数值计算方法 Chapter7. 计算矩阵的特征值和特征向量 0. 问题描述 1. 幂法 1. 思路 2. 规范运算 3. 伪代码实现 2. 反幂法 1. 思路 & 方法 2....实对称矩阵的Jacobi方法 1. 思路 & 方法 2. 伪代码实现 0....而同样的，这里的额外隐性条件就是需要矩阵 是满秩的，否则矩阵不存在逆矩阵，上述方程 可能无解。 2....实对称矩阵的Jacobi方法 1. 思路 & 方法 如前所述，幂法和反幂法本质上都是通过迭代的思路找一个稳定的特征向量，然后通过特征向量来求特征值。...但是，对于一些特殊的矩阵，即实对称矩阵，事实上我们是可以对其全部的特征值进行求解的，一种典型的方法就是Jacobi方法。
Rose小哥今天主要介绍一下MNE中如何用协方差矩阵来处理脑电数据的。 MNE中的许多方法，包括源估计和一些分类算法，都需要根据记录进行协方差估计。...在本教程中，我们将介绍传感器协方差计算的基础知识，并构建一个噪声协方差矩阵，该矩阵可用于计算最小范数逆解. 诸如MNE的源估计方法需要从记录中进行噪声估计。...在本教程中，我们介绍了噪声协方差的基础知识，并构造了一个噪声协方差矩阵，该矩阵可在计算逆解时使用。 下面我们将结合代码来进行分析。...稍后，可以使用mne.read_cov()将其读回。 还可以使用刺激前的基线来估计噪声协方差。 首先，我们必须构建epoch。 计算协方差时，应该在构建epochs时使用基线校正。...应该如何规范协方差矩阵？ 估计的协方差可能在数值上不稳定，并且倾向于在估计的源振幅和可用样本数之间引起相关性。
主要介绍一下MNE中如何用协方差矩阵来处理脑电数据的。 MNE中的许多方法，包括源估计和一些分类算法，都需要根据记录进行协方差估计。...在本教程中，我们将介绍传感器协方差计算的基础知识，并构建一个噪声协方差矩阵，该矩阵可用于计算最小范数逆解. 诸如MNE的源估计方法需要从记录中进行噪声估计。...在本教程中，我们介绍了噪声协方差的基础知识，并构造了一个噪声协方差矩阵，该矩阵可在计算逆解时使用。 下面我们将结合代码来进行分析。...稍后，可以使用mne.read_cov()将其读回。 还可以使用刺激前的基线来估计噪声协方差。 首先，我们必须构建epoch。 计算协方差时，应该在构建epochs时使用基线校正。...估计的协方差可能在数值上不稳定，并且倾向于在估计的源振幅和可用样本数之间引起相关性。
经验协方差 已知数据集的协方差矩阵与经典 maximum likelihood estimator(最大似然估计) （或 “经验协方差”） 很好地近似，条件是与特征数量（描述观测值的变量）相比，观测数量足够大...样本的经验协方差矩阵可以使用 empirical_covariance 包的函数计算 ， 或者通过 EmpiricalCovariance 使用 EmpiricalCovariance.fit 方法将对象与数据样本拟合...在 scikit-learn 中，该变换（具有用户定义的收缩系数） 可以直接应用于使用 shrunk_covariance 方法预先计算协方差。...换句话说，如果两个特征在其他特征上有条件地独立， 则精度矩阵中的对应系数将为零。这就是为什么估计一个稀疏精度矩阵是有道理的： 通过从数据中学习独立关系，协方差矩阵的估计能更好处理。...然而，在相反的情况下，或者对于非常相关的数据，它们可能在数值上不稳定。 此外，与收敛估算不同，稀疏估计器能够恢复非对角线结构 （off-diagonal structure）。
最小二乘矩阵求解与正则化，最小二乘是最常用的线性参数估计方法，早在高斯的年代，就用开对平面上的点拟合线，对高维空间的点拟合超平面。?...parameters)代价函数关于变元 x 的共轭梯度 令 得到 使得 替代协方差矩阵的直接求逆 的方法常称为...使得奇异的协方差矩阵 求逆变为非奇异矩阵 的求逆，从而大大改善求解非满秩矩阵 的数值稳定性 也就是降低cond条件数的大小。...增加的项对其施加一个惩罚，其得到的解比仅优化 更切合实际 如果矩阵A是满秩矩阵，但存在误差或者噪声是，需要采用与上面相反的做法，就是对上面的协方差矩阵 加上以恶搞很小的扰动矩阵 去干扰，类似于上面的公式...参数 是使得原始目标函数值尽可能小的同时保证 不能太大，在二者取得一个很好的平衡。
之间有更大的正协方差值，因为相近的两个点的函数值也相似，有更强的相关性； 2. 保证协方差矩阵是对称半正定矩阵。根据任意一组样本点计算出的协方差矩阵都必须是对称半正定矩阵。...是人工设定的正参数。用核函数计算任意两点之间的核函数值，得到核函数矩阵K作为协方差矩阵的估计值。 ? 接下来介绍均值函数的实现。可以使用下面的常数函数 ? 最简单的可以将均值统一设置为0 ?...，协方差矩阵为K，它们可以利用样本集 ? 根据均值函数和协方差函数算出。t维列向量k根据 ? 与 ? 使用核函数计算 ? ? 和 ? 同样可以算出。在这里并没有使用到 ?...的值，它们在计算新样本点的条件概率时才会被使用。 多维正态分布的条件分布仍为正态分布。可以计算出在已知 ? 的情况下 ? 所服从的条件分布，根据多维正态分布的性质，它服从一维正态分布 ?...对于前面介绍的均值向量和协方差矩阵分块方案，根据多维正态分布条件分布的计算公式，可以计算出此条件分布的均值和方差。计算公式为 ? 计算均值时利用了已有采样点处的函数值 ? 。μ的值是 ?
这个数据的协方差矩阵如下： ? 严格地讲, 这部分许多关于“协方差”的陈述仅当数据均值为0时成立。下文的论述都隐式地假定这一条件成立。不过即使数据均值不为0，下文的说法仍然成立，所以你无需担心这个。...这些数据现在的协方差矩阵为单位矩阵 I 。我们说，x[PCAwhite] 是数据经过PCA白化后的版本: x[PCAwhite] 中不同的特征之间不相关并且具有单位方差。 白化与降维相结合。...ZCA白化 最后要说明的是，使数据的协方差矩阵变为单位矩阵 I 的方式并不唯一。...正则化 实践中需要实现PCA白化或ZCA白化时，有时一些特征值 λ[i 在数值上接近于0，这样在缩放步骤时我们除以 sqrt(λ[i]) 将导致除以一个接近0的值；这可能使数据上溢 (赋为大数值)或造成数值不稳定...ZCA 白化是一种数据预处理方法，它将数据从 x 映射到 x[ZCAwhite]。 事实证明这也是一种生物眼睛(视网膜)处理图像的粗糙模型。
: 这里，K是协方差核矩阵，其中它的项对应于观察值的协方差函数。...预测是意味着f_bar * ,方差可以从协方差矩阵的对角获得Σ* 。请注意，计算平均值和方差需要对K矩阵进行反演，而K矩阵随训练点数的立方而变化。...结果，所使用的协方差矩阵将具有非零的特征值，但它们将非常非常接近，并且计算机的小的计算精度也开始起作用。这称为数值不稳定性。有多种解决方法： 1)在观测中添加噪声;也就是说添加??...[注，这是广泛使用的方法] 2)对你的GP执行低阶近似;也就是说做一个特征值/特征向量分解并剪辑所有可以忽略的特征值。协方差矩阵现在是低秩的，你可以很容易地反置非零特征值给你一个伪逆的协方差矩阵。...例如，GPy中的GPs就是这样实现的。 计算速度慢 GP需要O（n³）的时间进行训练，因为模型需要O（n³）的矩阵求逆。反转也不稳定；调节误差很大。
但是二者实力相当，一场比赛无法评判孰强孰弱，这样做充满了随机性，丧失了考量的综合性，因此教练组不考虑这种方法。 本次比赛夺金的政治意义重大，需要慎重考虑，稳定性成了教练组判断的另一指标。...，这是一个稳定的概念，不会因为输掉某场比赛就认为这名选手不行了）；X是某个特定的随机变量，也是一个具体的数值，D(X)仅仅是将x=X放置在了一个函数里，最终也可以对得出定值。...协方差的性质： 协方差矩阵 协方差只能处理二维问题，对于三维以上数据，就需要计算多个协方差，然后用矩阵将其组织起来，这就是协方差矩阵。...以三维随机变量(X,Y,Z)为例，其协方差矩阵用∑表示： 需要注意的是，协方差矩阵计算的是不同维度之间的协方差，而不是不同样本之间的。...简单来说，协方差矩阵就是两两计算各维度之间的协方差，看看每两个维度之间的相关情况。
海马网络的经典模型假设AM是通过一种形式的协方差学习来执行的，其中记忆项目之间的关联由学习的协方差矩阵中的条目来表示，该学习的协方差矩阵编码在海马子场CA3中的循环连接中。...在这里，我们表明，尽管这些模型可以执行AM，但它们是以一种不可信和数值不稳定的方式执行的。...我们的模型提供了一种生物学上可行的方法来模拟海马网络，指出了海马在记忆形成和回忆过程中使用的潜在计算机制，该机制基于递归网络结构统一了预测编码和协方差学习。...这些模型共有的一个共同特性是，它们假设海马网络的循环连接通过对协方差矩阵进行编码来支持输入模式的记忆，协方差矩阵代表不同神经元之间的活动如何共同变化。...在这项工作中，我们旨在通过使用一族协方差学习PCN(cov PCN)统一建模AM的两种方法来解决这种二分法，并且在评估这些cov PCN时，我们特别关注数值稳定性和生物学合理性。
量纲差异问题 假设各样本有年龄、工资两个变量，计算欧氏距离（p=2）的时候，(年龄1-年龄2)² 的值要远小于(工资1-工资2)² ，这意味着在不使用特征缩放的情况下，距离会被工资变量（大的数值）主导,...因此，我们需要使用特征缩放来将全部的数值统一到一个量级上来解决此问题。基本的解决方法可以对数据进行“标准化”和“归一化”。...马氏距离定义为： 马氏距离原理是使用矩阵对两两向量进行投影后，再通过常规的欧几里得距离度量两对象间的距离。...当协方差矩阵为单位矩阵，马氏距离就简化为欧氏距离；如果协方差矩阵为对角阵，其也可称为正规化的欧氏距离。...如下公式X，Y的协方差即是，X减去其均值 乘以 Y减去其均值，所得每一组数值的期望（平均值）。 如果两个变量之间的协方差为正值，则这两个变量之间存在正相关，若为负值，则为负相关。
根据协方差矩阵绘制的二维图形，可以找出方差最大和其次大的坐标方向，以及相对应的量级。然后使用这些坐标轴将相应的高斯分布的椭圆图形绘制出来。...在协方差矩阵上添加特定的约束条件后，可能会通过GMM和k-means得到相同的结果。...实践中如果每个类簇的协方差矩阵绑定在一起（就是说它们完全相同），并且矩阵对角线上的协方差数值保持相同，其他数值则全部为0，这样能够生成具有相同尺寸且形状为圆形类簇。...在此条件下，每个点都始终属于最近的中间点对应的类。（达观数据 陈运文） 在k-means方法中使用EM来训练高斯混合模型时对初始值的设置非常敏感。...而对比k-means，GMM方法有更多的初始条件要设置。实践中不仅初始类中心要指定，而且协方差矩阵和混合权重也要设置。可以运行k-means来生成类中心，并以此作为高斯混合模型的初始条件。
，但这种方法就降低了数据之后的相关性。...（原始数据的相关性为正，因为x1增加时，x2也增加；而处理之后的数据的相关性明显降低）第二个要求是每个输入特征具有单位方差，以直接使用 作为缩放因子来缩放每个特征 ，计算公式 ，经过PCA白化处理的数据分布如下图所示...在实验中，我分别计算了原始数据，旋转后数据，PCA白化以及ZCA白化的协方差矩阵，数据用的是UFLDL的实验数据，是个协方差矩阵分别为：??...从上面的4个协方差矩阵可以发现，正如上面所述，旋转之后降低了特征之间的相关性，rotate协方差矩阵的主对角线以为的值都接近零。...4、正则化实践中需要实现PCA白化或ZCA白化时，有时一些特征值 在数值上接近于0，这样在缩放步骤时我们除以将导致除以 一个接近0的值，这可能使数据上溢 (赋为大数值)或造成数值不稳定。
所以 P(X|Y) 也是正态分布的。 好了，我们已经集齐了高斯过程的基本框架，只差一个东西：我们怎么才能建立起这个分布，定义均值μ 和协方差矩阵Σ？方法是：使用核函数 k，具体细节将在下一节具体讨论。...由于核函数描述的是函数值之间的相似度，它便控制了这个拟合函数可能拥有的形状。注意，当我们选择一个核函数时，我们要确保它生成的矩阵遵循协方差矩阵的属性。 核函数被广泛应用于机器学习，比方说支持向量机。...对于每个核函数，我们用 N=25 个呈线性、范围在 [-5,5] 的点生成协方差矩阵。矩阵中的元素显示出点和点之间的协方差，取值在 [0,1] 之间。 ? 上图展示了高斯过程可以使用的各种核函数。...首先，我们得到测试点 X 和训练点 Y 之间的联合分布 P(X,Y)，这是一个维数为∣Y∣+∣X∣的多元高斯分布。下图中可以看到，我们把训练点和测试点拼接到一起，计算对应的协方差矩阵。...增加训练点 (■) 会改变多元高斯分布的维数；通过两两配对核函数的值生成协方差矩阵，结果是一个十二维的分布；在条件作用下，我们会得到一个分布，这个分布可以描述我们对于给定 x 值所预测的函数值。
所以 P(X|Y) 也是正态分布的。 好了，我们已经集齐了高斯过程的基本框架，只差一个东西：我们怎么才能建立起这个分布，定义均值μ 和协方差矩阵Σ？方法是：使用核函数 k，具体细节将在下一节具体讨论。...由于核函数描述的是函数值之间的相似度，它便控制了这个拟合函数可能拥有的形状。注意，当我们选择一个核函数时，我们要确保它生成的矩阵遵循协方差矩阵的属性。 核函数被广泛应用于机器学习，比方说支持向量机。...对于每个核函数，我们用 N=25 个呈线性、范围在 [-5,5] 的点生成协方差矩阵。矩阵中的元素显示出点和点之间的协方差，取值在 [0,1] 之间。 上图展示了高斯过程可以使用的各种核函数。...首先，我们得到测试点 X 和训练点 Y 之间的联合分布 P(X,Y)，这是一个维数为∣Y∣+∣X∣的多元高斯分布。下图中可以看到，我们把训练点和测试点拼接到一起，计算对应的协方差矩阵。...增加训练点 (■) 会改变多元高斯分布的维数；通过两两配对核函数的值生成协方差矩阵，结果是一个十二维的分布；在条件作用下，我们会得到一个分布，这个分布可以描述我们对于给定 x 值所预测的函数值。
C_1 和 C_2 是真实图像的和生成图像的特征向量的协方差矩阵，通常被称为 sigma。 || mu_1-mu_2 ||^2 代表两个平均向量差的平方和。...Tr 指的是被称为「迹」的线性代数运算（即方阵主对角线上的元素之和）。 sqrt 是方阵的平方根，由两个协方差矩阵之间的乘积给出。 矩阵的平方根通常也被写作 M^（1/2），即矩阵的 1/2 次方。...此运算可能会失败，由于该运算是使用数值方法求解的，是否成功取决于矩阵中的值。通常，所得矩阵中的一些元素可能是虚数，它们通常可以被检测出来并删除。...使用 NumPy 数组在 Python 中实现 FID 分数的计算非常简单。 首先，让我们定义一个函数，它将为真实图像和生成图像获得一组激活函数值，并返回 FID 分数。...值得注意的是，TensorFlow 中的官方实现计算元素的顺序稍有不同（可能是为了提高效率），并在加入了矩阵平方根附近的额外检查，以处理可能的数值不稳定性。
自注意力机制先通过三个独立的线性操作得到Q,K,V 然后使用Q,K得到注意力特征图 最后与V相乘 我们着重看计算注意力特征图的部分，Q是一个 的矩阵，转置后的K是一个 。...Gram矩阵和协方差矩阵的联系 未归一化的协方差矩阵可以写为 ，而格拉姆矩阵其实就是矩阵内积，即 ，格拉姆矩阵一般在风格迁移用的比较多，本质上就是计算向量之间的相关度。...而这两个矩阵的特征向量可以互相计算得到，如果V是G的特征向量，那么C的特征向量U可以由 计算得到。...原始的自注意力计算过程可以看作是类似格拉姆矩阵的计算过程： 我们考虑使用互协方差矩阵的形式去替代，即： 这样可以把复杂度减少 互协方差注意力 互协方差注意力公式如下： l2norm和缩放 为了让计算的互协方差矩阵元素值在...这么做虽然能保证稳定，但也限制了特征表达(比如某些特征比较突出，但是经过归一化后，该特征在数值上则没有那么大)，所以引入了一个可学习参数 来进行缩放。
如果是这种情况，它很可能是稳定的。 自回归滞后模型像AR（p）模型一样，仅凭其自身的滞后对宏观经济变量进行回归可能是一种限制性很大的方法。通常，更合适的假设是还有其他因素。...标准VAR模型的协方差矩阵是对称的，即，对角线右上角的元素（“上三角”）将对角线左下角的元素（“下三角”）镜像。...可以计算标准信息标准以找到最佳模型。在此示例中，我们使用AIC： 通过查看，summary我们可以看到AIC建议使用2的阶数。...脉冲响应一旦我们确定了最终的VAR模型，就必须解释其估计的参数值。由于VAR模型中的所有变量都相互依赖，因此单个参数值仅提供 有限信息。为了更好地了解模型的动态行为，使用了脉冲响应（IR）。...在我们的示例中，我们已经知道不存在这样的关系，因为真正的方差-协方差矩阵（或简称协方差矩阵）在非对角元素中是对角为零的对角线。
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