加州理工、英伟达、MIT等机构的学者，构建了一个基于开源LLM的定理证明器。 而这篇论文，或许将改变数学的未来。...个人工编写的定理/证明，用于开发定理证明的机器学习模型 - ReProver（检索增强证明器）：第一个基于LLM的证明器，专门增强了前提选择（Premise Selection）的检索 Lean是一个在数学家中非常受欢迎的证明助手工具...发现新证明&发现公式错误 研究人员采用在miniF2F和FroofNet中的定理来评估ReProver。...他们发现miniF2F中有33个证明，ProffNet中有39个证明在Lean中是不存在的。 与此同时，最新研究还发现了ProofNet定理陈述公式中的多个错误。...杨凯峪是两个角度实现目标：（1）将机器学习应用于符号推理任务，如形式逻辑或自然语言中的数学推理和定理证明；（2）将符号组件引入机器学习模型，使其更具可解释性、可验证性和数据高效。
Lean 于 2013 年推出，数学家可以把数学公式转换成代码，再输入到 Lean 中，让程序来验证定理是否正确。...在这个例子中，陶哲轩提出的问题是：「我在寻找一个关于 xx 的公式。我想这是一个经典的定理，但我不记得名字了。你有什么印象吗？」...形式化证明本质上是一种计算机程序，但与 C++ 或 Python 中的传统程序不同，证明的正确性可以用证明助手（如开头提到的 Lean）来验证。...图 2 展示了一个简单的例子，以说明定理是如何在 Lean 中被形式化和证明的： 策略（tactic）的语法是相当灵活的，可以接受参数，也可以组合成复合策略。...该基准是目前最大的以数学为重点的定理证明数据集之一，涵盖了不同的主题，如分析、代数和几何。
编辑：LRS 【新智元导读】人类主导的数学领域也要被AI攻克了？ 张益唐教授最近发布的论文宣布攻克「郎道-西格尔零点猜想问题」，着实让数学之美火出了圈。...最近Meta在NeurIPS 2022上发布了一个神经定理证明器（neural theorem prover），成功解决了10道国际数学奥林匹克（IMO）的问题，比之前最强的AI系统高5倍。...之所以会出现这类问题，是因为之前的定理证明器过于依赖语言模型，虽然GPT-3等可以解决部分数学题，但它仍然探索不同方法的能力，这种技能对于解决需要「创造力」的数学问题来说至关重要。...为了模拟一种更「类人」的方法，需要神经定理证明程序将特定的「状态」与当前「对问题不完全的理解」联系起来。 研究人员采取的方法是利用强化学习与现有的证明辅助(如 Lean)结合搭建训练环境。...事实上，用于验证软件和证明定理的工具和形式系统是相同的，主要区别在于模型所依据的数据类型: 函数数据集或数学定理。
GitHub 项目地址：https://github.com/deepmind/code_contests 挑战奥数题的神经定理证明器 在学科竞赛领域，国际数学奥林匹克竞赛（IMO）是非常有名的一个，我们熟悉的很多数学大神...（如韦东奕）都在这一竞赛中取得了骄人的成绩。...据悉，Lean 是微软研究院在 2013 年推出的计算机定理证明器：数学家可以把数学公式转换成代码，再输入到 Lean 中，让程序来验证定理是否正确。...形式化数学（formal mathematics）是一个令人兴奋的研究领域，因为：1）它很丰富，可以让你证明需要推理、创造力和洞察力的任意定理；2）它与游戏相似，也有一种自动化的方法来确定一个证明是否成立...虽然这些结果非常令人兴奋，因为它们证明了深度学习模型在与形式系统交互时能够进行重要的数学推理，但在竞赛中，该证明器离最佳学生表现还差得很远。
数学归纳法 数学归纳法是一种数学证明方法， 通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。 除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。...在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的（第一个,第二个，第三个，一直下去概不例外）的数学定理。...虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。 事实上，所有数学证明都是演绎法。 ...下面做一道数学题： 举例证明下面的定理： image.png 第一步，验证该公式在 n = 1 时成立。即有左边=1，右边 image.png 所以这个公式在n = 1时成立。...通过因式分解合并， 等式2的右边 ： image.png 也就是： image.png 这样我们就完成了由n=m成立推导出n=m+1成立的过程，证毕。 结论：对于任意自然数n，公式均成立。
自动定理证明是人工智能研究领域中的一个非常重要的课题，其任务是使用电子计算机程序对数学中提出的定理或猜想寻找一种证明或反证的方法。...与人类相比，自动定理证明的主要局限在于原始数学项（term）的生成，而语言模型恰好具备生成能力。基于此，OpenAI 展开了一项研究。...自动证明器 研究人员向 Metamath 库贡献了 23 个简短证明，这些证明均由 GPT-f 自动证明器生成。...研究贡献 该研究验证了生成式预训练能够大幅提升模型性能，基于数学数据（如 arXiv）的预训练性能超过基于网页通用文本的预训练性能； 研究发现模型大小与性能存在正相关关系，即使在 Metamath 数据集相对较小的情况下...而且，Metamath 缺乏高级策略（tactic），例如 HOL Light 定理证明器的 ARITH_RULE、Lean 证明器的 ring，而确保该模型能够证明其他系统的高级策略可以处理的基本定理是非常重要的
AI在最不擅长的数学方面，这次大幅刷新了最好成绩。 其中关键角色是OpenAI给Lean做的一个定理证明器。 听起来有点耳熟？...没错，就是去年参加国际数学奥林匹克竞赛（IMO）的“非人”选手Lean~ 自从2013年微软研究院推出Lean以来，就一直尝试让AI在数学命题证明这方面取得进展。...而这次也确实得到了回报，OpenAI新做的这个定理证明器让它学会了解决一部分有难度的高中奥数题，包括美国的数学竞赛AMC12、AIME甚至是国际奥数竞赛中的题。...接下来，它把需要证明的问题换了一种说法，改为： 存在一个整数x，使x2和原式相等。 然后在解题的过程中，完全由模型直接生成了一个数学项“n+1”作为一个解：use n+1。...但是做奥数，模型要从一组复杂的无限策略中做选择，期间还要生成一些数学中的术语，例如“存在”、“任意”等。 针对这个难点，OpenAI通过在搜索证明方法时从语言模型中采样来解决。
实验结果显示，自动证明器在 miniF2F 上解决的问题比例从 20.9% 提高到了 38.9%。 自动证明数学定理是人工智能的一个初衷，也是一直以来的难题。...DSP 则更进一步，利用大型语言模型从非形式化证明中生成形式化证明草图。证明草图由高层次的推理步骤组成，可以由交互式定理证明器这样的形式化系统来解释。...方法 方法部分描述了用于形式化证明自动化的 DSP方法，该方法利用非形式化证明来指导自动形式化定理证明器的证明草图。这里假设每个问题都有一个非形式化命题和一个描述该问题的形式化命题。...在第一种情况下，研究者假设有一个「真实的」非形式化证明（即由人写的证明），这是现有数学理论形式化实践中的典型情况。...该框架对自动证明器的具体选择是不可知的：它可以是符号证明器（如启发式证明自动化工具）、基于神经网络的证明器或者混合方法。
行早 发自 凹非寺 量子位 | 公众号 QbitAI AI在最不擅长的数学方面，这次大幅刷新了最好成绩。 其中关键角色是OpenAI给Lean做的一个定理证明器。 听起来有点耳熟？...没错，就是去年参加国际数学奥林匹克竞赛（IMO）的“非人”选手Lean~ 自从2013年微软研究院推出Lean以来，就一直尝试让AI在数学命题证明这方面取得进展。...而这次也确实得到了回报，OpenAI新做的这个定理证明器让它学会了解决一部分有难度的高中奥数题，包括美国的数学竞赛AMC12、AIME甚至是国际奥数竞赛中的题。...接下来，它把需要证明的问题换了一种说法，改为： 存在一个整数x，使x2和原式相等。 然后在解题的过程中，完全由模型直接生成了一个数学项“n+1”作为一个解：use n+1。...但是做奥数，模型要从一组复杂的无限策略中做选择，期间还要生成一些数学中的术语，例如“存在”、“任意”等。 针对这个难点，OpenAI通过在搜索证明方法时从语言模型中采样来解决。
文章目录 一、十一个组合恒等式 二、组合恒等式 证明方法 三、组合数 求和 \sum 方法 组合恒等式参考博客 : 【组合数学】二项式定理与组合恒等式 ( 二项式定理 | 三个组合恒等式 递推式 |...变下项求和 组合恒等式 交错和 ) 【组合数学】组合恒等式 ( 变下项求和 3 组合恒等式 | 变下项求和 4 组合恒等式 | 二项式定理 + 求导 证明组合恒等式 | 使用已知组合恒等式证明组合恒等式...: 先证明 归纳基础 , 如证明 P(0) 为真 ; ② 归纳步骤 : 根据 数学归纳法的种类 , 进行不同方式的证明 , 这里有 第一数学归纳法 和 第二数学归纳法 两种归纳法 ; ( 1 ) 数学归纳法...: ① 第一数学归纳法 : 从 P(n) 推导 P(n + 1) P(0) 为真 假设 P(n) 为真 , 证明 P(n + 1) 也为真 ② 第二数学归纳法 : 所有小于 n 的...观察和的结果 , 使用数学归纳法证明 : 猜想一个和的结果 , 然后使用归纳法证明 ; 4 . 利用已知公式求和 :
另外，了解《数学原理》中给出的数学形式化的基本表示，也是继续修炼第三重、第四重神功的基础，因为哥德尔就是基于《数学原理》中数学形式化的表达来证明“哥德尔不完备定理”的。...可是我们的公理体系不总是对应着存在的客观实体，很多情况下（特别是数学中）的公理体系对应着抽象实体或者理想实体（如集合、点、线、面），而且被对应的实体是无穷多的，我们无法通过有限枚举来证明这些公理体系的一致性...（四）“哥德尔不完备定理”打破了“希尔伯特计划”么？ 最后让我们再回到“哥德尔不完备定理”，看看哥德尔是如何在数学公理化（以及公理体系形式化）的大背景下“釜底抽薪”的。...3、x2(0) ∧ ∀x1 ∙x2(x1) ⇒ x2(succ(x1)) ⇒∀x1∙ x2(x1) ，这就是我们常说的数学归纳法，也是皮亚诺算术公理中的一条。 第二组：命题公理。...定理十一：κ是包含PM的一致的公理体系，那么陈述κ是一致的PM公式在κ中是不可证明的；也就是说，κ是一致的，那么κ的一致性是不可证的。 至此，我们完成了第四重神功的修炼。
例如CompCert，使用Coq交互式定理证明器验证的C编译器，是无处不在的GCC和LLVM等使用的唯一编译器。...如上图所示，仅使用定理语句作为证明生成模型的输入，然后从模型中抽取证明尝试，并使用Isabelle执行证明检查。...自动生成完整证明 Baldur由Google的大语言模型Minerva提供支持，Minerva在科学论文和包含数学表达式的网页上进行训练，并对有关证明和定理的数据进行了微调。...Baldur认识到这里需要归纳，并应用了一种特殊的归纳法则，称为infinite_finite_induct，遵循与人类书面证明相同的总体方法，但更简洁。...而因为需要归纳，Isabelle使用的Sledgehammer默认无法证明这个定理。 训练 为了训练证明生成模型，研究人员构建了一个新的证明生成数据集。
张益唐的同事、数论学家Stopple曾说，如果张益唐能对朗道-西格尔零点作出证明，加上他的上一份成就，在某种意义上，（其概率）就像是「同一个人被闪电劈中两次」。...可以证明，L函数在σ=1时没有零点，因而可以证明等差数列上的素数定理。 但数学家们希望继续缩减L函数的非平凡零点的存在区域。...有人证明出，L函数的非平凡零点基本上都能落在下面公式中的区域： 如果所有非平凡零点都满足，就可以证明带余项的等差数列素数定理。...数学家们希望证明的是，西格尔零点不存在，这就是朗道-西格尔零点猜想。 如果能够证明朗道-西格尔零点猜想，那么数论研究中的很多问题就不必再排除西格尔零点。...总的来说，完整解决郎道-西格尔零点猜想，无论是证明还是证否，都太过超前。
今天我们接着上一讲的内容，来看看平面几何欧拉定理的证明过程，以及其中的数学智慧。...有了这些基本的辅助线以后，我们不妨来看下结论的形式，我们知道，除了勾股定理，射影定理，平面几何定理中是不会出现平方这样的形式的，除非是面积，或者由某对有公共边的相似三角形的比例关系转化而来，又或是黄金分割...BL和IL同处在一个三角形里，自然转化为证明等腰三角形的底角相等即可： 角LBI = 角LIB 这时候，内心的作用终于体现出来了，很早作的AL辅助线也其作用了，再加上三角形外角等于另外两内角和的公式，我们需要证明...这种思维本质上就是个化归的过程，只不过这比纯数学归纳法要难得多，因为那里只是问题规模的归约，而这里，问题化简的方向是不一定的，甚至形式上变简单的式子可能是错误的化归方向，无法得到结论，有时候甚至还有化归到更复杂的问题上去才能得以解决...这么多年过去了，之前做的那一大叠一大叠的包括平面几何在内的数学题，奥数题，思维题也忘得差不多了，大多数人以后也不会直接从事这个行业。
当在交互式定理证明器中进行这样的证明时, 最高置信水平可以通过系统的可靠运行获得....在机器人运动学领域, 日本学者Affeldt等人[17]在定理证明器中实现了串联机器人运动学模型的构建与验证; 首都师范大学陈琦等人[18]完成了平面并联机构正向运动学形式化模型的构建与验证....针对该问题, 本文在定理证明器中建立了机器人碰撞检测方法基础定理库并对机器人碰撞检测方法进行了形式化建模与验证, 为实现多机系统碰撞检测算法的可靠性和稳定性验证提供了技术支撑和验证框架.2.背景知识HOL-Light...定理证明器定理证明系统HOL-Light[22]遵循LCF方法, 依赖于函数式编程语言ML, 支持高阶逻辑表达....这两种方法皆是根据已知定理、公理、定义等处理目标, 不同之处在于目标形式是否为其等价逆否命题.本文实现的机器人碰撞检测方法定理证明库是基于HOL-Light定理证明器中已有的集合库、实分析库和多元分析库等构建的
△ Jürgen Schmidhuber 他在最新的一篇文章中，热烈庆祝哥德尔不完备定理发表90周年，并在标题上附上如下评论： 早在1931年，这位理论计算机科学的创始人就展示了数学、逻辑、计算和人工智能的局限性...他认为哥德尔确定了定理证明、计算、人工智能、逻辑和数学本身的基本局限性，对20世纪的科学和哲学产生了巨大的影响，他才是现代理论计算机科学和人工智能理论之父。...Schmidhuber说了啥 Schmidhuber认为，哥德尔的理论说明，一个计算定理证明器无法枚举中一个体系中所有的定理（即不完备性），哥德尔确定了任何类型基于计算的AI系统所受的限制。...计算机的所有操作都可以用公式表示，并且由算法给出推理规则。 因此，当我们处理由机器执行的所有操作序列时，就是在形式系统中推理，哥德尔不完全定理也适用。...早在他1989年的著作《皇帝新脑》中，他就曾指出，人类意识超越了构建计算机的形式逻辑。 ? △ 彭罗斯和他的著作《皇帝新脑》 彭罗斯指出，对大脑进行建模的机器应该允许进行非归纳推理。
简单地说，柯里-霍华德对应假设计算机科学中的两个概念（类型和程序）分别等价于逻辑概念：命题和证明。 这种对应的一个后果是，编程——通常被视为个人的手艺——被提升到数学的理想化水平。...编写一个程序不仅仅是“编码”，它变成了证明一个定理的行为。这形式化了编程行为，并提供了从数学上推理程序正确性的方法。 该对应以独立发现它的两位研究人员命名。...在类型论中，这个命题将由“下雨 → 地面是湿的”的函数建模。外观不同的公式实际上在数学上是相同的。...对于数学来说，这种对应导致了证明助手（proof assistant）的诞生，也称为交互式定理证明器（interactive theorem prover）。...数学家也一直在使用证明助手——特别是Lean定理证明器——来形式化数学，这涉及以严格的、计算机可验证的格式表示数学概念、定理和证明。这使得有时非正式的数学语言可以被计算机检查。
2 ，由数学归纳法得，对任意正整数 n ，均有 a_n\ge 2 ；下面来证单调性， a_{n+1}-a_n=\sqrt{2+a_n}-a_n=\dfrac{2+a_n-a_{n}^{2}}{\sqrt...解题思路：一般给出递推数列的极限问题一般就是用单调有界准则去做去做，证明有界可采用放缩法，此题使用数学归纳法比较好，数学归纳先假设，先假设 k 项成立，在证明 k+1 项也成立。...解：（1）先证明有界性， a_1>0,a_2=1-e^{-a_1} > b0 ，假设 a_k > 0,a_{k+1}=1-e^{-a_k} > 0 ，由数学归纳法，对任意 n ，均有 a_n > 0...解题思路：第一问跟上面那题有点相似，首先有界，仍然用的是数学归纳法，而单调性是用拉格朗日中值定理来证明（这里要注意小技巧）。...解题思路：首先想到单调性，要用到作差，然后出现类似于拉格朗日中值定理，同号（单调性证明）。
一位英国数学家宣布，即将启动用Lean重现费马大定理证明过程的项目，将100页证明变成代码。从此，世界顶尖数学难题的证明将成为「众包」项目，你我都可以进去添几笔。 费马大定理，即将被AI攻克？...大家都明白，这个项目，很可能是迄今为止最复杂的计算机化方式证明之一。 费马大定理 费马大定理，堪称是史上最精彩的一个数学谜题。 而证明费马大定理的过程，直接就是一部数学史。...在较为简单的证明中，我们可以依靠归纳法—— 一旦某个逻辑对某个数字成立（比如8），那么它对于之后的每一个数（比如9、10、11等）都同样成立，直到无限大。...好在，我们可以不再依赖传统的证明方法，可以求助于Lean这样的工具。 它是一款基于C++开发的编程工具，专为编写和验证归纳法证明而设计。...2017年，Buzzard发起了一个关于Lean定理证明器的项目和博客，致力于推动在数学研究中使用计算机辅助证明工具。
论文释出之前，张益唐证明这一黎曼猜想相关问题的消息，早已震动数学界。 就有专家教授表示： 张益唐要是能把Landau-Siegel做出来，就相当于一个人被闪电击中两次。...再后来，数学家也发展出了对应的解析工具来说明L函数在σ=1时无零点，从而证明了等差数列上的素数定理： 但对于上面的公式，数学家们依旧是不满意，他们还要继续缩减L函数的非平凡零点的存在区域。...于是前人证明了L函数的非平凡零点基本上都能落在类似于下面公式中的沙漏型的区域： 如果L函数所有的非平凡零点都落在这个区域内，就可以得到带余项的等差数列素数定理。...后来Walfisz利用这个更弱的非零区域得到了一个妥协版的等差数列素数定理： 很明显，这个公式的限制条件要多了许多，所以大家当然希望L函数能够没有异常零点。...张益唐：如果是指2013年之前（张益唐在2013年证明孪生素数猜想），那可能是我这人天性比较淡泊，我对生活要求很低，所以我也没有太多的困难。
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