在coq中定义基本归纳类型
在Coq中，可以使用Inductive关键字来定义基本归纳类型。基本归纳类型是一种用于构建数据结构的方式，它允许我们定义一组值和操作这些值的规则。
在定义基本归纳类型时，我们需要指定类型的构造子（constructor），每个构造子可以带有零个或多个参数。构造子定义了如何构造该类型的值。
下面是一个示例，展示如何在Coq中定义一个基本归纳类型：
Inductive Nat : Type :=
| O : Nat
| S : Nat -> Nat.在上述示例中，我们定义了一个名为Nat的基本归纳类型。它有两个构造子：O和S。构造子O表示自然数的零，它不带任何参数。构造子S表示自然数的后继，它带有一个自然数作为参数。
通过这个定义，我们可以构造自然数的值。例如，O表示零，S O表示一，S (S O)表示二，依此类推。
基本归纳类型在函数定义和证明中非常有用。我们可以使用模式匹配来处理基本归纳类型的值，根据不同的构造子采取不同的操作。
在Coq中，有许多其他的基本归纳类型，如列表（List）、布尔值（Bool）等。每个基本归纳类型都有其特定的应用场景和优势。
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2回答
什么是Coq中的构造函数？
constructor、coq
我很难理解什么是构造函数以及它是如何工作的。
例如，在Coq中，我们被教导这样定义自然数：
Inductive nat : Type :=
| O : nat
| S : nat -> nat.
并被告知S是一个构造函数，但这到底是什么意思呢？
如果我这样做了：
Check (S (S (S (S O)))).
我知道它是nat类型的4。
这是如何工作的，Coq如何知道(S (S (S (S O))))代表4
我猜这个问题的答案是Coq中一些非常聪明的背景魔法。
浏览 1提问于2011-02-23得票数 9
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1回答
Coq中Peano数的实现
coq、peano-numbers
当时我正在阅读“软件基金会”( Software )一书来学习Coq，我被困在了上。在此类型定义中
Inductive nat : Type :=
| O : nat
| S : nat -> nat.
的定义中使用O如何成为0
Definition pred (n : nat) : nat :=
match n with
| O => O
| S n' => n'
end.
我只知道O代表自然数，S取自然数并返回另一个自然数。我不明白的是，当我们定义的nat数据类型在pred定义中使用时，O如何表示0？S n'模式匹配
浏览 3提问于2017-05-23得票数 1
1回答
Coq数据类型冲突
types、coq
在Coq中重新定义自然数类型并尝试使用它时，如下所示：
Inductive Nat: Type :=
| O: Nat
| S: Nat -> Nat.
Fixpoint plus (n: Nat) (m: Nat): Nat :=
match n with
| O => m
| S n' => S (plus n' m)
end.
Fixpoint mult (n: Nat) (m: Nat): Nat :=
match n with
| O => O
| S n' => plus m (mult n&
浏览 1提问于2013-06-25得票数 0
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2回答
Coq中自然数的加法
coq
Coq的标准库提供Peano自然数和加法：
Inductive nat : Set :=
| O : nat
| S : nat -> nat.
Fixpoint add n m :=
match n with
| 0 => m
| S p => S (add p m)
end.
我很好奇我是否更改了加法的fix_definition，比如
Fixpoint add n m :=
match n with
| 0 => m
| S p => add p (S m)
end.
新的加法是否等同于旧的加法？我试图通过证明for
浏览 11提问于2022-01-23得票数 1
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1回答
在Coq (受关系约束的归纳定义)中归纳定义整数
integer、coq、induction
在Coq中，可以归纳地定义自然数如下：
Inductive nat :=
| zero : nat
| succ : nat -> nat.
我想知道是否有可能以类似的方式归纳地定义整数？我可以这样做
Inductive int :=
| zero : int
| succ : int -> int
| pred : int -> int.
但是我想在int的定义中断言succ(pred x) = x和pred(succ x) = x，我不知道如何做到这一点。
浏览 2提问于2021-02-16得票数 0
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1回答
打印ssrnat的".+1“定义
printing、coq、ssreflect
在伊利亚·谢尔盖的程序和证明中，引入了ssrnat的命令.+1，用于定义自然数上的某些函数。虽然在这里对它的用法做了很好的解释，但我也感兴趣的是它是如何定义的，更重要的是它是如何工作的。在这一章的前面介绍了nat类型，我们可以用"Print nat.“来验证定义，从而得出如下结论：
Inductive nat : Set := O : nat | S : nat -> nat
然而，对于.+1，命令"Print .+1.“或"Print +1.”会产生：
Syntax error: 'Fields' or 'Rings' or &
浏览 5提问于2021-01-28得票数 0
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我正在阅读，并试图理解有关参数HOAS (高阶抽象语法)的Coq代码：
Inductive Closed : forall t, Exp t -> Prop :=
| CConst : forall n,
Closed (Const n)
| CPlus : forall E1 E2,
Closed E1
-> Closed E2
-> Closed (Plus E1 E2)
| CApp : forall dom ran (E1 : Exp (dom --> ran)) E2,
Closed E1
-> Closed E2
->
浏览 0提问于2018-07-11得票数 1
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4回答
定义产品类型上的递归函数
coq、termination、totality
我试图将每个整数形式化为自然数对的等价类，其中第一个分量是正部分，第二个分量是负部分。
Definition integer : Type := prod nat nat.
我想要定义一个正常化函数，其中正数和负数尽可能多地取消。
Fixpoint normalize (i : integer) : integer :=
let (a, b) := i in
match a with
| 0 => (0, b)
| S a' => match b with
| 0 => (S a', 0)
| S b' => no
浏览 1提问于2019-07-04得票数 6
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1回答
支柱和类型的不同归纳原则
coq
我注意到Coq对支持和类型的平等性综合了不同的归纳原则。有人对此有什么解释吗？
平等被定义为
Inductive eq (A : Type) (x : A) : A -> Prop := eq_refl : x = x
相关的归纳原则有以下几种类型：
eq_ind
: forall (A : Type) (x : A) (P : A -> Prop),
P x -> forall y : A, x = y -> P y
现在，让我们定义一个eq的Type吊坠：
Inductive eqT {A:Type}(x:A):A->Type:= eqT_refl:
浏览 4提问于2016-09-25得票数 5
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1回答
Coq严格正性令人费解
coq
我正在使用一种带有术语、变量和nat字面量的语言进行开发，其中的语言结构是预定义的：
Inductive sort : Set := TERM | VAR | NAT.
Inductive termArity : list sort -> Set :=
| Var : termArity [VAR]
| Let : termArity [VAR ; TERM ; TERM]
| Lam : termArity [VAR ; TERM]
| Ap : termArity [TERM ; TERM]
| NumLit : termArity [
浏览 5提问于2018-01-09得票数 1
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2回答
我们如何知道所有Coq构造函数都是内射的和不相交的？
constructor、coq、injective-function
根据，所有构造函数(对于归纳类型)都是内射的和不相交的：
...Similar原则适用于所有归纳定义的类型:所有构造函数都是内射的，从不同的构造函数生成的值永远都不相等。对于列表，反构造函数是内射的，零与每个非空列表不同。对布尔人来说，真假是不平等的。
(以及基于这一假设的inversion策略)
我只是想知道我们怎么知道这个假设成立？
我们如何知道，例如，我们不能定义基于
1)接班人，也许是“双重”构造函数，如下所示：
Inductive num: Type :=
| O : num
| S : num -> num
| D : num -> num.
浏览 5提问于2015-09-19得票数 5
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2回答
我在软件基础和Adam的第4章书中读过IndProp，我很难理解归纳命题。
作为一个运行中的示例，让我们使用：
Inductive ev : nat -> Prop :=
| ev_0 : ev 0
| ev_SS : forall n : nat, ev n -> ev (S (S n)).
我想我确实理解使用Set的“正常”类型，比如：
Inductive nat : Set :=
| O : nat
| S : nat -> nat.
像O这样的东西只返回nat类型的单个对象，S O接受一个nat类型的对象，并返回另一个，不同的，相同类型的nat中的一个。对于不
浏览 0提问于2018-12-16得票数 5
2回答
什么是归纳谓词？
predicate、coq、induction
你如何解释归纳谓词？它们是用来干什么的？他们背后的理论是什么？它们只存在于依赖型系统中，还是在其他系统中？它们在某种程度上与GADT有关吗？在Coq中，为什么默认情况下它们是真的？
这是Coq的一个例子：
Inductive even : nat -> Prop :=
| even0 : even 0
| evens : forall p:nat, even p -> even (S (S P))
你将如何使用这个定义？这是一种数据类型还是一个命题？
浏览 7提问于2014-04-11得票数 5
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1回答
“`le`”的归纳原则
coq、agda、induction、parametric-polymorphism
对于归纳类型nat，生成的归纳原则在其语句中使用构造函数O和S：
Inductive nat : Set := O : nat | S : nat -> nat
nat_ind
: forall P : nat -> Prop,
P 0 ->
(forall n : nat, P n -> P (S n)) -> forall n : nat, P n
但是对于le，生成的语句不使用构造函数le_n和le_S。
Inductive le (n : nat) : nat -> Prop :=
le_n : n <= n | le_S :
浏览 0提问于2019-03-16得票数 1
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1回答
coq。序对自然数
coq
我试图定义一种归纳数据类型，以保存对自然数。以下是我所做的
Definition ordered_pair := (nat * nat) % type.
Inductive nat_pair(A B:nat):ordered_pair:=
|pair :ordered_pair->ordered_pair.
它生成异常。
Anomaly: Uncaught exception Reduction.NotArity. Please report.
有人知道那里吗？
浏览 2提问于2014-02-24得票数 1
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1回答
互感类型变通
coq
考虑一种简单的语言，它具有自然数、自然数向量、变量以及一些操作，如+、-和nth。天真地，我会像这样在Coq中编码它：
Require Import Coq.Vectors.Vector.
Inductive NExpr: Type :=
| NVarValue: nat -> NExpr
| NConst: nat -> NExpr
| NPlus : NExpr -> NExpr -> NExpr
| NMinus: NExpr -> NExpr -> NExpr
| NNth : forall n, VExpr n -> NExpr ->
浏览 1提问于2018-04-05得票数 2
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2回答
对某一项应用替换的证明
coq、coq-tactic
我试图证明在一个术语上应用空代换等于给定的术语。代码如下：
Require Import Coq.Strings.String.
Require Import Coq.Lists.List.
Require Import Coq.Arith.EqNat.
Require Import Recdef.
Require Import Omega.
Import ListNotations.
Set Implicit Arguments.
Inductive Term : Type :=
| Var : nat -> Term
| Fun : string ->
浏览 26提问于2017-08-31得票数 2
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1回答
Coq：<与≤之间关系的证明
coq、proof、coq-tactic
我现在正在学习Coq，在一个更大的证明中，我被下面的子证明所困扰：
Theorem sub : ∀ n m : nat, n ≤ m → n ≠ m → n < m.
或者，一旦展开：
Theorem sub : ∀ n m : nat, n ≤ m → n ≠ m → S n ≤ m.
这里，"n≤m“的归纳定义如下：
Inductive le : nat → nat → Prop :=
| le_n : ∀ n : nat, le n n
| le_S : ∀ n m : nat, (le n m) → (le n (S m)).
我没有走多远，但我的尝试
浏览 0提问于2019-08-30得票数 2
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1回答
(注意，我的目标是学习更多关于Coq的知识，而不一定要解决这个问题。IRL，我希望在这种情况下我只需要重构以删除违规类型。)
我有一个这样定义的类型：
Inductive natprod : Type := pair (n1 n2 nat).
我想使我的产品类型多态，所以我现在定义
Inductive prod {X Y : Type} : Type := pair (x : X) (y : Y).
但是，我不能在同一个模块中同时定义prod和natprod，因为它们都有一个构造函数pair。但是我有很多关于natprod的函数和定理，所以我不想丢弃natprod。相反，我想说“当我写natp
浏览 7提问于2022-04-30得票数 1
2回答
我正在尝试计算Coq中的v元素在natlist/bag中出现的#。我试过：
Fixpoint count (v:nat) (s:bag) : nat :=
match s with
| nil => 0
| h :: tl => match h with
| v => 1 + (count v tl)
end
end.
然而，我的证据行不通：
Example test_count1: count 1 [1;2;3;1;4;1] = 3.
Proof. simpl. refle
浏览 0提问于2019-01-21得票数 0
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