如何展开递归: T(n)=2T((n+2)/3)

递归是一种在算法中经常使用的技术，它通过将问题分解为更小的子问题来解决复杂的计算任务。展开递归是指将递归式展开为更简单的形式，以便更好地理解和分析问题。

对于给定的递归式 T(n) = 2T((n+2)/3)，我们可以通过展开递归来求解。

首先，我们将递归式展开一次： T(n) = 2T((n+2)/3) = 2[2T(((n+2)/3+2)/3)] = 2^2T(((n+2)/3+2)/3)

接下来，我们可以继续展开递归式，直到达到我们想要的形式。假设我们展开了 k 次，那么我们可以得到： T(n) = 2^kT(((n+2)/3^k+2)/3^k)

我们可以观察到，当 n 趋近于无穷大时，(n+2)/3^k 也会趋近于无穷大。因此，我们可以假设当 n 趋近于无穷大时，递归式的解为 T(n) = O(1)。

综上所述，展开递归后的递归式 T(n) = 2T((n+2)/3) 的解为 T(n) = O(1)。这意味着递归式的解与输入规模 n 无关，即不随着 n 的增大而增大。

在实际应用中，展开递归可以帮助我们更好地理解递归算法的执行过程，并对算法的时间复杂度进行分析。在编写和优化递归算法时，展开递归是一个重要的思维工具。

腾讯云相关产品和产品介绍链接地址：

腾讯云函数（云原生、服务器运维）：https://cloud.tencent.com/product/scf
腾讯云数据库（数据库）：https://cloud.tencent.com/product/cdb
腾讯云CDN（网络通信）：https://cloud.tencent.com/product/cdn
腾讯云安全产品（网络安全）：https://cloud.tencent.com/product/safety
腾讯云音视频处理（音视频、多媒体处理）：https://cloud.tencent.com/product/mps
腾讯云人工智能（人工智能）：https://cloud.tencent.com/product/ai
腾讯云物联网（物联网）：https://cloud.tencent.com/product/iotexplorer
腾讯云移动开发（移动开发）：https://cloud.tencent.com/product/mobdev
腾讯云对象存储（存储）：https://cloud.tencent.com/product/cos
腾讯云区块链（区块链）：https://cloud.tencent.com/product/baas
腾讯云虚拟专用网络（网络通信）：https://cloud.tencent.com/product/vpc
腾讯云云服务器（服务器运维）：https://cloud.tencent.com/product/cvm

请注意，以上链接仅为示例，具体的产品选择应根据实际需求进行评估和选择。

相关·内容

讨厌算法的程序员 7 - 归并排序的时间复杂度分析

为了求解一个规模为n/2的子问题，第3行和第4行，各需要T(n/2)的时间，所以一共需要2T(n/2)的时间来求解2个子问题。...将每行的执行时间相加： T(n) = 2T(n/2) + D1(n) + D2(n) + C(n) (当n > 1) T(n)的表达式中又包含了T，所以上式称为T(n)的递归式。...根据分析进行简化可得到： T(n) = 2T(n/2) + Θ(n) (当n > 1) 求解递归式求解递归式，即得到描述T(n)与输入规模n关系的函数表达式的过程。...重写递归式为：T(n) = 2T(n/2) + cn (当n > 1)，然后手绘出“递归”层层展开的样子——递归树：图(a)为T(n)，是未进行递归时的表达；图(b)为扩展成一棵描绘递归式的等价树，...关于Θ(nlgn) 现在知道时间复杂度中的lgn是如何产生的了：是基于递归的原因。

7076 0

讨厌算法的程序员 | 第七章归并排序的时间复杂度分析

1.1K11 0

文心一言 VS chatgpt （6）-- 算法导论2.3 3~4题

# 三、使用数学归纳法证明:当n刚好是2的幂时，以下递归式的解是 T(n)=nlgn。若n=2，T(n)=2；若n=2^k,k>1，T(n)=2T(n/2)+n。...现假设对于所有的 k<m，递归式 T(n)=nlgn 成立，即当 n 刚好是 2 的幂时，T(n)=nlgn。考虑当 n=2^m 时，如何证明 T(n)=nlgn。...根据递归式，有： T(n) = 2T(n/2) + n 将 n=2^m 带入上式，可以得到： T(2^m) = 2T(2^(m-1)) + 2^m 由于 2^(m-1) 是 2 的幂，根据归纳假设，可以得到...： T(2^(m-1)) = (2^(m-1)) * lg(2^(m-1)) = (m-1)2^(m-1) 带回原式，得： T(2^m) = 2T(2^(m-1)) + 2^m = 2((...因此，插入排序的递推式为： T(n) = T(n-1) + (n-1) 展开递归式，可以得到： T(n) = T(n-2) + (n-2) + (n-1) = T(n-3) + (n-3) +

1572 0

拜托，面试别再问我时间复杂度了！！！

快速排序分为这么几步：第一步，先做一次partition； partition使用第一个元素t=arr[low]为哨兵，把数组分成了两个半区：左半区比t大右半区比t小第二步，左半区递归；第三步...void swap(int& a, int& b){ int t=a; a=b; b=t; } 分析：通过了一个中间变量t，进行了3次操作，交换了a...第三大类，递归求解简单规则和组合规则可以用来求解非递归的算法的时间复杂度。对于递归的算法，该怎么分析呢？接下来，通过几个案例，来说明如何通分析递归式，来分析递归算法的时间复杂度。...，这一点在分治法与减治法一章节已经详细讲述过；【式子B】不断的展开， f(n)=n+2*f(n/2) f(n/2)=n/2+2*f(n/4) f(n/4)=n/4+2*f(n/8) … f(n/2^(.../4+2*f(n/8)]=3n+8f(n/8) =… =m*n+2^m*f(n/2^m) 再配合【式子A】： f(1)=1 即，n/2^m=1时, f(n/2^m)=1, 此时m=lg(n), 这一步

2163 0

递归算法复杂度Ω分析-分享

算法的递归方程为： T(n) = T(n - 1) + O(1); 迭代展开： T(n) = T(n - 1) + O(1) = T(n... 例：如下递归方程： T(n) = 2T(n/2) + 2, 且假设n=2的k次方。...T(n) = 2T(n/2) + 2 = 2(2T(n/2*2) + 2) + 2 = 4T(n/2*2) + 4 + 2 = 4... 例：如下递归方程： T(n) = 2T(n/2) + O(n), 且假设n=2的k次方。...T(n) = 2T(n/2) + O(n) = 2T(n/4) + 2O(n/2) + O(n) = ...

6471 0

究竟为什么，快速排序的时间复杂度是n*lg(n)？ | 经典面试题

1.5K3 0

递归算法时间复杂度分析

因此： T(n)=2T(n2)+cn=2(2T(n4)+cn2)+cn=22T(n4)+2cn=23T(n8)+3cn=…=2kT(n2k)+kcn=nO(1)+cnlog2n=O(nlog2n)...,(假设n=2k,则k=log2n)T(n)=2T(n2)+cn=2(2T(n4)+cn2)+cn=22T(n4)+2cn=23T(n8)+3cn=…=2kT(n2k)+kcn=nO(1)+cnlog2⁡n...不过递归树模型更直观，同时递归树也克服了二阶及更高阶递推方程不方便迭代展开的痛点。...如在递归式：T(n)=2T(n/2)+nlgnT(n)=2T(n/2)+nlg⁡n中，因为 nlogba=n<f(n)=nlgnnlogb⁡a=n<f(n)=nlg⁡n，但是f(n)f(n)并不大于n一个多项式因子...这里我们解决的递归问题是形如：T(n)=c1T(n-1)+c2T(n-2)+c3T(n-3)+…+ckT(n-k)+f(n)。

2.4K2 0

算法导论第四章分治策略剖根问底（二）

这里引出了一个如何求解子问题的问题，显然是采用递归调用栈的方式。因此，递归式与分治法是紧密相连的，使用递归式可以很自然地刻画分治法的运行时间。...所以，如果你要问我分治与递归的关系，我会这样回答：分治依托于递归，分治是一种思想，而递归是一种手段，递归式可以刻画分治算法的时间复杂度。所以就引入本章的重点：如何解递归式？...递归树法： 1）、对递归式T(n) = 3T(n/2) +ｎ，利用递归树确定一个好的渐近上界，用代入法进行验证。 ?...2）、对递归式T(n) = T(n/2) + n2，利用递归树确定一个好的渐近上界，用代入法进行验证。 ? 主方法： 1）、对于下列递归式，使用主方法求出渐近紧确界。　　...a、T(n) = 2T(n/4) + 1 　　b、T(n) = 2T(n/4) + n1/2 　　c、T(n) = 2T(n/4) + n 　　d、T(n) = 2T(n/4) + n2 ?

1.6K6 0

算法设计关于递归方程T(n)=aT(nb)+f(n)之通用解法

算法设计关于递归方程T(n)=aT(n/b)+f(n)之通用解法在算法设计中经常需要通过递归方程估计算法的时间复杂度T(n)，本文针对形如T(n)=aT(n/b)+f(n)的递归方程进行讨论，以期望找出通用的递归方程的求解方式...注意到条件1和3中的e总是大于0的，所以在条件1和2、条件2和3之间存在所谓的“间隙”，使得某些f(n)在该情况下不能使用该定理。...因此，我们需要找到在Master定理不能使用的情况下如何解递归方程的比较通用的办法——递归树。经过分析，递归树解法包含了Master定理，但是Master定理可以方便的判断出递归方程的解。...根据递归树计算方式，有： T(n)= aT(n/b)+nk 。 T(n/b)= aT(n/b2)+(n/b)k 。 T((n/b2)= aT(n/b3)+( n/b2)k 。...T(n)= 2T(n/2)+nlgn 。 T(n/b)= 2T(n/22)+(n/2)lg(n/2)。 T((n/b2)= 2T(n/23)+ (n/22)lg(n/22)。

1.6K7 0

【数据结构与算法】递归

3 次随着 n 的增大，重复次数非常可观，如何优化呢？...(n) = 2T(\frac{n}{2}) + n 此时 x=1=c ，时间复杂度 \Theta(n\log{n}) 例9....} return n + sum(n - 1); } T(n) = T(n-1) + c ， T(1) = c 下面为展开过程 T(n) = T(n-2) + c + c T(n) = T(n-...n) = T(n-1) + n ， T(1) = c 下面为展开过程 T(n) = T(n-2) + (n-1) + n T(n) = T(n-3) + (n-2) + (n-1) + n … T(n)...= c T(n) = T(n-1) + c + n 下面为展开过程 T(n) = T(n-2) + c + (n-1) + c + n T(n) = T(n-3) + c + (n-2) + c + (

1441 0

2021-06-13：如果一个节点X，它左树结构和右树结构完全一

递归函数：头num=左num+右num+0或1。相等判断函数：左结构=右结构，O(N)。树越不平衡，复杂度越低，因此算复杂度的时候，只需要考虑平衡树。...master公式：T(N)=2T(N/2)+O(N)。2T(N/2)是递归。O(N)是相等判断函数。根据master公式，时间复杂度是O(N*logN)。方法二：方法一的相等判断函数用哈希函数。...递归函数：头num=左num+右num+0或1。头哈希=【左哈希+头值+右哈希】的哈希值。这个递归有两个返回值。相等判断函数：左结构=右结构，用哈希值判断，O(1)。...master公式：T(N)=2T(N/2)+O(1)。2T(N/2)是递归。O(1)是相等判断函数。根据master公式，时间复杂度是O(N)。代码用golang编写。...head.Left.Right = &Node{Val: 4} head.Right.Left = &Node{Val: 3} head.Right.Right = &Node

3161 0

2021-06-13：如果一个节点X，它左树结构和右树结构完全一样，那么我们说以X为头的树是相等树。给定一棵二叉树的头节点hea

2532 0

最大子序列和问题之算法优化

3)（三重for循环）算法二：算法一的改进 int maxSubsequenceSum(const int a[], int n) { int i, j; int thisSum, maxSum...时间复杂度分析: 假设T(n)为求解大小为n的最大子序列和问题所花费的时间。...当n = 1是，T(1) = O(1)；当n > 1时，两次递归花费的总时间为2T(n/2),两个并列的for循环花费的时间是O(len(left)+len(right)) = O(n)，一共为2T(n...综上可列如下方程组： T(1) = 1 T(n) = 2T(n/2) + O(n) 事实上，上述方程组常常通用于分治算法，由方程组可算出T(n) = O(nlogn)。...）如果大于0，不管当i > t的元素大小如何，加上thisSum总会使之后的和变大，而如果thisSum小于0，肯定会使之后的和变小，既然还会变小，那干脆就重新来过（thisSum = 0），有些另起炉灶的意味

1.1K7 0

最大子序列和问题之算法优化

3)（三重for循环） ---- 算法二：算法一的改进 int maxSubsequenceSum(const int a[], int n) { int i, j; int thisSum...时间复杂度分析: 假设T(n)为求解大小为n的最大子序列和问题所花费的时间。...当n = 1是，T(1) = O(1)；当n > 1时，两次递归花费的总时间为2T(n/2),两个并列的for循环花费的时间是O(len(left)+len(right)) = O(n)，一共为2T(n...综上可列如下方程组： T(1) = 1 T(n) = 2T(n/2) + O(n) 事实上，上述方程组常常通用于分治算法，由方程组可算出T(n) = O(nlogn)。...）如果大于0，不管当i > t的元素大小如何，加上thisSum总会使之后的和变大，而如果thisSum小于0，肯定会使之后的和变小，既然还会变小，那干脆就重新来过（thisSum = 0），有些另起炉灶的意味

7383 0

【浅记】分而治之

解决子问题合并问题解递归式求解递归树法用树的形式表示抽象递归 T(n)=\begin{cases} 2T(\frac{n}{2})+O(n), &if&n>1\\ O(1),&if&n=...例： T(n)=5T(\frac{n}{2})+n^3 k=3 a=5,b=2,\log_ba=\log_25 k>\log_ba T(n)=\Theta(n^3) 最大子数组基于枚举策略...} S_3 ：跨中点的最大子数组数组 X 的最大子数组之和 S_{max}=max\{S_1,S_2,S_3\} 问题在于，如何高效地求解 S_3 记 mid=\frac n2 S_3 可以分为左右两部分...求解 S_3 的算法运行时间： O(n^2) 分而治之框架的运行时间： T(n)=2T(\frac n2)+O(n^2) 直接求解的分而治之较蛮力枚举并未提高算法运行时间。...： T(n)=2T(\frac n2)+O(n\log n) 算法优化合并问题解的同时对数组进行排序归并过程中可同时计算逆序对数目策略三：归并求解从左到右扫描有序子数组： A[i]\in

2993 0

考研竞赛每日一练 day 39 利用交换积分以及级数性质求解一道数列通项的问题

分析：首先解出 f(x) 的表达式，但是直接积分是求不出来的，可以采用累次积分，后面根据函数展开成幂级数，对比对应项即可求解。...解析：先交换积分次序，得 \displaystyle f(x)=\int_{0}^{x}[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{u^2\sin 2t}{(1+u^2\sin^2t)...1+x^2\sin^2t)}dt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{d(1+x^2\sin^2t)}{(1+x^2\sin ^2 t)}\\ &=-\dfrac{1}{1-x...^2\sin^2t}\bigg|_{t=0}^{t=\frac{\pi}{2}}=-\dfrac{1}{1+x^2}+1\end{align*} 再利用定积分性质有 \begin{align*}\displaystyle..._{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\cdot t^{2n}dx+x\\&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\cdot \dfrac{1}{2n+1}x^{2n+1}

2982 0

最大子数组和（LeetCode 53）

（3）跨越中间点，low <= i <= mid < j <= high。...如何找到跨越中点的最大子数组，很简单，我们只要以 mid 为起点，向左遍历找出左边最大子数组。然后以 mid+1为起点，向右遍历找出左边最大子数组。两个子数组拼接在一起，就是跨越中点的最大子数组。...很明显，求解跨越中点的最大子数组的时间复杂度是 O(n)。我们用 T(n) 表示时间复杂度，那么左右区间的时间复杂度为 2T(n/2)。所以总的时间复杂度为 T(n)=2T(n/2)+O(n)。...此递归式与归并排序的递归式一样，求解递归式的时间复杂度可以采用《算法导论中》中文第三版的4.5节中提出的方法，可快速求解上面递归式的时间复杂度 T(n)=O(nlogn)。...空间复杂度：递归会使用 O(log⁡n) 的栈空间。

1170 0

考研数学综合题5

3713 0

文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （246）-- 算法导论18.1 4题

我们可以通过递归的方式考虑这个问题：对于高度为 1 的树（即只有根节点的树），最多可以包含 2t-1 个关键字（如果根节点不是叶子节点的话）。...因此，我们可以写出如下的递归公式来计算最多关键字数： MaxKeys(h, t) = if h == 1 then if t == 1 then 1 else 2t -...1 end if else (2t - 1) + t * MaxKeys(h - 1, t) end if 这个递归公式考虑了根节点包含的关键字数（2t-1...因此，可以通过以下递归关系来表示： 1.( N = 1 + (t-1) + t*(N_{h-1} + (t-1) + t*(N_{h-2} + ... + (t-1) + t*N_0) ) 2.其中 (...因此，一棵高度为 ( h ) 的 B 树可以存储的最多关键字数量 ( N ) 可以表示为： [ N = 1 + (2t - 1)(h - 1) ] 这里的 ( h - 1 ) 是因为根节点不计入高度。

1162 0

可能是最可爱的一文读懂系列：皮卡丘の复杂度分析指南

如何做“复杂度分析“？ 3. 从排序算法说起 4. 递归算法分析 5. 如何选择最好的算法？其中，1、2部分会对复杂度分析做简单介绍（熟悉复杂度分析基本概念的同学可以跳直部分3）。...在我们画出合并排序算法的递归树之前，让我们首先看一下它的递归关系。 T（N）= 2T（N / 2）+ O（N） ? 用T(N)表示对由N元素组成的数组进行排序所完成的工作量（或所花费的时间）。...我们可以写出递归关系如下： T（N） = 2T（N / 2）+ O（N） T（N / 2）= 2T（N / 4）+ O（N / 2） T（N / 4）= 2T（N / 8）+ O（N / 4） .......T(N) = 2T(N / 2) + O(N) 这算式表示树结构中的第一层的工作量为O(N)，其余的工作量2T(N / 2)在下一层完成。...例如T（n）= 2T（n / 2）+ O（n） ? 等等，这不就是归并排序嘛！对!这就是归并排序算法的复杂度。如果我们在主定理方法中采用归并排序的递归关系，我们得到： ?

9075 0

点击加载更多

扫码

添加站长进交流群

领取专属 10元无门槛券

手把手带您无忧上云

如何展开递归: T(n)=2T((n+2)/3)

相关·内容

讨厌算法的程序员 7 - 归并排序的时间复杂度分析

讨厌算法的程序员 | 第七章归并排序的时间复杂度分析

文心一言 VS chatgpt （6）-- 算法导论2.3 3~4题

拜托，面试别再问我时间复杂度了！！！

递归算法复杂度Ω分析-分享

究竟为什么，快速排序的时间复杂度是n*lg(n)？ | 经典面试题

递归算法时间复杂度分析

算法导论第四章分治策略剖根问底（二）

算法设计关于递归方程T(n)=aT(nb)+f(n)之通用解法

【数据结构与算法】递归

2021-06-13：如果一个节点X，它左树结构和右树结构完全一

2021-06-13：如果一个节点X，它左树结构和右树结构完全一样，那么我们说以X为头的树是相等树。给定一棵二叉树的头节点hea

最大子序列和问题之算法优化

最大子序列和问题之算法优化

【浅记】分而治之

考研竞赛每日一练 day 39 利用交换积分以及级数性质求解一道数列通项的问题

最大子数组和（LeetCode 53）

考研数学综合题5

文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （246）-- 算法导论18.1 4题

可能是最可爱的一文读懂系列：皮卡丘の复杂度分析指南

扫码

相关资讯

热门标签

活动推荐

运营活动

社区

活动

资源

关于

腾讯云开发者

热门产品

热门推荐

更多推荐