但是当样本特征不完整的时候，比如说西瓜的一个特征根蒂已经脱落，无法获取它是“蜷缩”还是“硬挺”，这时候根蒂这个特征就变成一个隐变量了，事实上实际特征缺失是比较场景的，这时候如何进行参数估计呢？...一个简单的例子： 有一枚特殊的硬币，它抛的正反面概率未知的，但是在一次实验中抛了4次，得到“正正反正”。那么请问这枚硬币抛一次得到正面的概率最可能是多大？ 显然是3/4，为什么呢？...其他概率比如说1/2，抛4次得到正正反正的概率为，P(1/2)=1/2*1/2*1/2*1/2=16/256，都会小于27/256。 这就是说这枚硬币抛一次得到的正面的概率最有可能是3/4。...数字解释 回到最大似然估计的例子，如果有两枚不同的硬币且未知抛的是哪个硬币，问题就不一样了。...引用附件paper的一个例子 - 最大似然估计解决问题 如图，先看两个硬币都是已知的情况，我们有这么一些实验，怎么推算硬币A和B的正面概率？
概率和似然 一般地，硬币有正反两面，如果硬币正反两面是均匀的，即每次抛掷后硬币为正的概率是0.5。使用这个硬币，很可能抛10次，有5次是正面。...现在有一人抛了10次硬币，得到6正4反的结果，如何估算下次硬币为正的概率呢？ 因为硬币并不是我们制作的，我们不了解硬币是否是完全均匀的，只能根据现在的观察结果来反推硬币的情况。...假设硬币上有个参数θ，它决定了硬币的正反均匀程度，θ = 0.5表示正反均匀，每次抛硬币为正的概率为0.5，θ = 1表示硬币只有正面，每次抛硬币为正的概率为1。...假如我们知道硬币是如何构造的，即已知硬币的参数θ，那么出现“6正4反”的概率为： ? 公式 1 公式1是概率函数，表示已知参数θ，事实“6正4反”发生的概率。参数θ取不同的值时，事情发生的概率不同。...两次抛掷硬币相互之间不影响，因此硬币正面朝上的概率可以用各次概率的乘积来表示。 似然函数通常用L表示。观察到抛硬币“6正4反”的事实，硬币参数θ取不同值时，似然函数表示为： ?
概率和似然 一般地，硬币有正反两面，如果硬币正反两面是均匀的，即每次抛掷后硬币为正的概率是0.5。使用这个硬币，很可能抛10次，有5次是正面。...现在有一人抛了10次硬币，得到6正4反的结果，如何估算下次硬币为正的概率呢？ 因为硬币并不是我们制作的，我们不了解硬币是否是完全均匀的，只能根据现在的观察结果来反推硬币的情况。...假设硬币上有个参数 ，它决定了硬币的正反均匀程度， 表示正反均匀，每次抛硬币为正的概率为0.5， 表示硬币只有正面，每次抛硬币为正的概率为1。...假如我们知道硬币是如何构造的，即已知硬币的参数 ，那么出现“6正4反”的概率为： 上面这个公式是概率函数，表示已知参数 ，事实“6正4反”发生的概率。参数 取不同的值时，事情发生的概率不同。...最大似然估计就是寻找最优参数，使得观测数据发生的概率最大、统计模型与真实数据最相似。 参考资料 如何通俗地理解概率论中的「极大似然估计法」?
为了估计这两个硬币朝上的概率，咱们轮流抛硬币A和B，每一轮都连续抛5次，总共5轮： 硬币 结果 统计 A 正正反正反 3正-2反 B 反反正正反 2正-3反 A 正反反反反 1正-4反 B 正反反正正...3+1+2）/ 15 = 0.4 PB= （2+3）/10 = 0.5 问题来了，如果我们不知道抛的硬币是A还是B呢（即硬币种类是隐变量），然后再轮流抛五轮，得到如下结果： 硬币 结果 统计 Unknown...可要估计z，我们又得知道PA和PB，这样我们才能用极大似然概率法则去估计z，这不是鸡生蛋和蛋生鸡的问题吗，如何破？...我们不妨这样，先随便给PA和PB赋一个值，比如： 硬币A正面朝上的概率PA = 0.2 硬币B正面朝上的概率PB = 0.7 然后，我们看看第一轮抛掷最可能是哪个硬币。...2相加，除以A被抛的总次数15（A抛了三轮，每轮5次），作为z的估计值，B的计算方法类似。
maximization algorithm） numpy复现 EM期望极大算法（expectation maximization algorithm） 用于含有隐变量 （hidden variable）的概率模型参数的极大似然估计...，或极大后验概率估计。...概率是在特定环境下某件事情发生的可能性，也就是结果没有产生之前依据环境所对应的参数来预测某件事情发生的可能性，比如抛硬币，抛之前我们不知道最后是哪一面朝上，但是根据硬币的性质我们可以推测任何一面朝上的可能性均为...50%，这个概率只有在抛硬币之前才是有意义的，抛完硬币后的结果便是确定的；而似然刚好相反，是在确定的结果下去推测产生这个结果的可能环境（参数），还是抛硬币的例子，假设我们随机抛掷一枚硬币1,000次，结果...500次人头朝上，500次数字朝上（实际情况一般不会这么理想，这里只是举个例子），我们很容易判断这是一枚标准的硬币，两面朝上的概率均为50%，这个过程就是我们运用出现的结果来判断这个事情本身的性质（参数
（kernel density estimation） 核密度估计法是一种通过某个（连续的）概率分布的样本来估计这个概率分布的密度函数的方法。...说到用样本来估计概率密度，最基础的就应该是“直方图”了。我们可以把直方图看作是一个几乎处处连续的函数，用这样一个连续的函数作为未知概率分布的近似。...核密度估计是一种比较平滑地估计未知分布概率密度的方法。...上图是用Rosenblatt直方图方法估计的标准正态分布样本点的概率密度。...下图是标准的概率分布，可以看到，选取比较合适的bandwidth，高斯核密度估计能够很好地近似原分布！ plt.plot(y, stats.norm.pdf(y)); plt.show() ?
为了估计这两个硬币朝上的概率，咱们轮流抛硬币A和B，每一轮都连续抛5次，总共5轮： ? OK，问题变得有意思了。现在我们的目标没变，还是估计PA和PB，需要怎么做呢？...可要估计z，我们又得知道PA和PB，这样我们才能用极大似然概率法则去估计z，这不是鸡生蛋和蛋生鸡的问题吗，如何破？...我们不妨这样，先随便给PA和PB赋一个值，比如：硬币A正面朝上的概率PA = 0.2 硬币B正面朝上的概率PB = 0.7 然后，我们看看第一轮抛掷最可能是哪个硬币。...如果是硬币A，得出3正2反的概率为 0.20.20.20.80.8 = 0.00512 如果是硬币B，得出3正2反的概率为0.70.70.70.30.3=0.03087 然后依次求出其他4轮中的相应概率...第3轮、第5轮出现正的次数2、1、2相加，除以A被抛的总次数15（A抛了三轮，每轮5次），作为z的估计值，B的计算方法类似。
简单点说，现在已知一个数据的概率分布，这个概率分布中有一些参数是未知的，那么我们如何通过采样的几个样本来估计这些参数呢，这个时候就要使用极大似然估计。...其实极大似然估计很多时候和我们的直觉是一样的，比如有一个系统会随机输出1-6的数字，你进行大量的实验后发现1出现的次数大概占总的1/6。然后你就会直觉地1出现的概率是1/6。...其实这一过程你的潜意识里就用了极大似然估计的方法。 为了方便理解，这里举个简单的栗子。抛硬币，对于抛硬币来说它只会给出正面或者反面，现在我们假设给出正面的概率为a，那么反面的概率就是1-a。...（毕竟硬币真反面图案不一样，所以也有可能不是50%对吧）。那么这里的a就是我们要估计的一个参数。 接下来我们做实验，假设在实验中一共投了15次硬币，其中前5次正面，后10次反面。...其实这个式子也可以理解成，在给定a的情况下，我们投了15次硬币，其中前5次正面，后10次反面的概率为多少。既然我们观测的这个事情已经发生了，那么我们要找到一个a使这个概率越大越好。
极大似然估计 假设有一枚硬币，我们想确定这枚硬币是否质地均匀。即想知道抛这枚硬币，正反面出现的概率各是多少？于是我们将这枚硬币抛了10次，得到的数据x0是：反正正正正反正正正反。...我们想求的正面概率θ是模型参数，而抛硬币模型可以假设服从二项分布。 那么，出现实验结果x0（反正正正正反正正正反）的似然函数是多少呢？ ? 而极大似然估计，顾名思义，就是要最大化这个函数。...最大后验概率 与极大似然估计相比，使用最大后验概率估计θ时，首先认为θ本身存在一个分布，即θ有先验分布。 还是以判断一枚硬币是否质地均匀为例。...假设正面概率θ满足均值为0.5，方差为1的先验分布，即： ? 那么，将这枚硬币抛了10次，得到的数据x0是：反正正正正反正正正反。 因为考虑了先验分布，所以实验结果x0的函数可以表示为： ?...似然： 如果我抛一枚硬币100次，正面朝上52次，那么它十有八九是质地均匀的。 再举一个例子加深理解。 假设有人向我挑战一个“有利可图的赌博游戏”。
1 EM算法简介 最大期望算法(Expectation Maximization Algorithm，又译期望最大化算法)，是一种迭代算法，用于含有隐变量(hidden variable)的概率参数模型的最大似然估计或极大后验概率估计...在统计计算中，最大期望(EM)算法是在概率(probabilistic)模型中寻找参数最大似然估计或者最大后验估计的算法，其中概率模型依赖于无法观测的隐藏变量(Latent Variable)。...于是，以初始值θ0为起点，可迭代执行以下步骤直至收敛： 基于θt推断隐变量Z的期望，记为Zt; 基于已观测变量X和Zt对参数θ做极大似然估计，记为θt+1 2 抛硬币例子 我们现在考虑两个抛硬币的例子...这很容易，因为计算未知参数所需的所有信息都是可获得的。但是，如果硬币上的标签(A和B)被隐藏起来,不知道每次投掷哪个硬币。鉴于A和B硬币同样可能被选中，那我们如何估计未知参数'p'和'q'?...因此，给定观察1，它来自硬币A的概率是0.45并且来自硬币B的概率是0.55。
说到最大似然估计与最大后验估计，最好的例子自然就是抛硬币了。本文也不免俗，同样以抛硬币作为例子。 于是我们拿这枚硬币抛了10次，得到的数据X是：反正正正正反正正正反。...我们想求的正面概率θ是模型参数，而抛硬币模型我们可以假设是二项分布。...回到抛硬币的例子，出现实验结果X的似然函数是什么呢？...即，抛10次硬币，发现7次硬币正面向上，最大似然估计认为正面向上的概率是0.7。是不是非常直接，非常简单粗暴？没错，就是这样，谁大像谁！ 说到这里为止，可能很多同学不以为然：你这不坑爹嘛？...换言之，我们在抛硬币前，便估计这枚硬币更可能有0.8的概率抛出正面。 那么问题就来了，为什么我们要用 β \beta β分布来描述先验概率呢？
二项分布如何计算概率？ 怎么计算符合二项分布事件的概率呢？也就是你想知道下面的问题： 你抛硬币3次，2次正面朝上的概率是多少？ 你买了这5家公司的股票，3支股票赚钱的概率是多大？...例如，抛硬币5次（n），恰巧有3次正面朝上(x=3，抛硬币正面朝上概率p=1/2)，可以用上面的公式计算出出概率为31.25%（用Excel的BINOM.DIST函数，Python，R都可以快速计算)...二项分布经常要计算的概率还有这样一种情况： 抛硬币5次，硬币至少有3次正面朝上（即x>=3）的概率是多少？...（例如你在玩抛硬币的游戏，想知道抛5次硬币，只有第5次（就是滴1次成功）正面朝上的概率是多大。 你表白你的暗恋对象，你希望知道要表白3次，心仪对象答应和你手牵手的概率多大。）...案例：例如你在玩抛硬币的游戏，想知道抛5次硬币，只有第5次（就是滴1次成功）正面朝上的概率是多大。
在对事物建模时，用θ表示模型的参数，请注意，解决问题的本质就是求θ。那么： (1) 频率学派：存在唯一真值θ。举一个简单直观的例子—抛硬币，我们用P(head)来表示硬币的bias。...抛一枚硬币100次，有20次正面朝上，要估计抛硬币正面朝上的bias P(head)=θ。在频率学派来看，θ= 20 / 100 = 0.2，很直观。...例如，对于一枚均匀硬币，即θ= 0.5，抛掷5次，出现5次正面 (这种情况出现的概率是1/2^5=3.125%)，频率学派会直接估计这枚硬币θ= 1，出现严重错误。...先验，即P(θ)，指的是在没有观测到任何数据时对θ的预先判断，例如给我一个硬币，一种可行的先验是认为这个硬币有很大的概率是均匀的，有较小的概率是是不均匀的；似然，即P(X|θ)，是假设θ已知后我们观察到的数据应该是什么样子的...同样是抛硬币的例子，对一枚均匀硬币抛5次得到5次正面，如果先验认为大概率下这个硬币是均匀的 (例如最大值取在0.5处的Beta分布)，那么P(head)，即P(θ|X)，是一个distribution，
本质上，贝叶斯公式描述了在给定新信息的情况下如何更新我们的模型。 为了理解原因，我们将看一个简单的例子：用不公平的硬币抛硬币。假设我们有一个神奇的硬币！抛掷时可能出现正面或反面，但概率不一定相等。...问题是，我们不知道确切的概率。因此，我们必须进行一些实验和统计估计才能找到答案。为了数学地表述这个问题，我们用 x 表示正面朝上的概率。 我们对 x 了解多少？ 此时，什么都没有。...这被称为先验，因为它表达了我们在实验之前的知识。 先验分布的密度，以概率形式表达我们对 X 的了解。 所以，假设我们已经扔了我们的魔法硬币，这次得到的结果是反面。它如何影响我们的硬币模型？...所以，我们有我们的后验分布！请注意，它更集中在 x = 0 附近。（回想一下，x 是正面朝上的概率。） 换句话说，这意味着如果我们只看到一次抛硬币导致反面，我们猜测硬币偏向于此。...当然，我们可以进行越来越多的抛硬币，这可以进一步完善后验。在 k 个正面和 n-k 个反面之后，后验将是所谓的 Beta 分布。 总结 这是最简单的贝叶斯公式解释了。
关键词：抛硬币、均匀、连续、两次正面 一些分析： 这个经典的概率论问题要求我们给出抛掷一枚均匀硬币，直到连续两次都出现正面为止，平均需要抛掷多少次。连续两次的概念很关键。...三、代码示例 下面这段代码的主要功能是通过模拟实验来估计在一系列硬币投掷中，得到连续 n 次正面的平均所需次数（即数学期望）。这个问题在概率论和统计学中很常见，尤其是在研究随机过程和伯努利试验时。...: {result}") # 程序运行结果如下： # 得到连续 2 次正面所需次数的数学期望是：6.00 ️ 相关链接： 几道抛硬币问题 抛硬币直到连续若干次正面的概率 一道机器学习岗位面试题...不均匀硬币求解两个正面的期望 抛硬币直到出现连续 N 次正面为止的期望 抛硬币次数的期望 抛一枚硬币连续抛出两次正面的概率是多少？...同样抛一枚硬币直至连续 2 次出现正面，此时抛的次数期望值为多少？
在参数估计中，我们会遇到两个主要问题：（1）如何去估计参数的值。...（2）估计出参数的值之后，如何去计算新的观测数据的概率，比如进行回归分析和预测。符号定义如下： 现有观测数据 ? ，可以看作是一系列独立同分布的数据序列；其参数为 ?...后验概率 = 似然函数*先验概率/证据 下一段我们将介绍不同的参数估计方法，首先是最大似然估计，然后是最大后验估计（如何利用最大化后验合并参数中的先验知识），最后是贝叶斯估计（使用贝叶斯规则推断一个完整的后验分布...替换成了待估计的真实参数值 ? ，便于计算。也就是说，新的样本的分布服从估计的参数 ? 。 举例 举个例子，以抛硬币伯努利实验为例。...考虑N次伯努利实验的集合，每次抛硬币的概率为参数p，不妨设为硬币是正面的概率。例如，伯努利实验通过投掷一枚有变形的硬币来实现。对于一次实验来说，伯努利概率密度函数如下(公式(8))： ?
换句话说，如果让θ为人头向上的概率，那么证据是否足以支持θ= 0.5的说法？ 由于除了上述实验的结果外，我们对硬币一无所知，因此很难确定地说什么。从概率学派的角度来看，θ的点估计为： ?...尽管这个数字是合理的，但是概率学派的方法并不能真正为它提供一定的信心置信。特别是如果我们进行更多试验，则可能会得到不同的θ点估计。 这是贝叶斯方法可以提供一些改进的地方。...悄悄提醒需要复习数学的同学，Uniform（0,1）的pdf如下： ? 然后我们可以使用证据/观察来更新我们关于θ分布的信念。 让我们正式将D称为证据（我们的例子中是抛硬币的结果。）...更准确地说，给定θ三个抛硬币中有2个人头向上的概率为： ? 通过假设，p（θ）＝ 1。接下来，我们计算分母： ? 通过一些简单计算，我们可以看到上述积分等于1/4，因此： ?...我们将随机抛硬币1000次，使用PyMC3估算θ的后验分布。然后绘制从该分布获得样本的直方图。
专注于生物方向的数据分析，一位编程爱好者。关注Python, R和大数据。 最近专门抽出一段时间对自己学习过的《概率论与数理统计》做一个小结，也算是对自己的一个交代。...唯一可以获得这类现象的结果的办法是等到它们发生之后。最典型的例子就是抛硬币。抛一枚均匀的硬币之前，已知结果只有正面和反面两种，但是无法知道到底会是哪一面。...还是拿抛硬币来举例，每次抛硬币都不知道会得到正面还是反面，但如果有耐心将一枚均匀的硬币抛20,000次（已经有多位著名的统计学家这么做过了），然后统计一下正反面分别出现了多少次，就可以发现它们差不多都是...上面的抛硬币的例子中，随机现象（抛硬币）在相同的条件下，大量重复试验中呈现的规律性就叫做统计规律性。《概率论与数量统计》就是研究随机现象的统计规律的一门学科。...，在大量重复试验的基础上给出了随机事件发生可能性的估计。
伯努利试验其实简单来说，就是一个抛硬币游戏 假设你抛了很多次硬币，你告诉在这次抛硬币的过程中最多只有两次扔出连续的反面，让我猜你总共抛了多少次硬币，我敢打赌你抛硬币的总次数不会太多，相反，如果你和我说最多出现了...其实是一个很简单的概率问题，假设1代表抛出正面，0代表反面 上图中以抛硬币序列"1110100110"为例，其中最长的反面序列是"00"，我们顺手把后面那个1也给带上，也就是"001"，因为它包括了序列中最长的一串...0，所以在序列中肯定只出现过一次，而它在任意序列出现出现且仅出现一次的概率显然是上图所示的三个二分之一相乘，也就是八分之一，所以我可以给出一个估计值，你大概总共抛了8次硬币。...很显然，上面这种做法虽然能够估计抛硬币的总数，但是显然误差是比较大的，很容易受到突发事件（比如突然连续抛出好多0）的影响，HyperLogLog算法研究的就是如何减小这个误差。...比如在数据库中，我只要在每次插入一条新的记录时，计算这条记录的hash，并且转换成二进制，就可以将其看成一个硬币序列了，如下(0b前缀表示二进制数)： 根据上面抛硬币的启发我可以想到如下的估计基数的算法
前天推了一篇关于EM算法的文章，后台有留言反映不太明白，包括解释EM使用的抛硬币的例子。...这是论文中的那幅图： ? 下面解释这些数字是如何得来的。...如果选择硬币A，则发生此结果的概率为：Pa = 0.6^5*0.4^5; 如果选择硬币B，概率为：Pb = 0.5^5*0.5^5; 则选择硬币A的概率为：Za = Pa/(Pa+Pb) ，选择硬币B的概率为...Step3 似然估计 纵观 5 轮 总结 50 次抛掷硬币，可以计算出硬币 A 、B 正面出现的概率。...至此又得到一个硬币A、B 正面出现概率的估计值，这次是基于实验得到，而不是像刚开始那样纯碎靠蒙（纯碎靠蒙时为 0.6, 0.5）。 完成一次分布参数的迭代。
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