要确定x和y是否存在于满足等式的整数X集合中,需要先确定X集合的具体范围。假设X集合中的元素为(a,b),那么可以根据等式a^2+b^2=c^2来确定元素(a,b)是否在X集合中。如果c^2在X集合中,那么x和y存在;否则不存在。
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除端点外 , 不接触对角线的非降路径数 参考 : 【组合数学】非降路径问题 ( 限制条件的非降路径数 )
-欢迎 这篇文章讨论了数论中每个程序员都应该知道的几个重要概念。本文的内容既不是对数论的入门介绍,也不是针对数论中任何特定算法的讨论,而只是想要做为数论的一篇参考。如果读者想要获取关于数论的更多细节,文中也提供了一些外部的参考文献(大多数来自于 Wikipedia 和 Wolfram )。 0、皮亚诺公理 整个算术规则都是建立在 5 个基本公理基础之上的,这 5 个基本公理被称为皮亚诺公理。皮亚诺公理定义了自然数所具有的特性,具体如下: (1)0是自然数; (2)每个自然数都有一个后续自然数; (3)0不是
组合分析方法使用 : 使用组合分析方法证明组合数时 , 先指定集合 , 指定元素 , 指定两个计数问题 , 公式两边是对同一个问题的计数 ;
本文学习过程来源是《矩阵分析与应用-张贤达》一书. 可以通过 z-lib 下载.
② 归纳步骤 : 根据 数学归纳法的种类 , 进行不同方式的证明 , 这里有 第一数学归纳法 和 第二数学归纳法 两种归纳法 ;
最近几期 Wolfram 公众号有不少内容是从各类实际的高中试题中摘选经典和复杂问题,结合软件加以解决和分析。内容来看是充实完整,分析透彻。本文抛砖引玉,从中学数学老师的日常应用出发,按课程标准的内容组织,运用 Mathematica 的计算和图形功能,形象的获取数学对象的直观展示,避免了繁重的笔头计算;并以实验的方式来研究数学,体现软件在基础教学课堂中的帮助。
可满足性模块理论(SMT)基础 - 01 - 自动机和斯皮尔伯格算术 前言 如果,我们只给出一个数学问题的(比如一道数独题)约束条件,是否有程序可以自动求出一个解? 可满足性模理论(SMT - Satisfiability Modulo Theories)已经可以实现这个需求。 因此,最近想搞明白z3的实现原理。源代码没有读两句,还是找了本教材来看。 Vijay Ganesh (PhD. Thesis 2007), Decision Procedures for Bit-Vectors, Arrays
这里跟之前不同的地方在于x∈X。之前我们都在说的是连续性问题,即X=\(R^n\);在对偶理论中包含了离散性的问题,X可能是整数集合,即X=\(Z^n\),或者正整数集合X=\(Z^n+\),或者0-1规划,即X=\({\{0,1\}}^n\),也可以任何自定义的集合,如X={x| \(e^Tx=1\),x≥0};(P)在对偶理论中称为原问题(primal problem)。
1. 神奇的Gamma函数 1.1 Gamma 函数诞生记 学高等数学的时候,我们都学习过如下一个长相有点奇特的Gamma函数 Γ(x)=∫∞0tx−1e−tdt 通过分部积分的方法,可以推导出这个函数有如下的递归性质 Γ(x+1)=xΓ(x) 于是很容易证明,Γ(x) 函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓,具有如下性质 Γ(n)=(n−1)! 学习了Gamma 函数之后,多年以来我一直有两个疑问: 这个长得这么怪异的一个函数,数学家是如何找到的; 为何定义 Γ 函数的时候,不使得这个函数的定义满足
整数集合(intset)是集合键的底层实现之一: 当一个集合只包含整数值元素, 并且这个集合的元素数量不多时, Redis 就会使用整数集合作为集合键的底层实现。整数集合涉及的文件是intset.h和intset.c
贪心类问题无疑是基础算法中难度最大的,难点在于思维的跳跃性,没有固定的解题模式,往往是一类题一种解法或结论
问题1的1、中,我们把1~11之间的每一个偶数即2/4/6/8/10作为研究对象,可以使用【i%2==0】的方式进行计算机计算,确定有数量范围。
KMP 算法、洗牌算法这些耳熟能详的的牛逼算法就是老爷子的创造,他的经典著作《计算机程序设计艺术》更是被誉为算法中“真正”的圣经。
AI摘要:在数学中,最大公约数(GCD)是两个整数之间的一种重要关系,而贝祖等式则进一步揭示了GCD的深层次应用。本文通过深入浅出的方式,详细推导扩展欧几里得算法的公式,从欧几里得算法开始,一步步揭示其背后的数学原理,并最终实现计算GCD及其贝祖系数的Python代码。无论你是否具备高等数学背景,这篇文章将带你探索如何巧妙地利用扩展欧几里得算法解决实际问题,让你在数学的世界中发现更多的趣味和应用。 扩展欧几里得算法公式推导与Python实现
在数论中,裴蜀定理是一个关于最大公约数(或最大公约式)的定理 在数论中,裴蜀定理是一个关于最大公约数(或最大公约式)的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀,说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d,关于未知数x和y的线性丢番图方程(称为裴蜀等式): ax + by = m 有解当且仅当m是d的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解,每组解x、y都称为裴蜀数,可用辗转相除法求得。 例如,12和42的最大公因子是6,则方程12x + 42y = 6有解。事实上有(-3)×12 + 1×42
在星际争霸和围棋等游戏中,强化学习已取得了举世瞩目的成功。而这些成功背后的核心则是用于求解马尔可夫决策过程(MDP)的贝尔曼最优性方程(Bellman Optimality Equation)。
只是我们没有把它抽象化而已), 其实就是相当于一个停车场, 那么这个停车场就是肯定有它的固定位置 (在计算机中,我们叫他为指针,指向哪里的意思), 停车场还有停车数量的限制 (在计算机,我们使用内存来限制存放数据的大小), 那么在计算机语言中是怎么样表示的呢? 这就要扯到数学等式了,
起源于一篇《改变计算技术的伟大算法》文章,知道这个算法,然后google一下,维基讲的还不错,本文权当自己理清下思路。先贴源代码,为《雷神之锤III竞技场》源代码中的应用实例,剥离了C语言预处理器的指令,并附上了原有的注释。
过去一段时间里小编一直接触启发式算法,自从学习了运筹学以后,就对运筹学的精确方法垂涎已久,像什么单纯形法啦,分支定界啦,割平面啦...... 就在小编一边做梦一边睡大觉的时候,boss发来一个任务:用Gomory割平面法求解混合整数规划问题。于是小编马上从床上跳起来,挑灯夜战为大家整出了这个代码...
线性规划是数学规划中的一类最简单规划问题,常见的线性规划是一个有约束的,变量范围为有理数的线性规划。如:
在数学最优问题中,拉格朗日乘数法(以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名)是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。这种方法将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为一个有n + k个变量的方程组的极值问题,其变量不受任何约束。本文介绍拉格朗日乘数法(Lagrange multiplier)。 概述 我们擅长解决的是无约束极值求解问题,这类问题仅需对所有变量求偏导,使得所有偏导数为0,即可找到所有极值点和鞍点。我们解决带约束条件的问题时便会尝试将其转化为无约束优化问题
给定一个由表示变量之间关系的字符串方程组成的数组,每个字符串方程 equations[i] 的长度为 4,并采用两种不同的形式之一:"a==b" 或 "a!=b"。在这里,a 和 b 是小写字母(不一定不同),表示单字母变量名。
欧几里得算法是用来求解两个不全为0的非负整数m和n的最大公约数的一个高效且简单的算法。该算法来自于欧几里得的《几何原本》。数学公式表达如下:
概率密度函数是概率论中的核心概念之一,用于描述连续型随机变量所服从的概率分布。在机器学习中,我们经常对样本向量x的概率分布进行建模,往往是连续型随机变量。很多同学对于概率论中学习的这一抽象概念是模糊的。在今天的文章中,SIGAI将直观的解释概率密度函数的概念,帮你更深刻的理解它。
绪论:加法原理、乘法原理# 分类计数原理:做一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法,…,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
裴蜀定理说明了对任何整数a,b和它们的最大公约数d,关于未知数x和y的线性不定方程:若a,b是整数,且gcd(a,b)=d,那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数,特别的,一定存在整数x,y使ax+by=d成立。
说明本文主要是关于Numpy的一些总结,包括他们的一些运算公式,我整理一下方便日后查阅公式!
这种形式可以使用 不定方程非负整数解个数 的生成函数计算 , 是 带系数 , 带限制条件的情况 , 参考 : 组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数 )
在组合数学中,隔板法(又叫插板法)是排列组合的推广,主要用于解决不相邻组合与追加排列的问题。 隔板法就是在n个元素间插入(b-1)个板,即把n个元素分成b组的方法。——百度百科
凸优化(convex optimization)是最优化问题中非常重要的一类,也是被研究的很透彻的一类。对于机器学习来说,如果要优化的问题被证明是凸优化问题,则说明此问题可以被比较好的解决。在本文中,SIGAI将为大家深入浅出的介绍凸优化的概念以及在机器学习中的应用。
1维直线、2维平面(长宽)、3维空间(长宽高 | xyz轴)、4维时空(xyz轴+时间轴)
根据弹性碰撞的法则使用事件驱动模拟模拟 N 个碰撞粒子的运动。这种模拟在分子动力学(MD)中被广泛应用,以理解和预测粒子级别的物理系统的性质。这包括气体中分子的运动,化学反应的动力学,原子扩散,球体堆积,围绕土星的环的稳定性,铈和铯的相变,一维自引力系统以及前沿传播。相同的技术也适用于其他涉及粒子系统的物理建模领域,包括计算机图形学,计算机游戏和机器人技术。我们将在第七章再次讨��其中一些问题。
大宝上初一了,先让 ChatGPT 给准备点初中数学的知识点汇总,提前学着,看起来整理的有模有样的,先不管整理的对不对了。
在C语言中,可以使用算法来计算欧拉函数(Euler's Totient Function)。欧拉函数,也被称为φ函数,用于计算小于或等于给定数字n的正整数中与n互质的数的个数。
1.作用 单纯形法是解决线性规划问题的一个有效的算法。线性规划就是在一组线性约束条件下,求解目标函数最优解的问题。 2.线性规划的一般形式 在约束条件下,寻找目标函数z的最大值。 3.
一旦暗号被窃听者给获取到的话,之后所有的通讯信息对窃听者来说是完全透明的。
枚举法的基本思想 枚举法的基本思想是根据提出的问题枚举所有可能状态,并用问题给定的条件检验哪些是需要的,哪些是不需要的。能使命题成立,即为其解。 枚举结构:循环+判断语句。 枚举法的条件 虽然枚举法本质上属于搜索策略,但是它与后面讲的回溯法有所不同。因为适用枚举法求解的问题必须满足两个条件: ⑴可预先确定每个状态的元素个数n; ⑵状态元素a1,a2,…,an的可能值为一个连续的值域。 枚举法的框架结构 设ai1—状态元素ai的最小值;aik—状态元素ai的最大值(1≤i≤n),即a11≤a1≤a1k,a2
在Python中,数字并不是一个真正的对象类型,而是一组类似类型的分类。Python不仅支持通常的数据类型(整数和浮点数。),而且能够通过常量去直接创建数字以及处理数字的表达式。
参考书目和论文:《统计学习方法》 A Tutorial on Support Vector Machine for Pattern Recognition 在机器学习中我们知道学习方法的泛化能力往往是通过研究泛化误差的概率上界所进行的,这个就简称为泛化误差上界。用直观的理解,在有限的训练数据中得到一个规律,认为总体也是近似这个规律的,那么就能用这个规律进行预测。比如一个大罐子里装满了红球和白球,各一半,我随手抓了一把,然后根据这些红球白球的比例预测整个罐子也是这样的比例,这样做不一定很准确,但结果总是近似
Modern Algebra 读书笔记 Introduction 本文是Introduction to Modern Algebra(David Joyce, Clark University)的读书笔记。 符号(Notation) image.png 术语 特征元素(identity element) 别名:neutral element. For a binary operation is an element in the set that doesn't change the value of
其中: M(x) 表示 x 是人 Mortal(x) 表示 x 是要死的 ∀x 表示对于所有个体 x
分类计数原理:做一件事,有\(n\)类办法,在第\(1\)类办法中有\(m_1\)种不同的方法,在第\(2\)类办法中有\(m_2\)种不同的方法,…,在第\(n\)类办法中有\(m_n\)种不同的方法,那么完成这件事共有\(N=m_1+m_2+…+m_n\)种不同的方法。
写在前面:文章里面的图片公式都是逆天一个个打出来画出来的,公式系列基本上都提供了源码
在准备用python实现AES的时候,遇到了求伽罗华域下一个多项式的逆的问题。我发现,我不光把域的知识忘光了,别说多项式的逆了,我连如何用python实现求一个整数的逆都不知道。
对于一个无约束优化问题,如果目标函数是一个凸函数(或凹函数),那么我们只需要求得梯度为0的点即可,极大似然估计其实就是一个凸优化的问题。
把每个点所在集合初始化为其自身,时间复杂度均为O(N),可用数组,哈希表等结构来实现
, 作用 : 求和时拆项 , 将一个组合数拆分成两项之和 , 或两项之差 , 然后合并 ;
学习方法的泛化能力是指由该方法学习到的模型对未知数据的预测能力,是学习方法本质上重要的性质。现实中采用最多的办法是通过测试误差来评价学习方法的泛化能力,但这种评价是依赖于测试数据集的。因为测试数据集是有限的,很有可能由此得到的评价结果是不可靠的。
样本空间Ω:随机实验所有结果的集合。 在这里,每个结果ω ∈ Ω可以看作实验结束时真实世界状态的完整描述。
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