如何将上三角矩阵的复共轭分配给具有特征的下三角矩阵 - 腾讯云开发者社区

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正负定矩阵

在复数域下，一个的埃尔米特矩阵是正定的当且仅当对于每个非零的复向量都有。...存在唯一的下三角矩阵，其主对角线上的元素全是正的，使得：。其中，是的共轭转置。这个分解称为科列斯基（Cholesky）分解。...半正定矩阵在实数域下，一个的实对称矩阵是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量都有在复数域下，一个的埃尔米特矩阵是正定的当且仅当对于每个非零的复向量...存在下三角矩阵，其主对角线上的元素全是非负的，使得：。其中，是的共轭转置。这个分解称为科列斯基（Cholesky）分解。...（分解不一定是唯一的）对于实称阵，只需将上述性质中的改成，将「共轭转置」改为「转置」即可。【注】负定矩阵和半负定矩阵的定义和性质类似正定矩阵和半正定矩阵。

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化三角矩阵计算行列式的算法实现

利用矩阵在任意行/列加减其他行列的任意倍后行列式不变的性质，化为三角矩阵后，计算主对角线元乘积求解。前者的复杂度是 O(n!)...这样计算行列式的效率显然是极低的。而通过化三角矩阵，我们可以用 O(n^3) 的复杂度完成行列式的求解。对于同样的矩阵，我们只需要进行 1 \times 10^9 的运算。...Theory 通过性质 1，我们可以对矩阵进行变换，将其化为三角矩阵，从而通过性质 2 的方法求解行列式。先从一个具体的例子入手。...计算 \prod \limits {i=1}^n a{i,i}，即为所求的行列式。可以发现，第一步完成后，第 i+1 行到第 n 行的第 i 列都为零。反复消去，就能得到一个上三角矩阵。...需要注意的是，这样的交换过后，根据性质 3，行列式变号。因此在算法过程中需要在交换时额外处理一下。 ---- 进一步的 corner case：假如第 i 行到第 n 行的第 j 列全都为零呢？

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一维数组&二维数组&对称矩阵&三角矩阵&三对角矩阵地址的计算

一维数组的地址计算设每个元素的大小是size，首元素的地址是a[1]，则 a[i] = a[1] + (i-1)*size 若首元素的地址是a[0] 则a[i] = a[0] + i*size...二维数组的地址计算 (m*n的矩阵) 行优先设每个元素的大小是size，首元素的地址是a[1][1]，则a[i][j]?...二维数组通常用来存储矩阵，特殊矩阵分为两类：（1）元素分布没有规律的矩阵，按照规律对用的公式实现压缩。（2）无规律，但非零元素很少的稀疏矩阵，只存储非零元素实现压缩。...一、三角矩阵包括上三角矩阵，下三角矩阵和对称矩阵 (1)若i矩阵为下三角矩阵。 (2)若i>j时，ai,j=0，则称此矩阵为上三角矩阵。...(3)若矩阵中的所有元素满足ai,j=aj,i，则称此矩阵为对称矩阵。下三角上三角二、三对角矩阵带状矩阵的压缩方法：将非零元素按照行优先存入一维数组。

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【数据结构】数组和字符串（三）：特殊矩阵的压缩存储：三角矩阵、对称矩阵——一维数组

由于只有主对角线上有非零元素，只需存储主对角线上的元素即可。三角矩阵：指上三角或下三角的元素都为零的矩阵。同样地，只需存储其中一部分非零元素，可以节省存储空间。...对角矩阵的压缩存储【数据结构】数组和字符串（二）：特殊矩阵的压缩存储：对角矩阵——一维数组 b. 三角矩阵的压缩存储三角矩阵分为上三角矩阵和下三角矩阵。...可以用大小为n(n+1)/2的一维数组来存储下三角矩阵，换言之，就是要把下三角矩阵M的非零元素映射到一个一维数组d中。映射次序可采用按行优先或按列优先。...接下来，代码实现了几个函数来进行下三角矩阵的初始化、元素设置、元素获取以及打印矩阵的操作。...这里参照下三角矩阵的压缩存储方法，即用大小为n(n+1)/2的一维数组来存储，关于对称矩阵中的下三角部分的元素M(i, j) (i ≥ j) ，与下三角矩阵压缩存储的映射公式一样，映射到d[k]（其中k

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博客 | MIT—线性代数（下）

11、复数矩阵与快速傅里叶变换：设向量z属于n维复空间Cn，有 |z|^2 =共轭 z^T·z ，同理复实数矩阵A=共轭 A^T ，对正交复矩阵Q而言，共轭 Q^T·Q=I 。...，所以w就落在复数平面的单位圆上，同时列向量间相互正交，注意，正交复向量定义为共轭 q^T·q=0 。...最后就是如何根据线性变换T求解其对应的矩阵A，通常的方法是，将线性变换T分别作用到基V中的向量vi上，再分别将作用后的结果表示为基U中所有向量ui上的线性组合， ? ，ai即为矩阵A的第i列。...注意，本课主要研究的是在同一组基下的线性变换。...最后，回到线性代数上来，对于一个给定的线性变换T，将一个标准基下的坐标向量a表示为基V对应坐标所使用的矩阵A相似于基U对应坐标所使用的矩阵B。

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Cholesky分解

Cholesky分解是一种分解矩阵的方法, 在线性代数中有重要的应用。Cholesky分解把矩阵分解为一个下三角矩阵以及它的共轭转置矩阵的乘积（那实数界来类比的话，此分解就好像求平方根）。...与一般的矩阵分解求解方程的方法比较，Cholesky分解效率很高。Cholesky是生于19世纪末的法国数学家，曾就读于巴黎综合理工学院。Cholesky分解是他在学术界最重要的贡献。...一、Cholesky分解的条件1、Hermitianmatrix：矩阵中的元素共轭对称（复数域的定义，类比于实数对称矩阵）。...Hermitiank意味着对于任意向量x和y，(x*)Ay共轭相等2、Positive-definite：正定（矩阵域，类比于正实数的一种定义）。...正定矩阵A意味着，对于任何向量x，(x^T)Ax总是大于零(复数域是(x*)Ax>0)二、Cholesky分解的形式可记作A = L L*。其中L是下三角矩阵。L*是L的共轭转置矩阵。

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Matlab系列之那些数学函数（讨论功能已加入）

三角函数三角函数这个就真的是很常用很常用了，特别是做数字信号处理的时候，经常做混频用，当然其他的领域也常用到，不过对其他领域不太熟，所以就不举例子了以下的表格是一些三角函数的函数名，及其说明，然后拿几个大家比较熟悉的出来演示...实例应用：题：已知三角形的三条边，分别长2、3、4，求解长度2和4的两条边的夹角。...指数和对数函数这两个函数的话，我也不知道咋说，现在印象里只记得弄功率谱的时候可以用下，其他的近来也没使用上，反正很重要就对了。...，分割浮点数 log10 以10为底的对数 nextpow2 下一个以2为底的更高次幂 pow2 以2为底的幂和比例浮点数 expm 矩阵指数函数 logm 矩阵对数函数简单使用： %程序1 a=2...，在下表中的展示：函数名说明 abs 绝对值、复数的模 angle 相位角 complex 构造复数 conj 复共轭 cplxpair 在复共轭对中加入有序数 imag 复数虚部 real 复数实部

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Math-Model（五）正交分解(QR分解)

正交分解矩阵的正交分解又称为QR分解，是将矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵的乘积的形式。任意实数方阵A，都能被分解为。这里的Q为正交单位阵，即 R是一个上三角矩阵。...QR分解也有若干种算法，常见的包括Gram–Schmidt、Householder和Givens算法。 QR分解是将矩阵分解为一个正交矩阵与上三角矩阵的乘积。...,则存在正交矩阵Q和实非奇异上三角矩阵R使A有QR分解;且除去相差一个对角元素的绝对值（模）全等于1的对角矩阵因子外,分解是唯一的....定理2 设A是m×n实矩阵,且其n个列向量线性无关,则A有分解A=QR,其中Q是m×n实矩阵,且满足QHTQ=E,R是n阶实非奇异上三角矩阵该分解除去相差一个对角元素的绝对值（模）全等于1的对角矩阵因子外是唯一的...酉矩阵（unitary matrix）若n阶复矩阵A满足 ? 则称A为酉矩阵，记之为 ? 其中，Ah是A的共轭转置酉矩阵性质如果A是酉矩阵 ? ?

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matlab基础2

块操作 B=repmat(A,m,n):该函数产生大的矩阵B，把矩阵A当作单个元素，产生由m行和n列的矩阵A组成的大矩阵B B=repmat(A,m):该函数产生大的矩阵B，把矩阵A当作单个元素，产生由...m行和m列的矩阵A组成的大矩阵B Y=blkdig(A,B)：该函数将矩阵A和B作为对角块，产生新的矩阵Y 3....转置 ‘：如果是复数，则转换为共轭复数矩阵真正的转置是A.’或者可以采用函数transpose(A) ? 4. 旋转和翻转矩阵的旋转可以采用转置的方法，也可以采用函数rot90()。...矩阵的分解 cholesky分解：对于正定矩阵，可以分解为上三角矩阵和下三角矩阵的乘积，使用chol()函数进行分解时，最好先通过函数eig()得到矩阵的所有特征值，检查特征值是否为正。 ?...LU分解：也称为高斯消去法，将仿真分解为下三角矩阵的置换矩阵L和上三角矩阵U的乘积 QR分解：也就是正交分解

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Matlab矩阵基本操作（定义，运算）

(6) 帕斯卡矩阵我们知道，二次项(x+y)n展开后的系数随n的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡(Pascal)矩阵。...(5) 矩阵的转置对实数矩阵进行行列互换，对复数矩阵，共轭转置，特殊的，操作符.’共轭不转置（见点运算）； (6) 点运算在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，...2、三角阵三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵，所谓上三角阵，即矩阵的对角线以下的元素全为0的一种矩阵，而下三角阵则是对角线以上的元素全为0的一种矩阵。...(2) 下三角矩阵在MATLAB中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数是tril(A)和tril(A,k)，其用法与提取上三角矩阵的函数triu(A)和triu(A,k)完全相同。...3、其他 (1) 非零元素信息 nnz(S) % 返回非零元素的个数 nonzeros(S) % 返回列向量，包含所有的非零元素 nzmax(S) % 返回分配给稀疏矩阵中非零项的总的存储空间

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matlab 稀疏矩阵乘法,Matlab 矩阵运算

(5) 矩阵的转置对实数矩阵进行行列互换，对复数矩阵，共轭转置，特殊的，操作符.’共轭不转置(见点运算)； (6) 点运算在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，...2、三角阵三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵，所谓上三角阵，即矩阵的对角线以下的元素全为0的一种矩阵，而下三角阵则是对角线以上的元素全为0的一种矩阵。...(2) 下三角矩阵在MATLAB中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数是tril(A)和tril(A,k)，其用法与提取上三角矩阵的函数triu(A)和triu(A,k)完全相同。...3、其他 (1) 非零元素信息 nnz(S) % 返回非零元素的个数 nonzeros(S) % 返回列向量，包含所有的非零元素 nzmax(S) % 返回分配给稀疏矩阵中非零项的总的存储空间 (2)...可以通过命令gf(data,m)将数据限制在有限域中，这样如矩阵求逆、相加、相乘等运算就均是基于有限域GF(m)的运算了。那么如何将有限域元素转换为double型的呢？

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二次型优化问题 - 4 - 二次型优化方法

但其算法十分复杂，不常用于加减消元法，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。...在\bf{A}的行列式不为0时，可以逐项消除半边系数，得到三角阵，计算得到x_n再逐步带入计算出其他未知数，得到计算结果。...，可以有效缓解上述问题矩阵求逆对于矩阵\bf{A}可逆的情况，可以直接求出\bf{A}的逆矩阵，则： {\bf{x}} = {\bf{A^{-1}}}{\bf{b}} 迭代法代数法的时间复杂度都在...，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。...沿着共轭梯度方向前进该共轭基的分量大小的距离在所有共轭基上重复上述操作，即可达到全局最优解随后我们重点介绍迭代法相关内容参考资料 https://baike.baidu.com/item/高斯消元法

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复数整理

这里我们可以看到使用复平面的表示方式进行乘法和除法比较繁琐，而且缺乏可解释性，现在我们用复数的三角形式来运算它的乘法和除法。...从复数的三角形式来看 Z=ρ(cosθ+isinθ)，则 Z 的共轭复数为 Z'=ρ(cosθ-isinθ) 由于余弦函数是一个偶函数，所以 cosθ=cos (-θ)；正弦函数是一个奇函数，所以 -...共轭的加减法性质：共轭的乘除法性质：模长 Z=a+bi |Z|= a2+b2−−−−−−√a2+b2 =|OZ| 模长满足三角不等式：| Z1+Z2Z1+Z2 | ≤≤ | Z1Z1 |+| Z2Z2...复指数函数现在我们对复指数函数的定义存在疑问。...由于实数的导数为 0，所以 F (θ) 是一个实数，得证。复数的指数形式由欧拉公式，我们来看一下指数形式的复数的乘法和除法。

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线性代数--MIT18.06(二十七)

复数矩阵和快速傅里叶变换 27.1 课程内容：复数矩阵和快速傅里叶变换对于 ? ，我们之前讨论的都是实矩阵的情况，现在就要讨论下复矩阵的情况。...从向量的内积开始，在实向量中我们使用 ? 表示该向量的内积，在复向量的情况下，还需要取共轭，即 ? , ? 与 ? 表示两者共轭（比如 ? 和 ?...）,如果将共轭与转置一起表示，则表示为 ? ,这里的 ? 表示埃米尔特（Hermite）。在上一讲我们还提到了如果是实对称矩阵，那么 ? , 而对于复矩阵，则还需要为共轭，即 ? 。...同时可以发现共轭前后有相同的特征值，而特征向量为共轭向量。对于正交矩阵 ? ，在复矩阵的情况下，则同样地也需要取共轭，即 ? 。并且对于各个正交基向量，可以得到 ?...同样地，对标准正交向量的共轭转置可以表示为 ? 则正交向量 ? ,在复数情况下 ?

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Matlab 使用经验分享（常用函数介绍；矩阵常见计算）

最近有很多朋友询问我关于 Matlab 的使用，于是我决定写一篇博客来分享一下我的经验。对于数学和编程爱好者来说，Matlab 是一个非常有用的工具。我自己在数学实验和数学建模竞赛中也经常使用它。...一些常用函数介绍三角函数 sin: --正弦 sinh: 双曲正弦 asin: -反正弦 cosh: 双曲余弦 acos: -反余弦 atanh: --反双曲正切指数函数与对数函数 exp: -...指数 log: --e 为底的对数 log10: 常用对数 sqrt: --平方根与复数有关的函数 abs: -模或绝对值 angle: 幅角 conj: 复共轭 imag: 虚部 real: --...A=[1,3,6;2,5,8;3,9,11]; Z=inv(A) 结果为： Z = -2.4286 3.0000 -0.8571 0.2857 -1.0000 0.5714 … 以下是关于如何验证矩阵的逆以及如何使用逆矩阵来解方程组的内容...例如： AX=b 其中： A=[1,3,6;… 以下是关于如何使用矩阵来解方程组和函数拟合的内容：例如，给定以下方程组： A=[1,3,6;2,5,8;3,9,11]; b=[3,6,7]'

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WebGL简易教程(六)：第一个三维示例(使用模型视图投影变换)

不过那篇教程是纯理论知识，这里就具体结合一个实际的例子，进一步理解WebGL中是如何通过图形变换让一个真正的三维场景显示出来。 2....示例：绘制多个三角形继续改进之前的代码，这次就更进一步，在一个场景中绘制了三个三角形。 2.1. Triangle_MVPMatrix.html <!...数据加入Z值之前绘制的三角形，只有X坐标和Y坐标，Z值坐标自动补足为默认为0的。在这里会绘制了3个三角形，每个三角形的深度不同。...加入深度测试在默认情况下,WebGL是根据顶点在缓冲区的顺序来进行绘制的，后绘制的图形会覆盖已经绘制好的图形。...三者级联，得到MVP矩阵，将其传入到顶点着色器中。 3. 结果用浏览器打开Triangle_MVPMatrix.html，就会发现浏览器页面显示了一个由远及近，近大远小的三个三角形。

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PYTHON替代MATLAB在线性代数学习中的应用(使用Python辅助MIT 18.06 Linear Algebra学习)

对于一个给定矩阵A,可以表现为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵乘积的形式： \[A=LU \] 其中上三角矩阵U是求解方程组的初步中间产物。...复矩阵就是元素中存在复数的矩阵。关键是复数如何表达，NumPy中延续了Python中对复数的定义方式；SymPy中定义了自己的虚数符号类。两种方式都离我们日常数学中的习惯区别很大。...(埃尔米特矩阵)的定义跟实数矩阵有所区别，在复矩阵中，对称是指矩阵做完共轭、转置操作后，同本身相等。...这也意味着，在对称复矩阵对角线上的元素必须都是实数。否则不可能做到共轭后与自身相同。复矩阵组成的正交矩阵称为酉矩阵。...但是在Python的帮助下，如果将上面公式图示出来，肯定可以帮助我们更深入的理解矩阵A中c取值对于矩阵正定性的影响。

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OpenCV - 矩阵操作 Part 1

在每种情况下，结果dst的每个像素都是一个8位序列，匹配的像素被标记为255,不匹配的像素被设置为0。通过 numpy 的矩阵运算也完全可以实现。...具体来说，来自上三角形的所有元素都被复制到它们在矩阵下三角形对应的转置位置。tx的对角元素保持不变。如果标志 lowerToUpper 设置为true,则来自下三角形的元素将被复制到上三角形中。...flags 如果设置标志为cv2.DCT_ROWS,则将二维n×m的输入视为长度为m的n个不同的一维向量。在这种情况下，每个这样的向量将被独立地变换。...标志cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT:和cv2.DFT_REAL_OUTPUT是有用的，因为当计算实数矩阵的傅里叶变换时，结果将有复共轭对称性。...然而，如果输入矩阵（对逆变换的情况）具有复共轭对称性(例如，如果它本身是实数矩阵的傅里叶变换的结果)，那么逆变换将是一个实数矩阵。

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一起来学matlab-matlab学习笔记11 11_1 低维数组操作repmat函数,cat函数,diag函数

（4）等间距对数生成方法：x=logspace(a,b,n)，采用这种方法时，在设定采样点总个数n的情况下，采样常用对数计算得到n个采样点数据值一维数组的创建 ?...但需要注意的是，如果一维数组的元素是复数，那么经过转置操作“'”后，得到的是复数的共轭转置结果，而采用点一共轭转置操作时得到的转置数组，并不进行共轭操作 ?...创建方法为，单击NewVariable创建图标，此时系统在工作空间的变量列表中出现新的矩阵变量，用户可以改变变量的名称。同时，在MATLAB的工作空间出现矩阵编辑器表格，可以直接输人矩阵的数据。...此外，在直接生成矩阵的过程中，可以通过按回车键来保证矩阵生成另一行元素多维数组（n维数组），如在三维数组中存在行、列和页这样三维，即三维数组中的第三维成为页。在每一页中，存在行和列。...在对角元素和上下三角矩阵时，所定义的第二个参数是以对角线k=0的起始对角线，向上三角方向移动时，k的数值增加，而向下三角方向移动时，k的数值减小。

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数值分析读书笔记（2）求解线性代数方程组的直接方法

）,有效的生成一个P是我们主要研究的问题 2.初等下三角矩阵--Guass变换矩阵回顾一下线性代数中的三个初等线性变换数乘倍加互换我们引入一个一般意义上的初等变换矩阵，它把许多常用的线性变换统一在一个框架里面...注意左乘的顺序 3.Gauss消元法先介绍一下顺序Gauss消元法，大概分两步消元过程回代过程在消元过程中，我们不断去左乘Gauss变换矩阵，不断将原矩阵的下三角部分一列列变成0，从而最终变换成一个上三角矩阵...这里再介绍一下Crout分解，即A=LU中的L是一个下三角矩阵，U是单位上三角矩阵注意到某些特殊矩阵的三角分解也是比较特殊的，这里引入一类带状对角形矩阵 ?...上半带宽为s，下半带宽为r，存在LU分解，其中L是下半带宽为r的单位下三角矩阵，U是上半带宽为s的上三角矩阵对于r=s=1的这一类更加特殊的矩阵，称为三对角矩阵，对于此类矩阵的三角分解，介绍一种“追赶法...无穷范数：对于矩阵的每一行的元素取绝对值之后求和，然后选取其中的最大行作为无穷范数关于矩阵的应用，这里引入一个Banach引理设矩阵A属于n*m的复矩阵空间，对于该空间上的某种矩阵范数 ?

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正负定矩阵

化三角矩阵计算行列式的算法实现

一维数组&二维数组&对称矩阵&三角矩阵&三对角矩阵地址的计算

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Cholesky分解

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