1.1 先验分布先验分布是贝叶斯推断的关键部分，它代表了对未知参数的初始信念。在PyMC3中，我们可以使用各种概率分布（如正态分布、均匀分布等）来建立先验分布。...概率编程概率编程是一种基于概率模型的编程范式，它将模型的定义和推断过程统一到一个框架中。在Python中，可以使用PyMC3和Edward等库进行概率编程，实现模型的灵活定义和推断。...3.1 PyMC3的MCMC采样PyMC3提供了sample()函数来执行MCMC采样，支持多种采样算法（如NUTS、Metropolis-Hastings等）和参数调整选项。...，您了解了贝叶斯统计在Python数据分析中的高级技术点，包括贝叶斯推断的概念和应用、概率编程的原理和实现方式，以及马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）的基本原理和在Python中的使用方法。...在贝叶斯推断中，我们将参数视为随机变量，并使用贝叶斯公式根据先验概率和似然函数来计算后验概率。贝叶斯推断的一个重要步骤是后验采样，通过生成符合后验分布的样本来近似表示后验概率分布。
这个公式很重要，因为本文将在后面使用 Gibbs 符号来推导似然最大化问题。 条件随机场模型 让我们假设一个马尔可夫随机场并将其分为两组随机变量 Y 和 X。...其中似然表达式可以表示如下： 所以训练问题归结为最大化所有模型参数 Wcc'和 W'cs 的对数似然。...关于 W'cs 的对数似然梯度推导如下：- 上面等式中的第二项表示y'ᵢ等于c的边际概率之和（在y'可以取的所有可能值上），由xnis加权。...可以为 dL / dWcc '计算出类似的推导，结果如下： 这就是标签-标签权重的似然导数 现在已经有了导数和对数似然的表达式，实际上就可以从头开始编写 CRF 模型。...条件随机场可用于预测多个变量相互依赖的任何序列。其他应用包括图像中的部分识别和基因预测。 作者：Aditya Prasad & Ravish Chawla
似然函数通常是多个观测数据发生的概率的联合概率，即多个观测数据都发生的概率。在机器学习里可以这样理解，目标 和特征 同时发生，这些数值被观测到的概率。...单个观测数据发生的可能性为 ，如果各个观测之间是相互独立的，那么多个观测数据都发生的概率可表示为各个样本发生的概率的乘积。 这里稍微解释一下事件独立性与联合概率之间的关系。...最大似然估计法告诉我们应该选择一个 ，使得似然函数 最大。 中的乘积符号和 运算看起来就非常复杂，直接用 来计算十分不太方便，于是统计学家在原来的似然函数基础上，取了 对数。...上面的推导过程主要利用了下面两个公式： 由于 对数可以把乘法转换为加法，似然函数中的乘积项变成了求和项。又因为 对数可以消去幂，最终可以得到上述结果。...最大似然估计就是寻找最优参数，使得观测数据发生的概率最大、统计模型与真实数据最相似。 参考资料 如何通俗地理解概率论中的「极大似然估计法」?
这在具有大量零的保险索赔数据中很常见，并且最好由负二项式和零膨胀模型（如 ZIP 和 ZINB）处理。...stats.gamma.pdf(x, a=a, scale=rate,loc=0) priors = prior(x) # plot axs.plot(x, priors, 'r-',label='Gamma') 二、似然函数与后验...伽马函数通常被称为广义阶乘，因为： sp.gamma(n+1) == math.factorial(n) True 则似然函数为： 然后作为 后向分布再次为伽马 def posterior...)}""") 现在让我们在 PyMC3 中重现上述步骤。...结论： 在这篇文章中，PyMC3 被应用于对两个示例进行贝叶斯推理：使用 β-二项分布的抛硬币偏差，以及使用 gamma-泊松分布的保险索赔发生。
=0.3989423> 当从同一个分布中独立抽取多个样本时(我们通常假设)，样本值1，…，的概率密度函数是每个个体的概率密度函数的乘积: 可以很容易地用一个例子来计算上面的问题。...简单地说，当我们知道产生某个过程的分布并且我们想从它中推断可能的抽样值时，我们使用这个函数。 对于似然函数，我们所知道的是样本，即观测数据1，…，。...这意味着想要找到似然函数的最大值，这可以借助微积分来实现。函数的一阶导数对参数的零点应该足以帮助我们找到原函数的最大值。 但是，将许多小概率相乘在数值上是不稳定的。...TensorFlow Probability中的实现 我们先创建一个正态分布随机变量并从中取样。...我们已经看到了我们想要达到的目标最大化似然函数的对数变换。但是在深度学习中，通常需要最小化损失函数，所以直接将似然函数的符号改为负。
这是为了避开贝叶斯定理中计算归一化常数的棘手问题: 其中P(H | D)为后验，P(H)为先验，P(D | H)为似然，P(D)为归一化常数，定义为: 对于许多问题，这个积分要么没有封闭形式的解，要么无法计算...在这篇文章中，我们将介绍如何使用PyMC3包实现贝叶斯线性回归，并快速介绍它与普通线性回归的区别。 贝叶斯vs频率回归 频率主义和贝叶斯回归方法之间的关键区别在于他们如何处理参数。...在频率统计中，线性回归模型的参数是固定的，而在贝叶斯统计中，它们是随机变量。 频率主义者使用极大似然估计(MLE)的方法来推导线性回归模型的值。MLE的结果是每个参数的一个固定值。...在贝叶斯世界中，参数是具有一定概率的值分布，使用更多的数据更新这个分布，这样我们就可以更加确定参数可以取的值。...这里有很多值，这是贝叶斯线性回归的主要核心之一。HDI代表高密度区间(High Density Interval)，它描述了我们在参数估计中的确定性。 这个模拟只使用了数据中的100个样本。
这在具有大量零的保险索赔数据中很常见，并且最好由负二项式和零膨胀模型（如 ZIP 和 ZINB）处理。...stats.gamma.pdf(x, a=a, scale=rate,loc=0) priors = prior(x) # 画图 axs.plot(x, priors, 'r-',label='Gamma') 二、似然函数与后验...伽马函数通常被称为广义阶乘，因为： sp.gamma(n+1) == math.factorial(n) True 则似然函数为： 然后作为 后向分布再次为伽马 def posterior(...}""") 现在让我们在 PyMC3 中重现上述步骤。...结论： 在这篇文章中，PyMC3 被应用于对两个示例进行贝叶斯推理：使用 β-二项分布的抛硬币偏差，以及使用 gamma-泊松分布的保险索赔发生。
如果对这一不等式的证明感兴趣，可以阅读相关的数学教材。 高斯混合模型 EM算法的目标是求解似然函数或后验概率的极值，而样本中具有无法观测的隐含变量。下面以聚类问题和高斯混合模型为例进行说明。...上面这个例子可以用高斯混合模型进行描述，它的概率密度函数是多个高斯分布（正态分布）的加权和。...高斯混合模型（Gaussian Mixture Model，简称GMM）通过多个正态分布的加权和来描述一个随机变量的概率分布，概率密度函数定义为： ?...因为不知道隐变量的值，所以要消掉它，这通过对其求边缘概率而实现。采用最大似然估计，可以构造出对数似然函数： ?...上面的目标函数中对数内部没有求和项，更容易求得θ的公式解。这就是EM算法中“M”的含义。由于Qi可以是任意个概率分布，实现时Qi可以按照下面的公式计算： ?
它又为什么是这样计算的？ Fisher信息量提供了一种衡量随机变量所包含的关于其概率分布中的某个参数（如均值）的信息量的方法。 我们将从Fisher信息量的原始定义和计算公式开始。...给定随机变量y的某个观测值时，它被称作θ的似然函数。...图：λ的似然函数图（y=10）（图片来源：作者） 在这个图中，我们可以观察到以下三点（对应图中蓝色方框圈出的地方）： 图：似然函数中变化较慢的地方（图片来源：作者） 1.当真实（但未知）的速率λ的值与...对数似然函数通过小写的花体l表示, 即 l(λ;y)，给定随机变量y的某个观测值时，它被称作θ关于y的对数似然函数。...例如，在泊松分布这个例子中，我们计算的是某个小时内观察到10 个事件（y=10）对应的值。因此，对于随机变量y的每个观测值，对数似然函数的偏导数可能具有不同的值。
最大似然估计是建立在最大似然原理的基础之上。最大似然原理的直观理解是：设一个随机试验有若干个可能的结果 A1,A2,...,An A_1,A_2,......,A_n，在一次试验中，结果 Ak A_k出现，则一般认为实验对 Ak A_k的出现最有利，即 Ak A_k出现的概率较大。...，所以 L(θ) L(\theta)代表的是一组点对应的概率的乘积，即样本 X1,X2,......另外，最大似然估计对总体中未知参数的个数没有要求，可以求一个未知参数的最大似然估计，也可以一次求多个未知参数的最大似然估计，这个通过对多个未知参数求偏导来实现，因为多变量极值就是偏导运算。...如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容， 请发送邮件至 举报，一经查实，本站将立刻删除。
通过观察似然函数u与(1-u)乘积的形式，我们选用了Beta分布作为u的先验分布，因为根据贝叶斯理论，后验=似然函数*先验，我们发现当后验与先验同时具有相同的分布时具有一些优秀的性质，能使我们方便的进行...u的估算，现在，似然函数可以如式2.9，当先验选择Beta分布时，后验正好也是Beta分布。...如图2.3解释了这一步骤： 图2.3 先验中a=2,b=2，当有新的观测值到来的时候，新的观测值是x=1的量，即m=1,l=0，此时后验中a=3,b=2，如第三个图。...三、多项式分布与Dirichlet分布 1）多项式分布 多项式分布时二项式分布的扩展，在多项式分布所代表的实验中，一次实验会有多个互斥结果，而二项式分布所代表的实验中，一次实验只有两个互斥结果。...同样的某个主题下有多个词语，某个主题骰子有N个面，每个面表示一个词语（即词袋），每做一次投骰子实验，就可得到N个词中的一个，进行多次投掷，就可以得到一个主题下多个词语，同样可以看出这个实验也服从多项式分布
算法介绍 假设θ=[a,b，σ]是算法上面的参数向量，θ '是一组新参数的建议，MH比较参数(θ '和θ)的两个竞争假设之间的贝叶斯因子(似然和先验的乘积)，并通过条件建议分布的倒数缩放该因子。...然后将该因子与均匀分布的随机变量的值进行比较。这给模型增加了随机性，使不可能的参数向量有可能被探索，也可能被丢弃(很少)。 这听起来有点复杂，让我们从头一步一步对它进行代码的实现。...一个小的值可能会阻止算法在合理的时间内找到最优(optima)(需要绘制更多的样本，更多的训练时间)。 似然函数 似然函数其实就是线性函数，并且给定参数的响应的条件分布是正态的。...换句话说，我们将计算正态分布的可能性，其中均值是输入和系数a和b的乘积，噪声是σ。在这种情况下，我们将使用对数似然而不是原始似然，这样可以提高稳定性。...N次，直到收敛 2)从建议分布中找到一个新的参数向量 3)计算似然、先验pdf值和建议似然比的倒数 4)将3中的所有数量相乘(或log求和)，并比较这个比例(线性比例) 根据从均匀分布中得出的数字。
假如抽到学生 A（的身高）的概率是 ，抽到学生B的概率是 ，那么同时抽到男生 A 和男生 B 的概率是 ，同理，我同时抽到这 200 个学生的概率就是他们各自概率的乘积了，即为他们的联合概率...在学校那么学生中，我一抽就抽到这 200 个学生（身高），而不是其他人，那是不是表示在整个学校中，这 200 个人（的身高）出现的概率极大啊，也就是其对应的似然函数 极大，即 这个叫做 ...极大似然法：最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取 m 组样本观测值的概率极大，也就是似然函数极大。...若连续型随机变量X的概率密度函数为 ，则数学期望 为： 设 ， 若 是离散型随机变量，则： 若 是连续型随机变量，则： 2.2 EM算法的推导 对于 个相互独立的样本...， 为第 i 个样本对应的权重，那么： 上式我实际上是我们构建了 的下界，我们发现实际上就是 的加权求和，由于上面讲过权值 累积和为1，因此上式是 的加权平均，也是我们所说的期望
，那么同时抽到男生 A 和男生 B 的概率是 ? ，同理，我同时抽到这 200 个学生的概率就是他们各自概率的乘积了，即为他们的联合概率，用下式表示： ?...在学校那么学生中，我一抽就抽到这 200 个学生（身高），而不是其他人，那是不是表示在整个学校中，这 200 个人（的身高）出现的概率极大啊，也就是其对应的似然函数 ? 极大，即 ? ?...1.1.4 求极大似然函数估计值的一般步骤： （1）写出似然函数； （2）对似然函数取对数，并整理； （3）求导数，令导数为 0，得到似然方程； （4）解似然方程，得到的参数。...极大似然法：最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取 m 组样本观测值的概率极大，也就是似然函数极大。 假设误差项 ? ，则 ? (建议复习一下正态分布的概率密度函数和相关的性质) ? ?...计算出每个实验为硬币 A 和硬币 B 的概率，然后进行加权求和。 M步：求出似然函数下界 ? ， ? 代表第 ? 次实验正面朝上的个数， ? 代表第 ?
而EM算法是一个类似梯度下降算法的迭代算法，它首先给随机变量分布参数赋初始值，然后寻找到了一个便于优化的似然函数的下界 (恰好为似然函数在某个分布下的期望Expectation，期望中消去了隐变量)，并通过不断地优化...一，EM最大期望算法 当我们关心的随机变量依赖于另外一些不可观测的随机变量时，通过对我们关心的随机变量采样，我们将难以直接通过最大似然估计的方法推断我们关心的随机变量分布律中的未知参数。...设观测随机变量为 , 隐含随机变量为 ，待确定参数为 。 当 和 确定时， 的分布函数由 给出。 按照极大似然原理，并使用全概率公式，似然函数可以写成 ? 对数似然函数可以写成 ?...对数似然函数中，由于有对 的求和，如果尝试对 求偏导等于0来计算最优的 ，将难以得到对应的解析解。这和目标函数非常复杂时，无法直接解析求解只能使用梯度下降这类迭代算法是一样的。...可以证明EM算法是收敛的，但不能保证它能收敛到全局最优，因此可以尝试多个不同的初始值，计算结果，并挑选能够使似然函数取值最大的结果。
对于序列生成任务如机器翻译来说，抛开一些模型的限定条件，它可能生成的标签序列即目标语种词序列是无限的。...CRF 是判别模型，可以表示为因子图,由公式 来建模表示： 表示节点，即随机变量（在此处词性标注任务中是一个pos tag），具体地用 为随机变量建模，注意 现在是代表了一批随机变量...（想象对应一条sequence，包含了很多的tag）, 为这些随机变量的分布‘’ 表示边，即概率依赖关系 如果一个graph太大，可以用因子分解将 写为若干个联合概率的乘积。...4 训练Linear-Chain CRF 我们可以用最大似然估计算法训练 CRF的参数，给定一组 N数据点，使用对似然执行梯度下降算法计算PGM的联合概率，这些可以通过消息传播算法来计算。...让我们看一下对数似然： image.png 为了优化参数，我们需要计算对数似然参数的梯度，如下： image.png 参数 的梯度如下： image.png 参数推理 条件随机场的概率计算问题就是给定条件随机场
即： 所以最大化似然估计有： logistic采用对数损失（对数似然函数）原因： 1) 从概率解释来看，多次伯努利分布是指数的形式。...假设离散随机变量X的概率分布为，则其熵为： 其中熵满足不等式，为取值数。 联合熵：对于多个随机变量的不确定性可以用联合熵度量。...回顾对偶函数，内部最小化求解得到了，回到外部目标，将代回拉格朗日函数有： C、概率解释 已知训练集的经验概率分布，条件概率分布的对数似然函数为： 其中，我们发现对数似然函数与条件熵的形式一致，最大熵模型目标函数前面有负号...也正是因为约束条件，我们将原问题转化为对偶问题后发现，在满足约束条件的对偶函数的极大化等价于最大化对数似然函数。...当条件概率满足约束条件，在对偶问题求解过程中我们有： 代入到对数似然函数，同样有： 最后，我们再来看对偶函数表达式，我们发现，第一项其实是的联合熵，第二项是的信息熵，回看熵的示意图，我们发现，我们的目标还是最大化条件熵
因为我们在用到它的时候，有一个很强的假设，现实数据中几乎不会出现的：我们假设特征之间是相互独立，也就是我们计算条件概率时可以简化成它的组件的条件概率乘积。 Q8：L1、L2正则之间有什么不同？...概率和似然都是指可能性，但在统计学中，概率和似然有截然不同的用法。概率描述了已知参数时的随机变量的输出结果；似然则用来描述已知随机变量输出结果时，未知参数的可能取值。...我们总是对随机变量的取值谈概率，而在非贝叶斯统计的角度下，参数是一个实数而非随机变量，所以我们一般不谈一个参数的概率，而说似然。 Q13：什么是深度学习，它与机器学习算法之间有什么联系？...判别模型求解的思路是：条件分布——>模型参数后验概率最大——->（似然函数\cdot 参数先验）最大——->最大似然 生成模型的求解思路是：联合分布——->求解类别先验概率和类别条件概率 常见的生成方法有混合高斯模型...使用交叉检验的手段如：k-folds cross-validation。 使用正则化的技术如：LASSO方法来惩罚模型中可能导致过拟合的参数。 Q23：如何评估你的机器学习模型的有效性？
领取专属 10元无门槛券
手把手带您无忧上云
