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完全断开二分图

完全断开二分图(Complete Bipartite Graph)是一种图论中的图类型,它是一个无向图,其顶点可以被分成两个互不相交的集合,使得每个集合内的顶点之间没有边相连,而不同集合内的顶点之间全部相连。

在完全断开二分图中,顶点集可以表示为两个互不相交的集合,例如 $U = {u_1, u_2, \cdots, u_n}$ 和 $V = {v_1, v_2, \cdots, v_m}$,边集可以表示为 $E = {(u_i, v_j) \mid 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m}$。

完全断开二分图具有以下性质:

  • 无向图;
  • 顶点可以被分成两个互不相交的集合;
  • 每个集合内的顶点之间没有边相连;
  • 不同集合内的顶点之间全部相连。

完全断开二分图在计算机科学中有广泛的应用,例如:

  • 二分图匹配问题;
  • 最大流问题;
  • 社交网络中的好友关系;
  • 资源分配问题。

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判断二分

问题描述 给定一个无向graph,当这个图为二分时返回true。...如果我们能将一个的节点集合分割成两个独立的子集A和B,并使图中的每一条边的两个节点一个来自A集合,一个来自B集合,我们就将这个称为二分。...给定一个无向graph,当这个图为二分时返回true。...如果我们能将一个的节点集合分割成两个独立的子集A和B,并使图中的每一条边的两个节点一个来自A集合,一个来自B集合,我们就将这个称为二分。...然后遍历该,为该染色,染色过程中发现冲突(即本来该元素应该被染为-1,但是发现其之前已经被染为1)则证明该不为二分。 bfs 使用广度优先遍历是一种很直观的求解,一层一层的染色。

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图论--二分--二分的定义及其判断定

定义: 如果一张无向的N个节点(N>=2)可以分成A B两个非空子集,其中A∩B=Ø,并且在同一集合内的点之间没有相连的边,则称这张无向图为二分。A,B分别成为这个的左部和右部。...定理: 一张无向二分,当且仅当图中不存在奇环(长度为奇数的环)。 证明: 下面用反证法来证明。...因此H是二分的。同样可以证明所有其它的G的组件都是二分的。因此也就证明了不具有奇环的二分。 匹配: 我们将这种两两不含公共端点的边合集M成为成为匹配,而元素最多的边集M则称为二分的最大匹配。...当二分的匹配书等于2倍节点数的时候,这个匹配就称为原二分的完美匹配(完备匹配) 最大匹配: 匈牙利算法(增广路算法):稍微给你们提一句: ?...: 二分的最佳完美匹配就是在完备匹配的基础上,每条匹配边都有他的权值,要使权值最大化,最大化权值的完备匹配。

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二分最大匹配

二分 二分也叫二部,设G=(V,E)是一个无向,如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B),并且图中的每条边(i,j)所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in...B),则称G为一个二分。...如下图所有的顶点可以分成A,B两个集合,而A集合与B集合中的点与自己的阵营的点是没有连线的(A集合的点只与B集合的点有边相连),则称这个为一个二分....二分的最大匹配的含义,就是说在这A,B两个集合中不断选择两个存在连线(只有存在连线才能连起来,而且每个点只能匹配一次)的两个点相连,求最多可以有多少条连线即这个二分的最大匹配数 可以参考 二分匹配...匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想,它是部匹配最常见的算法,该算法的核心就是寻找增广路径,它是一种用增广路径求二分最大匹配的算法。

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二分匹配详解

1.二分的原始模型及相关概念 二分又称作二部,是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)G=(V,E)是一个无向。...则称GG 为二分。我们将上边顶点集合称 为XX 集合,下边顶点结合称为YY 集合,如下图,就是一个二分。 ?...选择这样的边数最大的子集称为的最大匹配问题(maximal matchingproblem)        如果一个匹配中,图中的每个顶点都和图中某条边相关联,则称此匹配为完全匹配,也称作完备匹配。...二分的最小覆盖数: 在二分图中选取最少数目的点集,使得二分任意一边都至少有一个端点在该点集中。这个点集的大小是二分的最小覆盖数,且二分的最小覆盖数==二分的最大匹配数。...二分的最大独立集: 在二分图中选取最多数目的点集,使得该点集中的任意两点在二分图中都不存在一条边相连。这个点集就是二分的最大独立集。

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二分相关定理

二分的最小顶点覆盖 定义:若选择一个点说明选择与它相连的所有边,最小顶点覆盖就是选择最少的点来覆盖所有的边。...定理:二分最小顶点覆盖 == 二分最大匹配数 二分的最大独立集 定义:选出一些顶点使得这些顶点两两不相邻,则这些点构成的集合称为独立集。最大独立集为包含顶点数最多的独立集。...定理:最大独立集 = 所有顶点数 - 最小顶点覆盖 二分的最大团 定义: 团:选出一些点,使其两两之间都有边。...最大团:点数最大的团 定理:二分的最大团 = 补图的最大独立集 感性理解:最大独立集为两两之间没有边,那么补图的最大独立集说明在原图中两两之间有边,那么就是原图的最大团 参考: http://www.cnblogs.com

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二分最大匹配问题

二分二分是这样的一个:其顶点可以划分为两个集合 X 和 Y , 任何一条边所关联的两个顶点中,恰好有一个属于集合 X , 另一个属于 Y。同一个集合内的顶点必没有边相连。...如果一个二分,那么它一定没有 奇环 (边为奇数的环路),如果一个没有 奇环 , 那么它就一定是 二分。...二分的匹配   给定一个二分 G , 在 G 的一个子 M 中,M 的边集 {E} 中的任意两条边都不依附于同一个顶点,则称 M 是一个匹配。...翻译成人话就是 在 G 中找到一些边构成一个集合,这个集合中的任意一条边所连接的两个顶点都只属于这条边的连个端点,即每条边的顶点都不与其他边共用。...bits/stdc++.h> using namespace std; #define maxn 0x00ff class BPM { // 二分的最大奇数匹配

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二分最大匹配 —— 匈牙利算法

图中点可以被分为两组,并且使得所有边都跨越组的边界,则这就是一个二分,匈牙利算法是求解二分最大匹配的一种方法,本文介绍相关内容。...定义 二分 图中的边均为无向无权边 简单来说,如果图中点可以被分为两组,并且使得所有边都跨越组的边界,则这就是一个二分。...准确地说:把一个的顶点划分为两个不相交集U和V,使得每一条边都分别连接U、V中的顶点。如果存在这样的划分,则此图为一个二分二分的一个等价定义是:不含有「含奇数条边的环」的。...,此处算法指求解二分最大匹配的匈牙利算法。...算法示例 以男生女生结成情侣的场景为例,有男生节点和女生节点组成的二分,部分男生女生之间互有好感,那么最多可以组成多少对情侣 数学表述: 求解二分图中最多能找到多少条没有公共端点的边 / 二分的最大匹配数

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