Portrait of John Napier (1550-1617), dated 1616.
欧拉公式、麦克斯韦方程组、牛顿第二定律、勾股定理、薛定谔方程、质能方程、德布罗意方程组、1+1=2、傅立叶变换、圆的周长公式。
我说过，数学是个思维的学科，靠死记硬背是不可能搞得定的，你能背得下来所有三位数加减乘除的结果吗？而如果理解力没到那个点上，都认识的字，但就是想不通为什么，也想不通干嘛要这么来。欧拉公式看似简单，背后的逻辑可是大有说法。接下来，我们从群论的观点，来理解一下，欧拉公式到底意味着什么。
经典计算中，最基本的单元是比特，而最基本的控制模式是逻辑门，可以通过逻辑门的组合来达到控制电路的目的。类似地，处理量子比特的方式就是量子逻辑门，使用量子逻辑门，有意识的使量子态发生演化，所以量子逻辑门是构成量子算法的基础。
复数是由实部和虚部组成的数： z=a+bi (i^2=-1)，其中a为实部，b为虚部。
NumPy是Python中广受欢迎的科学计算库，提供了丰富的数学函数，可用于处理数组和矩阵中的数值数据。这些数学函数包含了许多常见的数学运算，如三角函数、指数函数、对数函数、统计函数等。本文将介绍NumPy中一些常用的数学函数及其用法，展示NumPy在数值计算方面的强大功能。
数字是我们在编程中最常接触的元数据。无论是在业务还是刷题，多半部分都是数字的运算，其次是字符串，再次是布尔。
激活函数在神经网络中具有重要的地位。在SIGAI之前的公众号文章“理解神经网络的激活函数”中，我们回答了3个关键的问题：
这里y = 2x 是 和 y = e^x 相切 如果 斜率为2，则对应横坐标值为a， 点为（a，e^a） 就是： **e^a = 2 ** => ** a = ln2 ** 所以， （a，e^a）就是 （ln2， 2）
最近学习吴恩达《Machine Learning》课程以及《深度学习入门：基于Python的理论与实现》书，一些东西总结了下。现就后者学习进行笔记总结。本文是本书的学习笔记（三）神经网络。
这是一篇正经的数据分析案例。 去年12月初，在经过四年多的积累后，编程教室微信公众号的关注人数突破10万人。（可回顾 最开始我也没有想过会有这么一天…） 10万人只是另一个开始，让我感到责任更大了。如果不写出更多更好质量的文章和教程，也对不起大家的关注啊。人数不是目的，内容才是王道。 但是嘛，偶尔也会 yy 一下，什么时候我们的关注数能到达更高的量级，比如，100万？ 既然 Python 可以用来做数据分析，何不根据我们公众号现有的用户增长数据来分析一下，什么时候可以迎来第100万个关注者？ 说干就干！（不
在上一篇中，我们从群论的观点给大家开了个头，介绍了直线上的两个变换群，分别对应正数乘法群和实数加法群，并指出了它们的同构关系，并且正是以指数函数作为映射函数。今天我们继续看，这些内容是怎么帮我们理解欧拉公式的。还是重复一下欧拉公式的内容：
有理数是整数和分数的集合，有理数的小数部分是有限或者无限循环的数；小数部分为无限不循环的数为无理数；
ElGamal算法，是由T.Elgamal于1984年提出的公钥密码体制和椭圆曲线加密体系。既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题即CDH假设。在加密过程中，生成的密文长度是明文的两倍，且每次加密后都会在密文中生成一个随机数K，其实现依据是求解离散对数是困难的，而其逆运算指数运算可以应用快速幂的方法有效地计算。也就是说，在适当的群G中，指数函数是单向函数。
程序的一次运行是针对所求解问题的某一特定实例而言的。因此分析算法性能需要考虑的一个基本问题是所求解问题实例的规模，即输入数据量，必要时也考虑输出的数据量。
比如，在互联网广告和推荐系统中，曾广泛使用Sigmod函数来预测某项内容是否有可能被点击。Sigmoid函数输出值越大，说明这项内容被用户点击的可能性越大，越应该将该内容放置到更加醒目的位置。
关键词：值域、定义域、单调性、对称性、饱和性、周期性、奇偶性、连续性、变化趋势（从图像上来看）
基本初等函数通过四则运算和复合可以得到复杂函数，其中减法与加法等价，除法与乘法等价：
Softmax函数主要用于多类别分类问题中，它通过对原始的类别分数进行转换，将它们转化为概率分布。这个过程使得模型的输出更容易解释为各个类别的概率。
在电视和图形监视器中，显像管发生的电子束及其生成的图像亮度并不是随显像管的输入电压线性变化，电子流与输入电压相比是按照指数曲线变化的，输入电压的指数要大于电子束的指数。这说明暗区的信号要比实际情况更暗，而亮区要比实际情况更高。所以，要重现摄像机拍摄的画面，电视和监视器必须进行伽玛补偿。这种伽玛校正也可以由摄像机完成。我们对整个电视系统进行伽玛补偿的目的，是使摄像机根据入射光亮度与显像管的亮度对称而产生的输出信号，所以应对图像信号引入一个相反的非线性失真，即与电视系统的伽玛曲线对应的摄像机伽玛曲线，它的值应为1/γ，我们称为摄像机的伽玛值。电视系统的伽玛值约为2.2，所以电视系统的摄像机非线性补偿伽玛值为0.45。彩色显像管的伽玛值为2.8，它的图像信号校正指数应为1/2.8=0.35，但由于显像管内外杂散光的影响，重现图像的对比度和饱和度均有所降低，所以彩色摄像机的伽玛值仍多采用0.45。在实际应用中，我们可以根据实际情况在一定范围内调整伽玛值，以获得最佳效果。
在数学中，幂函数和指数函数是两个经常被混淆的概念。它们都涉及到数值的指数运算，但在具体的定义和计算方法上有所不同。本文将对幂函数和指数函数的定义、性质以及计算方法进行详细介绍，以帮助读者更好地理解它们之间的区别。
旋转位置编码（Rotary Position Embedding，RoPE）是论文 Roformer: Enhanced Transformer With Rotray Position Embedding 提出的一种能够将相对位置信息依赖集成到 self-attention 中并提升 transformer 架构性能的位置编码方式。而目前很火的 LLaMA、GLM 模型也是采用该位置编码方式。
本篇再看 NP 问题之经典的 TSP 旅行商问题，对于一些 TSP 算法作出解答。
我们凭借直觉，知道 指数函数，对数函数 为 反函数。 这里我们对它简单证明（略），并且确定一下对应的区域。
内置函数 GLSL ES 提供了很多内置函数，我们一起来看下： 角度函数 radians 角度制转孤度制 degrees 弧度制转角度制 三角函数 sin 正弦 cos 余弦 tan 正切 asin 反正弦 acos 反余弦 atan 反正切 指数函数 pow 开方 exp 自然指数 log 自然对数 exp2 2的x方 log2 以2为底对数 sqrt 开平方 inversesqrt 平开方的倒数 通用函数 abs 绝对值 min 最小值 max 最大值 mod 取余数 sign 取下负号 floor 向
基于Transformer模型在众多领域已取得卓越成果，包括自然语言、图像甚至是音乐。然而，Transformer架构一直以来为人所诟病的是其注意力模块的低效，即长度二次依赖限制问题。随着输入序列长度的增加，注意力模块的问题也越来越突出，算力和内存消耗是输入序列长度的平方。
选自Machine Learning Mastery 作者：Jason Brownlee 机器之心编译 参与：Edison Ke、黄小天 本文介绍了机器学习中的基本数学符号。具体来说有算数符号，包括各种乘法、指数、平方根以及对数；数列和集合符号，包括索引、累加以及集合关系。此外，本文还给出了 5 个当你在理解数学符号遇到困难时可以应急的小技巧。 在机器学习中，你永远都绕不过数学符号。 通常，只要有一个代数项或一个方程符号看不懂，你就完全看不懂整个过程是怎么回事了。这种境况非常令人沮丧，尤其是对于那些正在成长
本文介绍了机器学习中的基本数学符号。具体来说有算数符号，包括各种乘法、指数、平方根以及对数；数列和集合符号，包括索引、累加以及集合关系。此外，本文还给出了 5 个当你在理解数学符号遇到困难时可以应急的小技巧。 在机器学习中，你永远都绕不过数学符号。 通常，只要有一个代数项或一个方程符号看不懂，你就完全看不懂整个过程是怎么回事了。这种境况非常令人沮丧，尤其是对于那些正在成长中的机器学习初学者来说更是如此。 如果你能了解一些基本的数学符号以及相关的小技巧，那你就在看懂机器学习方法的论文或书籍描述上前进了一
AdaBoost（Adaptive Boosting）：自适应提升方法。 1、AdaBoost算法介绍 AdaBoost是Boosting方法中最优代表性的提升算法。该方法通过在每轮降低分对样例的权重
回归的数据分析是已知X和Y数据之间的关系，然后未来发生的X来预测Y值数据的这样一种关系，这种以过去数据为依据来预测未来数据的方式就叫做回归分析。
概念:最小二乘法是一种熟悉而优化的方法。主要是通过最小化误差的平方以及最合适数据的匹配函数。 作用：（1）利用最小二乘法可以得到位置数据（这些数据与实际数据之间误差平方和最小）（2）也可以用来曲线拟合 实例讲解：有一组数据（1，6），（3，5），（5，7），（6，12），要找出一条与这几个点最为匹配的直线 ： y = A + Bx 有如下方程： 6 = A + B 5 = A + 3B 7 = A + 5B 12 = A + 6B 很明显上面方程是超定线性方程组，要使左边和右边尽可能相等；采用最小二乘法： L(A,B)=[6-(A + B)]^2 + [5-(A + 3B)]^2 + [7-(A + 5B)]^2 +[12-(A + 6B)]^2使得L的值最小：这里L是关于A,B的函数；那么我们可以利用对A，B求偏导，进而求出A，B的值使得Lmin
使用上述解出的 特解 , 与递推方程 齐次部分的通解 , 组成递推方程的完整通解 ;
在数学上对一些复杂的函数，为了便于研究，往往用一些简单的函数来近似表达。常用多项式来近 似表示函数，只需对自变量进行有限次数的加、减、乘、除运算便能求出函数值来。例如关于 sinx 与 cosx 是用如下两个多项式来近似表达的
看到论坛有一个朋友提问为什么傅里叶变换可以将时域变为频域？ 这个问题真是问到了灵魂深处。
通过导入NumPy库，并使用约定的别名np，我们可以使用NumPy库提供的丰富功能。
原文：Towards Data Science deephub翻译组：zhangzc
EXP返回NUMERIC或DOUBLE数据类型。如果表达式的数据类型为DOUBLE，则EXP返回DOUBLE；否则返回NUMERIC。
之间，我们通常把它拿来作为一个二分类的方案。其输出范围有限，可以用作输出层,优化稳定。
numpy 库，实现列表转矩阵，得以进行数学运算。matplotlib.pyplot 库，绘制图像。scipy.optimize 库，curve_fit() 函数，使用非线性最小二乘法拟合曲线。curve_fit()popt，拟合结果，在这里指b, c, p, q 的值。povc，该拟合结果对应的协方差。
大家好！最近有很多朋友询问我关于 Matlab 的使用，于是我决定写一篇博客来分享一下我的经验。对于数学和编程爱好者来说，Matlab 是一个非常有用的工具。我自己在数学实验和数学建模竞赛中也经常使用它。那么，为什么 Matlab 这么受欢迎呢？
Python中常用的基本数据结构有很多，通常我们在进行简单的数值存储的时候都会使用list来进行，但是list的缺点在于对于每一个元素都需要有指针和对象，对于数值运算来说，list显然是比较浪费内存和CPU计算时间的。为了弥补这种结构的不足，Numpy诞生了，在Numpy中提供了两种基本的对象：ndarray和ufunc。ndarray是存储单一数据类型的多维数组，ufunc则是能够对数组进行处理的函数。
选自Medium 作者：Tirthajyoti Sarkar 机器之心编译 参与：晏奇、刘晓坤 本文中，作者讨论了 8 种在 Python 环境下进行简单线性回归计算的算法，不过没有讨论其性能的好坏，而是对比了其相对计算复杂度的度量。 GitHub 地址：https://github.com/tirthajyoti/PythonMachineLearning/blob/master/Linear_Regression_Methods.ipynb 对于大多数数据科学家而言，线性回归方法是他们进行统计学建模和预
本文中，作者讨论了 8 种在 Python 环境下进行简单线性回归计算的算法，不过没有讨论其性能的好坏，而是对比了其相对计算复杂度的度量。 GitHub 地址：https://github.com/tirthajyoti/PythonMachineLearning/blob/master/Linear_Regression_Methods.ipynb 对于大多数数据科学家而言，线性回归方法是他们进行统计学建模和预测分析任务的起点。但我们不可夸大线性模型（快速且准确地）拟合大型数据集的重要性。如本文所示，在线
GitHub 地址：https://github.com/tirthajyoti/PythonMachineLearning/blob/master/Linear_Regression_Methods.ipynb
回归的数据分析是已知X和Y数据之间的关系，然后未来发生的X来预测Y值数据的这样一种关系，这种以过去数据为依据来预测未来数据的方式就叫做回归分析。就比如我们上一个章节在讲数据相关性的时候讲到的孩子身高和体重的数据，孩子的身高和体重是一个正相关的关系，在我们的数据图表中我们记录了1-12岁的孩子的身高和体重的数据，如果我们对这组数据做一个回归分析，我们就可以预测出12岁以后任意一个身高所对应的体重数据，比如我想知道160CM对应的标准身高，我就可以根据回归函数计算对应的体重
今天为大家介绍的是来自Peter K. Koo的一篇关于基因组表示的论文。深度卷积神经网络（CNN）在对调控基因组序列进行训练时，往往以分布式方式构建表示，这使得提取具有生物学意义的学习特征（如序列模体）成为一项挑战。在这里，作者对合成序列进行了全面分析，以研究CNN激活对模型可解释性的影响。作者表明，在第一层过滤器中使用指数激活与其他常用激活相比，始终导致可解释且鲁棒的模体表示。令人惊讶的是，作者证明了具有更好测试性能的CNN并不一定意味着用属性方法提取出更可解释的表示。具有指数激活的CNN显着提高了用属性方法恢复具有生物学意义的表示的效果。
Transformer 有着巨大的内存和算力需求，因为它构造了一个注意力矩阵，需求与输入呈平方关系。谷歌大脑 Krzysztof Choromanski 等人最近提出的 Performer 模型因为随机正正交特性为注意力矩阵构建了一个无偏的估计量，可以获得线性增长的资源需求量。这一方法超越了注意力机制，甚至可以说为下一代深度学习架构打开了思路。
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