在Android上不带Dropbox API的情况下从Dropbox下载APK

，可以通过以下步骤实现：

1. 首先，需要获取Dropbox上APK文件的共享链接。在Dropbox网页版中，找到目标APK文件，右键点击并选择“共享”选项。确保链接是公开可访问的。
2. 在Android应用中，使用网络请求库（如OkHttp或Volley）发送HTTP GET请求，以获取APK文件的下载链接。将Dropbox共享链接作为请求的URL，并添加必要的参数。
3. 解析HTTP响应，获取下载链接。根据Dropbox共享链接的格式，通常可以从响应中提取出直接下载APK文件的链接。
4. 使用下载管理器或自定义下载器，将APK文件下载到本地存储设备。可以使用Android的DownloadManager类来处理下载任务，或者自己实现一个下载器。
5. 下载完成后，用户可以选择安装APK文件。使用Android的PackageInstaller类来安装下载的APK文件。

需要注意的是，这种方式下载的APK文件可能不会自动更新，因此需要在应用中实现版本检查和更新逻辑。

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请注意，以上答案仅供参考，具体实现方式可能因应用需求和技术选型而有所不同。