一般限制为：一棵AVL树是其每个节点的左子树和右子树的高度最多差1的二叉查找树。...（空树的高度定义为-1，树中叶子的高度为0，往根上递增） 图片.png 如上图中，左边就是一棵AVL树，而右边则不是一棵AVL树，因为节点7的左子树高度为2，右子树的高度为0。...按照AVL树的定义，此时k1右子树的深度比k1左子树的深度大2。按照上图的方式进行旋转之后k2的左子树深度加1，而右子树深度不变，因此重新回到平衡。...观察上图我们可以发现，在整个旋转的过程中变化的其实只有k1，k2两个节点，三颗子树没有任何变化。 ...在具体的代码实现中我们应该注意，因为变化的只有两个或是三个节点，因此旋转操作之后更新高度只需要对这两个或是三个节点更新。（双旋转操作中是分两组更新的！）
为此引入AVL树，整棵树的层级高度之差总是为1. Adelson-Velskii-Landi树 AVL树和AV没有太大的关系。它是最先发明的自平衡二叉查找树。...在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1，所以它也被称为高度平衡树。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。AVL树得名于它的发明者G. M....何时需要平衡：AVL树插入和删除判断 AVL树的和移除节点的逻辑和BST完全一致。不同的在于，需要计算节点的平衡因子。 现在回顾高度的概念：从结点x向下到某个叶结点最长简单路径中边的条数 。...如果高度1，就需要平衡左子树。 平衡子树：avl旋转 通过旋转可以降低高度。 树的旋转相当容易。实在搞不定初期可以唯象论。 所谓的左旋和右旋都是以子树为原点的：如X是Y的子树，那么旋转就围绕X来进行。...左左旋转：向右的单旋转 ? 假设向AVL树插入节点5，这会造成树失衡（节点50 Y高度为+2），需要恢复树的平衡。
，如果其中一方高度过高时（失衡，可能退化），就会通过 旋转 的方式降低高度，有效的避免了退化 如果 二叉搜索树 中节点具备以下性质 它的左右子树都是 AVL 树 左右子树的高度之差（平衡因子）的绝对值不超过...在链接后，需要更新 根节点；左单旋后，parent、subR 的平衡因子都可以更新为 0，此时是很平衡的 2.4、右单旋 右单旋的适用场景如下：在根的左子树中出现 平衡因子 为 1 的情况下，仍然往左侧插入节点...，不能写成 赋值 = 当前 AVL 树为 三叉链 结构，在调整左右子树链接关系时，也需要对 父指针 进行调整 单旋转后，涉事节点的平衡因子都为 0 双旋转后，涉事节点的平衡因子需要分类讨论 AVL 的操作较多...及 AVL 树的属性，有可能会引发连锁旋转反应，导致一直 旋转 至 根 的位置（旋转比较浪费时间） AVL 树性能很优秀，如果在存储大量不需要修改的静态数据时，用 AVL 树是极好的，但在大多数场景中...C++【AVL树】的全部内容了，在本文中，我们首先了解了什么是 AVL 树，然后对其进行了实现，AVL 树光是一个 插入 操作，就已经涉及了 四大旋转情况，其中每种情况都需要自己画图分析，AVL 树是存储静态数据的理想容器
AVL二叉查找树 AVL二叉查找树是一种特殊的二叉查找树，其规定 每个节点的左子树和右子树的高度差最多是1 AVL调整算法 AVL树插入一个新的节点到某个节点下破坏AVL树的要求时，对于破坏条件的第一个节点...单旋转调整 考虑入下左图所示的情况，假设X与Z的深度相同且，整棵树符合AVL条件： ? 单旋转 若插入一个小于b的值，则X的深度将+1，从a节点来看，左子树的深度就比右子树大2，不符合条件。...双旋转 设左图为一颗AVL树，X,Y的深度比W,Z浅1（X,Y深度相等，W,Z深度相等），假若在X或Y中插入一个节点，在a节点的AVL条件将不同，需要使用双旋转调整，调整成右图的样子，合理性如下： ▪...查找树条件：对于W中的w，有w<b；对于X中的x，有b<x<c；对于Y中的y，有c<y<a；对于Z中的z，有z>a。...在右侧数中以上均成立 ▪ AVL条件：c的子树深度为1+max{W,X}，右侧深度为1+max{Y,Z}，W,X,Y,Z中有三个相同，另一个比其他都要浅1，则a的AVL条件成立。
AVL二叉查找树 AVL二叉查找树是一种特殊的二叉查找树，其规定 每个节点的左子树和右子树的高度差最多是1 AVL调整算法 AVL树插入一个新的节点到某个节点下破坏AVL树的要求时，对于破坏条件的第一个节点...单旋转调整 考虑入下左图所示的情况，假设X与Z的深度相同且，整棵树符合AVL条件： ? 单旋转 若插入一个小于b的值，则X的深度将+1，从a节点来看，左子树的深度就比右子树大2，不符合条件。...双旋转 设左图为一颗AVL树，X,Y的深度比W,Z浅1（X,Y深度相等，W,Z深度相等），假若在X或Y中插入一个节点，在a节点的AVL条件将不同，需要使用双旋转调整，调整成右图的样子，合理性如下： 查找树条件...在右侧数中以上均成立 AVL条件：c的子树深度为1+max{W,X}，右侧深度为1+max{Y,Z}，W,X,Y,Z中有三个相同，另一个比其他都要浅1，则a的AVL条件成立。...//当待插入的数大于左侧标签，为插入左节点的右子树，双旋转 t.LeftDoubleRotate() }
2 -> AVL树 2.1 -> AVL树的概念 二叉搜索树虽然可以缩短查找的效率，但如果数据有序或者接近有序的二叉搜索树将退化成单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。...树的旋转 如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。...在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑： 1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在 2. 60可能是根节点，也可能是子树如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点 如果是子树，可能是某个节点的左子树...新节点插入较高左子树的左侧——左左：右单旋 /* 在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左 子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60...新节点插入较高左子树的左侧——左左：右单旋 /* 在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左 子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60
中序访问有序 1.2、平衡二叉树 在二叉树中，由于每个节点的左右子树可以存在空树，所以在节点数一定的情况下，如果树中的空节点越多，树的高度就会越高，如果我们看最坏的情况，这棵树将退化为一条单链。...二、AVL树 2.1AVL树的概念 二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查 找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。..._bf; // 该节点的平衡因子 }; 2.3AVL树的插入 AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。...新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋 /* 上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左 子树增加 了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60...在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑： 1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在 2. 60可能是根节点，也可能是子树 如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点 如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
AVL树的概念 二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。...1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度 一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树： 它的左右子树都是AVL树 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过...AVL树的旋转 如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构， 使之平衡化。...根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种： 右单旋 新节点插入较高左子树的左侧—左左： 此处旋转是将30的右子树变成60的左子树，然后让60成为30的右子树 在旋转中有几点要注意： 30...AVL树的验证 AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步： 验证其为二叉搜索树 如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树 代码演示示例(C++)
AVL树的术语 在AVL树中插入或移除节点和二叉搜索树完全相同，然而AVL树的不同之处在于我们需要校验它的平衡因子，根据平衡因子来判断树是否需要调整，接下来我们就来看下AVL树的相关术语: 节点的高度和平衡因子...AVL树中，需要对每个节点计算右子树高度(hr)和左子树高度(hl)之间的差值，该值(hr - hl)应为0、1或-1。...向AVL树中插入或移除节点的逻辑与二叉搜索树一样，唯一的不同之处在于插入后需要验证树是否平衡，如果不平衡则需要进行相应的旋转操作。...获取当前插入树节点的平衡因子 如果在向左侧子树插入节点后树不平衡了，我们需要比较插入的键是否小于左侧子节点的键。...上面我们实现了AVL树，我们在向AVL树中插入或移除节点可能会造成旋转，所以我们需要一个包含多次插入和删除的自平衡树，红黑树是比较好的。插入或删除频率比较低，那么AVL树比红黑树更好。
，且最多会更新到根节点的平衡因子； 祖先节点平衡因子更新过程中，如果祖先节点的平衡因子变为0或者更新到了根节点，则停止更新；如果祖先平衡因子变为2/-2，此时这棵子树不再是 AVL树，我们需要对其进行旋转将其重新调整为...，此时需要向上更新祖先节点的平衡因子，且最多可以更新到根节点的平衡因子 //3.更新祖先节点平衡因子过程中，祖先平衡因子变为2/-2，此时这棵子树不再是AVL树，需要进行旋转将其调整为AVL树...根据节点插入位置的不同，AVL 树的旋转可以总结为四类： 左单旋：新节点插入较高右子树的右侧—右右； 右单旋：新节点插入较高左子树的左侧—左左； 先左单旋再右单旋：新节点插入较高左子树的右侧—左右； 先右单旋再左单旋...logN)，所以 AVL 进行查询非常高效； 但是如果要对 AVL 树做一些结构修改的操作，其性能就比较低；因为 AVL 树插入时需要调整其达到平衡，那么进行旋转的次数就比较多，更差的是在删除时，有可能要一直让旋转持续到根的位置...，且最多可以更新到根节点的平衡因子 //3.更新祖先节点平衡因子过程中，祖先平衡因子变为2/-2，此时这棵子树不再是AVL树，需要进行旋转将其调整为AVL树 cur = newNode; while
节点插入、旋转 AVL树插入节点的如下： 根据BST入逻辑将新节点插入树中 从新节点往上遍历检查每个节点的平衡因子，若发现有节点平衡因子不在[-1,1]范围内(即失衡节点u)，则通过旋转重新平衡以u为根的子树...NULL节点的每条路径都具有相同数量的黑色节点 每个Null节点都是黑色的 相比AVL树 AVL树比红黑树更加平衡，但AVL树可能在插入和删除过程中引起更多旋转。...>=2也不一定像AVL树一样为了保持平衡而旋转 AVL树的结构主要是围绕节点值与左右子树高度来保持平衡的，从节点值的角度考虑自然比红黑树更平衡，且值搜索时AVL的效率更高，但插入与删除较多时AVL树旋转操作会比红黑树更多...B-Tree(B树) 大多数自平衡搜索树（如AVL和红黑树）都会假定所有数据都在主内存中，但我们必须考虑无法容纳在主内存中的大量数据。...B-Tree缘由：大多数自平衡搜索树（如AVL和红黑树）都会假定所有数据都在主内存中，但我们必须考虑无法容纳在主内存中的大量数据。
一棵AVL树或者是空树或者是具有以下性质的二叉搜索树： 它的左右子树都是AVL 树左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1) 示图： 注：如果一棵二叉搜索树是高度可保持在...树的旋转 如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡 根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种： 新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋...1、左单旋 抽象示图： 注意： 上图在插入前AVL树是平衡的，新节点插入到60的右子树(注意：此处不是有孩子)中，60右子树增加了一层，导致以30为根的二叉树不平衡 要让30平衡，只能将30右子树的高度减少一层...对于a,b,c都是符合AVL树且高度为h的树的一种，这里不具体表示，以抽象表示各种情况，对于以下抽象图示也是如此 在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑： 60节点的左孩子可能存在，也可能不存在...，则进行单旋；当旋转相关结点成折线，则进行双旋 旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新 五、AVL树的验证 AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制
AVL树的概念 二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下，时间复杂度为O（N）； 两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii...和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度...如果它有n个结点，其高度可保持在log_2N,搜索的时间复杂度是log_2N。 AVL树的定义： AVL树的定义中：①拥有键值对。②多加一个双亲节点，用于调整平衡二叉树。...旋转的情况有四种： ①新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋 这种情况是新增的节点位于比较高的左子树的左侧的某个位置上，此时在往上检查平衡因子发现值为60的节点是平衡因子为-2，说明左子树的高度是比右子树高的...验证AVL树 由于AVL树是在二叉搜索树的基础上加了平衡性后得到的树，因此需要确认一棵树是AVL树，那么就需要以下两步： 1.先确定是否是一棵二叉搜索树：如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
AVL树的概念 二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。...下图的二叉搜索树的每个节点的平衡因子的 绝对值都小于2，并且每个节点的子树也都是AVL树 AVL树的定义 AVL树是一种特殊的二叉搜索树，它具有高度的平衡，所以为了在插入过程中的各个节点的平衡因子的更新..._bf; // 该节点的平衡因子 }; AVL树的插入 AVL树的插入是一个难点，它分为好几种情况，其实AVL树的插入也就是在二叉搜索树中插入新节点，但是由于他引入了平衡因子...AVL树的旋转 如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。...树的验证 AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步： 1.
AVL树 AVL树的概念 二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。...树的旋转 如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。...根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种： 1. 新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋 ?.../* 上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增 加 了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加...AVL树的验证 AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步： 验证其为二叉搜索树 如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树 验证其为平衡树 每个节点子树高度差的绝对值不超过
它是一种特殊的二叉搜索树。AVL树要求: 任一节点的左子树深度和右子树深度相差不超过1 (空树的深度为0。注意，有的教材中，采用了不同的深度定义方法，所以空树的深度为-1) 下面是AVL树: ?...我们在二叉搜索树中定义的操作，除了插入，都可以用在AVL树上 (假设使用懒惰删除)。如果进行插入操作，有可能会破坏AVL树的性质，比如: ?...Single rotation: 左侧超重，向右转 通过单旋转，3成为新的根节点，2,5称为3的左右子节点。子树重新成为AVL树。该子树的深度减小1，这将自动修正2带给节点6,1的“超负荷”。...对于AVL树，可以证明，在新增一个节点时，总可以通过一次旋转恢复AVL树的性质。 当我们插入一个新的节点时，在哪里旋转？是用单旋转还是双旋转? ? 我们按照如下基本步骤进行： 1....找到断的边(5->3)，并确定断弦的方向(5的左侧) 4. 以断边下端(3)为根节点，确定两个子树中的哪一个深度大(左子树还是右子树)。
AVL树 一、AVL树概念 二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。...AVL树的插入 AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。...所在的子树都比 30 大，所以我们可以将 60 的左子树接到 30 的右边，然后让 60 去做新的根，60 的左边更新为新的 30 的子树；如下图所示： 在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑： （1）...与左单旋的分析类似，右单旋中，是在 a 的子树中插入新节点，因为 30 是 60 的左子树，所以 30 这颗子树都比 60 要小，所以可以将 30 的右子树变成 60 的左子树，然后让 30 成为新的根...AVL树的验证 AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步： 验证其为二叉搜索树 如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树 验证其为平衡树 每个节点子树高度差的绝对值不超过
1.1 AVL树的概念 二叉搜索树（BST）虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。...因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过...但是如果要对AVL树做一些结构修改的操 作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时， 有可能一直要让旋转持续到根的位置。...（单旋） 情况5：u存在且为黑，由情况3变化而来，插入在较高子树的另一侧（双旋） 总结： 2.5 红黑树旋转和插入代码实现 //旋转代码和AVL树是一样的，只不过不需要搞平衡因子 void...（3）总体来说RB的整体性能高于AVL，因此在实际应用中基本上都是用的RB。 2.8 红黑树的实际应用 1. C++ STL库 -- map/set、mutil_map/mutil_set 2.
由于AVL树是自平衡二分搜索树，所以本质上还是二分搜素树，也就是二分搜索树的性质AVL树都满足，由于二分搜索树在添加有序元素时，会退化成链表，造成时间复杂度为O(n)，但AVL树是不会出现这种情况的，因为...平衡二叉树：对于任意一个节点，左子树和右子树的高度差都不能超过1。 为了更好的维护AVL树的自平衡，我们可以在每个节点中，标注该节点的高度，并计算该节点的平衡因子。...现在让我们来基于二分搜索树，代码实现一个AVL树，这里先实现一个二分搜索树，代码如下： /** * AVL树是基于之前实现的二分搜索树，只不过加了自平衡机制 * 因此AVL树中的元素仍然必须具有可比较性...插入的元素在不平衡节点左侧的左侧（LL） 对于这种情况我们就需要对这个不平衡节点进行右旋转（顺时针旋转） 右旋转代码实现： // 对节点y进行向右旋转操作，返回旋转后新的根节点x...（RL） 对于这种情况我们需要先进行右旋转操作，转成LL的情况，再进行左旋转： 在添加和删除方法中，对树的平衡性进行维护： //RL if (balanceFactor
二叉搜索树（BST），是二叉树的一种，只允许在左侧子节点存储比父节点小的值，在右侧子节点存储比父节点大的值。 我们通过两个指针（引用）来表示节点之间的关系，一个指向左侧子节点，另一个指向右侧子节点。...为了解决这个问题，可以使用自平衡二叉搜索树（Adelson-Velskii-Landi，AVL树）。添加或移除节点时，AVL树会尝试保持自平衡，任意一个节点的左子树和右子树高度最多相差1。...在AVL树中插入或移除节点和BST完全相同，只是AVL需要检验树的平衡因子，如果需要，会将其逻辑应用于树的自平衡。...在AVL树中，需要对每个节点计算右子树高度（hr）和左子树高度（hl）之间的差值，该值（hr - hl）应为0、1或-1。如果结果不是这三个值之一，就需要平衡该AVL树，这就是平衡因子的概念。...旋转 向AVL树插入节点时，可以执行单旋转或双旋转两种平衡操作，分别对应四种场景。
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