基于有限差分法的二阶常微分方程逼近 - 腾讯云开发者社区

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数学建模--微分方程

# 定义有限差分法求解泊松方程的函数 @vectorize(['float64(float64, float64, float64, float64)'], target='cpu') def laplacian...有限差分法通过将微分方程离散化为代数方程组来求解。这种方法适用于偏微分方程的定解问题，如椭圆型方程、抛物线型方程和双曲型方程。...非线性微分方程通常难以找到解析解，因此需要采用数值方法。龙格-库塔法和多步法是较好的选择，因为它们具有较高的精度和稳定性。偏微分方程的数值求解通常采用有限差分法或有限元法。...有限差分法适用于定解问题，而有限元法则适用于边界值问题。初值问题一般推荐使用龙格-库塔法或多步法，因为这些方法能够提供较高的精度和稳定性。...边值问题可以使用有限差分法或有限元法进行求解，特别是对于复杂的几何形状和边界条件。

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【数值计算方法（黄明游）】常微分方程初值问题的数值积分法：欧拉方法（向后Euler）【理论到程序】

常微分方程初值问题的数值积分法是一种通过数值方法求解给定初始条件下的常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）的问题。一、数值积分法 1....数值方法欧拉方法（Euler Method）：基本思想：根据微分方程的定义，使用离散步长逼近导数，进而逼近下一个点的函数值。...向前欧拉法（前向欧拉法）【计算方法与科学建模】常微分方程初值问题的数值积分法：欧拉方法（向前Euler及其python实现）向前差商近似微商：在节点 X_n 处，通过向前差商 \frac{...X_n)}{h} = f(X_n, y(X_n)) 这个近似通过将差商等于导数的思想，将微分方程转化为递推关系式。...向后 Euler 方法的解需要通过迭代求解非线性方程，通常，可以使用迭代法，如牛顿迭代法，来逐步逼近方程的解。

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最优控制——变分法

泛函的定义域是函数集，值域是数集，也就是说，泛函是从函数空间到数域的一个映射 3、最优控制问题的四个基本元素：状态方程、容许控制、目标集、性能指标其中状态方程(关于状态变量和控制变量的常微分方程)...=0的，在该点足够小的邻域内是几乎为0的得出问题：可能导致扰动后x落在定义域之外，结论不再有效 3、拉格朗日乘子法和KKT条件第三章变分法 1、函数变分：函数的增量 delta x...泛函增量：J（x+delta x)-J(x) 类比计算极值的时候函数值的差线性泛函：若满足齐次性条件和可加性条件，则称之为线性泛函若泛函增量可以写成函数变分的线性泛函及其高阶无穷小项的两部分加和...不适用场景：控制变量或其分量取值于实数空间中的闭区间 3、最简变分法：（欧拉-拉格朗日方程）求变分不止可以用看线性泛函和高阶无穷小，还可以用微积分的方法求解： 4、欧拉-拉格朗日方程是关于状态x...的二阶微分方程分为三种情况：三种结果： 5、hamilton方程组物理学家将欧拉-拉格朗日这个二阶微分方程化成了一阶常微分方程组 6、等式约束的处理拉格朗日乘子法发布者：全栈程序员栈长

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【数值计算方法（黄明游）】常微分方程初值问题的数值积分法：欧拉方法（向前Euler）【理论到程序】

常微分方程初值问题的数值积分法是一种通过数值方法求解给定初始条件下的常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）的问题。一、数值积分法 1....数值方法欧拉方法（Euler Method）：基本思想：根据微分方程的定义，使用离散步长逼近导数，进而逼近下一个点的函数值。...向前差商近似微商：在节点 X_n 处，通过向前差商 \frac{y(X_{n+1}) - y(X_n)}{h} 近似替代微分方程 y'(x) = f(x, y(x)) 中的导数项，得到...y'(X_n) \approx \frac{y(X_{n+1}) - y(X_n)}{h} = f(X_n, y(X_n)) 这个近似通过将差商等于导数的思想，将微分方程转化为递推关系式。...这个过程形成了一个逐步逼近微分方程解的序列。几何解释：在几何上，Euler 方法的求解过程可以解释为在积分曲线上通过连接相邻点的折线来逼近微分方程的解，因而被称为折线法。

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4.3 差分与简单常微分方程初值问题

差分的概念。什么是差分运算？如下图，数值计算过程我们计算函数上某点的导数时，可以选择某点附近（可以包含该点）的两个点，取这两个点的斜率来近似表示该点的导数。...一阶导数有一阶向前差分、一阶向后差分和一阶中心差分。当然也有二阶导数的计算方法，如下图。 ? 后期我们将通过差分法求解导热问题。...---- 常微分方程的初值问题我们求解常微分方程的初值问题，一个关于自变量x和y的常微分方程，满足: y'=x+y 其中y'表示y对x的导数，且过原点，试绘制函数曲线。...根据差分的定义，我们可以选择步长dx（或Δx）为为0.1，将y'写为差分形式为（y[n+1]-y[n]）/Δx，此时方程变为: (y[n+1]-y[n])/Δx=x[n]+y[n] 而已知x[0...左侧是曲线，右侧是调试输出的坐标数据。曲线如下： ? 数据如下： ? 更加高效的常微分方程初值问题，请参考龙格库塔方法。

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振型叠加法解动力学方程

振型叠加法解动力学方程振型叠加法求解动力学方程由两个步骤组成：一是求解结构的固有频率和振型；二是求解结构的动力响应。本文重点讨论第二步。...从数学上看，是将位移从有限元系统的节点位移向量为基向量(物理坐标)的维空间转换到以为基向量(振型坐标)的维空间。...在两端同时左乘,并令,可将初始条件变换成由可知，如果忽略阻尼影响，有限元系统的运动方程可以用相应的振型矩阵解耦成个互不耦合的单自由度系统运动方程。...由于阻尼矩阵无法得到显式的表达式，只能近似的考虑阻尼的影响。考虑求解的方便，假设阻尼矩阵与振型矩阵正交，即其中是第振型的模态阻尼比。此时变为个互不耦合的二阶常微分方程。...中每个方程都相当于一个单自由度系统的运动方程，可以用直接积分法求解，或者用杜哈梅积分求解。

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硬核NeruIPS 2018最佳论文，一个神经了的常微分方程

如下展示了文章的主要结构：常微分方程从残差网络到微分方程从微分方程到残差网络网络对比神经常微分方程反向传播反向传播怎么做连续型的归一化流变量代换定理...从微分方程到残差网络前面提到过残差网络是神经常微分方程的特例，可以说残差网络是欧拉方法的离散化。...如下图所示，左边的残差网络定义有限转换的离散序列，它从 0 到 1 再到 5 是离散的层级数，且在每一层通过激活函数做一次非线性转换。...其次，深度与误差控制有着直接的联系，ODEnet 通过控制误差容忍度能确定模型的深度。因为 ODE Solver 能确保在误差容忍度之内逼近常微分方程的真实解，改变误差容忍度就能改变神经网络的行为。...在基于链式法则的传统反向传播中，我们需要从后一层对前一层求导以传递梯度。

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「神经常微分方程」提出者之一David Duvenaud：如何利用深度微分方程模型处理连续时间动态

论文参与者认为，既然残差连接就是常微分方程（ODE）的离散化，那么常规神经网络的前向传播过程岂不就是微分方程给定初值解末值的过程？...Dougal Maclaurin、Matthew Johnson 这些前辈；在对比不同方法的参数效能时，该研究没有对基线方法进行微调；该研究认为使用 ODE 求解器能够根据给定的误差容忍度选择适当的步长逼近真实解...不管是否存在争论，David Duvenaud 对微分方程的研究没有停下。发表 ODENet 后不久，David Duvenaud 等人再次利用常微分方程提出新架构——可逆残差网络。...微分方程与连续时间动态从 NeruIPS 2018 最佳论文「神经常微分方程」到基于常微分方程构建的可逆残差网络，再到今年年初的《Scalable Gradients for Stochastic Differential...David Duvenaud 将在此次演讲中介绍，利用深度微分方程模型来处理连续时间动态方面的近期进展，这类模型可以拟合新的基于时序的丰富参数化分布。

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数值传热学

那么对应的方程就是导热方程、对流方程和热辐射方程，这三个方程本质上都是一个方程——能量守恒方程。...因此求解能量守恒方程是工业界的一个很现实的需求，所以计算就真的就是计算，就是解方程算数的一个过程。那什么是数值传热学？那就是如何解导热方程、如何解对流传热方程、如何解热辐射方程的这么一个学科。...这个方法大致来说就是分两步：第一步就是将我们的数值传热学的偏微方程变成一个代数方程组，这个代数方程组在理论上与我们的微分方程非常接近，接近到什么程度呢？理论上可以无限接近。...第二步就是如何来解这个代数方程组。于是我们就有了——有限差分法，通过有限差分法就可以将我们的二阶非线性偏微分方程变成一个代数方程组。有了代数方程组就可以解出来了，也就是线性代数的直接解法和迭代求解。...这个解代数方程组的技术非常的成熟，我们可以直接使用，当然有限差分法有很多问题，于是我们就针对传热学方程的特点，提出了一个更合适的有限体积法。

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Hinton向量学院推出神经ODE：超越ResNet 4大性能优势

来源：arXiv 作者：闻菲，肖琴【导读】Hinton创建的向量学院的研究者提出了一类新的神经网络模型，神经常微分方程（Neural ODE），将神经网络与常微分方程结合在一起，用ODE来做预测。...但我们常常忘记一点，那就是神经网络也是一种通用函数逼近器，因此，神经网络可以作为数值分析工具，用来解决更多的“经典”数学问题，比如常微分方程（Ordinary Differential Equation...将深度学习和常微分方程结合在一起，提供四大优势残差网络、递归神经网络解码器和标准化流（normalizing flows）之类模型，通过将一系列变化组合成一个隐藏状态（hidden state）来构建复杂的变换...这些迭代更新可以看作是连续变换的欧拉离散化。当我们向网络中添加更多的层，并采取更少的步骤时会发生什么呢？在极限情况下，我们使用神经网络指定的常微分方程（ODE）来参数化隐藏单元的连续动态： ?...图1：左：残差网络定义一个离散的有限变换序列。右：ODE网络定义了一个向量场，它不断地变换状态。圆圈代表评估位置。使用ODE求解器定义和评估模型有以下几个好处：内存效率。

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数值微分|有限差分法的误差分析

在所有有限差分表达式中，系数之和为零。对舍入误差的影响可能很大。很小时，的值几乎相等。当它们通过系数相乘再相加，可能会丢失几个有效数字。以(1)为例，分子可能会为0。...为了解决这个矛盾，我们可以采取以下措施： 1 使用双精度浮点数运算 2 采用精确度至少为的有限差分公式例如，用中心差分法计算在处的二阶导数。...取不同的值以及精度为和，手算结果见下表精确值为。精度为时，的最佳值为0.08。由于截断和舍入错误的共同影响，三位有效数字丢失。...大于最佳值，主要错误是由截断引起的。小于最佳值，舍入误差变得明显。精度为时，结果精确到四位有效数字。这是因为额外的精度降低了舍入误差。最佳约为0.02。...ddf = ( math.exp(-(x+h)) - 2*math.exp(-(x)) + math.exp(-(x-h)) ) / (h*h) print(ddf) 输出结果： h的取值对双精度计算影响不大

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带你用matlab轻松搞定微分方程

关于微分方程你需要了解：含有未知的函数及其某些阶的导数以及其自变量本身的方程称为微分方程。如果未知函数是一元函数，则称为常微分方程。如果未知函数是多元函数，则称为偏微分方程。...联系一些未知函数的一组微分方程称为微分方程组。微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶称为微分方程的阶。有些微分方程比较简单可直接通过积分求解。例如一阶常系数线性常微分方程： ?...一般来讲符号法的运算会比单纯的数值运算可具有科学准确性。因为该问题比较简单，可以采用符号微分法求解，用符号计算为对比看差分法数值运算精度如何。...); hold(axes1,'on'); plot(x,y,'DisplayName','差分法','LineWidth',2); h1=ezplot(y1,[0,1]); set(h1,'DisplayName...xlabel('$x$','FontWeight','bold','Interpreter','latex'); ylabel('$f(x)$','Interpreter','latex'); title('差分法

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天生一对，硬核微分方程与深度学习的「联姻」之路

例如，动力学系统可以选择自适应的时间步大小，这对应于选择自适应的神经网络层级。这一篇文章提出了非常多的新洞见，尤其是结合常微分方程与深度残差网络的新视角。...PolyNet 主要希望提供多样性的架构，因此 PolyInception 除了常规残差模块的一阶路径，还添加了另一条二阶路径。具体而言，PolyInception 模块可以表示为： ?...因此，PolyNet 可以视为采用反向欧拉策略解常微分方程 u_t = f(u) 的逼近方法。如果这样理解，那么它暗示着允许更大的时间步大小，因此这表示我们可以采用更少的残差模块就能构建更好的效果。...多伦多大学陈天琦等研究者表示，既然残差连接就是常微分方程（ODE）的离散化，那么常规神经网络的前向传播过程岂不就是微分方程给定初值解末值的过程？...如下图所示，左边的残差网络定义有限转换的离散序列，它从 0 到 1 再到 5 是离散的层级数，且在每一层通过激活函数做一次非线性转换。

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高数期末有救了？AI新方法解决高数问题，性能超越Matlab

来，回顾一下常微分方程机器学习的传统是将基于规则的推断和统计学习对立起来，很明显，神经网络站在统计学习那一边。...表达式是基于有限的变量（即文字）、常量、整数和一系列运算符创建得到的，这些运算符可以是简单函数（如 cos 或 exp），也可以更加复杂（如微分或积分）。...二阶常微分方程（ODE 2）前面介绍的生成一阶常微分方程的方法也可用于二阶常微分方程，只需要考虑解为 c_2 的三变量函数 f(x, c_1, c_2)。...通过该方法，研究者创建了二阶常微分方程及其解的对，前提是生成的 f(x, c_1, c_2) 的解为 c_2，对应一阶常微分方程的解为 c_1。...研究者对二阶常微分方程也使用了类似的方法，不过二阶方程有两个常量 c_1 和 c_2，因此简化略微复杂一些。无效表达式：最后，研究者从数据集中删除无效的表达式。

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基于时态差分法的强化学习：Sarsa和Q-learning

时态差分法（Temporal Difference, TD）是一类在强化学习中广泛应用的算法，用于学习价值函数或策略。...Sarsa和Q-learning都是基于时态差分法的重要算法，用于解决马尔可夫决策过程（Markov Decision Process, MDP）中的强化学习问题。...Sarsa（State-Action-Reward-State-Action）和Q-learning是都是基于时态差分法的强化学习方法。...a' 是在新状态s'下选择的下一个动作。 Q-learning是另一种基于时态差分法的增强学习算法，用于学习一个值函数，表示在状态s下采取最优动作得到的期望累积奖励。...总结这个简单的例子说明了Sarsa和Q-learning之间的比较，我们总结两个算法的区别： Sarsa和Q-learning都是基于时态差分法的强化学习算法，它们在解决马尔可夫决策过程（MDP）中的强化学习问题时有一些重要的区别

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一份简短又全面的数学建模技能图谱：常用模型&算法总结

深度学习模型【26】神经网络模型四、模型求解与优化【27】数值优化方法【28】组合优化算法【29】差分方程模型【30】常微分方程的解法【31】偏微分方程的数值解【32】稳定状态模型...---- 【29】差分方程模型差分方程是包含未知函数的差分及自变数的方程。...主要用于时间序列模型和求解常微分方程。在求微分方程的数值解时，常用差分来近似微分，所导出的方程就是差分方程。通过解差分方程来求微分方程的近似解，是连续问题离散化的一个例子。...【博文链接】差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换差分方程模型(二）：蛛网模型差分方程模型(三）：预测商品销售量差分方程模型(四）：遗传模型 ---- 【30】常微分方程的解法建立微分方程只是解决问题的第一步...【博文链接】常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor 多项式近似常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法常微分方程的解法 (三): 龙格

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加州理工华人博士提出傅里叶神经算子，偏微分方程提速1000倍，告别超算！

一般凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，就叫做微分方程。如果未知函数是一元函数的，就叫做常微分方程；如果未知函数是多元的，就叫做偏微分方程。...最近一直在Kortschak学者计划的支持下研究偏微分方程的深度学习方法。传统的求解方法，如有限元法（fem）和有限差分法（fdm），都是通过空间离散来求解方程的。...复杂的PDE系统通常需要非常细粒度的离散，因此传统解决方案非常具有挑战性和耗时。另一方面，数据驱动方法可以直接从数据中学习方程组的轨迹。因此，基于学习的方法的阶数可能比传统的求解方法的阶数大。...理论上，它们出现在通用逼近定理的证明中，并且在经验上，它们被用于加速卷积神经网络。这篇论文也是提出了一种在傅立叶空间中直接定义的具有准线性时间复杂度和最新逼近能力的神经算子结构。...与标准神经网络结合线性乘法和非线性激活逼近高度非线性函数的方法类似，所提出的神经算子可以逼近高度非线性算子。

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使用Maxima求解常微分方程~

使用Maxima求解常微分方程~ 含带导数符号或带微分符号的未知函数的方程称为微分方程。如果在微分方程中未知函数是一个变元的函数，这样的微分方程称为常微分方程。...1 一阶、二阶常微分方程的通解 Maxima 可以求解很多种类的常微分方程。对于可以给出闭式解的一阶和二阶常微分方程，Maxima 会试图求出其精确解。下面给出三个简单的例子。...ode2函数只能求解一阶和二阶常微分方程，第三个例子给出的是一个三阶常微分方程，无法求解，因此输出 false。...4 利用Laplace变换法求解常微分方程(组) 如果待求解的常微分方程(组)是线性常系数的。则可以利用Laplace变换法来求解。...下面给出一个常微分方程组求解的例子。

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有限元法（FEM）

这种微分方程被称为常微分方程（ODE）。...如果要求（14）对试函数空间中的所有试函数都成立，而不是方程（10）对 Ω 中的所有点都成立，则可以得到弱形式公式。因此，基于方程（10）的问题公式有时也称为逐点公式。...这些公式化是等效的，因为从（10）推导（15）的过程依赖于格林第一恒等式，而其只有在 T 有连续的二阶导数的情况下才成立。这是有限元公式化的第一步。...一种方法是对时间域也使用有限元法，但这种做法可能会耗费大量的计算资源。经常采取的另一种方案则是通过直线法来对时间域进行独立的离散化。比如可以使用有限差分法。...其最简单的形式可以用下面的差分近似法来表示：（20）给出的是方程（19）中的两个可能有限差分逼近。

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关于计算流体力学，你知道多少？

网格是离散的基础，网格节点是离散化物理量的存储位置。常用的离散化方法有有限差分法、有限元法和有限体积法。对这三种方法分别介绍如下。有限差分法有限差分法是数值解法中最经典的方法。...其基本的差分表达式主要有四种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。...有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒；而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。就离散方法而言，有限体积法可视作有线单元法和有限差分法的中间产物。...有限差分法：直观，理论成熟，精度可选，但是不规则区域处理繁琐，虽然网格生成可以使有限差分法应用于不规则区域，但是对于区域的连续性等要求较严。使用有限差分法的好处在于易于编程，易于并行。...有限单元法：适合于处理复杂区域，精度可选。缺点是内存和计算量巨大，并行不如有限差分法和有限体积法直观。有限体积法：适用于流体计算，可以应用于不规则网格，适用于并行。但是精度基本上只能是二阶。

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数学建模--微分方程

【数值计算方法（黄明游）】常微分方程初值问题的数值积分法：欧拉方法（向后Euler）【理论到程序】

最优控制——变分法

【数值计算方法（黄明游）】常微分方程初值问题的数值积分法：欧拉方法（向前Euler）【理论到程序】

4.3 差分与简单常微分方程初值问题

振型叠加法解动力学方程

硬核NeruIPS 2018最佳论文，一个神经了的常微分方程

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使用Maxima求解常微分方程~

有限元法（FEM）

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