《实例》阐述算法，通俗易懂，助您对算法的理解达到一个新高度。包含但不限于：经典算法，机器学习，深度学习，LeetCode 题解，Kaggle 实战。期待您的到来！...01 — 求矩阵特征值的例子 矩阵的特征值为：2，0.4，分别对应的特征向量如上所述。
非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。 Ax=mx，等价于求m，使得 (mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。...|mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次 多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是 复数。...如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 … mn，则 |A|=m1*m2*…*mn 同时矩阵A的迹是特征值之和： tr（A）=m1+m2+m3+…+mn[1] 如果n阶矩阵A...满足矩阵多项式 方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以通过 解方程g(m)=0求得。...经过上面的分析相信你已经可以得出如下结论了：坐标有优劣，于是我们选取特征向量作为基底，那么一个线性变换最核心的部分就被揭露出来——当矩阵表示线性变换时，特征值就是变换的本质！
1.矩阵特征值和特征向量定义 A为n阶矩阵，若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx，那么数λ称为A的特征值，x称为A的对应于特征值λ的特征向量。...式Ax=λx也可写成( A-λE)x=0，并且|λE-A|叫做A 的特征多项式。...当特征多项式等于0的时候，称为A的特征方程，特征方程是一个齐次线性方程组，求解特征值的过程其实就是求解特征方程的解。 计算：A的特征值和特征向量。...计算行列式得 化简得： 得到特征值： 化简得： 令 得到特征矩阵： 同理，当 得： ， 令 得到特征矩阵： 版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人...如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容， 请发送邮件至 举报，一经查实，本站将立刻删除。
二、具体实现 1、计算矩阵A对应的行列式的值 引入一个定理： 行列式的值等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式 乘积之和。...记 则 叫做元 的代数余子式。 根据上面这些我们就可以写出 计算矩阵对应的行列式的值的算法了。...2、计算获取矩阵A的伴随阵并求逆矩阵 伴随阵的定义: 行列式|A|的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵 分别计算矩阵A中每个元素的代数余子式...，并除以|A|,即可获得矩阵A的逆矩阵....很明显，只要将这里的 矩阵 b 替换成 与A同型的单位矩阵E，则该线性方程组的解x就是 矩阵A的逆矩阵了。
线性变换与矩阵的特征向量特征值 2.数学上的意义 3.在物理上的意义 4.信息处理上的意义 5.哲学上的意义
当一个矩阵具有重复的特征值时，意味着存在多个线性无关的特征向量对应于相同的特征值。这种情况下，我们称矩阵具有重复特征值。...考虑一个n×n的矩阵A，假设它有一个重复的特征值λ，即λ是特征值方程det(A-λI) = 0的多重根。我们需要找到与特征值λ相关的特征向量。...我们可以通过以下步骤进行计算： 对于每一个特征值λ，我们解决线性方程组(A-λI)x = 0来获得一个特征向量。这里，A是矩阵，λ是特征值，x是特征向量。...当矩阵具有重复特征值时，我们需要找到与特征值相关的线性无关特征向量。对于代数重数为1的特征值，只需要求解一个线性方程组即可获得唯一的特征向量。...对于代数重数大于1的特征值，我们需要进一步寻找额外的线性无关特征向量，可以利用线性方程组解空间的性质或特征向量的正交性质来构造这些特征向量。这样，我们就可以完整地描述带有重复特征值的矩阵的特征向量。
([[5,6],[7,8]]) >>> As*Bs Matrix([ [19, 22], [43, 50]]) >>> A*Bs #numpy的矩阵*sympy矩阵，两个软件包的变量是可以相互通用的，但通常尽量不这样做...以及根据自由变量F子矩阵的情况获得方程的0空间解。 当然，如同前面的解方程一样，SymPy中直接提供了函数获取0空间解。...参考前面的rank计算或者rref矩阵，我们知道Bs矩阵有两个自由变量（由n-r得来），tau0/tau1就是这两个自由变量。这也是因为我们没有定义未知数符号所导致的自动命名。...嗯，为了验证课程中的公式，故意搞复杂了点。这样的计算其实完全没有必要，对角化矩阵实际就是矩阵特征值排列在对角线所组成的矩阵。...上面的计算中，变量s代表了SVD分解之后的∑对角矩阵，实际是AAᵀ矩阵或者AᵀA矩阵特征值再开方的值。使用NumPy做完SVD分解后，直接保存为列表类型。
昨天所发布的迭代法称为正迭代法，用于求矩阵的主特征值，也就是指矩阵的所有特征值中最大的一个。其算法如下： 满足精度要求后停止迭代，xj是特征向量，λj是特征值。...Fortran代码如下： 以一个四阶矩阵A来验证： 程序输出结果为： MATLAB自带的eig函数的计算结果为： 二者结果一致。需要注意的是，特征值所对应的特征向量不是唯一的。...后记 正迭代法，用于求矩阵的主特征值，也就是指矩阵的所有特征值中最大的一个。有正迭代法就有逆迭代法，逆迭代法可以求矩阵的最小特征值以及对应的特征向量。...但如果试图求下列矩阵的特征值，我们试图用特征多项式 P(x)=(x-1)(x-2)...(x-20) 求特征值是不明智的。...考察一个二阶矩阵A 矩阵有主特征值4与特征向量[1,1],以及另一个特征值-1与特征向量[-3,2]，这里主特征值是指矩阵的所有特征值中最大的一个。
Jacobi方法用于求实对称阵的全部特征值、特征向量。...对于实对称阵 A，必有正交阵 Q ，使 QT A Q = Λ 其中Λ是对角阵，其主对角线元素λii是A的特征值，正交阵Q的第i列是A的第i个特征值对应的特征向量。...实现对称矩阵对角化的方法有Housholder反射变换、Givens旋转变换等等。这里采用Givens旋转变换法。算法的核心部分如下 ?...这里的迭代误差是由上三角非主对角区域元素组成向量的范数，见下图红圈所标注的区域。 ? 【算例】求实对称矩阵A的全部特征值及对应的特征向量。 ? Fortran版程序输出结果： ?...与MATLAB自带的eig函数计算结果一致。 ?
正交矩阵是一类非常重要的矩阵，其具有许多特殊性质和应用。在特征值和特征向量的解析解法中，正交矩阵发挥着重要的作用。本文将详细介绍正交矩阵的定义、性质以及与特征值和特征向量相关的解析解法。...由于正交矩阵具有这些特殊的性质，它们在特征值和特征向量的解析解法中具有重要的作用。 在特征值和特征向量的解析解法中，我们可以利用正交矩阵的特性来简化计算。...这样的变换将原始矩阵A转化为对角矩阵D，同时保持了特征值和特征向量的关系。 通过这样的正交相似变换，我们可以方便地计 算矩阵A的特征值和特征向量。...最后，将这些特征值和特征向量组合起来，就得到了矩阵A的特征值和特征向量。 正交矩阵的特性使得特征值和特征向量的计算更加简单和有效。...正交矩阵在特征值和特征向量的解析解法中具有重要的地位和作用。它们的特殊性质使得特征值和特征向量的计算更加简化和有效，为我们理解矩阵的性质和应用提供了有力的工具。
今天和大家聊一个非常重要，在机器学习领域也广泛使用的一个概念——矩阵的特征值与特征向量。...如果能够找到的话，我们就称λ是矩阵A的特征值，非零向量x是矩阵A的特征向量。 几何意义 光从上面的式子其实我们很难看出来什么，但是我们可以结合矩阵变换的几何意义，就会明朗很多。...使用Python求解特征值和特征向量 在我们之前的文章当中，我们就介绍过了Python在计算科学上的强大能力，这一次在特征值和特征矩阵的求解上也不例外。...总结 关于矩阵的特征值和特征向量的介绍到这里就结束了，对于算法工程师而言，相比于具体怎么计算特征向量以及特征值。...理解清楚它们的概念和几何意义更加重要，因为这两者在机器学习的领域当中广泛使用，在许多降维算法当中，大量使用矩阵的特征值和特征向量。
特征值和特征向量对于矩阵 A ，其特征值Eigenvalue 和特征向量Eigenvector 满足：A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} 其中，\lambda\ 是特征值...矩阵特征值和特征向量的计算：A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} 实例演示：使用 NumPy 创建一个向量和一个矩阵，并进行基本的运算。...多元函数的梯度计算：f(x, y) = 2x^2 + 3y^3 实例演示：使用 SymPy 计算一个多变量函数的梯度和偏导数。...# 代码示例：计算梯度和偏导数import sympy as sp# 定义符号变量和多变量函数x, y = sp.symbols('x y')f = x**2 + y**3# 计算梯度gradient...实例演示：PCA 的步骤：计算协方差矩阵。计算协方差矩阵的特征值和特征向量。选择前 (k) 个特征值对应的特征向量构成变换矩阵。
] = \left[ \begin{array}{ccc} 0 &1 &2\\ 1 & \sigma_{y} & 1\\ 2 &1 &0 \end{array} \right] \] 并已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零矢量...求主应力，即为求应力张量的特征值。...调用 Python 下的 sympy 模块 from sympy import init_printing, Matrix init_printing(use_unicode=True) Matrix...对象表示应力矩阵 # 生成矩阵对象 sigma = Matrix([[0, 1, 2], [1, 1, 1], [2, 1, 0]]) sigma \[\left[\begin{matrix}0 & 1...() # 求特征值 \[\left \{ -2 : 1, \quad 0 : 1, \quad 3 : 1\right \}\] 冒号后的数字表示一重特征值 求特征矢量 调用 Matrix 对象的 eigenvects
学习者应具备 Python、NumPy、Matplotlib、SymPy 的基础知识（3 天的训练足够了）。...耐心学习完之后，你将更好地掌握线性代数的基本概念，接下来就可以学习特殊矩阵及其应用。...第十一讲：线性变换 第十二讲：特征值与特征向量 第十三讲：对角化 第十四讲：动力系统的应用 第十五讲：内积与正交 第十六讲：Gram-Schmidt 正交化过程与 QR 分解 第十七讲：对称矩阵与二次型...第十八讲：奇异值分解 第十九讲：多变量正态分布 打开对应的 notebook 后，学习者可以看到对线性代数基本概念的讲解，以及代码和图示等。...以第十二讲「特征值与特征向量」为例，下图展示了其几何直观图： ? 特征向量与特征值的几何图示。在线性变换前后方向相同的向量即为特征向量，其长度比为特征值。
创建矩阵 >>> from sympy import * >>> init_printing(use_unicode=True) # Matrix() 函数用于创建矩阵 >>> Matrix([[1,...-1], [3, 4], [0, 2]]) #嵌套的列表做参数 ⎡1 -1⎤ ⎢3 4 ⎥ ⎣0 2 ⎦ 创建列向量 >>> Matrix([1, 2, 3])#传入列表 ⎡1⎤ ⎢2⎥ ⎣3⎦ 矩阵的形状...，返回一个新的矩阵。...数代表1x1矩阵。各个参数代表的矩阵沿着主对角线从左上往右下排列。...，返回一个字典，字典的键是特征值，字典的值是代数重数 {-2: 1, 3: 1, 5: 2} >>> M.eigenvects()#求特征向量，返回一个列表，(eigenvalue:algebraic
因此，他们只能求取矩阵的某一个特征值，无法对矩阵的全部特征值进行求解。如果要对矩阵的全部特征值进行求解，上述方法就会失效。...但是，对于一些特殊的矩阵，即实对称矩阵，事实上我们是可以对其全部的特征值进行求解的，一种典型的方法就是Jacobi方法。...本质上来说，Jacobi方法依然还是进行迭代，不过其迭代的思路则是不断地对矩阵进行酉变换，使之收敛到一个对角矩阵上面，此时对角矩阵的各个对角元就是原矩阵的特征值。...,λn) 则 即为矩阵 的全部特征值。...因此，经过足够次数的迭代，可以将原始矩阵 变换成为一个特征值相同的近对角矩阵。 而为了进一步提升迭代的速度，可以优先选择绝对值最大的非对角元进行迭代消去。 2.
{2}}, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ 的斜面上的正应力 $\sigma_n$ 和剪应力 $\tau_n$。...} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 2\\ 1 & 2 & 0 \end{array} \right] \] 求解 导入sympy...模块 from sympy import * init_printing(use_unicode=True) Matrix对象表示应力矩阵 sigma = Matrix([[3, 1, 1], [1,...2, 0]]) sigma \[\left[\begin{matrix}3 & 1 & 1\\1 & 0 & 2\\1 & 2 & 0\end{matrix}\right]\] 1、求全部主应力 求特征值...冒号后的数字表示一重特征值 求特征矢量 调用 Matrix 对象的 eigenvects 方法 sigma.eigenvects() \[\left [ \left ( -2, \quad 1, \quad
对于这个方程有一个x可以解决的λ被称为特征值，相应的向量x被称为特征向量。特征值和相应的特征向量对编码了关于矩阵A的信息，因此在许多矩阵出现的应用中非常重要。...这个例程返回一对(v, B)，其中v是包含特征值的一维数组，B是其列是相应特征向量的二维数组： v, B = linalg.eig(A) 只有具有实数条目的矩阵才可能具有复特征值和特征向量。...找到特征值和特征向量的理论过程是首先通过解方程找到特征值 其中I是适当的单位矩阵，以找到值λ。左侧确定的方程是λ的多项式，称为A的特征多项式。...然后可以通过解决矩阵方程找到相应的特征向量 其中λ*[j]*是已经找到的特征值之一。实际上，这个过程有些低效，有替代策略可以更有效地计算特征值和特征向量。...有一种将特征值和特征值推广到非方阵的称为奇异值的方法。 稀疏矩阵 诸如前面讨论的那样的线性方程组在数学中非常常见，特别是在数学计算中。
文章目录 说明 特征分解定义 奇异值分解 在机器学习中的应用 参考资料 百度百科词条：特征分解，矩阵特征值，奇异值分解，PCA技术 https://zhuanlan.zhihu.com/p/29846048...，常能看到矩阵特征值分解（EDV）与奇异值分解（SVD）的身影，因此想反过来总结一下EDV与SVD在机器学习中的应用，主要是表格化数据建模以及nlp和cv领域。...特征分解定义 特征分解（Eigendecomposition），又称谱分解（Spectral decomposition）是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。...需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。 什么是特征值，特征向量？...设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。
pythonCopy codeimport sympy as sp 符号和表达式 SymPy的核心概念之一是符号（Symbol）。符号是表示数学变量的对象，它可以用于构建各种数学表达式。...= diff(expr, x) # 打印导数 print(derivative) SymPy的diff函数可以计算表达式关于指定变量的导数。...矩阵和线性代数 SymPy支持矩阵和线性代数操作。...以下是一个简单的矩阵乘法的例子： pythonCopy codefrom sympy import Matrix # 定义矩阵 A = Matrix([[1, 2], [3, 4]]) B = Matrix...([[5, 6], [7, 8]]) # 矩阵乘法 result = A * B # 打印结果 print(result) SymPy的Matrix类提供了矩阵的表示和基本操作。
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