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C++ 求矩阵的秩

网易笔试题：混合颜料下面 int getNumOfLeastColors(set& colorSet) { // 求二进制矩阵的秩，即消元，最后看斜对角线上有几个 1 的方法...，就是求矩阵的秩你就是一个画家！...，通过消元只保留对角线上 1，即求矩阵的秩，最后得到 1 的个数即秩的大小，也就是最少需要的颜色数。...& s, vector >& bMat) { // 求每个数的二进制，存储在vector里面，最后得到二进制矩阵 if(s.empty()) return;...bMat.push_back(v); } } int getNumOfLeastColors(set& colorSet) { // 求二进制矩阵的秩

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协方差矩阵-在离散中求“聚合”

计算偏差的乘积：将两个变量的偏差相乘，如果两个变量同时大于或小于均值，乘积为正；如果一个大于均值，另一个小于均值，乘积为负。计算乘积的期望：对所有可能的样本点上的乘积求平均，得到协方差。...对称性： Cov(X, Y) = Cov(Y, X)，线性性： Cov(aX+b, cY+d) = acCov(X, Y) （a, b, c, d为常数），方差是特殊的协方差： Var(X) = Cov...协方差矩阵是一个方阵，它描述了多个随机变量之间的协方差关系。协方差矩阵想象成一个弹簧系统。如果两个变量的协方差很大，那么它们就像两个紧密连接的弹簧，当一个弹簧伸展时，另一个弹簧也会跟着伸展。...协方差矩阵的数学表示，假设我们有n个随机变量X1, X2, ..., Xn，它们的协方差矩阵C可以表示为。 C = [cov(X1, X1) cov(X1, X2) ......cov(Xn, Xn)] 其中，cov(Xi, Xj)表示随机变量Xi和Xj的协方差。协方差矩阵是一个对称矩阵，即cov(Xi, Xj) = cov(Xj, Xi)。

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Numpy 中的矩阵求逆

矩阵求逆import numpy as npa = np.array([[1, 2], [3, 4]]) # 初始化一个非奇异矩阵(数组)print(np.linalg.inv(a)) # 对应于...MATLAB中 inv() 函数# 矩阵对象可以通过 .I 更方便的求逆A = np.matrix(a)print(A.I)2....矩阵求伪逆import numpy as np# 定义一个奇异阵 AA = np.zeros((4, 4))A[0, -1] = 1A[-1, 0] = -1A = np.matrix(A)print(...A)# print(A.I) 将报错，矩阵 A 为奇异矩阵，不可逆print(np.linalg.pinv(a)) # 求矩阵 A 的伪逆（广义逆矩阵），对应于MATLAB中 pinv() 函数

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matlab 求矩阵秩,求Matlab中矩阵的秩和迹 | 学步园

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。...1、Matlab中求矩阵的秩 >> a = rand(6) a = 0.8147 0.2785 0.9572 0.7922 0.6787 0.7060 0.9058 0.5469 0.4854 0.9595...0.4218 0.8491 0.6555 0.0971 0.0975 0.9706 0.9157 0.9340 0.1712 0.8235 >> r = rank(a) r = 6 2、Matlab中求矩阵的迹

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博客 | MIT—线性代数（下）

因为正交矩阵本身可以撑满整个Rm空间，投影就是其本身。所以，正交矩阵在机器学习中也有非常多的应用，通常会将样本空间A标准正交化为Q，就有投影后的 x’=Q^T·b ,则 ? 。...在求解过程中，注意到对于奇异矩阵A，即|A|=0，一定存在特征值0，特征向量即为Ax=0零空间的基。...10、对称矩阵和正定性：特征值和特征向量是快速了解矩阵的方式，就实对称矩阵来说，它的特征值均为实数，对应的特征向量相互正交。...事实上，奇异值分解是将(行空间+零空间)中的一组标准正交基V通过矩阵A，变换至(列空间+左零空间)中的另一组标准正交基U。...对图像压缩来说，最重要的就是基U的选取，需要满足快速求逆和压缩性良好，快速求逆表示基向量矩阵需要能快速求逆，而压缩性良好则表示选取的基要能明确且平稳的表示信号至噪声的过渡。

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线性代数后记-对角化到施密特正交化

为了求n次方这样子的问题，我们通过对坐标系的变换，将原有的矩阵对角化，然后发现里面的逆矩阵不好求，后面又发现了正交矩阵的逆矩阵好求，就是自己的转置。...矩阵特征值-变化中不变的东西之前都写过了，需要补充的一点是这个方向，方向是有两个方向的。在计算的时候平平无奇，就是上面是解的行列式，下面是把上面求解的特征值带入下面的方程，解出解系。...实对称阵（对称阵必然是方阵）必定可对角化那既然这么好，这个方法有什么弊端吗？...就是出现了这个P的逆矩阵，很不好求这里就给出了一个逆矩阵的求法，很复杂正交矩阵，这种矩阵的逆矩阵特别好求正交对角化，即想办法将P构造为正交矩阵，从而减小对角化时求解的困难正交矩阵其实是在这样的背景下出现的...因为正交矩阵的列向量组为标准正交基，所以构造正交矩阵最关键的就是要找到正交基, 简单来说，就是借助该向量空间的一个基x1,x2，找到同一个向量空间的一个正交基v1,v2：方法是固定住其中一个基，求出与之垂直的另一个基就行了

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从密度矩阵产生自然轨道-理论篇

其中nmo表示分子轨道数，是个厄米矩阵（实数下即实对称阵），此处表示分子轨道基下的密度矩阵，矩阵的迹必须等于体系电子数这里所说的满足正交归一关系是指其中为原子基函数，...（occ），接着将分子轨道展开至原子基函数（AO basis）上，便可出现大家在量子化学课上熟知的RHF（原子基）密度矩阵元，写成矩阵形式如果有一组轨道是当前轨道的酉变换，密度矩阵不会变，...假设我们知道原子基密度矩阵（例如Gaussian的fchk文件里就有），如何求自然轨道占据数和自然轨道呢？...接着事情就很简单了，我们可以将这个对称矩阵对角化，对比上述刚乘时的形式可以发现则自然轨道系数矩阵为在实际编程中求时需要舍弃接近零的值，即处理线性依赖。...我们已经知道如何求自然轨道及其占据数，接着回到原有的情形：假设有一套普通的正交归一轨道（例如，Boys局域轨道，UNO轨道等等），它是自然轨道的酉变换，则对应的占据数矩阵为可见，只需先求出变换关系

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矩阵求逆的几种方法总结（C++）

= Pb ==> Ux = y ，每步重新选主元），它有两种不同的实现； A-1=(LU)-1=U-1L-1，将A分解为LU后，对L和U分别求逆，再相乘；通过解线程方程组Ax=b的方式求逆矩阵。...b分别取单位阵的各个列向量，所得到的解向量x就是逆矩阵的各个列向量，拼成逆矩阵即可。下面是这两种方法的c++代码实现，所有代码均利用常规数据集验证过。...文内程序旨在实现求逆运算核心思想，某些异常检测的功能就未实现（如矩阵维数检测、矩阵奇异等）。注意：文中A阵均为方阵。...src的逆矩阵保存到des中。...为了节省空间，A=LU分解的元素存放在A的矩阵中（因为当用过了a[i][j]元素后，便不再用了，所以可以占用原矩阵A的空间）。

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聊聊对称非对称加密在HTTPS中的应用

目前常用的加密算法主要分成三类：对称加密算法非对称加密算法消息摘要算法在互联网中，信息防护主要涉及两个方面：信息窃取和信息篡改。...相对于非对称加密，对称加密具有更高的加解密速度，但双方都需要事先知道密钥，密钥在传输过程中可能会被窃取，因此安全性没有非对称加密高。...在这个过程中，公钥负责加密，私钥负责解密，数据在传输过程中即使被截获，攻击者由于没有私钥，因此也无法破解。非对称加密算法的加解密速度低于对称加密算法，但是安全性更高。...对称/非对称加密算法在HTTPS协议中的应用 HTTPS其实是有两部分组成：HTTP + SSL / TLS，也就是在HTTP上又加了一层处理加密信息的模块。...非对称加密算法的性能是非常低的，原因在于寻找大素数、大数计算、数据分割需要耗费很多的CPU周期，所以一般的HTTPS连接只在第一次握手时使用非对称加密，通过握手交换对称加密密钥，在之后的通信走对称加密。

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C++矩阵库Armadillo在Visual Studio中的配置

本文介绍在Visual Studio软件中配置C++ 环境下线性代数运算库Armadillo的方法。 ...项目的名称与存储位置大家可以自行设定，但存储路径建议选择在某个盘符下的第一个子文件夹中（即路径不要设置的太深即可）。 ...在弹出的窗口中，首先在“VC++”一栏的“包含目录”中，点击下拉箭头并选择“”。随后，在弹出的窗口中，点击其尾部的省略号。 ...接下来，我们需要在属性页中的“C/C++”一栏（如下图所示）进行配置；如果此时大家电脑中没有这一栏，可以参考如下的方法。 ...对于属性页中不含“C/C++”一栏的情况，我们首先需要在源文件中随便写一段代码，并点击“本地Windows 调试器”选项运行代码。随后，再打开属性页，即可看到“C/C++”一栏。

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MATLAB中求矩阵的逆矩阵方法（2种）「建议收藏」

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。...方法一：使用inv()函数求矩阵的逆第一步：打开matlab之后，在命令行窗口中输入a=[1 2 3;4 5 6; 7 8 9]，新建一个a方矩阵，如下图所示：第二步：在命令行窗口中输入inv...(a)，按回车键，可以看到得到了矩阵的逆，如下图所示：注意：a矩阵可逆的条件是非奇异方法二：使用a^-1格式求矩阵的逆第一步：在命令行窗口中输入a^-1，按回车键，可以得到矩阵的逆，如下图所示

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博客 | 机器学习中的数学基础（线性代数）

但是，请注意二维线性平面中不平行不共线的任意两个向量都可以看作是一组基，因此基的选择也要视具体需要解决的问题而定，这就引出了正交基，正交规范基等等。...从线性空间的几何角度看，若C是线性空间V中的立方体，T是V中的某个线性变换，在基 ?...类似相似矩阵表示同一线性变换在不同基下的表现形式，相合矩阵表示的是同一内积结构在不同基下的表现。对称矩阵 ? 对任意 ? 均存在 ? >0都成立，则称A为正定矩阵。...若将相似变换和相合变换结合起来，同时保持矩阵的相似和相合不变量，则将该变换称作正交相似变换，其中 ? ， ? 。值得注意的是，任意一个对称矩阵A，总存在一个正交矩阵P，使得 ?...，其中D为一个对角矩阵。从代数计算的角度来看，对角矩阵D为A矩阵的特征值，P是对应于某一特征值下的特征向量。正交相似变换最直接的应用有2种，包括对称方阵的PCA变换和长方形矩阵的SVD。

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【Math for ML】矩阵分解(Matrix Decompositions) （下）

所以矩阵\(A\)的变换实际上是经过了三个步骤，如下图所示(为方便理解使用了二维和三维图像进行说明)： ? 假设左上角的单位圆是在\(R^n\)空间，其标准基用\(B=[v_1,v_2]\)表示。...左下角的圆也在\(R^n\)空间里，其标准基用\(\tilde{B}=[e_1,e_2]\)表示，右下角的圆在\(R^m\)空间里，其标准基用\(\tilde{C}\)表示。...}\),其转置矩阵和其本身相乘之后得到的矩阵都是对称矩阵，即\(A^TA∈R^{n×n}\)和\(AA^T∈R^{m×m}\)均为对称矩阵。...计算\(U\) 和求\(V\)类似，这里不再赘述。\(U\)即为\(AA^T\)的特征矩阵。...，即有n个独立的特征向量条件下才可以做特征值分解；特征值分解后得到的矩阵\(P\)不必须是正交矩阵，也就是说\(P\)可以起到伸缩和旋转的作用；而SVD中的\(U,V\)矩阵都必须是正交矩阵，所以这两个矩阵只能起到旋转变换的作用

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【机器学习笔记之七】PCA 的数学原理和可视化效果

数学原理要找到这个低维空间，意味着要确定一组基如下图，蓝色正交箭头就是新的坐标系的基向量： ? 我们希望原数据在新坐标系上的投影尽可能分散。...所以希望协方差为 0，这样两个字段完全独立，那么第二个基只能在与第一个基正交的方向上选择。...于是，我们得到了降维问题的优化目标：将一组 N 维向量降为 K 维，目标是选择 K 个单位正交基，使得原始数据变换到这组基上后，各字段两两间协方差为0，并且字段的方差则尽可能大（即在正交的约束下，取最大的...这样，优化目标变成了寻找一个矩阵 P，满足 PCP? 是一个对角矩阵，即对 C 进行对角化（3）如何求 P： C 是一个是对称矩阵，在线性代数书上可以找到“实对称矩阵对角化”的内容。...一个 n 行 n 列的实对称矩阵一定可以找到 n 个单位正交特征向量 e1,e2,⋯,en，由它们按列组成的矩阵 E=(e1，e2，⋯，en) 可以将 C 对角化：（4） ?

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PCA 的数学原理和可视化效果

数学原理要找到这个低维空间，意味着要确定一组基如下图，蓝色正交箭头就是新的坐标系的基向量： ? 我们希望原数据在新坐标系上的投影尽可能分散。...所以希望协方差为 0，这样两个字段完全独立，那么第二个基只能在与第一个基正交的方向上选择。...于是，我们得到了降维问题的优化目标：将一组 N 维向量降为 K 维，目标是选择 K 个单位正交基，使得原始数据变换到这组基上后，各字段两两间协方差为0，并且字段的方差则尽可能大（即在正交的约束下，取最大的...这样，优化目标变成了寻找一个矩阵 P，满足 PCP? 是一个对角矩阵，即对 C 进行对角化（3）如何求 P： C 是一个是对称矩阵，在线性代数书上可以找到“实对称矩阵对角化”的内容。...一个 n 行 n 列的实对称矩阵一定可以找到 n 个单位正交特征向量 e1,e2,⋯,en，由它们按列组成的矩阵 E=(e1，e2，⋯，en) 可以将 C 对角化：（4） ?

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SVD奇异值分解的数学涵义及其应用实例

=[x1，...xn]T , 而此向量在标准正交基上表示为 ?...这样的表述还是相当地晦涩, 我们不妨在二维平面中举一个例子. 设有矩阵A, 其对单位正交基 ? 进行线性变换, 得到的向量仍然是彼此正交的, 即 ? 仍然是正交的. 设 ? 方向上的单位向量是 ?...这些更简单的变换是怎么进行生效的呢? 我们还是在二维平面中举例说明. 当使用矩阵A对向量 ? 进行变化时, 我们可以先将向量 ? 在单位正交基 ? 上进行表示, 即(4)所表述. 我们不妨令 ? ?...在单位正交基 ? 上的坐标, 即 ? 由(6), (7)我们有 ? 现在我们仔细地来分析(8)中各矩阵的具体操作效果. ? 如(9)所示, 矩阵A对向量 ? 进行线性变换, 其先将向量 ?...求pca的时候，能不能不用协方差矩阵？

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机器学习应该准备哪些数学预备知识？

一样，我也走过并继续在走很多弯路，就说说我的感受吧，大家一起探讨探讨。 1 理解矩阵变换矩阵变换简单的说就是x->Ax，A矩阵把原空间上的向量x映射到了Ax的位置，看似简单实在是奥妙无穷。...1.1 A可以是由一组单位正交基组成，那么该矩阵变换就是基变换，简单理解就是旋转坐标轴的变换，PCA就是找了一组特殊位置的单位正交基，本质上就是基变换。...2 理解（对称）矩阵的特征向量特征值分解 2.1 对称矩阵特征分解是理解多维高斯分布的基础要理解多维高斯分布需要四个知识：等值面，对称矩阵特征分解，正交基变换，多维椭圆方程 2.2 对称矩阵特征分解...对称矩阵特征分解可以直截了当的导出矩阵对角化的公式，而对协方差矩阵的对角化又是PCA的核心数学知识理解PCA的数学基础：协方差矩阵对角化，基变换矩阵。...问题二，你有发现解方程时对矩阵的操作，与消元法解方程的对应关系吗？你有发现行列式的定义和性质，与消元法解方程的对应关系吗？你有发现求逆矩阵与消元法解方程的对应关系吗？

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首发：吴恩达的 CS229的数学基础（线性代数），有人把它做成了在线翻译版本！

如果一个方阵的所有列彼此正交并被归一化（这些列然后被称为正交），则方阵是正交阵（注意在讨论向量时的意义不一样）。它可以从正交性和正态性的定义中得出: 换句话说，正交矩阵的逆是其转置。...正交矩阵的另一个好的特性是在具有正交矩阵的向量上操作不会改变其欧几里德范数，即: 对于任何 , 是正交的。 3.9 矩阵的值域和零空间一组向量是可以表示为的线性组合的所有向量的集合。...值得庆幸的是，在机器学习的大多数场景下，处理对称实矩阵就足够了，其处理的对称实矩阵的特征值和特征向量具有显着的特性。在本节中，我们假设是实对称矩阵, 具有以下属性：的所有特征值都是实数。...任何正交矩阵定义了一个新的属于的基（坐标系），意义如下：对于任何向量都可以表示为，的线性组合，其系数为：在第二个等式中，我们使用矩阵和向量相乘的方法。...在新的基上，矩阵多次相乘也变得简单多了。例如，假设。根据的元素导出的分析形式，使用原始的基可能是一场噩梦，但使用新的基就容易多了： “对角化”二次型。作为直接的推论，二次型也可以在新的基上简化。

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教程 | 从特征分解到协方差矩阵：详细剖析和实现PCA算法

PCA 的作用就是分析这些特征，并选出最重要的特征。PCA 本质上是将方差最大的方向作为主要特征，并且在各个正交方向上将数据「去相关」，也就是让它们在不同正交方向上没有相关性。...因为协方差矩阵为实对称矩阵（即 Aij=Aji），所以其必定可以通过正交化相似对角化。因为这两个变量的协方差为正值，所以这两个变量的分布成正相关性。...基变换因为协方差矩阵的特征向量都是彼此正交的，所以变换就相当于将 x 轴和 y 轴两个基轴换为主成分一个基轴。...在第一个坐标系中 v = (1,1)，而在第二个坐标系中 v = (1,0)。因此矩阵和向量可以在不同坐标系中等价变换。...PCA 的本质是将方差最大的方向作为主要特征，并且在各个正交方向上将数据「去相关」，即让它们在不同正交方向上没有相关性。

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二次型优化问题 - 6 - 共轭梯度法

该文字在《仪礼·既夕礼》和《荀子·正论》等文献均有记载。 ——百度百科数学中很多轭相关的内容，此处的共轭表示相互约束，在某个条件下可以相互作用的意思。...bf{A}为n阶实对称正定矩阵，如果有两个n维列向量\bf{s}_1和\bf{s}_2满足 image.png 则称向量\bf{s}_1和\bf{s}_2对于矩阵\bf{A}共轭。...如果\bf{A}为单位矩阵，则式\eqref{2}即成为\bf{s}_1\bf{s}_2，这样两个向量的点积为零，此二向量在几何上是正交的，它是共轭的一种特例。...设A为对称正定矩阵，若一组非零向量\bf{s}_1,\bf{s}_2,…,\bf{s}_n满足 image.png 则称向量系 image.png 为关于矩阵A共轭。...简化计算对于式\eqref{11}中，在求解\bf{d}_k过程中产生的系数\beta，此处强调一下\eqref{10}: image.png 由推论三，\eqref{10}中当i\ne

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