图的边可以是有向的，也可以是无向的，前者称为有向图，后者称为无向图。可以将地图表示成一个图，每个地点是顶点，如果两个地点之间有路连接，则有一条边。如果这条路是单行线，则边是有向的，否则是无向的。...无向图可以用三元组形式化的表示： （V,E, w） 其中V是顶点的集合，E是边的集合，w是边的权重函数，它为每条边赋予一个正的权重值。...假设i和j为图的顶点，wij为边(i, j)的权重，由它构成的矩阵W称为邻接矩阵。显然，无向图的邻接矩阵是一个对称矩阵。...算法首先根据样本集构造出带权重的图G，聚类算法的目标是将其切割成多个子图，每个子图即为聚类后的一个簇。假设图的顶点集合为V，边的集合为E。聚类算法将顶点集合切分成k个子集，它们的并集是整个顶点集 ?...将图变为无向的方式有两种。第一种方法是忽略边的方向，即如果vj在vi的k个最近的邻居里，或者vi在vj的k个最近的邻居里，则认为这两点之间是联通的。这种方法生成的图称为k近邻图。
基于图论的分割方法 此类方法基于图论的方法利用图论领域的理论和方法，将图像映射为带权无向图，把像素视作节点，将图像分割问题看作是图的顶点划分问题，利用最小剪切准则得到图像的最佳分割。...此类方法把图像分割问题与图的最小割（MIN-CUT）[1]问题相关联，通常做法是将待分割的图像映射为带权无向图G=(V，E)，其中，V={v1，…，vn}是顶点的集合，E为边的集合。...而对图像的一个分割S就是对图的一个剪切，被分割的每个区域C∈S对应着图中的一个子图。 分割的原则就是使划分后的子图在内部保持相似度最大，而子图之间的相似度保持最小。...显然中间的红色虚线切割的边就是最小化分割。 ? 最小化分割解决了把权重图G分成两部分的任务，但是问题来了，如下图所示，想要的结果是中间实线表示的分割，但是最小化切割却切掉了最边缘的角。...2、谱聚类 谱聚类(Spectral Clustering, SC)是一种基于图论的聚类方法——将带权无向图划分为两个或两个以上的最优子图，使子图内部尽量相似，而子图间距离尽量距离较远，以达到常见的聚类的目的
基于图论的分割方法 此类方法基于图论的方法利用图论领域的理论和方法，将图像映射为带权无向图，把像素视作节点，将图像分割问题看作是图的顶点划分问题，利用最小剪切准则得到图像的最佳分割。...此类方法把图像分割问题与图的最小割（MIN-CUT）[1]问题相关联，通常做法是将待分割的图像映射为带权无向图G=(V，E)，其中，V={v1，…，vn}是顶点的集合，E为边的集合。...而对图像的一个分割S就是对图的一个剪切，被分割的每个区域C∈S对应着图中的一个子图。 分割的原则就是使划分后的子图在内部保持相似度最大，而子图之间的相似度保持最小。...显然中间的红色虚线切割的边就是最小化分割。 最小化分割解决了把权重图G分成两部分的任务，但是问题来了，如下图所示，想要的结果是中间实线表示的分割，但是最小化切割却切掉了最边缘的角。...这中情况很容易理解，因为最小化切割就是让CUT(A,B)的值最小的情况，而边缘处CUT值确实是最小，因此我们输最小化切割时会有偏差的(bias)。
定义： 谱聚类是一种基于图论的聚类算法，他的思想是将数据集转化称为无向带权图，然后将在各图划分成为两个或两个以上的最优子图，这些最优图的内部尽量相似，子图间的距离尽量远。...大致流程： 将所有数据看做图中间的点，点与点之间用边相连，距离较远的两个点权值低反之高，然后切图，切图的目标就是切图之后子图之间的距离尽量远，图内差异性尽量小（这里的差异是指点与点之间距离尽量小）。...(** 1/2)最小的k1个特征值所各自对应的特征向量f 将各自对应的特征向星f组成的矩阵按行标准化，最终组成nxk1维的特征矩阵F 对F中的每一行作为一 个k1维的样本，共个样本，用输入的聚类方法进行聚类...:就是将图G(V,E)切成相互没有连接的k个子图 那么如何切图可以让子图内的点权重和高，子图间的点权重和低呢: 先定义两个子图A和B之间的切图权重为: image.png 再定义有k个子图的切图cut...为: 即所有子图Ai与其补集A;之间的切图权重之和: image.png 这样当我们最小化这个cut时，就相当于让子图间的点权重和低，以最小化cut标，在一个问题，就是有时候最小cut的切图式，却不是最优的
2022-07-31：给出一个有n个点，m条有向边的图， 你可以施展魔法，把有向边，变成无向边， 比如A到B的有向边，权重为7。施展魔法之后，A和B通过该边到达彼此的代价都是7。...求，允许施展一次魔法的情况下，1到n的最短路，如果不能到达，输出-1。 n为点数, 每条边用(a,b,v)表示，含义是a到b的这条边，权值为v。...点的数量 <= 10^5，边的数量 <= 2 * 10^5，1 <= 边的权值 <= 10^6。 来自网易。 答案2022-07-31： 单元路径最短算法。dijkstra算法。 点扩充，边扩充。...("测试结束"); } // 为了测试 // 相对暴力的解 // 尝试每条有向边，都变一次无向边，然后跑一次dijkstra算法 // 那么其中一定有最好的答案 fn min1(n: i32, roads...// 尝试每条有向边，都变一次无向边，然后跑一次dijkstra算法 // 那么其中一定有最好的答案 func min1(n int, roads [][]int) int { ans := 2147483647
边如果有方向则为有向图(Directed Graph)，否则为无向图(Undirected Graph)。同样地，边上也可能带有权重，相应的图称为带权图(Weighted Graph)。...图 1. 图(a)和二分图(b) 二分图(Bipartite Graph)通俗意义上是顶点被分成两不相交集合且边横跨在这两集合的无向图。上图1(a)其实也是一个二分图（见图1(b)）。...最大匹配算法是尽可能多地寻找匹配，但寻找的匹配未必是最优的。 一个匹配的优劣可以用边权表示，即给边赋上权重，这样的二分图称为带权二分图。...比如权重表（表1）赋给二分图（图1(a)）得到如图3这样的带权二分图。...综上所述，KM算法是解决带权二分图最优匹配的一个算法，其核心思想是，通过定义顶标引入相等子图，而相等子图的完备匹配就是一个最优匹配，这样最优匹配问题就巧妙地转化成了完备匹配问题，只要不断修订顶标扩大相等子图
戴克斯特拉算法使用额外空间与 V 成正比，时间与 E log V 成正比（在最坏情况下）解决了带非负权重的带权有向图中的单源最短路径问题。 无环带权有向图。...我们使用术语带权有向无环图来指代无环带权有向图。 带权有向无环图中的单源最短路径问题。我们现在考虑一种用于查找最短路径的算法，对于带权有向无环图而言，它比戴克斯特拉算法更简单且更快。...它依赖于这个版本的 Topological.java，扩展以支持带权有向图。 带权有向无环图中的单源最长路径问题。...通过将问题制定为带权有向无环图中的最长路径问题，可以解决此问题：创建一个带权有向无环图，其中包含一个源 s，一个汇 t，以及每个作业的两个顶点（一个起始顶点和一个结束顶点）。...例如，考虑所有边权重均为-1 的完全带权有向图会发生什么。 创意问题 有向无环图中的最长路径。
基于图的算法。这类算法用样本点构造出带权重的无向图，每个样本是图中的一个顶点，然后使用图论中的方法完成聚类。...基于图的聚类 基于图的算法把样本数据看作图的顶点，根据数据点之间的距离构造边，形成带权重的图。通过图的切割实现聚类，即将图切分成多个子图，这些子图就是对应的簇。这类算法的典型代表是谱聚类算法。...算法首先根据样本集构造出带权重的图G，聚类算法的目标是将其切割成多个子图。假设图的顶点集合为V，边的集合为E。聚类算法将顶点集合切分成k个子集，它们的并集是整个顶点集： ?...下图为图切割示意图，将一个图切分成3个子图，分别为红色，黄色和蓝色，虚线边为切掉的边，它们的权重之和即为切图成本： ?...但直接通过最小化这个值完成聚类还有问题，它没有考虑子图规模对代价函数的影响，使得这个指标最小的切分方案不一定就是最优切割。 解决这个问题的方法是对代价函数进行归一化。
2024-02-24：用go语言，给你一个 n 个点的带权无向连通图，节点编号为 0 到 n-1， 同时还有一个数组 edges ，其中 edges[i] = [fromi, toi, weighti]...， 表示在 fromi 和 toi 节点之间有一条带权无向边， 最小生成树 (MST) 是给定图中边的一个子集， 它连接了所有节点且没有环，而且这些边的权值和最小。...3.构建边数组：使用 buildEdges(e) 函数将输入的边数组 e 转换成包含边信息的二维数组 edges，并按照权值从小到大进行排序。...4.建立图：根据集合编号建立图的相关数据结构，包括链式前向星建图。定义头指针数组 head、边信息数组 info、下一条边指针数组 next，以及边数量 edgeSize。...，缩成一个点 // 当前的边，[start...end) // 做图！
谱聚类(Spectral Clustering, SC), 是一种基于图论的聚类方法——将带权无向图划分为两个或两个以上的最优子图，使子图内部尽量相似，而子图间距离尽量距离较远 换句话说， 就是首先要将数据转换为图...距离较远的两个点，它们之间边的权重值较低，距离较近的两点之间边的权重值较高。 然后要对这个图进行切图。 目标，是要让切图后不同的子图间边权重和尽可能的低，而子图内的边权重和尽可能的高。...---- 其中涉及的主要概念： 无向图：边上的权重和两点的方向无关: ? 度：和该顶点相连的所有边的权重之和 ? 度矩阵D：是一个对角矩阵，只有主对角线有值，为每个顶点的度值 ?...无向图G的切图：就是将图G(V,E)切成相互没有连接的k个子图 那么如何切图可以让子图内的点权重和高，子图间的点权重和低呢： 先定义两个子图A和B之间的切图权重为： ?...这样当我们最小化这个cut时，就相当于让子图间的点权重和低 但以最小化 cut 为目标，存在一个问题，就是有时候最小cut的切图方式，却不是最优的 ?
定义来自维基百科:图论 结构 图中只包含两种类型的元素：顶点（vertex）和边（edge），所以图可以由顶点集合和边集合进行表示，即： 。根据边是否具有方向，可以将图分为有向图和无向图两种。...可以给边设置大小值，即权重，表示两个顶点之间连通的程度。例如当图中顶点表示城市的坐标时，则可以设置连接两个顶点的边的权重为距离，或某种交通方式消耗的时间。...graph 度 从一个顶点出发，到相邻顶点的边的个数称为该顶点的出度，以该顶点为终点的边的个数称为该顶点的入度。因为无向图的边不具有方向性，所以无向图中顶点的出度与入度相等。...对于无向图，其极大连通子图称为该无向图的连通分量；对于有向图，其极大强连通子图称为该无向图的强连通分量。 根据连通分量定义可知，对于连通图，极大连通子图是其自身，所以图的连通分量就是其自身。...生成树可以有多个，经常提到的最小生成树，也就是带权连通图中权值之和最小的生成树。
基于图论的分割方法 基于图论的分割方法是一种将图像分割问题转化为图论问题求解的方法。它将图像分割看作是在一个无向图中找到一个切割，使得切割后的两个部分内部的相似度最大，两个部分之间的相似度最小。...具体来说，这种方法将图像中的像素看作是图中的节点，将相邻的像素之间的连接看作是图中的边。然后，根据像素之间的相似度计算每条边的权重，构建一个带权无向图。...在图像分割中，最小割算法的具体流程如下： 构建图：将图像中的像素看作是图中的节点，将相邻的像素之间的连接看作是图中的边。然后，根据像素之间的相似度计算每条边的权重，构建一个带权无向图。...计算最小割：利用最小割算法，在图中找到一个割，使得割的代价最小。这个割将图分成两部分，一部分被割掉，另一部分保留。 分割图像：根据最小割得到的割将图像分成两部分，分别对应于原图中被割掉和保留的像素。...基于图论的分割方法的优点是可以处理复杂的图像背景和前景之间的交叉情况，但是需要构建一个带权无向图，这个过程比较耗时。常见的基于图论的分割方法有GrabCut算法和Felzenszwalb算法。
聚类算法将一组样本划分成k个类 ? ，确保同一类中的样本差异尽可能小，而不同类的样本之间尽量不同。K均值算法基于这一思想构造损失函数 ? 其含义是每一类样本距离它的类中心要近，可以理解为每个类的方差。...所有类的方差之和要尽可能小。 基于图的聚类算法把样本数据看作图的顶点，根据数据点之间的距离构造边，形成带权重的图。通过图的切割实现聚类，即将图切分成多个子图，这些子图就是对应的簇。...算法首先根据样本集构造出带权重的图G，聚类算法的目标是将其切割成多个子图，每个子图即为聚类后的一个簇。假设图的顶点集合为V，边的集合为E。聚类算法将顶点集合切分成k个子集，它们的并集是整个顶点集 ?...这可以看作两个子图之间的关联程度，如果两个子图之间没有边连接，则该值为0。从另一个角度看，这是对图进行切割时去掉的边的权重之和。 对图顶点子集 ? ，定义这种分割的代价为： ? 其中 ? 为 ?...基于图的算法为样本构造带权重的无向图，用图表示有标签和无标签样本数据，图的构造和流形降维算法相同。图的顶点是有标签和无标签样本，边的权重为样本之间的相似度。
下图中有3个簇，它们都是样本分布密集的区域，对簇的形状则无限制： 基于图的算法。这类算法用样本点构造出带权重的无向图，每个样本是图中的一个顶点，然后使用图论中的方法完成聚类。...基于图的聚类 基于图的算法把样本数据看作图的顶点，根据数据点之间的距离构造边，形成带权重的图。通过图的切割实现聚类，即将图切分成多个子图，这些子图就是对应的簇。这类算法的典型代表是谱聚类算法。...算法首先根据样本集构造出带权重的图G，聚类算法的目标是将其切割成多个子图。假设图的顶点集合为v，边的集合为E。...从另一个角度看，这是对图进行切割时去掉的边的权重之和。对图顶点的子V1 ,...,Vk ，定义这种分割的代价为： image.png 其中 为 的补集。...下图为图切割示意图，将一个图切分成3个子图，分别为红色，黄色和蓝色，虚线边为切掉的边，它们的权重之和即为切图成本： 但直接通过最小化这个值完成聚类还有问题，它没有考虑子图规模对代价函数的影响，使得这个指标最小的切分方案不一定就是最优切割
该算法可以计算从单个起始节点到图中所有其他节点的最短路径。Dijkstra’s algorithm适用于没有负权边的有向或无向带权图。...割是将图的所有节点划分成两个非空的子集S和V-S（其中V是图中所有节点的集合，S和V-S是两个非空的互斥子集），简言之就是通过割可以将一副连通图变为一副非连通图（或者说两幅图） Cutset：割边集，割集...同时，将所有其他节点标记为未访问状态，并将它们的权重设置为一个较大的值（或者设置为正无穷大）。...总之，Kruskal算法通过迭代地添加权重最小的边，同时避免产生循环，从而找到连通无向图的最小生成树。...Borůvka’s算法适用于无向图的最小生成树问题，其基本思想是通过从每个连通组件中选择一个最小权重的边，然后将连通组件合并，最终构建出整个图的最小生成树。
谱聚类的思想是将样本看作顶点，样本间的相似度看作带权的边，从而将聚类问题转为图分割问题：找到一种图分割的方法使得连接不同组的边的权重尽可能低（这意味着组间相似度要尽可能低），组内的边的权重尽可能高（这意味着组内相似度要尽可能高...在上图中，一共有6个顶点（博客），顶点之间的连线表示两个顶点的相似度，现在要将这图分成两半（两个类），要怎样分割（去掉哪边条）？根据谱聚类的思想，应该去掉的边是用虚线表示的那条。...最小割问题可定义为最小化以下目标函数： ? 其中k表示分成k个组，Ai表示第i个组， ? 表示第Ai的补集，W(A,B)表示第A组与第B组之间的所有边的权重之和。 ...这个式子的直观意义：如果要分成K个组，那么其代价就是进行分割时去掉的边的权重的总和。可惜的是直接最小化这式子通常会导致不好的分割。...在一个最小化问题中，这相当于是惩罚，也就是不鼓励将组分得太小。现在只要将最小化RatioCut解出来，分割就完成了。不幸的是，这是个NP难问题。想要在多项式时间内解出来，就要对这个问题作一个转化了。
涉及到权重的图，被称为带权图（Weighted Graph）。 还有一种图，顶点之间的关联并不是完全对称的。还拿微信来举例，你的好友列表里有我，但我的好友列表里未必有你。...（貌似是这样） 因此，QQ的好友关系可以认为是一个没有方向区分的图，这种图被称为无向图。 图的表示 邻接矩阵 拥有n个顶点的图，它所包含的连接数量最多是n（n-1）个。...同时，无向图对应的矩阵是一个对称矩阵，V0和V1有关联，那么V1和V0也必定有关联，因此A[0][1]和A[1][0]的值一定相等。 那么，有向图的邻接矩阵又是什么样子呢？...从图中可以看出，有向图不再是一个对称矩阵。从V0可以到达V1，从V1却未必能到达V0，因此A[0][1]和A[1][0]的值不一定相等。 邻接矩阵的优点是什么呢？...总结 1.我们这一次介绍了图的定义和分类。根据图的边是否有方向，可分为有向图和无向图。根据图的边是否有权重，可分为带权图和无权图。当然，也可以把两个维度结合起来描述，比如有向带权图，无向无权图等等。
---- 图的相关定义 定义一：有向图、无向图、权重、活用图 图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成， 通常表示为: G（V，E）， 其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合...这种叫做无向图，里面的边叫做无向边。 图有各种形状和大小。边可以有权重（weight），即每一条边会被分配一个正数或者负数值。考虑一个代表航线的图。各个城市就是顶点，航线就是边。...目前讨论的都是简单图。在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有n*(n-1)/2条边。...在无向图G中，如果从顶点v到顶点v’有路径，则称v和v’是连通的。 如果对于图中任意两个顶点vi、vj ∈E， vi，和vj都是连通的，则称G是连通图。 无向图中的极大连通子图称为连通分量。...对于带权值的网图，可以在边表结点定义中再增加一个weight 的数据域，存储权值信息即可，如下图所示。
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