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在一个图中,两个顶点之间的最短路径怎么会比图的最小生成树中这两个顶点之间的路径长呢?

在一个图中,两个顶点之间的最短路径可能会比图的最小生成树中这两个顶点之间的路径长,这是因为最短路径和最小生成树是两个不同的概念,计算方式和目的也不同。

最短路径是指在图中找到两个顶点之间的最短路径,即路径上的边权重之和最小。最短路径算法常用的有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法等。最短路径算法的目的是找到两个顶点之间的最短路径,以便在网络通信、导航系统等应用中能够快速找到最优路径。

最小生成树是指在一个连通图中找到一棵包含所有顶点的生成树,并且边的权重之和最小。最小生成树算法常用的有Prim算法和Kruskal算法等。最小生成树算法的目的是在一个连通图中找到一棵生成树,以便在网络设计、电力传输等应用中能够以最小的成本连接所有顶点。

因此,最短路径和最小生成树的计算方式和目的不同,所以两个顶点之间的最短路径可能会比图的最小生成树中这两个顶点之间的路径长。

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【数据结构】

最小生成其实就是将图中所有顶点通过边连通起来,我们当然可以选择任意条不超过图中边总数边来将各个顶点连接起来,但最小生成指的是无向连通图中选择顶点个数-1条边将所有顶点连接起来,同时这些边权值之和是连通所有顶点需要边权值之和中最小...(为什么最小生成这里不断强调是连通?...kruskal算法本质是贪心算法,在上面了解最小生成概念之后,你其实会发现求解最小生成过程核心工作其实就是挑选边,一个无向连通图中所有的边挑选出来n-1条权值之和最小边,而kruskal...,因为即使没有这条边,也不会影响已经连接在一起结点连通性,所以挑选边过程不可以形成环,同时必须从小到大一直挑选边,直到挑选出n-1条边,当然如果不是连通,那我们怎么也无法挑选出能够组成最小生成边出来...,不能用这种取巧方法来求解单源最短路径了,那该怎么

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数据结构 第六章

连通无向图中,如果从一个顶点vi到另一个顶点vj(i≠j)有路径,则称顶点vi和vj是连通。如果图中任意两个顶点都是连通,则称该是连通。...生成:n个顶点连通G生成是包含G全部顶点一个极小连通子生成森林:非连通图中,由每个连通分量都可以得到一棵生成,这些连通分量生成就组成了一个非连通生成森林。...在线性表,数据元素编号就是元素序列位置,因而其编号是唯一,将结点按层序编号,由于具有层次性,因而其层序编号也是唯一图中,任何两个顶点之间都可能存在边,顶点是没有确定先后次序...应用举例——最小生成 生成代价:设G=(V,E)是一个无向连通网,生成树上各边权值之和称为该生成代价。 最小生成G所有生成,代价最小生成称为最小生成。...2.1.若被考察两个顶点属于T两个不同连通分量,则将此边作为最小生成边加入到T,同时把两个连通分量连接为一个连通分量; 2.2.若被考察边两个顶点属于同一个连通分量,则舍去此边,以免造成回路

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(graph) 原

(graph) 是非线性数据结构,是一种较线性结构和树结构更为复杂数据结构,结构数据元素之间关系可以是任意图中任意两个数据元素之间都可能相关。...从一个顶点出发又回到该顶点,则所经过路径称为回路。 始点和终点相同简单路径称之为简单回路。 无向图中,从一个顶点到另一个顶点之间路径,则称这两个顶点是连通。...(2)任意两个顶点之间有且仅有一条路径,如再增加一条边就会出现一条回路。 (3)有遍历连通G时,所经过边和顶点构成是G生成。...图中两点之间最短路径问题包括两个方面:一是求图中一个顶点到其他顶点最短路径,二是求图中每对顶点之间最短路径。 这里路径不是指路径上边数总和,而是指路径上各边权值总和。...接着选取T当前最短路径长度最小一个顶点v加入S,然后修改T中生于顶点的当前最短路径长度。

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应用

最小生成 生成生成:所有顶点均由边连接在一起,但不存在回路 一个可以有多个不同生成 所有的生成具有以下共同特点: 生成顶点个数与顶点个数相同 生成极小连通子,...去掉一条边则非连通 n 个结点连通生成有 n-1 条边 生成再加一条边会形成回路 无向生成: 深度优先生成 广度优先生成 最小生成 对于一个无向网, 该网所得有生成, 各边权值和最小生成叫做最小生成...典型用途: 用最小成本城市之间建立通信网 MST 性质: 在生成构造过程, n 个顶点分为两个集合: 已经位于生成顶点集: U 尚未落入生成顶点集: V-U 接下来应该加入连通U...与V-U顶点边中选取权值最小边, 且不能形成环路 Prim 算法 思想: 开始时 U 仅包含一个顶点, U 集合一个顶点, V-U 一个顶点, 将依附于这两个顶点边加入生成, 这条边具有的特点是...弧:表示两个地点之间连通 弧上权值: 两个地点之间额距离, 交通费或者途中花费时间等等 问题抽象: 在有向网 A 点到 B 点多条路径, 寻找一条权值和最小路径,称为最短路径.

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应用详解-数据结构

最短路径——最短路径问题是研究一个经典算法问题, 旨在寻找(由结点和路径组成两结点之间最短路径。...1.3最小生成定义: 如果无向连通一个网,那么,它所有生成必有一棵边权值总和最小生成,我们称这棵生成最小生成,简称为最小生成。...设置两个集合U 和T,其中 集合U(顶点集) 用于存放G 最小生成顶点, 集合T (边集合)存放G 最小生成边。...基本思想是: 1) 设无向连通网为G=(V,E),令G 最小生成为T,其初态为T=(V,{}),即开始时,最小生成T 由G n 个顶点构成,顶点之间没有一条边,这样T 顶点各自构成一个连通分量...直观地看,偏序指集合仅有部分成员之间可比较,而全序指集合全体成员之间均可比较。 [例如],7.25所示两个有向图中弧(x,y)表示x≤y,则(a)表示偏序,(b)表示全序。

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数据结构:

简介 有向:若E是有向边(也称为弧)有限集合时,则称为G为有向 无向:若E是无向边(简称边)有限集合时,则G为无向 完全无向图中,如果任意两个顶点之间都存在边,则称为该图为无向完全...连通、连通、连通分量:无向图中,若从顶点v到顶点w有路径存在,则称为v和w是连通。若G任意两个顶点都是连通,则称为G为连通,否则称为非连通。无向图中极大连通子称为连通分量。...如果一个有n个顶点,并且有小于n-1条边,则此必是非连通。 强连通、强连通分量:在有向图中,若从顶点v到顶点w和从顶点w到顶点v之间都有路径,则称这两个顶点是强连通。...若图中顶点数为n,则它生成含有n-1条边。对于生成而言,若砍去它一条边,则会变成非连通,若加上一条边则会变成一个回路。非连通图中,连通分量生成构成了非连通生成森林。...应用 应用主要包括:最小生成(代价)最短路径、拓扑排序和关键路径最小生成 一个连通生成极小连通子,它包含图中所有顶点,并且只含尽可能少边。

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为实习准备数据结构(11)-- 图论算法 集锦

无向G,如果从顶点v到顶点v’有路径,则称v和v’是连通。 如果对于图中任意两个顶点vi、vj ∈E, vi,和vj都是连通,则称G是连通。 无向图中极大连通子称为连通分量。...比如图2 和3,随便加哪两顶点边都将构成环。 不过有n-1条边并不一定是生成,比如图4。 定义三:邻接表、邻接矩阵 理论上,就是一堆顶点和边对象而已,但是怎么代码来描述?...A 有一条边到B,但是B没有边到A,所以 A没有出现在B邻接列表。查找两个顶点之间边或者权重会比较费时。 所以使用哪一个?大多数时候,选择邻接列表是正确。...重复 b 步骤 总结:先遍历一遍还没有最短路径点,选出一个距离最近点,把它加入到最短路径并更新,直到所有的点都加入到最短路径。...1、所有顶点集合为V;初始令集合u={s},v=V−u; 2、两个集合u,v能够组成,选择一条代价最小边(u0,v0),加入到最小生成,并把v0并入到集合u

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【C#数据结构系列】

11、连通、连通、连通分量:无向图中,若两个顶点之间路径,则称这两个顶点是连通(Connect)。...如果把 n 个城市看作是 n 个顶点两个城市之间铺设光缆看作是两个顶点之间边,这实际上就是求一个无向连通网最小生成问题。...那么,这个问题就可归结为在网顶点 A 到顶点 B 所有路径权值之和最小那一条路径,这条路径就是两个顶点之间最短路径(Shortest Path),并称路径一个顶点为源点(Source...构造最小生成必须包括 n 个顶点、 n-1 条边及不存在回路。构造最小生成常用算法有普里姆算法和克鲁斯卡尔算法两种。   最短路径问题是一个比较典型应用问题。...最短路径是网一个顶点到另一个顶点所有路径权值之和最小路径。可以求从一个顶点到网其余顶点最短路径,这称之为单源点问题,也可以求网任意两个顶点之间最短路径。本章只讨论了单源点问题。

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MADlib——基于SQL数据挖掘解决方案(28)——算法之单源最短路径

如果无向连通一个网,那么它所有生成必有一棵边权值总和最小生成,称这颗生成最小生成最小生成是通过贪心算法来构建,通过局部最优来达到整体最优。设 ?...最小生成可以用Kruskal算法或Prim算法求出。Kruskal算法,A 是一个森林,将权值进行排序,选取权值最小边,若选取边不形成回路,则为安全边,把它添加到正在生长森林中。...Prim算法,A 边形成单,每次循环向 A 添加一个顶点(权值最小边连接顶点)。...算法实现中用到一个最小优先级队列,不在顶点都放在基于权值 key 最小优先级队列 Q ,对于顶点 v 来说, key[v] 值是与 A 某一顶点连接某一条边最小权值,如果不连接,那么...四、单源最短路径示例 单源最短路径问题是算法经典问题,现实中有很多应用,比如在地图中找出两个之间最短距离、最小运费等。

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数据结构–

) 2.广度优先搜索:无论如何先把该结点每个儿子先遍历了(队列) 4.最小生成 1.DFS和BFS生成 生成森林:对每个联通分枝进行生成搜索 5.网最小生成: 在网G生成...,其中各边权之和最小生成称为G最小生成 MST性质:设G=(V,E)是一个连通,通过某种算法构造其最小生成,T=(U,TE)是正在构造最小生成。...如果边(u,v)是G中所有一端U(即u∈U)而另一端V-U(即v∈V-U)具有最小一条边,则必存在一棵包含边(u,v)最小生成。...初始化:把进入点标记为U集合,每个节点到进入点距离标记为V-U顶点到U最短直接路径,相邻结点数组标记为A 进入Prim算法:遍历一遍V-U顶点到U最短直接路径,发现V集合1是最小,C...进入U集 接着遍历与C连接点,更新V-U顶点到U最短直接路径,我们发现C到F距离为8,比无穷大小,更新值为8,把F相邻结点记为C 注意:最小结点时,要忽略已经进入U集结点值,

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数据结构与算法——最小生成

例如: n 个城市之间铺设光缆,以保证这 n 个城市任意两个城市之间都可以通信。由于铺设光缆价格很高,且各个城市之间距离不同,这就使得各个城市之间铺设光缆价格不同。...那么如何选择铺设线路方案,才能使费用最低? 这就涉及到我们今天要研究最小生成问题。 2 重要概念 在学习最小生成之前需要先明确几个重要概念。...连通无向图中,若任意两个顶点与都有路径相通,则称该无向图为连通。 强连通:在有向图中,若任意两个顶点与都有路径相通,则称该有向图为强连通。...生成一个连通生成是指一个连通子,它含有图中全部n个顶点,但只有足以构成一棵n-1条边。一颗有n个顶点生成有且仅有n-1条边,如果生成再添加一条边,则必定成环。...如果这条边连成两个顶点同属于一个集合,则不处理,否则检测这条边连接两个子树,如果是连接这两个子树最小边则合并。

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HAWQ + MADlib 玩转数据挖掘之(十)——算法之单源最短路径

这些算法包括:各种遍历算法(这些遍历类似于遍历),寻找最短路径算法,寻找网络中最低代价路径算法,用于回答一些简单相关问题例如,是否是连通图中两个顶点最短路径是什么,等等。  2....通常,遍历有两种:深度优先遍历搜索和广度优先遍历搜索。  (2)最小生成         对于有n个顶点无向连通,至少有n-1条边,而生成恰好有n-1条边,所以生成极小连通子。...如果无向连通一个网,那么它所有生成必有一棵边权值总和最小生成,称这颗生成最小生成。         最小生成可以用普里姆算法或克鲁斯卡尔算法求出。...四、单源最短路径示例         单源最短路径问题是算法经典问题,现实中有很多应用,比如在地图中找出两个之间最短距离、最小运费等。...社交网络,如何去计算两个之间最短路径?:讨论最短路径社交网络一个应用。

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数据结构简单复习

剩余字符结点与哈夫曼树根结点间选择最小两个结点,将两个结点合成一颗(此时有多棵哈夫曼)或将一个结点加入哈夫曼(这个结点和树根有同一个父节点)。 重复第三步直到所有结点被加入哈夫曼。...最短路径长度与最小代价生成 迪杰斯特拉算法(Dijkstra's algorithm):单源最短路径 迪杰斯特拉算法帮助我们确定一个点到图中所有点距离,它进行以下几个步骤(我们用D(A,P)表示数组存储...递归地选择、更新,我们会得到离A第n近点,直至得到所有点离A最短路径。 该算法数组D可以是一个小顶堆,这样改进使迪杰斯特拉算法稀疏图中复杂度降低(Theta约等于VlogV)。...Prim算法最小代价生成开始只包含一个顶点,一步步地向子添加顶点和边,不过每次都在子连接点中寻找离这个子最近点。...Kruskal算法最小代价生成 初始状态所有顶点都是独立子,寻找连边权重最小且分别属于两个顶点,将两个通过这条连边连接在一起,重复这个过程直到只有一个,既最小代价生成

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5.1 基本概念

1、完全 无向图中,如果任意两个顶点之间都存在边,则称该图为无向完全。含有n个顶点无向有n(n-1)/2条边。 在有向图中,如果任意两个顶点之间都存在方向相反两条弧,则称该图为有向完全。...含有n个顶点有向完全有n(n-1)条有向边。 2、连通、连通和连通分量 无向图中,若从顶点v到顶点W有路径存在,则称v和w是连通。 若G任意两个顶点都是连通,则称G为连通。...3、强连通、强连通分量 在有向图中,若从顶点v到顶点w和从顶点w到顶点v之间都有路径,则称这两个顶点是强连通。 若图中任何一对顶点都是强连通,则称该图为强连通。...4、生成 连通生成是包含图中全部顶点一个极小连通子。若图中顶点数为n,则它生成含有n-1条边。对于生成而言,若砍去它一条边,则会变成非连通,若加上一条边则会形成一个回路。...非连通图中,连通分量生成构成了非连通生成森林。 注意:包含有向图中全部顶点极小连通子,只有生成满足条件,因为砍去生成任一条边,将不再连通。

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详解第四篇:单源最短路径--Dijkstra算法

最短路径问题 最短路径问题: 从带权有向(求最短路径通常是有向)G某一顶点出发,找出一条通往另一顶点最短路径最短也就是沿路径各边权值总和达到最小。...也就是说,单源最短路径问题中,只需要确定一个起点,然后计算该起点到图中所有其他节点最短距离。 多源最短路径则是图中计算任意两个节点之间最短路径。...针对一个带权有向G,将所有结点分为两组S和Q,S是已经确定最短路径结点集合,初始时为空(初始时就可以将源节点s放入,毕竟源节点到自己代价是0),Q 为其余未确定最短路径结点集合,每次从Q 找出一个从起点到该结点代价最小结点...很简单,每个顶点映射位置存储路径它前面的那个顶点映射下标,如果把路径看成一棵的话,就是存储它父结点下标 比如最开始就可以这样存 首先s自己就是起点,可以认为最短路径就是s->s,...,一模一样 打印最短路径 那下面我们可以写一个大于路径函数,把最终得到起点到各顶点最短路径以及权值都打印出来看一下,和上面图上是否一样: 那我们拿到这两个数组就可以去打印 但是这里打印时候有一个问题

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软考高级架构师:图论应用-最短路径

一、AI 讲解 图论是数学一个分支,主要研究性质。图论最短路径问题是一个经典问题,它旨在找到图中两个顶点之间最短路径长度。...最短路径可以使用多种算法来计算,其中最著名有: Dijkstra算法:适用于带权有向和无向,可以找到一个顶点图中所有其他顶点最短路径。...可以找到从单一源点出发到所有其他顶点最短路径 Floyd-Warshall算法用于解决什么问题? A. 单源最短路径问题 B. 所有顶点最短路径问题 C. 最小生成问题 D....不会对算法产生任何影响 使用Floyd-Warshall算法处理图中,如果两个顶点之间不存在路径,则这两个顶点之间最短路径长度是多少? A. 0 B. 无穷大 C....Floyd-Warshall算法,如果两个顶点之间不存在路径,它们之间最短路径长度被定义为无穷大。 三、真题

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数据结构与算法-面试

简述 是由顶点集合和顶点之间边集合组成一种数据结构,分为有向和无向。...简述最小生成和其对应算法 对于有 n 个结点原图,生成原图极小连通子,其包含原图中所有 n 个结点,并且有保持连通最少边。...普里姆算法:取图中任意一个顶点 v 作为生成根,之后往生成树上添加新顶点 w。...添加顶点 w 和已经在生成树上顶点v 之间必定存在一条边,并且该边权值在所有连通顶点 v 和 w 之间取值最小。之后继续往生成树上添加顶点,直至生成树上含有 n-1 个顶点为止。...简述最短路径算法 Dijkstral算法为求解一个点到其余各点最小路径方法,其算法为: 假设我们求解顶点v到其余各个点最短距离。

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数据结构高频面试题-

带权有向最短路径长度:源点Vm到终点Vn所有路径,权值和最小路径最短路径,其长度是最短路径长度。 完全:任意两个顶点都相连称为完全,又分为无向完全和有向完全。...连通无向图中,若任意两个顶点vivi与vjvj都有路径相通,则称该无向图为连通。 强连通:在有向图中,若任意两个顶点vivi与vjvj都有路径相通,则称该有向图为强连通。...连通网:带权值连通叫做连通网。 生成:将图中所有顶点以最少边连通生成包含全部n个顶点,有且仅有n-1条边,添加边则必定成环。...优化思路:动态规划 广度优先搜索对应最短路径执行广度优先搜索时,会自动查找从一个顶点到另一个相邻顶点最短路径。...算法步骤: 所有顶点集合为V;初始令集合u={s},v=V−u; 两个集合u,v能够组成,选择一条代价最小边(u0,v0),加入到最小生成,并把v0并入到集合u; 重复上述步骤,直到最小生成

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最短路径算法–无向

1、表示数据结构 邻接列表 邻接列表:邻接列表实现,每一个顶点会存储一个从它这里开始列表。...查找两个顶点之间边或者权重会比较费时,因为遍历邻接列表直到找到为止。...邻接矩阵 邻接矩阵:邻接矩阵实现,由行和列都表示顶点,由两个顶点所决定矩阵对应元素表示这里两个顶点是否相连、如果相连这个值表示是相连边权重。...一个一维数组存储图中顶点信息,一个二维数组(邻接矩阵)存储图中边或弧信息。 设G有n个顶点,则邻接矩阵是一个n*n方阵,定义为: 从上面可以看出,无向边数组是一个对称矩阵。...算法代码如下: /* * 计算源点s到无向图中各个顶点最短路径 * 需要一个队列来保存图中顶点,初始时,源点入队列,然后以广度形式向外扩散求解其他顶点最短路径 *

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最小生成(MTS)之Kruskal算法

Graph基本概念 图中,由每一个顶点和边路径构成,顶点顶点之间我们称之为朋友关系,因为不仅仅有一条路径图中每个顶点有几条边,即为度,如果在图中路径是有方向,那么称之为有向,有向图中被指向叫做入度...顶点之间距离称之为权重。 最小生成 一个连通生成是指一个连通子,它含有图中全部n个顶点,但只有足以构成一棵n-1条边。...一颗有n个顶点生成有且仅有n-1条边,如果生成再添加一条边,则必定成环。...最小生成:minimum spanning tree 连通网所有生成,所有边代价和最小生成,称为最小生成。...无向(即点之间路径没有方向区别)该问题与确定起点问题完全等同,在有向路径间有确定方向)该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点问题。

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