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如果每个元素都属于R，向量有n个元素，向量属于实数集R的n次笛卡儿乘积构成集合，记ℝⁿ。明确表示向量元素，元素排列成一个方括号包围纵列。向量看作空间中点。每个元素是不同坐标轴上的坐标。...矩阵值表达式索引，表达式后接下标，f(A)i,j表示函数f作用在A上输出矩阵第i行第j列元素。 张量(tensor)。超过两维的数组。一个数组中元素分布在若干维坐标规则网络中。A表示张量“A”。...无须在加法操作前定义一个将向量b复制到第一行而生成的矩阵。隐式复制向量b到很多位置方式，称广播(broadcasting)。 矩阵、向量相乘。...两个矩阵A、B矩阵乘积(matrix product)是第三个矩阵C。矩阵A列数必须和矩阵B行数相等。如果矩阵A的形状mn，矩阵B的形状是np，矩阵C的形状是mp。两个或多个矩阵并列放置书写矩阵乘法。...两个相同维数向量x、y点积(dot product)，矩阵乘积x⫟y。矩阵乘积C=AB计算Ci,j步骤看作A第i行和B的第j列间点积。
参考资料 前言 在深度学习中经常会遇到不同维度的矩阵相乘的情况，本文会通过一些例子来展示不同维度矩阵乘法的过程。...总体原则：在高维矩阵中取与低维矩阵相同维度的子矩阵来与低维矩阵相乘，结果再按子矩阵的排列顺序还原为高维矩阵。相乘结果的维度与原来的高维矩阵一致。...(a,b) print('a:\n',a) print('b:\n',b) print('ab:\n',c) 三维乘二维 将三维矩阵中的后两维组成的二维子矩阵分别与二维矩阵相乘（二维），结果再按原顺序拼接起来...) 三维乘三维 两个三维矩阵中对应位置的二维子矩阵分别相乘，结果按第0维分量更多的那个矩阵的结构拼接。...注意：，并不是任意两个三维矩阵都能相乘，其必须满足两个条件： 1：两个矩阵的后两个维度构成的二维矩阵之间必须满足二维矩阵相乘的条件，即第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数 2：两个矩阵的第0维分量数必须相等
现在很多互联网企业学聪明了，知道应聘者有目的性的刷Leetcode原题，用来应付算法题面试，所以开始对这些题进行“魔改”，比如北京某电商平台的这道题： 有一个正方形的岛，使用二维方形矩阵表示... 乍一看有点懵，但是提取关键字：二维矩阵、上下左右四个方向、矩阵范围、n步，有没有感到很熟悉？...球的起始坐标为 (i,j) ，你可以将球移到相邻的单元格内，或者往上、下、左、右四个方向上移动使球穿过网格边界。但是，你最多可以移动 N 次。找出可以将球移出边界的路径数量。...其实就是上下左右四个方向移动过来的，而移动步数则是 N-1。...return num print(how_likely_alive(2,2,1,0,0)) 结语：Leetcode算法题浩如烟海，想要每一道题都了如指掌，个人感觉难度不小，但是从这道二维矩阵中的醉汉来看
而这些数学性质将成为后续导出PCA的理论基础。 内积与投影 下面先来看一个高中就学过的向量运算：内积。两个维数相同的向量的内积被定义为： ? 内积运算将两个向量映射为一个实数。...一般的，如果我们有M个N维向量，想将其变换为由R个N维向量表示的新空间中，那么首先将R个基按行组成矩阵A，然后将向量按列组成矩阵B，那么两矩阵的乘积AB就是变换结果，其中AB的第m列为A中第m列变换后的结果...特别要注意的是，这里R可以小于N，而R决定了变换后数据的维数。也就是说，我们可以将一N维数据变换到更低维度的空间中去，变换后的维度取决于基的数量。因此这种矩阵相乘的表示也可以表示降维变换。...最后，上述分析同时给矩阵相乘找到了一种物理解释：两个矩阵相乘的意义是将右边矩阵中的每一列列向量变换到左边矩阵中每一行行向量为基所表示的空间中去。更抽象的说，一个矩阵可以表示一种线性变换。...协方差矩阵及优化目标 上面我们讨论了选择不同的基可以对同样一组数据给出不同的表示，而且如果基的数量少于向量本身的维数，则可以达到降维的效果。但是我们还没有回答一个最最关键的问题：如何选择基才是最优的。
向量 向量是线性代数研究的基本元素，将一组数放在一起其基本的表示方法就是向量，例如：一个数: 100，一组数：(25,78,101)。其中一组数就可以称为向量，示例中的这组数是一个三维向量。...我们通过一个例子来说明，如下表所示： 序号 语文 数学 英语 0 70 80 90 上述表格中，(0,70,80,90) 这组数分别描述了序号、语文、数学、英语，如果将这组数中数字的顺序调换顺序，那么其所表达的意思也就完全不同了...获取矩阵的形状，返回这个矩阵由几行几列组成 行数就是二维数组的长度 列数就是二维数组的中0号数组的长度 获取矩阵的行数，获取矩阵的列数。...返回矩阵形状中求出的行数和列数即可 获取矩阵的大小，用矩阵的行数 * 矩阵的列数 矩阵的长度，返回矩阵的行数 获取矩阵的行向量，返回二维数组的指定位置的数组 获取矩阵的列向量 获取矩阵的中的特定元素 接下来...上述公式描述了矩阵与矩阵相乘的运算过程，其运算方法如下： 矩阵与矩阵相乘时，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数 将第一个矩阵拆分为一个个的行向量，将第二个矩阵拆分为一个个的列向量 用拆分出来的行向量
群的概念是庞大的，它有矩阵群、对称变换群或者一副纸牌通过不同排列形成的群。在许多群中，只有一种算术运算才有意义，但是矩阵是不同的，它除了可以相乘，还可以相加，或者将一个矩阵乘以一个数字系数。...大约一个世纪以前，群论学家提出疑问：如果我们要以矩阵形式表示群元素，为什么不将矩阵的某些特殊属性封装在原始群的代数结构中呢？更重要的是，为什么不考虑将群元素相加或将它们与某个数组的系数相乘呢？...在许多方面，群代数中的元素类似于高中代数中熟悉的多项式表达式。这里的关键区别是：如果将两个多项式相乘，某些项可能会抵消，指数最高的项会保留。...该群仅包含两个元素：一是保持不变的操作（记为“ 1”），二是相对于中心垂直轴的反射（记为r）。经两次反射，“A”的每个点将还原到原始位置。因此，在群乘法中，r乘以r等于1。...Kaplansky将该猜想与另外两个被称为零除数（Zero Divisor ）和幂（Idempotent ）等群代数猜想打包一起推广， 他认为，这三个猜想都表示，群代数与我们习惯将数或多项式相乘的代数没有太大的不同
1.4 tf.multiply 此函数是：两个矩阵中对应元素各自相乘，即逐元素操作。逐元素操作是指把x中的每一个元素与y中的每一个元素逐个地进行运算。就是哈达玛积。...； y: 一个类型跟张量x相同的张量； 返回值： x * y element-wise； 注意： multiply这个函数实现的是元素级别的相乘，也就是两个相乘的数元素各自相乘，而不是矩阵乘法，注意和tf.matmul...两个相乘的数必须有相同的数据类型，不然就会报错。...2.1 TensorFlow实现 矩阵乘法本质上只能是两个二维的matrix进行叉乘，那么两个三维甚至四维的矩阵相乘是怎么做到的呢？...4.1 目的 广播的目的是将两个不同形状的张量 变成两个形状相同的张量： TensorFlow支持广播机制（Broadcast），可以广播元素间操作(elementwise operations)。
三维空间的刚体运动 1）旋转矩阵 2）变换矩阵 3）欧拉角 1、旋转向量 2、旋转角： 3、转轴： 4、欧拉角 4）四元数 1、四元数的定义 2、四元数的运算 1）加法和减法 2）乘法（每一项相乘后相加...我们知道是由旋转加平移组成的，平移很简单，但是旋转有点麻烦。 三维空间的刚体运动的描述方式：旋转矩阵、变换矩阵、四元数、欧拉角。 刚体，不光有位置，而且还有姿态。...R矩阵，描述了旋转前后同一个向量的坐标变换之间的关系，称之为旋转矩阵（行列式为1的正交矩阵） 旋转矩阵可以描述相机的旋转。 a’=Ra+t，其中t表示平移，这是一个完整的欧式变换。...这个时候将旋转和平移写在了一个矩阵里面，整个关系变成一个线性关系。...s为四元数实部 ,v 为虚部, 如果虚部为0,表示实四元数;反之,实部为0表示虚四元数. 乘以i表示旋转180°，两个i相乘表示旋转360° 2、四元数的运算 先准备两个四元数： ?
例如将图5所示的评分矩阵分解为两个低维度的矩阵，用Q和P两个矩阵的乘积去估计实际的评分矩阵，而且我们希望估计的评分矩阵和实际的评分矩阵不要相差太多，也就是求解下面的目标函数： ? ...stepsize和scale_factor参数对于结果的影响巨大，但是文档中只标注了缺省值，并没有说明如何定义这两个参数的相关指南。而且不同的学习数据，参数值也不同。在本例中，使用缺省值的误差巨大。...需要将lmf_igd_run函数输出的矩阵装载到表中。如果使用稠密形式，需要将二维矩阵转为一维矩阵。...array_unnest_2d_to_1d是madlib 1.11版本的新增的函数，用于将二维数组展开为一维数组。...推荐系统中的矩阵分解，假设推荐矩阵是两个低秩矩阵相乘，有何依据：说明假设低秩的意义。 浅谈矩阵分解在推荐系统中的应用：矩阵分解的数学推导。
通过这个视图，就可以清楚如何在矩阵上执行点积。发生乘法的唯一方法是第一个矩阵中的行数与第二个矩阵中的列数匹配。...但是，第一个轴必须相同： (z, m, n) x (z, n, r) = (z, m, r) 为什么是这样？嗯，如前所述，二维的点积主要是将向量彼此相乘。...在三维中，重点是按矩阵相乘，然后对这些矩阵中的每个向量执行点积。 上图应该有助于解释这一点。将两个 3D 张量视为矩阵向量可能会有所帮助。...，张量乘法将具有与三维和二维中相同的要求。...它还需要第一轴和第二轴与两个张量匹配： (c、z、m、n) x (c、z、n、r) = (c、z、m、r) 在三维空间中，进行矩阵乘法，然后进行向量之间的点积。
矩阵的本质： 探讨矩阵的本质的话，可以先看这篇文章： 理解矩阵（最通俗易懂的教程——高数-线性代数-矩阵 其思路概括来说如下： 首先要有空间的概念，如果不考虑严谨的定义，你可以用我们熟知的二维或者三维空间来想象...零矩阵：元素都是零的矩阵。注意：不同型的零矩阵是不同的。 系数矩阵：线性方程组的系数构成的矩阵称为系数矩阵。 方阵：当矩阵的行数与列数相等的时候，称之为方阵 奇异矩阵：对应的行列式等于0的方阵。...用E表示 例如一个 3 × 3的矩阵： 别的矩阵和单位矩阵相乘，得到的结果就是其自身：A × I = A 行列式：行列式（Determinant）是数学中的一个函数，将一个n×n的矩阵A映射到一个标量...矩阵乘以标量 类似，矩阵除以标量不再赘述 矩阵相乘 需要注意的是： 1.左边矩阵的列数，要和右边矩阵的行数相同。...带着上面的两个问题,我们开始我们的齐次坐标之旅.其实齐次空间的出现主要是用于投影问题的解决.所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示. 4D齐次空间有4个分量分别是(x,y,z,w
从 到 ，虽然同样是张成二维空间，但是它们各自对空间的描述方式的不同的，对此我想给出一种理解方阵的思路： 方阵的每一列都代表了单位矩阵中对应列的向量在单位矩阵张成的空间中重新指向的位置。...以上面两个矩阵相乘为例，可以说：首先，我们试图在 空间中解释 两个向量，但由于缺少第三个分量，必然导致右侧的两个三维向量被降维到二维平面。 结合我们之前的想法，我们在解释 时，其实是把它当成 来看的。...也就是说，当两个矩阵相乘为0，则两个矩阵的总降维数大于等于向量/空间的维度。 为什么矩阵乘法不满足消去率？ 这个问题可看作是上一个问题的推广，翻译成符号形式就是如果 ，为什么没有 ?...在这里，我们找到了一个满足 的变换，他们的作用效果都是将三维空间降维到二维空间，而且我们也找了一个这两个空间共用的向量 ，但显然 和 是两个完全不同的变换，即 。...因为存在 （名义维数减去实际减少的维数即为真实维数），则 设 为 矩阵， 为 矩阵，则 为 矩阵， 矩阵将向量组 中的 个 维向量转为 个 维向量。
SO(3)与SE(3)对乘法是封闭的，也就是说两个旋转矩阵相乘依然是一个旋转矩阵，相当于做了两次旋转；两个变换矩阵相乘也依然是一个变换矩阵，相当于做了两次位置的变换。...比如说加法中的0，乘法中的1， 逆： 对于集合A中的任意一个元素，总能够找到该元素的逆，两者做运算等于幺元。比如说加法中的相反数，它们相加总等于0；乘法中的倒数，它们相乘总等于1。...这里的ø是一个三维向量，ø1、ø2、ø3是ø中的三个元素，Φ是ø的反对称矩阵，李括号的意义就是 它表示两个三维向量做李代数的二元运算，即为它们的反对称矩阵分别相乘(顺序不同)再相减后恢复成向量。...这里是一个旋转矩阵的李代数。 在变换矩阵中 这里的ε是一个6维的向量，前三维的ρ作为平移，后三维的ø作为旋转，这里的 不是一个反对称矩阵，表示的是将6维向量转换成一个4维的矩阵。...李括号的意义就是 它表示两个六维向量做李代数的二元运算，它们分别六维转四维矩阵后分别相乘(顺序不同)再相减后恢复成向量。 指数与对数映射 我们知道旋转空间可以表示为这个公式。
今天，我想分享一种不同的方法来描绘矩阵，它不仅用于数学，也用于物理、化学和机器学习。基本想法是：一个带有实数项的 m×n 矩阵 M 可以表示从 R^n→R^m 的线性映射。...索引 i 的范围从 1 到 m，表示输出空间的维数；j 的范围从 1 到 n，表示输入空间的维数。换言之，i 表示 M 的行数，j 表示其列数。如果我们愿意，这些符号可以包括在图中： ?...矩阵是二维数组，因此是 2-张量。它由一个有两条边的节点表示。三维张量是一个三维数组，因此是一个有三条边的节点……。 ? 矩阵乘法是张量的缩并 将两个矩阵相乘就相当于「粘合」它们的图。...换句话说，你可以将小空间 V 嵌入到大空间，然后再投影回 V 中，而不扭曲 V 中的向量（与拓扑中的回缩映射（retraction map）不同）。...我所说的「大得不可思议」并不是夸张。如果你有一个阿伏伽德罗数的量子粒子，每个粒子只占据两个状态，那么你需要一个维数为 ? 的向量空间。现在想象在这个空间上有一个线性算子。这是一个包含 ? 个项的矩阵。
手眼标定中RT矩阵的欧拉角和Halcon中pose的类型之间的关系 1、Halcon做3D相关的应用： 使用到halcon的CreatePose算子，生成不同的Pose，并且可以将pose通过算子pose_to_hom_mat3d...，那如何解决这个问题呢 RT矩阵，是包含了平移和旋转两个方面，其中3*3的R矩阵，就是旋转矩阵，也就是欧拉角RX,RY,RZ或A,B,C展开成矩阵形式的数值，这些数值都是由角度的sin或cos相乘相加得到的...欧拉角就是空间三维旋转的角度，一般会有很多种表达方式，如XYZ,ZYZ,ZYX,XYX,XZY等，这些字母表示绕着该轴旋转某个角度，然后按照字母的顺序，把三次的二位旋转矩阵相乘，最后得到一个三维的旋转矩阵...如图所示，按照不同的字母顺序，将这些矩阵分别相乘，即可得到对应的旋转矩阵。这样我们就得到了旋转矩阵跟具体旋转角度之间的关系。...Halcon的算子pose_to_hom_mat3d也是同样的原理，将pose的RX,RY,RZ通过不同的顺序相乘，得到矩阵。那么最重要的如何确认项目中的机械手坐标值和halcon的pose类型之间的
如果X与Y的维数不同，则MATLAB将给出错误信息，提升用户两个矩阵的维数不匹配 X=[2 3; 4 5]; Y=[3 4; 4 3]; X+Y X-Y ans...如果其中一个为1x1矩阵也合法，此时便是将每一个矩阵的元素都分别与这个数值相乘。...X.* Y运算结果为两个矩阵的相应元素相乘，得到的结果与X和Y同维，此时X和Y也必须具有相同的维数，除非其中一个为1X1矩阵此时运算则与X*Y相同 X=[2 3; 4 5]; Y...^Y的计算结果为X中元素对Y中对应元素求幂，形成的矩阵与原矩阵维数相等，这里X和Y必须维数相等，或其中一个为数，此时运算法则等同于X^Y X=[2 3; 4 5] Y=[3.../A就是B中的元素除以A中的对应元素，所得结果矩阵大小与B和A都相同；如果B和A中有一个为数，在结果为此数与相应的矩阵中的每个元素做运算，结果矩阵与参加运算的矩阵大小相同。
一个示例 如下图，让一个3×2的矩阵和一个2维的列向量相乘，会得到什么样的结果呢？ ? 其运算的规则如下图， ? 从上图可知，矩阵和向量的乘法规则比较有意思，一个矩阵和一个向量乘得到一个新的列向量。...而结果列向量的维数就是矩阵的行数，等式左边的矩阵和向量的形状也比较有意思，矩阵的列数必须等于向量的维数，只有这样才能进行矩阵和向量的乘法。...一个m×n的矩阵乘一个n×1的向量，这里要注意矩阵的列数必须等于向量的行数才能相乘，得到的结果是一个m×1的向量。 而且我们还可以看出，在做矩阵和向量的乘法时，它们的次序也很重要。...我们把模型中的两个参数揪出来组成一个列向量。然后呢，因为-40参数对应的是1，而0.25对应的是x，所以得到一个4×2的一个矩阵，而矩阵的第1列都是1....如果没有这样的规定，我们可能需要for循环在代码中实现这个事情，这就有点麻烦了。 下一讲将介绍更一般的矩阵和矩阵的乘法。
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