枚是假币，若不平衡，轻的是假币。...递归求解：递归调用求解各个子问题。合并问题：合并子问题的解，形成原始问题的解。...缺点：需要辅助数组，所需空间复杂度为O(n)。...move(m-1,y,x,z); //再将整体代换的m-1个金片从Y移至Z } ---- 7 总结分治法实际上就是类似于数学归纳法，找到解决本问题的求解方程公式，然后根据方程公式设计递归程序。...一定是先找到最小问题规模时的求解方法，然后考虑随着问题规模增大时的求解方法找到求解的递归函数式后（各种规模或因子），设计递归程序即可。

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算法导论第四章分治策略剖根问底（二）

总结一下，大致可以分为这样的三步：分解：将原问题划分成形式相同的子问题，规模可以不等，对半或2/3对1/3的划分。...这里引出了一个如何求解子问题的问题，显然是采用递归调用栈的方式。因此，递归式与分治法是紧密相连的，使用递归式可以很自然地刻画分治法的运行时间。...总结：这种方法需要经验的积累，可以通过转换为先前见过的类似递归式来求解。递归树法：起因：代换法有时很难得到一个正确的好的猜测值。用途：画出一个递归树是一种得到好猜测的直接方法。...递归树法： 1）、对递归式T(n) = 3T(n/2) +ｎ，利用递归树确定一个好的渐近上界，用代入法进行验证。 ?...2）、对递归式T(n) = T(n/2) + n2，利用递归树确定一个好的渐近上界，用代入法进行验证。 ? 主方法： 1）、对于下列递归式，使用主方法求出渐近紧确界。

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JS算法之动态规划

如果「只是简单的将状态转移方程转换成递归的代码就会带来严重的效率问题」。 ---- 使用缓存的递归代码为了避免重复计算，一个常用的解决办法就是将「已经求解过的问题的结果保存下来」。...1]; 用一个for循环根据状态转移方程逐一求解f(2)到f(n-1) 时间复杂度和空间复杂度都是O(n) ---- 空间复杂度为O(1)的迭代代码用一个长度为n的数组将所有f(i)的结果都保存下来。...状态转移方程要求i大于或等于2，因此函数helper单独处理了i分别等于0和1的特殊情况 ---- 空间复杂度为O(n)的迭代代码「递归代码」是采用「自上而下」的处理方式，我们也可以选择使用「自下而上...[i-1],dp[i-2]+nums[i]) } return dp[nums.length-1] } ---- 空间复杂度为O(1)的迭代代码在空间复杂度为O(n)的迭代代码中发现，计算dp...「每种硬币可以使用任意多枚」输入：coins = [1, 2, 5], t = 11 输出：3 11 = 5 + 5 + 1 。

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分治法

问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。...用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有： T（n）= k T(n/m)+f(n) 通过迭代法求得方程的解：递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(...六、可使用分治法求解的一些经典问题（1）二分搜索（2）大整数乘法（3）Strassen矩阵乘法（4）棋盘覆盖（5）合并排序（6）快速排序（7）线性时间选择（8）最接近点对问题（9）循环赛日程表...（10）汉诺塔七、依据分治法设计程序时的思维过程实际上就是类似于数学归纳法，找到解决本问题的求解方程公式，然后根据方程公式设计递归程序。...1、一定是先找到最小问题规模时的求解方法 2、然后考虑随着问题规模增大时的求解方法 3、找到求解的递归函数式后（各种规模或因子），设计递归程序即可。

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五大常用算法之一：分治算法

问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。...如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。...用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有： T（n）= k T(n/m)+f(n) 通过迭代法求得方程的解：递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值...---- 六、可使用分治法求解的一些经典问题（1）二分搜索（2）大整数乘法（3）Strassen矩阵乘法（4）棋盘覆盖（5）合并排序（6）快速排序...1、一定是先找到最小问题规模时的求解方法 2、然后考虑随着问题规模增大时的求解方法 3、找到求解的递归函数式后（各种规模或因子），设计递归程序即可。

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五大常用算法：分治算法

例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。...如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。...用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有： T（n）= k T(n/m)+f(n) 通过迭代法求得方程的解：递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为...实际上就是类似于数学归纳法，找到解决本问题的求解方程公式，然后根据方程公式设计递归程序。...一定是先找到最小问题规模时的求解方法然后考虑随着问题规模增大时的求解方法找到求解的递归函数式后（各种规模或因子），设计递归程序即可。

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递归算法复杂度Ω分析-分享

迭代法的基本步骤是先将递归算法简化为对应的递归方程，然后通过反复迭代，将递归方程的右端变换成一个级数，最后求级数的和，再估计和的渐进阶。例：n!...算法的递归方程为： T(n) = T(n - 1) + O(1); 迭代展开： T(n) = T(n - 1) + O(1) = T(n... 例：如下递归方程： T(n) = 2T(n/2) + O(n), 且假设n=2的k次方。...上面介绍的3种递归调用形式，比较常用的是第一种情况，第二种形式也有时出现，而第三种形式(间接递归调用)使用的较少，且算法分析比较复杂。... 递归方程为：T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + n 为了更好的理解，先画出递归过程相应的递归树： n

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递归

，该问题变得很简单，能够直接求解 - 设计一个策略，用于将一个问题划分为一个或多个一步步接近递归出口的相似的规模更小的子问题 - 将所解决的各个小问题的解组合起来，即可得到原问题的解设计递归算法需要注意以下几个问题...每个递归求解的问题规模如何缩小？多大规模的问题可作为递归出口？随着问题规模的缩小，能到达递归出口吗？递归设计实例 1....P[1 ... n] else for j<-1 to n do if P[j]=0 then P[j]<-m Perm2(m-1) P[j]<-0 递归方程求解...公式法对于下列形式的递归方程 - T(n) = aT(n/b) + f(n) - 其中 a >= 1, b > 1是常数，f(n)是一个渐进正函数，可以使用公式法(Master Method...) 方便快捷地求得递归方程地解将一个规模为n的问题划分成a个规模为n/b的子问题，其中a和b为正常数，分别递归地解决a个子问题，解每个子问题所需时间为T(n/b)，划分原问题和合并子问题的解所需的时间由

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算法基础学习笔记——⑭欧拉函数快速幂扩展欧几里得算法中国剩余定理

✨欧拉函数在C语言中，可以使用算法来计算欧拉函数（Euler's Totient Function）。欧拉函数，也被称为φ函数，用于计算小于或等于给定数字n的正整数中与n互质的数的个数。..., base, exponent, result); return 0; } 在上述代码中，fastExponentiation函数使用了迭代的方式来计算幂运算。...函数使用递归的方式来实现扩展欧几里得算法。...扩展欧几里得算法： ✨中国剩余定理在C语言中，可以使用中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）来求解一组同余方程组的解。...中国剩余定理是一种在模数互质的情况下求解同余方程组的有效方法。

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扩展Euclidean算法求乘法逆原理详解与算法实现

357^{-1} 357−1 mod 1234 (3)计算 gcd(57,93)，并找出整数s和t，使得57s+93t=gcd(57,93) (4）求解下列同余方程组...题，可以使用linearEquation函数完成对于线性等式a * s + p * t = gcd（a，p）的求解。...---- 3.对于（4）题求解同余方程组，可以采用不断合并方程的方式完成求解。...int main() { int n, b1, m1; bool tf = true; printf("请输入方程组的个数："); scanf("%lld", &n);...printf("请分别输入方程组的参数：\n"); scanf("%lld%lld", &b1, &m1); for (int u = 2; u <= n; u++) {

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最大子序列和问题之算法优化

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