在SymPy中使用欧拉公式展开exp(i*θ) - 腾讯云开发者社区

然后从SymPy库载入所有符号，并且定义了四个通用的数学符号x 、y、z 、t，三个表示整数的符号k、m、n，以及三个表示数学函数的符号f、g、h。欧拉恒等式 ?...此公式被称为欧拉恒等式，其中e是自然常数，i是虚数单位，是圆周率。此公式被誉为数学中最奇妙的公式，它将5个基本数学常数用加法、乘法和幂运算联系起来。...从SymPy库载入的符号中，E表示自然常数，I表示虚数单位，pi表示圆周率，因此上面的公式可以直接如下计算： print(E**(I*pi)+1) 输出结果为:0 SymPy除了可以直接计算公式的值之外...欧拉恒等式可以将代入下面的欧拉公式得到： ?...在SymPy中可以使用expand()将表达式展开e^ix，用它展开看（expand()中x是复数）： print(expand(exp(I*x), complex=True) ) 输出： ?

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泰勒级数展开

']=['SimHei'] #将x当作函数自变量 x=sympy.Symbol('x') #exp为原函数公式 exp=np.e**x #泰勒级数展开，对前N项进行求和 sums=0 N=30 for...i in range(N): #求i次导函数 numerator=exp.diff(x,i) #计算导函数在x=0处的值 numerator=numerator.evalf...(subs={x:0}) denominator=np.math.factorial(i) sums+=numerator/denominator*x**i #检验原函数与其在x...=0处展开的泰勒级数前20项之和的差距 print(exp.evalf(subs={x:0})-sums.evalf(subs={x:0})) xvals=np.linspace(0,30,100) exp_points...,exp.evalf(subs={x:xval})) #泰勒展开式数据点 sum_points=np.append(sum_points,sums.evalf(subs={x:xval}

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Python解决高等数学问题

使用Python中的Sympy库解决高等数学中极限、导数、偏导数、定积分、不定积分、双重积分等问题 ---- Sympy是一个Python的科学计算库，它旨在成为功能齐全的计算机代数系统。...SymPy 包括从基本符号算术到微积分，代数，离散数学和量子物理学的功能。它可以在 LaTeX 中显示结果。 Sympy官网文章目录 1....实用技巧 1.1 符号函数 1.2 展开表达式expand 1.3 泰勒展开公式series 1.4 符号展开 2. 求极限limit 3. 求导diff 3.1 一元函数 3.2 多元函数 4....实用技巧 1.1 符号函数 sympy提供了很多数学符号，总结如下虚数单位 sympy.I 自然对数 sympy.E 无穷大 sympy.oo 圆周率 sympy.pi 求n次方根 sympy.root...(sympy.pi/2) 1.2 展开表达式expand f = (1+x)**3 expand(f) \displaystyle x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 1.3 泰勒展开公式

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用Python学数学之Sympy代数符

对比了，显然Python在指定场景下确实优势非常明显，于是我又调研了一下Sympy与Mathematica的比较，在输入公式以及生成图表方面，Sympy确实不行（这一点Python有其他库来弥补），Mathematica...(f_expr) print(f_expr) print(e_expr) 表达式的折叠与展开，对应的数学知识就是因式分解，相关的数学知识在人教版初二的教程里。...) 求解方程组在人教版的数学教材里，我们初一上会接触一元一次方程组，初一下就会接触二元一次方程、三元一次方程组，在初三上会接触到一元二次方程，使用Sympy的solve()函数就能轻松解题。...* x,y = symbols('x y') expr=exp(x)*sin(x) + exp(x)*cos(x) i_expr=integrate(expr,x) print(i_expr) 执行之后的结果为...：exp(x)*sin(x) 转化之后为： $$e^xsin(x)$$ 求定积分 Sympy同样是使用integrate()函数来做定积分的求解，只是语法不同：integrate(表达式,（变量,下区间

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sin傅里叶变换公式_傅里叶变换公式(傅里叶变换常用公式)

相关的公式为：φ=-λa(dt/dx),q=-λ(dt/dx) 对于非周期函数，如果也希望像 (1) 中那样 “展开”，则需要进行一定“推广”. 这种连续积分和的表达，就叫“傅里叶逆变换”。...在逆变换中，原本的 F(nw)，被推广. 1、傅里叶变换公式e79fa5e98193e4b893e5b19e31333431356666 公式描述：公式中F(ω)为f(t)的像函数，f(t)为F(ω)的像原函数...根据欧拉公式，cosω0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2。...我明白是欧拉公式；但再下一步那个16怎么得出来。...这个我已经计算出来了，还是谢谢你们 1/t傅里叶变换为 -i*pi*sgn(w) 其中pi为3.1415926&(f)为狄拉克函数 sgn(w)为符号函数 i的平方等于1 发布者：全栈程序员栈长，转载请注明出处

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泰勒公式和Gamma函数

今天带大家玩下数学中的编程，难度可能有点大，数学不好的人请离开。泰勒公式大家知道泰勒公式吗？对它的理解有多深呢？数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。...泰勒公式，也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息，描述其附近取值的公式。...公式其中， ? 表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的 ? 是泰勒公式的余项，是 ? 的高阶无穷小。有名的泰勒级数： ?...x in enumerate(t): y[i] = calc_e(x) print('e^', x, ' = ', y[i], '(近似值)\t', math.exp(x), '(真实值...伽玛函数（Gamma函数），也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分。

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Python sympy 模块常用功能(二）

)) Piecewise((gamma(y + 1), re(y) > -1), (Integral(x**y*exp(-x), (x, 0, oo)), True)) #分段函数泰勒展开 >>> series...(sin(x)) # 默认余项次数为6，在 x=0 处展开 x - x**3/6 + x**5/120 + O(x**6) >>> series(exp(x), x, 1, n= 3)#在 x=1 处展开...(x) + cos(x)/2) 级数求和 >>> i, n = var("i n") >>> summation(i, (i, 1, n)) #summation函数用于级数求和 n**2/2 + n/...>>> from sympy.integrals.transforms import inverse_laplace_transform >>> from sympy import exp, Symbol...>>> from sympy import fourier_transform, exp >>> from sympy.abc import x, k >>> fourier_transform(exp

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数学|欧拉公式的简单证明

一什么是欧拉公式在数学中，sin函数和cos函数是最近乎完美的周期函数，e是自然对数的底，i是数学界中唯一一个平方为负的数字，这几者一般很少有联系，而欧拉公式则很完美的将它们联系在了一起，且关系简单明了...图1 欧拉公式相信很多人第一眼看到这个公式会觉得不可思议，三角函数怎么会和指数函数有这么直接的关系，现在不妨来看看它的一个简单证明。...二欧拉公式的证明学过高数中泰勒展开式的人应该很熟悉下面这个表达式，这是一般函数的泰勒展开式， ? 图2 一般函数的泰勒展开式 e的x次方这个函数的泰勒展开式也可以通过上述表达式得到： ?...观察上述式子，可以发现它已经和e的x次方的泰勒展开式相差不大了，只是有一些地方存在符号的差异，仔细观察可以发现，cos（x）的泰勒展开式中除了x的0次幂项也就是第一项和x的4的倍数次幂的项符号为正，其余为负...三欧拉公式的特殊形式特别的，当x=Π时，欧拉公式可以简写为e的iΠ次方-1=0，这个式子也被人们称为最完美的公式，它将自然对数的底数e、虚数单位i、和1完美的结合在一起，向世人阐述了数学的魅力。

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量子算法与实践——Shor算法

理解Shor算法需要具备的一定数学知识，如欧拉定理、连分式展开公式、复分析和离散傅里叶变换等知识。本文将从RSA算法原理、Shor算法基本原理及应用等方面介绍Shor算法。...同余式常用定理有欧拉公式、费马小定理、威尔逊公式扩展欧几里德。欧拉函数和公式欧拉函数，1~N种与N互质的个数称为欧拉函数，记作φ(N)。若有a,b∈N，gcd(a,b)=1，则称a与b互质。...对称加密技术对称加密技术的原理逻辑为Alice和Bob都拥有同一个保密信息的钥匙，密钥在信息传送过程中容易被窃取。...对称加密体制又称为单钥密码体制，对称加密的整个加密过程中只使用一个密钥，实质上是使用一把密钥加密，并使用同一把密钥解密。...用欧拉函数公式计算与n互质的整数个数。

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数值计算用Matlab？不，用python ｜技术创作特训营第一期

图片2 sympy的安装与使用sympy是一个开源模块，开源地址在github.com/sympy，代码包含详细的功能文档，建议直接fork下载查看。...the sympy modules using condaconda install -c sympy2.2 在jupyter notebook中显示公式ipython的jupyter notebook...在使用sympy可视化展示公式时，可以直接通过定义符号变量，并进行相关的运算来实现复杂公式的呈现，如下图所示：图片当然也可以直接输出latex代码以嵌入至latex文档：from sympy import...# f对x在0处泰勒展开到4阶(把这句话记住，下边四个先后顺序就能记住）taylor1=sympy.series(f,x,0,4)# f对x在0处泰勒展开到4阶，去除皮亚诺余项taylor2=sympy.series...taylor.coeff(x) # 查看taylor1中项（x-x0)的系数3.6 e的展开级数并化简# e指数函数的级数展开，并化简f=sp.series(sp.exp(x),x0=1,n=5)print

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扒一扒那些叫欧拉的定理们（八）——欧拉公式和自然对数的底e

物理学家理查德·费曼将欧拉公式称为：“我们的珍宝”和“数学中最非凡的公式”，在各大“最美十大数学公式”的榜单中，也是以极简却又深刻的方式，和极为复杂的麦克斯韦方程组交相辉映。...欧拉公式内容如下： e ^ ix = cosx + isinx，对任意复数x成立。这个公式直接把复指数幂同三角函数联系了起来，其背后不知道是何方神圣在作法使得这公式惊艳地成立！...角度2：微分方程的解其实它还有很多在其他模型中被使用的等效定义，比如在微分方程中，我们假定一个对象未知的变化速度和其位置坐标相等，且初始位置为1，即： df(t) / dt = f(t), f(0)...在实际的泰勒展开式中，右侧其实是一个极限表达式，根据泰勒定理，是需要加上一个无穷小量o(x ^ n)才成立的，也因此一般的泰勒展开式成立也是有级数的收敛半径的，比如等比数列对应的几何级数，收敛半径就是1...很多证明欧拉公式的方法，就是采用泰勒展开式，展开sinx和cosx的级数，按照对应公式加起来便能够验证相等，不过这样的证明并不算严格，只能算一种对理解的辅助手段罢了。

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【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | 求 cosωn 的傅里叶变换 | 复变函数欧拉公式 )

文章目录一、求 cosωn 傅里叶变换 0、cosωn 序列分析 1、傅里叶变换与反变换公式介绍 2、复变函数欧拉公式介绍 3、求 cosωn 的傅里叶变换推导过程一、求 cosωn 傅里叶变换...傅里叶变换推导序列 ; x(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega 2、复变函数欧拉公式介绍...复变函数欧拉公式 : e^{ix} = \cos x + i \sin x \ \ \ \ ① e^{-ix} = \cos x - i \sin x \ \ \ \ ② 单位复指数序列特点 : e.../item/欧拉公式/92066 3、求 cosωn 的傅里叶变换推导过程直接对 cos \omega_0 n 使用 \cos x = \cfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \ \...{e^{i\omega_0 n} + e^{-i\omega_0 n}}{2} 序列的傅里叶变换 , 在【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | e^jωn 的傅里叶变换 ) 博客中

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【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | 求 sinωn 的傅里叶变换 | 复变函数欧拉公式 )

文章目录一、求 sinωn 傅里叶变换 0、sinωn 序列分析 1、傅里叶变换与反变换公式介绍 2、复变函数欧拉公式介绍 3、求 sinωn 的傅里叶变换推导过程一、求 sinωn 傅里叶变换...傅里叶变换推导序列 ; x(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega 2、复变函数欧拉公式介绍...复变函数欧拉公式 : e^{ix} = \cos x + i \sin x \ \ \ \ ① e^{-ix} = \cos x - i \sin x \ \ \ \ ② 单位复指数序列特点 : e.../item/欧拉公式/92066 3、求 sinωn 的傅里叶变换推导过程直接对 \sin \omega_0 n 使用 \sin x = \cfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \...\cfrac{e^{i\omega_0 n} - e^{-i\omega_0 n}}{2i} 序列的傅里叶变换 , 在【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | e^jωn 的傅里叶变换

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Matlab与傅里叶变换

在确定信号中，有两个非常重要的类别，时域分析和频域分析。而将两者充分结合的，就是我们今天要讲的傅里叶变换。绝大多数工科狗在大一或者大二的时候，都或多或少接触过傅里叶变换。二狗也不例外。...由上可知，在空间中。从频率或者时域的角度都可以描述这个周期函数。下面，我们先帮助大家简单回忆一下傅里叶变换的基本原理。周期函数都是时域表达式，既然有周期，当然也就有频率。...最简单的就是利用周期函数的三角函数展开式，公式如下 ? ? 以上是三角展开形式，今天我们不用这个，完全是为了方便大家理解，所以先说了一个简单的（见谅）。我们今天要用的是复指数形式 ?...当然，两种形式可以相互转换的，只需要利用欧拉公式 ? 下面，我举一个简单的函数作为例子f(t)=sin(t)+2*cos(t)。我们来对它进行傅里叶变换。...根据已有的公式，我们一步步推进，我们先画出这个函数的图像 ? 下面的几步将傅里叶变换的参数全部求解出来，依据的就是复指数形式表达式（看不懂的同学倒回去看一看刚才讲的公式）。

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零基础学编程041：欧拉公式的几何意义

欧拉公式号称是最美的出自上帝之手的数学公式，即，这个公式里 e 和 π 都是无理数，i 是 -1 的平方根，是一个虚数，0和1是最简单的整数，欧拉公式把它们联系在一起。...下面我们来理解一下它的几何含义，并用Python中的小海龟把它画出来。利用级数展开的公式可以有下面的推导过程：因为这个数列中含有虚数 i，所以可以把上面的每一项看作是复平面上的一个向量。...第1项：iπ ，把其中的 i 理解为逆时针旋转90度，这样就是在垂直方向上前进 π 个单位。第2项，再旋转90度，前进 (π*π / 2) 个单位。...神秘的欧拉公式的几何含义就是这么简单！...用小海龟画出欧拉公式的几何含义先复习一下《零基础学编程014：小海龟做画》这一课中的画图基本命令： import turtle turtle.forward(100) # 前进100个单位 turtle.left

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看得懂的数学之美：从青年欧拉对巴塞尔问题的解法说起

欧拉，历史上最重要的数学家之一，也是最高产的数学家，平均每年能写八百多页论文。我们经常能见到以他名字命名的公式与定理，可能最广为人知的便是「世界上最美的公式」欧拉公式。...欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，同时建立三角函数和指数函数的关系，被誉为「数学中的天桥」。 ? ? 这样的数学方程是极具美感的，而要构建这样的方程，整个思考与推导过程同样是非常优美的。...在本文中，我们希望通过一步步重现欧拉解巴塞尔问题的过程，体会到这种数学之美。巴塞尔问题是一个著名的数论问题，这个问题首先由皮耶特罗·门戈利在 1644 年提出，由欧拉在 1735 年解决。...欧拉借助下面我们非常熟悉的数学转换来展开 sinc(x) 在零点的情况。 ?...泰勒级数泰勒级数使用无限项连加的形式来表示某一函数，每一项都是由该函数在某一点的 n 阶导数计算得来。

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神经ODEs：另一个深度学习突破的细分领域

最古老和最简单的算法之一是欧拉方法：核心思想是使用切线来逐步逼近求解函数： http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/EulersMethod.aspx 请访问图片下方的链接以获取更详细的说明...如果这些残差连接是欧拉方法的离散时间步长，这意味着可以调节神经网络的深度，只需选择离散方案，因此，使解决方案（又称神经网络）更多或不太准确，甚至使它无限层！...这一个过程可以通过初始状态获得导数，并以类似的方式，通过建模动力学的函数的参数（一个“残差块”，或“旧的”欧拉方法中的离散化步骤）。...在现实生活中，可以将它们视为离散过程，因为在时间步骤t_i中的许多观察可能会有缺失。下面将介绍如何使用神经ODE处理它们。...在实验中，使用一个简单的序列神经网络模型，具体代码如下： self.net = nn.Sequential( nn.Linear(2, 50), nn.Tanh

2.9K2 0

扒一扒那些叫欧拉的定理们（十一）——欧拉数论定理

前面我们聊到的是立体和平面几何，图论，复数领域的欧拉定理，相关内容请戳：扒一扒那些叫欧拉的定理们（十）——群论观点下的欧拉公式进阶扒一扒那些叫欧拉的定理们（九）——群论观点下的欧拉公式初步扒一扒那些叫欧拉的定理们...（八）——欧拉公式和自然对数的底e 扒一扒那些叫欧拉的定理们（七）——欧拉线定理的证明扒一扒那些叫欧拉的定理们（六）——九点圆定理的证明扒一扒那些叫欧拉的定理们（五）——平面几何欧拉定理的证明...从费马小定理到欧拉定理在讲欧拉定理前，我们先来看其更特殊而简单的形式：费马小定理。...我们先来看看a ^ p是什么，在排列组合中，乘方一般计算的是给定集合大小为底数a，放回采样地取指数p那么长的序列的方法总数。...关于以上提到的群和元素的阶，裴蜀定理，拉格朗日定理以及欧拉函数的一些性质的详细内容，以及依据这个性质设计的魔术，我们另外再找专门文章来讲，不再展开。 ?

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《Experiment with MATLAB》读书笔记（八）

while h > 2*eps %软件定义的很小的一个数 h = h/2; e = (1 + h)^(1/h); disp([h e]) %在命令行输出...y0 = 1000; for t = 0:20 y1 = (1+r)^t*y0; y2 = (1+r/12)^(12*t)*y0; y3 = exp.../12 n = 36 p = (1+r*h)^n/((1+r*h)^n-1)*r*h*y0 %% 复数作指数 theta = (1:2:17)'*pi/8 z = exp...(i*theta) p = plot(z); set(p,'linewidth',4,'color','red') %设置线性色彩 axis square off %横纵坐标等长...%% 欧拉公式 exp(i*pi) + 1 ?

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神经网络常微分方程 (Neural ODEs) 解析

，在最后，我们得到了一个非常简单的公式，如下 http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/EulersMethod.aspx 其在n个时间步长的离散网格上的解是...与此同时，仔细看看欧拉方程，难道它没有让你想起最近的深度学习架构中的任何东西吗残差网络是一种微分方程的解吗？确实是这样的！...固定层数的ResNet与可以灵活改变层数的ODENet的区别欧拉法是不是太粗糙了呢？...当然，在实际生活中，我们把它们看作是离散的过程，而且，最重要的是，在t_i的时间步上可能会丢失很多观察值。假设你想用神经网络来构建这样的一个系统。在经典的序列建模过程中，您会如何处理这种情况呢？...目前我只能看到两个实际应用：在经典神经网络中，使用ODESolve层来平衡速度与精度将常规常微分方程“压缩”到神经网络结构中，将它们嵌入到标准的数据科学处理过程中。

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