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Python 线性方程组

线性方程组各个方程未知次数都是一次方程组。这样方程组有两种方法:克拉默法则和矩阵消元法。 矩阵消元法 矩阵消元法。 当方程组有解时,将其中单位列向量对应未知量取为非自由未知量,其余未知量取为自由未知量,即可找出线性方程组。 这种方法适合手工解方程,通过编写程序来解方程这种方法基本行不通。 因为行初等变换有 3 种:两行互换,某一行乘上一个非零实数,某一行乘上一个非零实数后加到另一行。看着很简单,但是关键问题怎么让计算机知道哪两行互换?哪一行要乘上一个数?这个数是多少? 用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵方法求解线性方程组建立线性方程组与其系数和常数间关系,但由于求解时要计算 n+1 个 n 阶行列式,其工作量常常很大,所以克莱姆法则常用于理论证明, 由于表达式中有代数余子式,有行列式,为此就可以想到 xi,A 逆和 bi 有着某种联系,至于什么联系我们就先尝试把 A 逆和 b 向量做矩阵乘法运算,得到一个向量,这个向量第 i 个元素就是 xi

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高斯消元

高斯消元 众所周知,高斯消元线性代数中重要一课。通过矩阵来线性方程组。高斯消元最大用途就是用来多元一次方程组。 前置技能 1.线性方程组 线性方程组各个方程关于未知量均为一次方程组(例如 2 元 1 次方程组) 2.增广矩阵 就是在系数矩阵右边添上一列,这一列线性方程组等号右边值。 输出格式 如果给定线性方程组存在唯一,则输出共行,其中第行输出第个未知,结果保留两位小数。如果给定线性方程组存在无数,则输出“ ”。如果给定线性方程组无解,则输出“ ”。 将样例输入化成一个普通增广矩阵(将系数和值整合到一起) 这样矩阵我们很难直观看出 所以我们最终目的就是要把矩阵化成如下形式 这样我们能非常直观看出简单来说高斯消元最后就是要搞出这玩意 对于样例 首先进行交换行 得到 消元按照一般人习惯从上往下消 很容易想到要一列一列消 这样才有可能得到完美矩阵(也就是我们需要上三角形矩阵) 将第一行一个元素(也就是主元)变为 然后用第一行去消第二三行

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    用PythonNumpy求解线性方程组

    维基百科将线性方程组定义为: 在数学中,线性方程组(或线性系统)两个或多个涉及同一组变量线性方程集合。 解决线性方程组最终目标找到未知变量值。 这是带有两个未知变量线性方程组示例: 等式1: 4x + 3y = 20 -5x + 9y = 26 为了解决上述线性方程组,我们需要找到x和y变量值。 矩阵可以视为列表列表,其中每个列表代表一行。 在以下脚本中,我们创建一个名为列表m_list,其中进一步包含两个列表:[4,3]和[-5,9]。这些列表矩阵中两行A。 该变量X包含方程式2,并输出如下: [ 5. 3. -2.] 未知数x,y和值分别是5、3 z和-2。您可以将这些值代入公式2并验证其正确性。 输出显示,一个芒果价格为10元,一个橙子价格为15元。 结论 本文介绍了如何使用PythonNumpy库解决线性方程组

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    用PythonNumpy求解线性方程组

    维基百科将线性方程组定义为: 在数学中,线性方程组(或线性系统)两个或多个涉及同一组变量线性方程集合。 解决线性方程组最终目标找到未知变量值。 这是带有两个未知变量线性方程组示例,x并且y: 等式1: 4x + 3y = 20-5x + 9y = 26 为了解决上述线性方程组,我们需要找到x和y变量值。 矩阵可以视为列表列表,其中每个列表代表一行。 在以下脚本中,我们创建一个名为列表m_list,其中进一步包含两个列表:[4,3]和[-5,9]。这些列表矩阵中两行A。 但是,Numpy库包含该linalg.solve()方法,该方法可用于直接找到线性方程组: print(X2) 输出: [ 5. 3. -2.] 您可以看到输出与以前相同。 输出显示,一个芒果价格为10元,一个橙子价格为15元。 结论 本文介绍了如何使用PythonNumpy库解决线性方程组

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    线性方程组

    ★定义 如果满足如下条件,该矩阵称为阶梯形矩阵: 矩阵中如果有元素都是0行,那么位于矩阵下方。 矩阵中每个非零行一个不是0元素,称为矩阵主元,主元列索引随着行索引递增而严格增大。 ★任意一个矩阵都可以通过一系列初等行变换化成阶梯形矩阵。 ” 正如你所知,线性方程组系数和常数项为有理数时,线性方程组有三种可能:无解、有唯一、有无穷多个。 否则,有解: 若阶梯形矩阵非零行数(用 表示)等于未知数,即 ,则原方程组有唯一; 若$r 以上简要说明了利用矩阵求解线性方程组方法,当然,这种方法用手工计算完成。 Numpy机器学习基础库,提供了一种途径。 不妨对线性方程组系数矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵: 观察阶梯形矩阵可知,原线性方程组有解,且$r=3,n=4,r 这个称为原线性方程组一般其中 称为自由变量。

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    数值积分|高斯积分

    x0,x1为区间[-1,1]内未知点(x0不等于x1),常识告诉我们,要想知道这四个未知量,就要一个四元方程组。假设有四个函数 ,根据上面的公式可以得到 ? 还可以用梯形中位线表示 上式意义:一次函数高斯积分需要一个高斯积分点即x=0位置,确定权重2,积分点函数值f(0)。 换句话说,对于线性函数,只要你告诉f(0),无需知道函数表达式,就可以算出你积分了! 同样,对于二次函数,只要你告诉这俩函数值,需要知道函数表达式,只要把这俩函数值 和 各乘以权重(都为1)相加即可算出积分值了. 你就要使这种数值积分结果等于对应从0到2n-1所有多项式项在区间内积分结果。这样你就有一个2n阶线性方程组,解了,就能获得积分点和权重值。

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    线性代数精华——矩阵特征值与特征向量

    我们先来看定义,定义本身很简单,假设我们有一个n阶矩阵A以及一个实数λ,使得我们可以找到一个非零向量x,满足: ? 我们都知道,对于一个n维向量x来说,如果我们给他乘上一个n阶方阵A,得到Ax。从几何角度来说,对向量x进行了一个线性变换。变换之后得到向量y和原向量x方向和长度都发生了改变。 这里I表示单位矩阵,如果把展开的话,可以得到一个n元n次齐次线性方程组。这个我们已经很熟悉了,这个齐次线性方程组要存在非零,那么需要系数行列式 ? 不为零,也就是系数矩阵秩小于n。 这是一个以λ为未知一元n次方程组,n次方程组在复数集内一共有n个。我们观察上式,可以发现λ只出现在正对角线上,显然,A特征值就是方程组。 下周一我们将开始全新Python专题,希望大家多多期待。 如果觉得有所收获,请顺手点个在看或者转发吧,你们支持最大动力。

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    华人学者彭泱获顶会最佳论文奖:如何最快求解“诺亚方舟上鸡兔同笼问题”?靠“猜”

    线性方程组一般包含两个或多个带有变量方程式。这些变量表示事物之间相互联系不同方式。这些方程式之所以被称为“线性”,是因为所有变量幂恰好 1,且方程式图形能形成一个平面。 线性方程组一个常见案例:在一个装满鸡和兔笼子里,如果你只知道所有鸡和兔头有 10 个,脚有 30 只,那么这个仓库里有多少只鸡、多少只兔?这也是我们小学就熟悉“鸡兔同笼”问题。 ? 这时,我们得到了 3 个方程式与 3 个未知数。 求解这些问题方法之一变换一个方程式,并代入其它两个方程式。例如,0c + 1r + 2g = 10 可以变为 r = 10 – 2g。 我们可以将这三个矩阵组合成一个简单线性方程组其中,第一个矩阵乘以第二个矩阵变量,等于第三个矩阵。这时,我们可以使用线性代数来求解第二个矩阵。 ? 因为矩阵中条目随机,并且它们之间发生协调,所以矩阵本身最终会具有某些对称性。这些对称性使快捷计算快捷成为可能。就像任何高度对称对象一样,只需要知道其一部分,就可以推断出整体。

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    krylov方法

    假设你有一个线性方程组其中 已知矩阵, 已知向量, 需要求解未知向量。 这时聪明Krylov想到了一种方法来替换 其中 都是未知标量,m你来假设一个值,最大不能超过矩阵维度 (这里省略了几步,还要用Arnoldi方法做个循环,先留个空,有同学需要再补上) 值要带回第一个公式,得到以下方程: b维度1000,那就是有1000个方程,\beta数量小于1000. 那不是方程数大于未知数了吗?这种情况应该没法儿求解啊。对,这种情况确实没法儿精确求解,只能求近似。 一般来说,最小二乘法应用最重要条件之一,就是方程须线性,最小二乘法一般只用来线性方程,非线性就非常困难,需要进行一些“魔改”,比如基于最小二乘法Levenberg-Marquardt and

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    教程 | 拟合目标函数后验分布调参利器:贝叶斯优化

    我们目标并不是使用尽可能多数据点完全推断未知目标函数,而是希望能求得最大化目标函数值参数。所以我们需要将注意力从确定曲线上移开。 逼近目标函数高斯过程。 在上图中,假定我们目标函数(虚线)未知,该目标函数模型性能和超参数之间实际关系。但我目标仅仅是搜索令性能达到最优超参数组合。 开发和探索之间权衡 一旦我们对目标函数建了模,那么我们就能抽取合适样本尝试计算,这就涉及到了开发(exploitation)和探索(exploration)之间权衡,即模型到底在当前最优进一步开发 采集函数 为了编码开发探索之间权衡,我们需要定义一个采集函数(Acquisition function)而度量给定下一个采样点,到底效果怎样其中Φ(x) 为标准正态分布函数。 贝叶斯优化过程 ? 上图可以直观地解释贝叶斯优化。其中红色曲线为实际目标函数,并且我们并不知道该函数确切表达式。所以我们希望使用高斯过程逼近该目标函数。

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    CS229 课程笔记之十:因子分析

    因此我们无法写出该分布概率密度函数,也就无法对其建模。我们可以将其理解为线性方程组求解,未知个数比方程数目多,因而无法完全求出所有未知数。 在没有限制情况下,我们需要 来保证 最大似然估计不是奇异矩阵。而在上述两个限制中任意一个下,我们只需要 来保证非奇异。但是在上述限制下,我们会丢失部分特征项之间相互联系。 3 高斯分布边缘和条件分布 在介绍因子分析前,我们先介绍联合多元高斯分布边缘分布和条件分布。假定我们有一个由两个变量组合而成随机变量: 其中 , ,因此 。 给定一个训练集 ,我们可以得出如下对数似然函数: 对该函数进行最大化估计难以求出闭合,我们将使用 EM 算法来求解该问题。 将 式代入之前推导出条件分布公式 和 ,可以得出 ,其中: 因此,基于上述定义,我们有: 5.2 M-step 在 M-step 中,我们需要最大化: 下面介绍关于参数

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    AAAI 2018 | 阿里iDST联合华东师大提出τ-FPL: 线性时间约束容忍分类学习算法

    我们尝试消除该问题中约束。首先,我们阐述一个关键结论:经验 Neyman-Pearson 分类与如下排序学习问题等价,即它们有相同最优 f 以及最优目标函数值: ? 从优化 AUC 角度,该问题也可看作一个部分 AUC 优化问题,如图 1 所示,其尝试最大化假阳性率τ附近曲线下面积。 ? (2)仍然一个排序问题,其尝试最大化负样本中得分最高那部分「质心」与正样本之间距离。 我们也可以从对抗学习 (Adversarial learning) 角度,给出排序问题 (2) 一个直观解释。读者可以验证,(2)与如下对抗学习问题等价: ? 其中 k = τn,且 ? 根据 KKT 最优条件,我们将投影问题转换为一个求解分段线性方程组问题,该方程组仅包含三个未知对偶变量,且可以通过二分求根法获得指定精度

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    二次型优化问题 - 4 - 二次型优化方法

    ),线性代数规划中一个算法,可用来为线性方程组求解。 在\bf{A}行列式不为0时,可以逐项消除半边系数,得到三角阵,计算得到x_n再逐步带入计算出其他未知数,得到计算结果。 O(n^3)数量级上,在实践中难以接受; 迭代法思想可以每次贪心地计算局部最优,逐步向全局最优逼近 最速下降法/梯度法 沿着当前梯度反方向前进至方向梯度为0,重新计算当前位置梯度, 重新出发 不断重复该过程,直到精度满足要求 共轭梯度法 共轭梯度法(Conjugate Gradient)介于最速下降法与牛顿法之间一个方法,仅需利用一阶导数信息,但克服了最速下降法收敛慢缺点 ,又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆缺点,共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用方法之一,也是大型非线性最优化最有效算法之一。

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    机器学习中如何解决过拟合

    实际上,每一个可逆方阵都存在一个condition number。但如果要计算,我们需要知道这个方阵norm(范数)和Machine Epsilon(机器精度)。 为什么要范数? 范数就相当于衡量一个矩阵大小,我们知道矩阵没有大小,当上面不是要衡量一个矩阵A或者向量b变化时候,我们x变化大小吗?所以肯定得要有一个东西来度量矩阵和向量大小吧? 或者更确切地说,将会有无穷多个(因为我们方程组个数小于未知个数)。也就是说,我们数据不足以确定一个,如果我们从所有可行里随机选一个的话,很可能并不是真正好,总而言之,我们过拟合了。 这里面,专业点描述:要得到这个,我们通常并不直接求矩阵逆,而是通过线性方程组方式(例如高斯消元法)来计算。 看到有两种几何上直观解析: 1、下降速度 我们知道,L1和L2都是规则化方式,我们将权值参数以L1或者L2方式放到代价函数里面去。然后模型就会尝试去最小化这些权值参数。

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    从0单排强化学习原理(二)

    上期我们提到马尔可夫决策过程,定义如下: 有限状态集 有限动作集合 状态转移概率 回报函数 为折扣因子,用来计算累计回报 我们需要求解最优策略: 求解策略,我们需要知道每个状态期望收益,通过值函数进行计算 虽然我们不知道,但是我们可以随机初始化一个,就像我们随机初始化一个神经网络参数一样,先通过这套参数算出loss,再优化这套参数。当已知时,就可以通过动态规划,用去计算。 为什么要去计算? 但是我们看下面一个简化场景,已知,求: ? ,,得出结论。这... ? 下面介绍高斯-塞德尔迭代法(参考百度百科),本质就是把线性方程组,通过不断迭代方式进行求解,设线性方程组为: ? 假设有个机器人,电量有限,现在把放到下图S点,需要走到E点,我们肯定不希望机器人S->p1->S->p1->...来回横跳,这样电量耗完了都到不了E点。 ? 欢迎感兴趣朋友关注我们公众号,一品炼丹师十方。下一篇将分享强化学习无模型学习方法。

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    「糟糕」策略梯度

    策略梯度中需要用到如此之多公式,让我们误以为其中仿佛真的有什么严肃深入东西。猜策略梯度之所以一直还是活跃研究课题原因就是人们并不会尝试实现,以及这些数学公式单独看来还是很有吸引力。 在这里我们把动态系统生成一系列状态 xk 和控制动作 uk 合称为轨迹(trajectory) τ ? 而策略(policy)就是函数 π,输入一个轨迹,然后输出一个控制动作。 我们目标就是找到一个能让 L 个时间步骤后反馈最大化策略。 在策略梯度中,我们只关注参数化、随机化策略。策略 π 中有一系列参数 ϑ 需要调节。 在聊线性模型之前,我们暂且退一步,考虑一个纯优化问题。我们用一堆符号把强化学习变得公式化,以至于到了最后似乎我们只需要关注一个无限制函数最大化问题。 而如果你想要能和 R 有限差分近似相提并论,那么…… 那么仍然一个糟透了算法。只不过其中数学计算还挺讨人喜欢。 这里要说明,线性化法则提醒我们几乎马上就需要抛弃这个算法。

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    机器学习十大经典算法之最小二乘法

    最小二乘法概述 最小二乘法(又称最小平方法)一种数学优化技术。通过最小化误差平方和寻找数据最佳函数匹配。 利用最小二乘法可以简便地求得未知数据,并使得这些求得数据与实际数据之间误差平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。 即Cost函数,用数学公式描述就是: 其中, y_{ie} 表示根据y=β0+β1x估算出来值,yi观察得到真实值。 需要注意一点β0常数项对应系数,此处相当于添加了一个特征值x0且x0恒为1,也就是目标函数中β0可以看成β0x0,这样的话就不同单独考虑常数项了(在后面的多元线性模型就用到了该性质)。 然后利用该式对向量β求导: (1) 由矩阵求导法则:  可知(1)式结果为: 令上式结果等于0可得: (2) 上式就是最小二乘法解析,它是一个全局最优

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    线性代数精华1——从行列式开始

    也就是说,行列式输入一个n * n方阵,输出一个具体数。我们把行列式用det来表示,假设A一个n * n矩阵,那么det(A)即表示该矩阵行列式。 克拉默法则 行列式定义和计算都不太直观,那么这么一个相对比较复杂概念究竟有什么作用呢?除了用在机器学习模型当中之外,另一个非常经典用途就是判断线性方程组是否有解。 对于一个含有n个未知n个线性方程组 ? 可以用n阶行列式表示。 如果这个n阶行列式不等于0,即: ? 那么这个n阶方程组有唯一,并且为: ? 其中Dj(j=1,2,...n)把D中第j列替换成方程常数项得到行列式: ? 行列式除了上面提到内容之外,还有很多很好用性质以及一些变种计算方法。 所以,当我们把行列式当中某一行或者某一列同时乘上一个系数k之后,行列式增大了k倍。 ?

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