它基于相邻元素之间的重复交换（如果它们的顺序错误）。它是稳定的，它的时间复杂度是 O(n²) 并且它需要 O(1) 辅助空间。 计数排序（Counting Sort） 计数排序不是基于比较的排序。...在这种情况下，如果距离值大于 (x, y) 的权重加上 x 的距离值，那么我们更新 y 的距离值。 贝尔曼-福特（Bellman-Ford）算法 正如我们之前所说，Dijkstra 仅适用于正加权图。...给定一个加权图，我们可以检查它是否包含负循环。如果没有，那么我们还可以找到从我们的源到其他源的最小距离（可能为负权重）。...拓扑排序（Topological Sorting） 有向无环图 (DAG) 只是一个不包含循环的有向图。...这个属性实际上告诉我们一个顶点在它的所有传出邻居都被弹出后从堆栈中弹出。因此，要对图进行拓扑排序，我们需要跟踪弹出顶点的逆序列表。 哇，你已经到读了文章的结尾。感谢您的阅览！
这个过程称为DAG的线性化过程，也称为DAG的拓扑排序，这里的排序并不是指大小上的有序，而是指时间上的有序。...如果能证明回边的存在，则可以证明图结构中有环。回边的检查可以直接使用DFS搜索算法，其间有两个小技巧性。 搜索某一个节点时，检查节点的祖先节点是否和某一个子节点重合。...从多线程（进程）的角度而言，即存在并发时刻也存在互斥时刻。通过把子工作流建模成DAG结构，借助拓扑排序算法，能帮助建立稳定、健全、快速的工作流系统。 拓扑排序算法的两种实现。...总结 如果你不懂得DAG的底层结构以及拓扑排序算法相关知识，并不妨碍你去使用SPARK。如果你没有用过SPARk，也不会影响你学习DAG。...但是如果你懂得了DAG，又学会使用了SPARK，对高级应用和低级算法之间的关系会有更高层面的感悟。有一天，SPARk会死，但底层结构和算法思想却会永存。
性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为k）的结点按层序编号（从第1层到第层，每层从左到右），对任一结点i（1≤i≤n）有： 1．如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点...拓扑序列：设G=(V,E)是一个具有n个顶点的有向图，V中的顶点序列v1，v2，……，vn，满足若从顶点vi到vj有一条路径，则在顶点序列中顶点vi必在顶点vj之前。...则我们称这样的顶点序列为一个拓扑序列。 所谓拓扑排序，其实就是对一个有向图构造拓扑序列的过程。...直接插入排序：基本操作是将一个记录插入到已经排好序的有序表中，从而得到一个新的、记录数增1的有序表。...总结： 归类 时间复杂度比较： 从最好情况看，反而冒泡和直接插入排序要更胜一筹，也就是说，如果你的待排序序列总是基本有序，反而不应该考虑4种复杂的改进算法。
选择排序则是每一次都遍历所有未排序的元素，从中选出最小的或者最大的元素插入有序队列的头或者尾，平均复杂度同样是O(N²)。 同样基于插入思想却又与上两者不同的方法是希尔排序和桶排序。...当数组已经有序时二叉排序树会退化为O(N²)，而且绝大部分时候都建不出漂亮的二叉树，所以这个log其实是有很大水分的。...如果在一个有向图中任意两个顶点可以相互到达，则称这张图为强连通图；反之，若不满足强连通图的定义，但是将所有的有向边修改为无向边后原有向图能构成连通图，则称该有向图为弱连通图。...看到这里，如果所有的知识点你都能掌握了，那么已经足够你拿到优秀了。剩下的部分是拓扑排序，不是很喜欢考，但还是提一下。 拓扑排序用于清理AOV网（Activity On Vertex）。...比如某一系列课程的复杂的前置关系就可以看成是一个AOV网，它是一个有向无环图。拓扑排序负责从其中找出一个顺序，可以在不违反所有前置课程条件的情况下完成对每一门课程的学习。
你可以把这个项目的内容当成是一个目录，在面试前快速浏览一遍对你的面试也是有所帮助的！...开地址法（Open Addressing）: 在开地址法中，当插入新值时，会判断该值对应的哈希桶是否存在，如果存在则根据某种算法依次选择下一个可能的位置，直到找到一个尚未被占用的地址。...无向图（Undirected Graph）: 无向图具有对称的邻接矩阵，因此如果存在某条从节点 u 到节点 v 的边，反之从 v 到 u 的边也存在。...有向图（Directed Graph）: 有向图的邻接矩阵是非对称的，即如果存在从 u 到 v 的边并不意味着一定存在从 v 到 u 的边。...拓扑排序 拓扑排序是对于有向图节点的线性排序，如果存在某条从 u 到 v 的边，则认为 u 的下标先于 v。
如果有向图中任何一对顶点都是强连通的，则此图叫强连通图。 有向图中最大连通子图称为有向图的强连通分量。 ? 有些图对应每条边有一相应的数值，这个数值称为该边的权。 带权的图称为网（network）。...把v1放在vi到vj的路径上，vi到vj之间可能会产生新的路径，其距离为D(0)[i][1] + D(0)[1][j]，当然v1的引入可能反而会加大vi到vj的距离，因此需要比较D(0)[i][1] +...此时D(|V|)[i][j]即为带权图中任意两个顶点vi到vj的最短距离。 6、拓扑排序 有向无环图（directed acyclic graph）是指一个无环的有向图，简称DAG。...AOV网的特点是在网中一定不能有有向回路。检测网中是否存在环，则采用拓扑排序的方法。...即将AOV网络各个顶点（代表各个活动）排列成一个线性有序的序列，使得AOV网络中所有应存在的前驱和后继关系都能得到满足。拓扑排序就是构造AOV网络顶点的拓扑有序序列的运算。 ?
开地址法（Open Addressing）: 在开地址法中，当插入新值时，会判断该值对应的哈希桶是否存在，如果存在则根据某种算法依次选择下一个可能的位置，直到找到一个尚未被占用的地址。...无向图（Undirected Graph）: 无向图具有对称的邻接矩阵，因此如果存在某条从节点 u 到节点 v 的边，反之从 v 到 u 的边也存在。...有向图（Directed Graph）: 有向图的邻接矩阵是非对称的，即如果存在从 u 到 v 的边并不意味着一定存在从 v 到 u 的边。...堆更准确地可以分为最大堆与最小堆，在最大堆中，父节点的键值永远大于或者等于子节点的值，并且整个堆中的最大值存储于根节点；而最小堆中，父节点的键值永远小于或者等于其子节点的键值，并且整个堆中的最小值存储于根节点...拓扑排序 拓扑排序是对于有向图节点的线性排序，如果存在某条从 u 到 v 的边，则认为 u 的下标先于 v。
Go 语言代码实现 以下是一个简化的 Go 语言实现，假设图以邻接表形式给出，并且已经有一个函数 topologicalSort 来生成图的拓扑排序。...DAG（有向无环图）最短路径算法的目标是计算从源顶点到所有其他顶点的最短路径长度。在拓扑排序中，我们按照依赖关系的顺序处理顶点，确保在处理一个顶点之前，我们已经处理了它所依赖的所有顶点。...遍历拓扑排序后的顶点列表，对于每个顶点v，更新其所有后继节点的距离，即如果通过v到达某个后继节点u的距离比当前记录的距离更短，则更新u的距离。...最短路径的松弛性质：DAG-SHORTEST-PATHS算法基于最短路径的松弛性质，即对于任意两个顶点( u )和( v )，如果存在一条路径从( u )到( v )，则最短路径可以通过松弛操作得到。...初始化一个距离数组 dist[]，其中 dist[s] = 0（s 是源顶点），其余顶点的距离为正无穷大。 2. 对图中的顶点按照拓扑排序的顺序进行遍历。 3.
一个存储结构设计得是否合理，取决于基于该存储结构的运算是否合适、是否方便，时间复杂度好不好等 2.孩子表示法 每个结点有多个指针域，其中每个指针指向一个子树的根结点，这种方法叫做多重链表表示法 方案一...n0=n2+1 4.具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1([x]表示不大于x的最大整数) 5.如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为[log2n]+1）的结点按层序编号（从第1层到第[...依次类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止 4.克鲁斯卡尔算法主要是针对边来展开，边数少时效率会非常高，所以对于稀疏图有很大的优势；而普里姆算法对于稠密图，即边数非常多的情况会更好一些 E.最短路径...则我们称这样的顶点序列为一个拓扑序列 3.所谓拓扑排序，其实就是对一个有向图构造拓扑序列的过程 4.基本思路：从AOV网中选择一个入度为0的顶点输出，然后删去此顶点，并删除以此顶点为尾的弧，继续重复此步骤...=j），且在排序前的序列中ri领先于rj（即i如果排序后ri仍依靠于rj，则称所用的排序方法是稳定的；反之，若可能使得排序后的序列中rj领先ri，则称所用的排序方法是不稳定的。
检测无向图中是否存在环 ? 很明显，在图中是存在一个环的。对于一个正在访问的节点V，如果它的相连接的节点u已经访问过，并且不是v的父节点，那么就可以认为图中存在环。...（DAG）的最长路径 描述：给出一个带权有向无环图(DAG)和其中的一个源点s，求出 s到图中所有其它顶点的最长距离。...众所周知，一般图最长路径问题是NPH problem。但对于DAG的最长路径问题有一个线性时间解。使用拓扑排序可以求解。 求解过程：首先初始化源点S到其他顶点的距离为无穷小，源点S到S的距离为0。...之后对整个图DAG进行拓扑排序。按照拓扑排序后的节点顺序，更新到源点距离就行了。 如图：对图a进行拓扑排序结果为r,s,t,x,y,z。如图b所示，并标出图中所有的边。...如果一个图是二分图，那么可以使用两种颜色将节点划分到两个集合中（每个集合中节点的颜色一样）。
，后者代表该图是有环图，所以可以通过拓扑排序来判断一个图是否存在环。...(4)二叉排序树：二叉排序树的定义为：一棵空树，或者是一棵具有如下特点的树：如果该树有左子树，则其左子树的所有节点值小于根的值；若该树有右子树，则其右子树的所有节点值均大于根的值；其左右子树也分别为二叉排序树...(1)直接插入排序(稳定)：基本思想为：将序列分为有序部分和无序部分，从无序部分依次选择元素与有序部分比较找到合适的位置，将原来的元素往后移，将元素插入到相应位置上。...(5)堆排序(不稳定)：设有一个任意序列，k1,k2,…,kn，当满足下面特点时称之为堆：让此序列排列成完全二叉树，该树具有以下特点，该树中任意节点均大于或小于其左右孩子，此树的根节点为最大值或者最小值...优点是：每一趟不仅能找到一个最大的元素放到序列后面，而且还把其他元素理顺，如果下一趟排序没有发生交换则可以提前结束排序。时间复杂度为O(n^2),空间复杂度为O(1)。
理解并识别这六种情况有助于你求解范围广泛的问题，从插入区间到优化区间合并等。 那么如何确定何时该使用合并区间模式呢？...根据问题的不同，将 K 个元素插入到 min-heap 或 max-heap 中 2．迭代处理剩余的数，如果你找到一个比 heap 中数更大的数，那么就移除那个数并插入这个更大的数 ?...拓扑排序 拓扑排序可用于寻找互相依赖的元素的线性顺序。比如，如果事件 B 依赖于事件 A，那么 A 在拓扑排序时位于 B 之前。 这个模式定义了一种简单方法来理解执行一组元素的拓扑排序的技术。...a）对于每个源，执行以下操作：i）将其加入到排序的列表；ii）根据图获取其所有子节点；iii）将每个子节点的 in-degree 减少 1；iv）如果一个子节点的 in-degree 变为 0，将其加入到源队列...如何识别拓扑排序模式： 处理无向有环图的问题 如果你被要求以排序顺序更新所有对象 如果你有一类遵循特定顺序的对象 拓扑排序模式的问题： 任务调度（中等） 一个树的最小高度 接下来？
5.4.3 拓扑排序 有向无环图：一个有向图中不存在环，则称为有向无环图DAG AOV网：如果用DAG图表示一个工程，其顶点表示活动，用有向图表示活动Vi必须先于Vj进行的这样一种关系，记为...拓扑排序：每个顶点出现且只出现一次。若顶点A在序列中排在顶点B的前面，则图中不存在B到A的路径。...操作： 找到入度为0的点，输出 删除这个点，删除它的所有边，重复1直到没有其他点 显然，如果图中存在环，则它不可能有拓扑序列。 如果一个点有多个直接后继，则拓扑排序的结果通常不唯一。...冒泡有个很好的性质，就是如果撸一遍以后没有可以交换的对象了，那么之后也不再有可以交换的对象，可以提前结束算法。...O(h)，故平均而言，时间复杂度为O(nlog2n) 稳定性：不稳定的 7.5 归并排序和基数排序 7.5.1 归并排序 将两个或两个以上的有序表组合成一个新的有序表。
如果成立，将搜索约简到 end = middle — 1 5．检查 key > arr[middle] 是否成立。...根据问题的不同，将 K 个元素插入到 min-heap 或 max-heap 中 2．迭代处理剩余的数，如果你找到一个比 heap 中数更大的数，那么就移除那个数并插入这个更大的数 这里无需排序算法，因为...拓扑排序 拓扑排序可用于寻找互相依赖的元素的线性顺序。比如，如果事件 B 依赖于事件 A，那么 A 在拓扑排序时位于 B 之前。 这个模式定义了一种简单方法来理解执行一组元素的拓扑排序的技术。...a）对于每个源，执行以下操作：i）将其加入到排序的列表；ii）根据图获取其所有子节点；iii）将每个子节点的 in-degree 减少 1；iv）如果一个子节点的 in-degree 变为 0，将其加入到源队列...如何识别拓扑排序模式： 处理无向有环图的问题 如果你被要求以排序顺序更新所有对象 如果你有一类遵循特定顺序的对象 拓扑排序模式的问题： 任务调度（中等） 一个树的最小高度
该算法同一时候生成一棵根为s且包括全部可达顶点的广度优先树。 对于从s出发的随意节点。广度优先树中从s到v的路径相应G中从s到v的最短路径。算法对有向图和无向图都相同有效。...四、 拓扑排序 一个图的拓扑排序能够看成是图的全部顶点沿水平线排成的一个序列，使得全部的有向边均从左指向右。...1、 以下简答的算法能够对有向图进行拓扑排序： TOPOLOGICAL-SORT(G) a、 调用DFS（G）计算每一个节点v的f[v]。 b、 当每一个顶点完毕后。...3、 定理： TOPOLOGICAL-SORT (G) 算法可产生有向无回路图G的拓扑排序。 五、 强连通分枝 1、 在有向图中，假设不论什么两个不同的定点都相互可达。则称有向图是强连通的。...b、 依据推论，GT没有从C到其它连通分支的边。根为x的树仅包括C中的顶点。 c、 接下来訪问C’。f(C’)是f(C)外最大的，与訪问C过程类似当算法第3行对GT 进行深度优先搜索时。
那么接下来，我们来再讲一个经典的图算法：拓扑排序。...很显然，如果一幅有向图中存在环，是无法进行拓扑排序的，因为肯定做不到所有箭头方向一致；反过来，如果一幅图是「有向无环图」，那么一定可以进行拓扑排序。 但是我们这道题和拓扑排序有什么关系呢？...其实也不难看出来，如果把课程抽象成节点，课程之间的依赖关系抽象成有向边，那么这幅图的拓扑排序结果就是上课顺序。...拓扑排序算法（BFS 版本） 如果你能看懂 BFS 版本的环检测算法，那么就很容易得到 BFS 版本的拓扑排序算法，因为节点的遍历顺序就是拓扑排序的结果。...好了，到这里环检测算法、拓扑排序算法的 BFS 实现也讲完了，继续留一个思考题： 对于 BFS 的环检测算法，如果问你形成环的节点具体是哪些，你应该如何实现呢？
每一个节点包括两个部分，一个用来存储数据，一个存储下一个元素的地址。 判断整个链表是否有环，如何找到这个环 提问：给定一个单链表，只给出头指针h： 1.如果判断是否存在环？ 2.如何知道环的长度？...图分为有向图和无向图 有向图的基本算法：拓扑排序、最短路径（Dijkstra算法和Floyd算法）。 无向图的基本算法：最小生成树（prime算法，Kruska算法）、DFS、BFS。...b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。...所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。 b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。...拓扑排序的概念以及实现 AOV网 一种以顶点表示活动，以边表示活动的先后次序且没有回路的有向图 反映出整个工程中各个活动之间的先后关系的有向图。
无限数组的最短子数组（Medium） 标签：滑动窗口 T4. 有向图访问计数（Hard） 标签：内向基环树、拓扑排序、DFS ---- T1....有序三元组中的最大值 II 的数据量有 10^5 ，我们需要思考更优解法。 思考优化： 为了使得计算结果尽可能大，显然应该让乘法的左右两部分尽可能大。...图片不记得出处了~ 思考实现： 只有一个连通分量的情况： 那么问题就相对简单，我们用拓扑排序剪去树链，并记录链上节点的深度（到环上的距离），最后剩下的部分就是基环； 有多个连通分量的情况： 我们需要枚举每个连通分量的基环...题解一（拓扑排序 + DFS） 第一个问题：将基环的长度累加到该连通分量的每个节点 拓扑排序减去树链很容易实现，考虑到我们这道题在找到基环后需要反向遍历树链，因此我们考虑构造反向图（外向基环树）； 第二个问题...我们发现这道题的核心在于 「找到每个基环的节点」 ，除了拓扑排序剪枝外，对于内向基环树来，从任何一个节点走 DFS 走到的最后一个节点一定是基环上的节点。
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