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测度转换 (上) – 等价物转换

）和从 T 时到 0 时的折现因子（随机值）的关系：现在终于可以讲明零息债和折现因子之间的关系了，在随机利率假设下，零息债价格是折现因子在风险中性测度下的期望。...该测度对应的等价物是零息债 P(t, T)，到期支付为 1 因此 P(T, T) = 1 该测度用 QT 来表示，期望符号用 ET 表示我们知道 V(t)/P(t, T) 在 QT 测度下是鞅，因此...该测度对应的等价物是零息债 P(t,TN) 该测度用 QT_N 来表示，期望符号用 ET_N 表示对于到期日为 T 的金融产品，其中 T 如果我们把 P(T,T)，即零息债在到期日上的收益 1 投资到银行存款上，这样在任何一个大于 T 的时点 t，该「产品」的价格为让我们把这个人造产品用 ~P(t, T) 表示，其中 t 可以是任意值...测度用 QS 表示，期望符号用 ES 表示，现在来推导第一项这化简得和第二项基本一样了嘛，只不过一个在 Q 测度下，一个在 QS 测度下，计算 S(T) 大于 K 的概率。

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数学系的概率论和我们的不太一样。。。

如果满足这些条件，则被称为 -代数。用数学术语来说， 1、 2、 3、看上面这个例子，可以有，其中，表示集合的幂集，即由集合所有子集构成的集族。...可以看到，虽然有六个数字，但我们将它们分成了两组，毕竟掷出 1 和掷出 6 是同一个性质的。因此，事件集不一定是基本集的幂集，可以是幂集的子集，它的具体元素取决于我们考虑的问题。...例如，我们有这是因为和不相交，并且它们的并集是。〄集合的差运算。另一个重要特性是测度的连续性，即 1、如果，则有 2、如果，则有该属性与实值函数的连续性定义类似。...但是，从实际的角度来看，使用测度和 -代数并不方便。幸运的是，这不是处理概率的唯一方法。为了简单起见，假设我们的基本集是实数集。具体来说，我们有概率空间，其中是该空间上的任何概率测度。...之前我们已经看到，事件的概率决定了事件空间中其余事件的概率。但是，我们可以进一步压缩该信息。实际上，函数包含我们必须了解的有关概率测度的所有信息。考虑一下，我们有对于所有和。

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测度转换 (下) – 漂移项转换

，dQ(x) 开始并一直大于 dP(x) 重点：在不同测度下，正态分布的均值不同，但方差不变。...用 Pd(t, T) 和 Pf(t, T) 来表示本国和外国市场上的 T 时点到期零息债 t 时点的价格，它们对应的测度为本币和外币的 T 远期测度，用 QT,d 和 QT,f 来表示。...假设有一个金融产品，一名外国投资者和一名本国投资者。在 T 时点该产品对外国投资者支付为 Vf(T)，单位为外币；同样在 T 时点该产品对本国投资者支付为 Vf(T)X(T)，单位为本币。...我们推出 dlnY(t), dlnA(t) 和 dlnB(t) 的表达式我们可以化简上面关于漂移项的关系式如果 A(t) 和 B(t) 的漂移项也和资产价格水平成比例，即我们可以继续化简上式到此...在 QT,d 测度下，该合约的现值为在 QT,f 测度下， Lf 是鞅因此漂移项为零，其 SDE 为接下来，我们运用上面结论来推出 Lf 在 QT,d 测度下的 SDE。

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FMM 大战 LMM - SOFR 企稳 Part II

对于每个时间 t，定义索引函数 η(t) = min{n: Tn ≥ t}，它表示离 t 最近但大于 t 的期限所对应的索引，即 Tη(t)-1 ≤ t 的时候，通常假设 n ≥ η(t)，要不然 Fn(t) 已经是常数而失去了模拟的意义。在 Tn-远期测度下，Fn(t) 是鞅，因此漂移项为零，，其中是该测度下的计价物。...N(t) 是银行存款 β(t)，所以 QA 是风险中性测度 Q N(t) 是离散银行存款 B(t)，所以 QA 是即期测度 QB N(t) 是 Tk 时到期的零息债券 P(t, Tk)，所以 QA 是...(t, 0)，既银行存款可看成是到期日为 0 的零息债券因此我们有在 Q 测度下，Fn(t) 的 SDE 为其中 WnQ(t) 是 Q-布朗运动的第 n 个元素。...在 LMM 框架中，我们通常用 QB 测度来近似 Q 测度，因此无法量化两者之间的差距，但在 FMM 框架中，我们可以量化。比较在 Q 测度和 QB 测度下的漂移项，发现两者只差一项，解释如下。

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FMM 大战 LMM - SOFR 企稳 Part III

、即期测度和 Tk-远期测度下的 SDE。...N），该基差掉期价值为零。...证实如下但是在任意计息区间 t ∊ [Tη(t)-1,Tη(t)] 中，该基差掉期价值不再为零，推导如下 RFR 基差上下限定义在 RFR 基差上下限合约中，买方和卖方将同意以下内容：对于上限...远期利率 F 的下标 a 和 b 的单位通常是月，如果该支付和“期限为 6 个月的 RFR 和期限为 3 个月的 RFR”的基差有关，那么 a 等于 6， b等于 3。...掉期利率 S 的下标 a 和 b 的单位通常和付息频率有关，如果该支付和“10 年的 CMS 和 2 年的 CMS”的基差有关，而且付息频率为每三个月，那么 a 等于 40（即 40 个季度为 10 年

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FMM 大战 LMM - SOFR 企稳 Part I

但如果我们把 P(T,T)，即零息债在到期日上的收益 1 投资到银行存款上，这样在任何一个大于 T 的时点 t，该「产品」的价格为让我们把这个人造产品用表示，其中 t 可以是任意值，我们有显然...而且我们可以进一步推出的表达式注意是一个单利付息的（和 IBOR 的范式相同）向后看（和 IBOR 方式不同）的远期利率，它的性质如下：在 Tn-远期测度下是鞅在 Tn-1 时点等于「向前看的即期利率...时的远期利率 Fn(t) 和零息债，它们可看成是传统的远期利率和零息债的延伸版。...---- 最后稍微总结一下 LMM 和 FMM 下用的测度、符号、计价物等等，不懂也无所谓，后面还有三帖呢。...下帖来推导 Fn(t) 在各种测度下的 SDE，只需用到我们之前讲过的「测度转换」和「漂移项转换」的技巧。 Stay Tuned！?

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估值调整 - 凸性调整

见上面左图，EDF 合约价格和 EDF 基础利率有线性关系，即对于 1 单位的利率变动，价格变动是常数，具体来说如果利率上升 1 个基点，则 EDF 合约价格减少 25 美元如果利率下降 1 个基点...，则 EDF 合约价格增加 25 美元由于有折现影响，FRA 合约价格和利率没有这样的线性关系，而是呈现上面右图的凸性关系。...证明如下：一般折现因子 D(0,T) 和即期价格 S(T) 成正比，因此两者之间的协方差大于零，因此期货价格 Fut(0,T) 小于远期价格 Fwd(0, T)。...该利率在 Q-测度下的期望为其中需要注意的是，虽然 T 和 U 出现多次，但在 δ(T, U) 遵循 ACT/360 惯例，而在其它地方遵循 ACT/365 惯例。...Q-测度下的期望为其中 3.3 模型校正 HW 模型参数校正有两种方法：如果基准利率（如 USD LIBOR 和 EUR EURIBOR 等等）有 Cap 和 Swaption 市场，那么用隐含波动率来校正参数

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【机器学习】无监督学习：PCA和聚类

非对角值为相应特征对的协方差。若X是观测的矩阵，则协方差矩阵为： ? 快速温习：作为线性操作的矩阵，有本征值和本征向量。...该矩阵描绘了一整张图，其中观测为顶点，每对观测之间的估计相似值为这对顶点间的边。就上面定义的测度和二维观测而言，这是相当直观的——如果两个观测之间的边最短，那么这两个观测相似。...换句话说，兰德指数评估分割后的聚类结果和初始标签一致的比例。为了让任意观测数、聚类数的兰德指数接近零，我们有必要缩放其大小，由此得到了调整兰德指数： ? 这一测度是对称的，不受标签排列的影响。...然而，当观测数大于100而聚类数小于10时，这一问题并不致命，可以忽略。 V-measure结合了h和c，为h和c的调和平均数：v = (2hc)/(h + c)。...令a为某目标到同一聚类中的其他目标的平均距离，又令b为该目标到最近聚类（不同于该目标所属聚类）中的目标的平均距离，则该目标的轮廓系数为： ? 样本的轮廓系数为样本中所有数据点的轮廓系数的均值。

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估值调整 - 时间调整

构建 S(t)/P(t,M) 变量，它和远期利率 F 在 M 远期测度下是鞅，因此 d(S/P) 和 dF 的漂移项为零。...首先 M 测度下 L(t) 是鞅（漂移项是零）并服从以下的 SDE 其中 σ 是 ATM caplet 波动率。...TSR 模型通常在支付函数中有额外的零息债表达式 P(T, ·) 时使用，基本建模思想就是把零息债用远期利率 L(T) 或掉期利率 S(T) 来表示，这样可将支付函数化简成只含 L(T) 或 S(T)。...CMS 全称是 Constant Maturity Swap，注意该掉期利率 Sn,m(t) 的分母是年金 An,m(t)，因此 Sn,m(t) 在年金测度 QA 是鞅，在任何的远期测度下都不是鞅。...在 Tp 远期测度下，该现金流的现值为我们可用 Linear Swap Rate类型的 TSR 模型来表示 P(T, Tp)/A(T) 参数 a 和 b(Tp) 的推导如下。

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深度神经网络中的数学，对你来说会不会太难？

其它类型的激活函数 g 还包括 logistic 函数： ? 和双曲正切函数： ? 。这两种激活函数相对 ReLU 的优点，即它们都是有界函数。正如前面所说的，最后的输出层和前面的层级都不一样。...注意到这里与之前的方向相反。但是，该隐变量满足以下条件：如果 ? 由公式（1）定义，则它们也满足公式（2）。...如果 σ 有界且非连续，那么函数族在 Lp(μ) 空间是稠密的，其中 μ 是任意在 Rk 上的有限测度。...如果附加 σ∈Cm(Rk)，则函数族在 Cm(Rk) 空间和 C^{m,p}(μ)是稠密的，对于任意有限 μ 满足有限开覆盖条件。...如何证明，如果定理所定义的集合中的所有 f 都满足 L(f) = 0，则与 L 相关联的函数 g∈Lq(μ) 必须恒为零？

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概率论的数学基础

实际上，我们只有三个条件：一个度量值应该总是正的；空集的度量值应该是零；如果你把不相交集的度量值加起来，你就得到了它们的并集的度量值。为了正确地定义它们，我们需要子集的基集Ω和∑σ-代数。...抛硬币最简单的概率空间由抛硬币事件来描述。假设我们用0编码正面，用1编码反面 ? 由于σ-代数和测度的性质，你只需要定义事件{0}(头)和事件{1}(尾)的概率，这就完全决定了概率测度。...这里，我们使用了概率测度的可加性。因此，这就意味着 ? 同样，因为它适用于所有的ε>0。这意味着概率小于任何正实数，所以它必须为零。对于任何0≤x≤1，都有一个类似的论点。...对于所有a和b，这称为P的分布函数。对于所有概率测度，分布函数满足以下性质： ? (第四个称为左连续性。不要强调如果你不熟悉连续性的定义，现在就不需要了。) 同样，如果这太抽象，让我们考虑一个例子。...从数学的角度来看，如果你给一个函数满足上述1–4的性质，我也可以用它构造一个概率测度。此外，如果两个分布函数处处相等，则其相应的概率测度也相同。

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【笔记】《计算机图形学》(14)——采样

如果想要了解这方面内容的话可以阅读下面链接中的文章，这里我只是笔记下自己对这一节的理解：概率论和实变函数（测度论）有什么联系？...概率论就把事件看作一个个的集合，然后采用测度来衡量这些集合，我们把一个事件发生的概率看作这个事件的测度。那么我们在语言上描述了测度的概念，该如何用数学符号来表示测度呢，比想象的更简单：积分。...勒贝格积分比黎曼积分要复杂得多，最基础的理解就是黎曼积分使用宽度无穷小的梯形的面积和来计算积分，这个相同的宽度（宽度这个词是不是能联想到测度了）如果将其理解为一个常值函数，那么勒贝格积分就是使用不同的函数来作为这个梯形的底...，其特点是我们可以很直观地看出各个事件发生的概率，其每个值都大于0且全区间积分后值为1。...其思路与实现相对来说都很简单：从接近目标分布的简单分布中随机得到一个数，然后判断这个结果是否属于目标分布，属于则接受，不属于则拒绝，最后被接受的那些就是这个目标分布得到的随机数。

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斯坦福 CS228 概率图模型中文讲义二、概率复习

性质：如果A ⊆ B，P(A) ≤ P(B)。。。。全概率公式：如果是一系列不相交时间，并且，那么。 1.1 条件概率设B是概率非零的事件。...2.1 累积分布函数为了说明处理随机变量时使用的概率测度，指定替代函数（CDF，PDF 和 PMF）通常很方便，概率测度从中控制实验 [?]。在本节和接下来的两节中，我们依次描述这些类型的函数。...在离散随机变量的情况下，我们使用符号Val(X)来表示随机变量X可以取的可能值集合。例如，如果X(ω)是一个随机变量，表示十次硬币投掷中的正面数量，则Val(X)={0,1,2,...,10}。...在对x和y随处可微的情况下，我们可以定义联合概率密度函数：和一维情况类似，，而是：请注意，概率密度函数的值始终是非负的，但可能会大于 1。...当Cov[X，Y] = 0时，我们说X和Y是不相关的。性质：（期望的线性关系）如果X和Y独立，Cov[X,Y]=0。如果X和Y独立，。

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国外数字经济规模测度：经验和建议

由于承担部门不同，数据发布的时效性差别较大。一般来说，行业主管部门比较及时，英国做到了发布月度数据。统计部门则比较滞后，其他几国均是发布年度数据。...三个特征在数字经济规模测度中，四个英语国家走在了前列，体现出三个明显的特征。第一，不仅测度规模，还测度就业。西方国家十分重视各个行业的就业监测，甚至把就业摆到和规模同等重要的高度。...美国的测度就使用了多项数据源，有BEA综合供应使用表（SUTs）、人口普查局年度批发贸易调查（AWTS）、人口普查局年度零售贸易调查（ARTS）、电子商务数据等。第三，逐步迭代，不一锤定音。...当今生活中，免费的产品和服务触手可得。对其价值的测度是一项挑战，也是理论界研究的重点。我们该如何衡量免费APP的价值？...国际社会对数字经济测度探索众多，但方法论各有不同，结果缺乏可比性。我们要加强数字经济测度和评估的理论研究，将数字经济测度建立在科学严谨的理论框架之下。

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mahout学习之聚类（1）——向量的引入与距离测度

假设有一堆苹果，用形状，大小，颜色作为三个维度来聚类，那么重量可以简单的用克或者千克来测量，大小可以定义小苹果为1，中苹果为2，大苹果为3，颜色可以采取该颜色的波长来表示（400~650nm）,这样三个维度就都是一个有意义且客观的维度值...其实有一个问题，那就是颜色的差异在距离测度上大于其他两者，可以通过加权来解决这个问题。...如果一个单词在文档中频繁出现，那IDF的值就会很小，这不合适，所以一般乘以文档个数n： ? 所以，在文档向量中单词w的权重W为： ?...选择的p值取决于对该向量采取哪种距离测度，如果是曼哈顿距离测度，那就用一范数，其他同理。...谷本距离测度加入有三个点（1.0，1.0）（3.5，3.5）（2.6，2.6）。那余弦距离毫无用处，因为方向相同，使用欧式距离可以起效，但是它忽视了方向相同的事实。谷本距离可以同时表现距离和夹角。

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深度学习 | GAN模式崩溃的理论解释

理想情况下，生成模型应该能够生成10个数字，如果只能生成其中的几个，而错失其它的模式，则我们称这种现象为模式崩溃（mode collapse）。...如果密度函数 ? ? 那么Brenier势能函数 ? 这里 ? 并且 ? 但是，如果目标概率分布的支集Λ 非凸，那么即便密度函数f,g光滑，蒙日-安培方程的解有可能不可微， ?...我们称可求导的点为正常点（regular point），不可求导的点为奇异点（singular point），则奇异点集合为零测度。我们考察每一点处的次微分，定义（次微分）一个凸函数 ? 在 ?...模式崩溃的理论解释目前的深度神经网络只能够逼近连续映射，而传输映射是具有间断点的非连续映射，换言之，GAN训练过程中，目标映射不在DNN的可表示泛函空间之中，这一显而易见的矛盾导致了收敛困难；如果目标概率测度的支集具有多个联通分支...Brenier理论等价于蒙日-安培方程，蒙日-安培方程正则性理论表明：如果目标概率分布的支集非凸，那么存在零测度的奇异点集，传输映射在奇异点处间断。

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估值调整 - Quanto 调整

该合约的支付是 LEUR(U, U, T) 的函数，其中 U 是 EURIBOR 定盘日，而 T 是支付日。...由于是以 USD 结算，那么在 TUSD 测度下（注意不是 TEUR 测度），该利率上限的价值为上式中 Q 是 Quanto 因子，通常是 EURUSD 的即期汇率或者在 T 时点的远期汇率。...USD，但该合约以 EUR 结算，那么该合约在 TEUR 测度下的价值为上式中 Q 是 Quanto 因子，通常是 USDEUR 的即期汇率或者在 T 时点的远期汇率。...该合约的支付是商品价格 CUSD(T) 的函数，T 是支付日。...，但用 USD 结算，那么该合约在 QUSD 远期测度下的价值为上式中 Q 是 Quanto 因子，通常是 CNYUSD 的即期汇率或者在 T 时点的远期汇率。

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n维空间的多面体的有向测度和重心

所谓重心，指的是空间中一个特殊的点，如果该物体是质量分布均匀的话（所谓质量分布均匀，指的是密度函数是常数函数），则该物体关于该点力矩平衡. 分析概念讲清楚了，下面学习一下计算方法....如果就给你5个点的话，你是无法确定该五边形长啥样的. 例如 ? 既可以长左边这样，又可以长右边这样. 那么重心该怎么求呢?...而计算该 n 维空间的多面体的有向测度的算法就是在此棵树上进行 dfs , 例如我们找到一条路径 O-->P20-->P22, 则三棱锥的有向测度是 P20、P22、P23 （P23 是 P22 的右兄弟...特别的，对于 O --> P20 --> P24, 则P24 的右兄弟应该是 P21哈~ 所以这个 n 阶行列式的值的几何意义是这 n 个顶点和树的根节点 O 形成的 n 维单纯形的有向测度....需要指出的是，n 阶行列式的计算，如果按照行列式的定义去计算，复杂度是的，如果使用高斯消元的话，可以优化到 , 而因为叶子节点个数是 O(V) 的，其中 V 是多面体的顶点个数，则整个 n

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python数据分析——业务指标量化

平均指标的种类有数值平均数和位置平均数。前者包括算术平均数,调和平均数,和几何平均数。后者则包括中位数和众数。算术平均数的基本公式形式是一个业务对象的平均数,是业务数据总数除以业务数据总量。...它常用于性别,民族,婚姻状况,和职业类型等测算。 7.2 定序尺度定序尺度是对事物之间等级差或顺序差别的一种测度。该尺度可以将事物分成不同的类别,而且还可以确定这些类别的顺序。...各个定序尺度的值之间没有确切的间隔距离，定序变量的取值只具有大于或小于的性质,只能排列出它们的顺序,而不能反映出大于或小于的数量或距离。...定距尺度是对事物类别或次序之间间距的测度，该尺度通常使用自然或物理单位作为计量尺度,如收入用“元” ,考试成绩用"分",温度用"度",重量用"克"，长度用"米"。...定类变量和定序变量属于定性变量,而定距变量和定比变量则属于定量变量或数字变量。 9.2.1 定性变量定性变量是没有数量上的变化,而只有性质上的差异。

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实变函数期末复习笔记

Chap2 点集简单描述 Cantor 集的构造过程将[0,1]三等分，去掉中间的开区间(\frac{1}{3},\frac{2}{3}),将剩下的两个区间[0,\frac{1}{3},]和[\frac...Cantor 三分集 Chap3 测度论给出外测度的定义 E\in \mathbb{R}^n,E的外测度定义为 m^{\star}(E)=\inf\{\sum_{i=1}^{\infty}|I_i|...{R}^n上的实函数，如果对于任何有限实数a，E[f>a]f(x)为定义在简述 Luzin 定理设f(x)是E上a.e.有限的可测函数，则对任意\delta>0F_\delta\subset E，使...，则f(x)在[a,b]上R可积的充要条件是f(x)在[a,b]上a.e.连续，即f(x)的不连续点全体成一零测度集。...x)为[a,b]上的有限函数，如果对于[a,b]中的一切分划T，使 \{\sum_{i=1}^n|f(x_i)-f(x_{i-1})|\} 成一有界数集，则f(x)为[a,b]上的有界变差函数有界变差函数的

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