利用泰勒公式解决级数收敛性证明问题 判别级数 \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt[n]{a}-\sqrt{1+\dfrac{1}{n}})(a > 0) 的收敛性...解析：利用泰勒公式， e^{x}=1+x+\dfrac{x^2}{2}+o(x^2) (1+x)^a=1+ax+\dfrac{1}{2}a(a-1)x^2+o(x^2) ，则 \sqrt[n]{a}=...^2 a+o(\dfrac{1}{n^2}) ， \sqrt{1+\dfrac{1}{n}}=1+\dfrac{1}{2n}-\dfrac{1}{8n^2}+o(\dfrac{1}{n^2}) ，所以级数通项等价为...dfrac{1}{n^2}) 当 \ln a-\dfrac{1}{2}\neq 0 时，即 a\neq e 时， a_{n} 等价于 (\ln a-\dfrac{1}{2})\dfrac{1}{n} ，故原级数发散...； 当 \ln a-\dfrac{1}{2}=0 时，即 a=e 时， a_{n} 等价于 \dfrac{1}{4n^2} ，原级数收敛。
昨晚，在大家观战国足战胜韩足正酣时，我们上线了“微信指数”的功能（戳）。 关于“微信指数”，大家在“刷屏”的同时，也产生了很多好奇，我们一一为大家解答： Q1：微信指数是什么？怎么用？...A1：官方定义：微信指数是微信最新推出的基于微信大数据的移动端指数。 打开微信，找到最上方的搜索窗口搜索“微信指数”就能使用了。进入之后搜索某个关键词，如“微信派”就能看到指数情况。...再说点正经的： 通过微信指数，个人或企业可以捕捉热词，看懂趋势；微信指数可以提供社会舆情的监测，有利于形成有效的舆情应对方案；通过微信指数反应的关键词热度变化，还可以间接获取用户的兴趣点及变化情况，从而对品牌企业的精准营销和投放形成决策依据...Q6：微信团队如何评价微信指数的准确度？ A6：微信指数的诞生，和移动互联网时代对于社交大数据的需求直接相关。我们提供了一套基于微信大数据的新的指数工具，希望给大家提供全新的分析维度和价值参考。...请大家也给予更多的时间和耐心，目前微信指数支持的词汇量正在不断扩充中，希望给大家带来更丰富的指数搜索体验。 Q8：微信指数接下来还会有什么优化？ A8：微信指数上线后，我们收到了很多用户的反馈。
一道利用极限定义以及泰勒展开加级数判别法证明级数收敛性的问题 设 f(x) 在 x=0 处的某邻域内具有二阶连续导数，且 \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x)}...\infty}[f(\dfrac{1}{n})-\dfrac{1}{n}] 绝对收敛 【分析】：第一问，首先考虑导数的定义，证明级数是正项级数，再利用题中的极限条件，构造级数的比较法来证明；第二问通过一般项...，利用二阶导数的定义，再利用泰勒展开公式，同理构造一个等价的级数，间接利用来证明。...，在 x=0 的领域内， f^{'}(x) > 0 ，故 f(\dfrac{1}{n}) > 0 ，由正项级数知， \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(\frac{...在 x=0 处的函数值以及一阶导数值均知道，由泰勒展开公式 f(\dfrac{1}{n})=f(0)+f^{'}(0)\dfrac{1}{n}+\dfrac{f^{''}(\xi)}{2!}
泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。...实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。...泰勒展开式的重要性体现在以下三个方面： 幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。 ...一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。 泰勒级数可以用来近似计算函数的值。 实例 1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。...关于泰勒公式的感性理解 转自https://www.zhihu.com/question/50656047/answer/122146471 想象一个函数，你只能观测其中很小一段的图像，现在需要从这一小段预测其他点的函数值
两个函数可以组合，组成类似二次函数的图像 1.1.4 对数函数 对数函数与指数函数关于y=x对称。...在工程实际问题的优化设计中，所列的目标函数往往很复杂，为了使问题简化，常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数，此时函数在某点泰勒展开式的矩阵形式中会涉及到黑塞矩阵。...8.7 高阶导数意义 一阶导决定增减 二阶导决定凹凸 三阶导决定偏度（以y=x^3为例理解：凸的快慢） 8.8 泰勒级数 泰勒级数用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得...称为f(x)在点x0处的泰勒级数。...九、梯度下降法（Gradient Descent，GD） 关于梯度下降，这篇文章很有深度： 9.1 理解梯度下降法 首先，梯度下降法是一种常用的求解无约束最优化问题的方法。
欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，同时建立三角函数和指数函数的关系，被誉为「数学中的天桥」。 ? ? 这样的数学方程是极具美感的，而要构建这样的方程，整个思考与推导过程同样是非常优美的。...文章将解释欧拉是如何解决著名的巴塞尔问题的，看看如何用简单的 sin(x) 函数和多项式，再借助泰勒级数的强大能力，解决这个问题。 ?...如果读者们还记得高数，记得无穷级数，你就会发现巴塞尔问题其实就是一个幂级数求和问题。当时很多学者都在想方法去计算这个问题，但欧拉在 28 岁时就证明了它，使得数学界非常惊叹。...泰勒级数 泰勒级数使用无限项连加的形式来表示某一函数，每一项都是由该函数在某一点的 n 阶导数计算得来。...我们可以理解为，泰勒级数采用无穷的子项去逼近某一个连续可导函数，每一个高阶导数，都是对该值的一点点逼近，最终收敛到该函数。 ? 图 6. 当泰勒级数的数目不断增加，它最终将收敛于其表示的那个函数。
指数函数 性质：ez+2kπ=ez,故指数函数ez是一个以2π为周期的周期函数。 故ez在复平面上处处可导，解析。 2....幂级数 定义： 幂级数的收敛半径： 幂级数的和函数的性质： 在高等数学中,我们将一个具有 n + 1 阶导数的函数展为泰勒级数或麦 克劳林级数 .在下一节我们将解析函数...( 具有任意阶导数 ) 展为泰勒级数或麦 克劳林级数,也就是解析函数展为幂级数 . 3.泰勒级数 例1 4.洛朗级数 有些函数虽然不能表示为泰勒级数, 但是却能用含有负指数幂 的级数在某个圆环内表示...,这种含有负指数幂的级数就是下面要讨论的罗朗 级数 留数 1.解析函数的孤立奇点 1.可去奇点、极点、本性奇点 可去奇点、极点、本性奇点 分别对应罗郎展开式中无负次幂，只有有限个负次幂和无限个负次幂...义积分, 只须计算某些解析函数在孤立奇点的留数, 从而把问题大大简化, 下 面通过具体例子,说明如何利用留数计算几种特殊类型的积分 . 1.含sinx，cosx的有理分式积分 2.
前面说到过泰勒展开式，这里我们在复习一下。 我们知道泰勒展开式就是把函数分解成1，x,x^2,x^3....幂级数（指数）的和。 你知道为什么要展开成幂级数的和吗？...位移的变化是速度，速度的变化是加速度，加速度的变化是加加速度的。 泰勒级数的每一阶的系数（主值）就是各阶导数啊！ 所以泰勒级数就是在描述一个函数的各个点的变化啊！！...明白了，泰勒展开级数，是把函数转变成幂级数的和，那我们回归原题，看看，傅立叶级数表达的含义。...，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。...但是利用之前关于投影的讨论，我们可以直接得出答案，直接利用 (1) 式就可以得到如下的表达式： ? （3） 3.
【阅读内容】通过构造知识联想链条和直观例子回答什么是泰勒级数，为什么需要泰勒级数，泰勒级数干了什么，如何记忆这个公式 【原文链接】 https://charlesliuyx.github.io 在遇到一个生僻的概念或者公式时...，确认它的几种不同的表述形式（马甲）是很重要，也就是定义问题：我们到底要了解的东西是什么 ＆ 怎么称呼： 泰勒公式（也叫 泰勒展开式、泰勒多项式） 泰勒级数 它是微积分学下的一个重要概念，与之有关联的有...：如泰勒定理，多元泰勒公式，以拉格朗日型余项为代表的各类余项，审敛法，牛顿差值公式（牛顿级数）（列出为了进行树状知识整合和梳理） 1 什么是泰勒公式 基本定义： 数学定义，公式各个部分代表什么含义先说清楚...＞➜ 【多项式】（Polynomials），把多项式的一般形式写出来，这应该是非常容易理解的概念，即指数不仅仅为2的抛物线的组合 ?...上篇文章内容到这里就结束了，下篇文章包括内容为：从几何角度理解泰勒公式，泰勒级数的介绍和对全文的总结！ 参考：文章所有图片来自3b1b视频
极值点： \forall x \in \bigcup^{0}(x_{0}) 如果，当 注（关于极值点） 端点一定不是极值点 极值点不一定是连续点 区间内部的最值点一定是极值点 区间内部唯一的极值点也一定是最值点...求极限 综合题 证明 不等式 等式 既能罗尔，又能拉格朗日，拉格朗日更简单 “双介值”问题 证明函数恒等式 核心 f() - f() 构造同一个函数在不同点的函数值之差 拉格朗日中值定理的推论 推论...如果 \lim_{n \to \infty}R_{n}(x) = 0，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。...题型一：求极限 须掌握 公式 方法 分母/分子 的幂次已知，n = 幂指数 分子/分母 的幂次均未知，加加减减后幂次最小的项，n = 幂指数 题型二：求$f^{(n)}(0)$ 步骤 将f(x)在x...同类项：所含字母相同，字母指数也相同的两个单项式。
本文所述内容属于《积分变换》这门学科的核心内容，所谓“积分变换”其实本质上是一个函数通过含参变量的积分变换成另一个关于参变量的函数的过程，如： 其中 表明了两种变量t和 的关系，是确定的，称为积分变换的核...我们知道，级数常见主要是幂级数和傅里叶级数，它的实质是将一些特定复杂的函数用一些基础函数通过求和(计算出的和函数)逼近来表示，如果说幂级数的话就是对应原始函数的各阶导数(泰勒公式展开)作为幂级数的系数，...亦然，故此时 n都约定俗称为自然数 引入欧拉公式 这个公式可以由sinx的泰勒展开级数，cos的泰勒展开级数以及 的泰勒展开级数分别代入即可得到 所以有 得到了三角函数的表达式后就可以带入上面的...一般来讲，指数衰减函数 是绝对可积的，用它乘以任何一个函数也有可能绝对可积,它的作用是对一些间断点和离散点的补充衰减，只要参数 选取的得当，就存在乘积绝对可积的情况(黎曼积分中的一个推论) 所以让这两个函数乘以函数...，F(s)为象函数 需要满足的条件 在t>a的任意一有限区间连续或分段连续 f(t)的增长速度不能超过某指数函数 因为如果超过的话，衰减函数的作用就没了 性质 一样的有线性性质 位移性质 表明象原函数乘以函数
关于映射到更高维平面的方法。 对数据进行某种形式的转换，从而得到新的变量来表示数据。从一个特征空间转换到另一个特征空间（特征空间映射）。 其实也就是另外一种距离计算的方法。...空间变换后，在高维空间解决线性问题，等价于在低维空间解决非线性问题。 内积计算： a=(a1,a2,a3,a4,…,an),b=(b1,b2,b3…,bn) ?...内积公式 高斯核，线性核，多项式核 而由于高斯核（径向基函数的高斯版本）是 ? 高斯核 高斯核能够基于向量的距离输出一个标量。内积的形式是向量相乘，得到单个标量或者数值，即维度一致，对应相乘相加即可。...（这就是核技巧） 这样的指数形式，故可以用泰勒展开式展开成无穷级数的形式，每一项的x前系数都不同，而这里也就对应着其特征的不同。
角度3：泰勒展开式 另外，从泰勒级数的角度，因为有e ^ x的任意阶次的导数都是其自身，等价于一个以1为周期的常数结果，因此，a = 0处作泰勒展开，指数函数也可以定义为： e ^ x = sum(n...在实际的泰勒展开式中，右侧其实是一个极限表达式，根据泰勒定理，是需要加上一个无穷小量o(x ^ n)才成立的，也因此一般的泰勒展开式成立也是有级数的收敛半径的，比如等比数列对应的几何级数，收敛半径就是1...，否则级数发散而没有意义。...-> 0，因此，从数值意义上，其值越来越逼近真实的e ^ x也没有什么问题。...很多证明欧拉公式的方法，就是采用泰勒展开式，展开sinx和cosx的级数，按照对应公式加起来便能够验证相等，不过这样的证明并不算严格，只能算一种对理解的辅助手段罢了。
6.总结 微分学的核心思想是逼近. 一阶导数：线性逼近 二阶导数：二次逼近 导数计算：求导法则 四、泰勒级数 1、泰勒/迈克劳林级数: 多项式逼近。 ? 2、泰勒级数: 例子 ?...3、应用 泰勒级数是一元微分逼近的顶峰，所以有关于一元微分逼近的问 题请尽情使用. 罗比塔法则 ? 证明： 因为是在 x0 附近的极限问题，我们使用泰勒级数来思考这个问题 ? ?...4、小结 (泰勒级数) 泰勒级数本质是多项式逼近 特殊函数的泰勒级数可以适当记一下 泰勒级数可以应用于很多与逼近相关的问题。...也 就是求某一个损失函数的极小值的问题, 在本课范围内我们考虑 可微分的函数极小值问题. 1、优化问题 对于一个无穷可微的函数 f(x)，如何寻找他的极小值点. 极值点条件。...x0 数学原理：牛顿法使用二阶逼近（等价于使用二阶泰勒级数），梯度下降法使用一阶逼近 牛顿法对局部凸的函数找到极小值，对局部凹的函数找到极 大值，对局部不凸不凹的可能会找到鞍点.
大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。 目录 1.Redis在项目中的主要作用是是什么？怎么用的？（应用场景） 补充问题： 单线程的Redis为什么快？ Redis和memcached的区别？...Redis和DB数据一致性处理 2.Redis支持的数据类型（必考） 3.zset跳表的数据结构（必考） 补充问题： Redis使用跳表不用B+树的原因？...参考书籍、文献和资料 ---- 备注：针对基本问题做一些基本的总结，不是详细解答！ 1.Redis在项目中的主要作用是是什么？怎么用的？...补充问题： Redis使用跳表不用B+树的原因？ Redis使用跳表不用B+树的原因是：redis是内存数据库，而B+树纯粹是为了mysql这种IO数据库准备的。...——–>所以也会导致数据库和缓存不一致的问题。
,这个新的变量也指向了这个"test"常量. (2)String str = new String("test"); //此种方式会在堆内存中new一个"test"对象实例,详细分析见下文. (1)只有使用引号包含文本的方式创建的...String对象之间使用"+"连接产生的新对象才会被加入到字符串池中。...(2)对于所有包含new方式创建对象（包括null）的“+”连接表达式，它所产生的新对象都不会被加入字符串池中。...str4是在堆中创建的String对象，str3是在字符串池中创建的的"helloworld" 但是！以上的情况是一般情况！...String str4 = STR1 + STR2; System.out.println(str3 == str4); //false } } 回到开始提到的问题
Problem & Solution Problem_0 $ conda update conda Traceback (most recent c...
目前系统集成商对连锁超市行业特点和用户业务流程的了解还不够全面和细致，在“粗节”的可用性和完整性还成问题的时候谈“细节决定成败”，为时尚早。...用两个例子来说明这个问题：1、不少集成商都宣称在产品中提供了“先进的”生鲜管理模块，而实际上并没有掌握生鲜商品经营管理的特殊规律，还是按管理常规商品的思维方式来处理生鲜商品的数据。...”的数据要清理（已经忙不过来还添乱）；在所考察过的系统中，没有看到比较合理的解决方案，还是要用户用手工解决生鲜的成本核算问题。...（如果能像哥伦布那样跳出思维的窠臼，鸡蛋是完全可以竖得起来的，因为竖鸡蛋在技术上不是问题！）...由此，“需求变更的管理与控制”的理论研讨和“产品定义委员会”的机构设置也就应运而生了。这种严谨的态度没有错，但这种试图把动态的“细节”固化住的方法和思维的“出发点”却有问题！
非线性迭代方法的理论基础是泰勒(Taylor)级数展开。...对于一关于x的非线性方程f(x)=0，其关于x0点的泰勒(Taylor)级数展开式为： 当从二阶开始截断，只保留前两项可得： 由于截断，只能得到一个近似解。...一个非线性方程需要进行代式求解，当非线性迭代收敛时，所获得的解即为非线性系统的真实响应。 一般来说，非线性迭代可写成如下统一格式： 对上述迭代方法作进一步拓展，可以用于二元非线性方程组求解。...例如： 将上述两个二元非线性方程组在(x0,y0)进行一次截断的泰勒级数展开可得： 进一步可构造如下的迭代： 这就是弧长法的理论基础。
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