当直接处理多项式而不是二进制数时，有没有更好的方法在有限域上做模运算？ - 腾讯云开发者社区

但是我们常见的实数域却无法直接在计算机中精确的保存，因此有限域这类能够支持四则运算而且能够用有限的编码精确保存的东西就非常有用了。...域域的定义在各种与离散数学相关的地方都能看到，看上去定义的十分啰嗦，说白了其实就是从有理数抽象出来的一种集合，能加能减能乘能除，满足各种四则运算律。普通的域没啥特别之处，感觉实际上用处不大。...常见的有限域当然就是模素数域了，比如模7域GF(7)=\{0,1,2,3,4,5,6\}，这类域能够生成阶数为指定素数的域。...映射方法对于GF(2^8)来说，一个8bit的二进制数就直接按照各个位上的值依次放在x^i的系数上(显然这个多项式各个位上的系数只能是0或1)。...比如5的二进制表示是101，那么他对应的多项式就是x^2+1。 多项式计算 多项式的计算是问题解决的核心，普通的多项式以及正常的四则运算显然不是一个域。

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技术解码 | RSFEC原理分析

m=1时就是PPT开头举的那个最简单的例子。前面介绍的矩阵运算要在计算机上落地实现，会碰到什么问题？运算是在实数域上进行的，加减乘除可能会溢出，浮点数的计算可能损失精度。...如果是普通意义上的四则运算，比如3*7=21会溢出，1/3也无法用uint3_t表示，而有限域上的“加减乘除”没这些问题，运算结果仍然在该域(0~7)上。...系数运算是模2运算的多项式运算，即系数在GF(2)={0, 1}中。比如x+x=2x，系数再模2，最终结果是0。...系数在GF(2)中，且多项式被定义为模一个3次多项式prime polynomial x^3+x+1 的多项式运算。...第二个是解决计算机上落地时碰到的溢出、浮点数精度问题，离散数学中的有限域恰好搭建了连续数学与计算机间的桥梁，利用有限域上的运算封闭性质落地。

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有限域的基本概念和质数、不可分解多项式的搜寻算法

例如GF（2^2）中的所有四个元素，可以用{0，1，x，x+1}四个多项式来表示，而且需要注意到这些多项式系数不是1就是0，这样多项式中的每一个degree项就对应了二进制的每一个bit的权重，而系数就对应了这个...这样就会出现x*(x+1)=x^2+x，这样的结果是超出了GF(2^2）的范围。为了使这个结果回到有限域的范围，需要再对这个算术积做一次模运算（modulo）。...模运算其实就是选择一个特殊的除数，和算术积做除法，然后取余数作为模运算的结果。做模运算的除数多项式称之为 reduction polynomial。...用这种方法搜寻不超过某个正整数N的所有质数的原理大概是这样子的： 1.先把这N个整数都列出来，首先把1划掉，因为1很特殊，但我们知道1不是质数。首先把这N-1个数都标记为质数（假设）。...记录更多的是为自己，而不是为了传播。常怀好奇之心，常怀感恩之心，与诸君共勉。

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QR 二维码纠错码（三）

第三步：理解有限域（The Galois Field）实际上，域是一个可以在其上进行加法、减法、乘法和除法运算而结果不会超出域的集合。...如有理数集合、实数集合、复数集合都是域，但整数集合不是（很明显，使用除法得到的分数或小数已超出整数集合）。如果域F只包含有限个元素，则称其为有限域。有限域中元素的个数称为有限域的阶。...当n=1时，存在有限域GF（p），也称为素数域。在密码学中，最常用的域是阶为p的素数域GF（p）。...百度百科-有限域 Reed-Solomon 纠错法除了用到多项式除法，还用到了有限域，其本质上是一个数字集合，其域中的运算结果仍然在该数字集合内。...第四步：理解有限域算法上文提到，GF(256) 包含了从 0 到 255 的数字，其中的运算本质上是循环的，也就是说如果运算结果超出 255，将会采用取模运算产生一个仍在域中的数字。

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高效幂模算法探究：Montgomery算法解析

，但在这之前模运算的方法已经深入到人类社会的方方面面，例如在时间上的运用，我国古时的《中国十二时辰图》就把一天划分为子、丑、寅、卯等十二个时辰，每个时辰相当于现在的两个小时，每过完十二个时辰又重新开始计算...在密码学中，模运算是RSA及迪菲-赫尔曼(D-H)等公开密钥机密系统的基础。在电脑代数多项式分解以及多项式最大公因式、线性代数等问题，所有已知有效率的解法用到了模运算。...当计算一些高次幂模时，普通计算器由于按顺序计算，在幂运算时产生大数导致后续无法进行，而加法链操作则由于分解了幂运算，使得每次的中间过程变量都限制在了模范围内，因此可以计算更加复杂的幂模运算。 ?...使用该思想有效的避免了在模运算中使用除法指令，但是当计算的数非常大时，这种运算将进行太多次循环减法，可以想象在该数达到某一个界限时使用减法进行模运算的资源消耗将和除法相差不大，当超越这个界限那么减法思想的求模运算几乎是毫无意义...所以根据机器对待这种算法的方式我们优化C语言代码，经过优化后我们将传递给我们的关键函数以m值(即R=2^m中的m)而不是直接将R值传递进去，那么内部我们的关于取模和除法函数全以&和>>运算取代，通过关键函数的反汇编可以与之前图

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Erasure-Code-擦除码-2-实现篇

其实我们平时熟知的四则运算, 并不是唯一的四则运算法则例如在有1种四则运算可能是: 5 + 5 = 3 而不是10, 5 * 3 = 1 而不是15....模7新世界中的减法然后我们再在模7的世界里定义减法. 减法的定义也很直接, 就是加法的逆运算了. 自然数里, -2 + 2 = 0, 我们称呼-2是2在加法上的逆元(通常称为相反数)....假设使用模6, 模6世界里面的2是6的一个因子, 它没有乘法逆元, 也即是说2 乘以 1~5任何一个数在模6的世界里都不是1....而计算的最终结果都是恢复已存在的值, 所以分数形式的多项式最终都会被消去. 但这种分数形式的表示方法在实际使用中会造成很大不便....16进制: 0x11d 而GF(2⁸)中的四则运算如下: 加法: a ⊕ b 对应多项式加法, 同时它表示的二进制数的加法对应: a ^ b 乘法: a ⊗ b 对应多项式的乘法(模P₈(x)): 总结一下

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密码学：群环域

但在实际中，这些协议不是定义在素数阶的群上，这需要通过余因子清除（cofactor clearing）来确保运算不是在群本身，而是在它的（大）素数阶子群上。...·(g^s)^{a_1} · g^{a_0} 可以在 g 的指数中“秘密”评估点 s 处计算任何度小于 m 的多项式 p，而不需要知道任何关于 s 的知识。...因为不存在自然数 n ∈ N 使得 \sum_{j=0}^n1 = 0 位于实数集合中，所以域 Q 的特征是 char(Q) = 0 素数域 Preime Fields 如果模是一个素数，余数类 Z_n...素数域上，x 的加法逆是 -x = p - x mod p，x != 0 时，乘法逆为 x^{-1} = x^{p-2} 。最小的域是 $F_2$，特征为 2，它是个素数域。...当将 F_{p^m} 中的每个元素的度都限制为 0 时， F_{p^m} 就是 F_p ，所以 F_p 是 F_{p^m} 的子域（subfield）。

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【愚公系列】软考高级-架构设计师 005-校验码

这个新数据块通过同样的生成多项式进行模2除法时，如果没有错误，最终的余数应为0（或特定的非零值，取决于CRC算法的具体设计）。 2.1 加法模2加法是指对于两个二进制数的对应位进行相加，结果取模2。...0×0＝0 0×1＝0 1×0＝0 1×1＝1 多位二进制模2乘法类似于普通意义上的多位二进制乘法不同之处在于后者累加中间结果（或称部分积）时采用带进位的加法模2乘法对中间结果的处理方式采用的是模...模2除法具有下列三个性质： 1、当最后余数的位数小于除数位数时，除法停止。 2、当被除数的位数小于除数位数时，则商数为0，被除数就是余数。...这个过程包括将信息表示为多项式、附加额外的零以匹配生成多项式的阶数、执行模2除法，最后将得到的余数（CRC码）附加到原始信息上。...0所以有误码 3、在（）校验方法中，采用模2运算来构造校验位。

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基于FPGA的CRC校验码生成器设计

四、关于生成多项式g(x) 在产生CRC校验码时，要用到除法运算，一般来说，这是比较麻烦的，因此，把二进制信息预先转换成一定的格式，这就是CRC的多项式表示。...0×0＝0 0×1＝0 1×0＝0 1×1＝1 多位二进制模2乘法类似于普通意义上的多位二进制乘法，不同之处在于后者累加中间结果时采用带进位的加法，而模...4）除法运算： 0÷1＝0 1÷1＝1 多位二进制模2除法也类似于普通意义上的多位二进制除法，但是在如何确定商的问题上两者采用不同的规则。...实际上，在CRC运算中，总能保证除数的首位为1，则模2除法运算的商是由余数首位与除数首位的模2除法运算结果确定。因为除数首位总是1，按照模2除法运算法则，那么余数首位是1就商1，是0就商0。...《FPGA设计中，产生LFSR伪随机数》中关于该电路特性的介绍，如果你不需要了解原理，直接略过即可；有所改进的地方就是，可以将伪随机数发生器看作一个Moore型状态机，它的输出只与当前的状态有关；而此时利用

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CRC校验算法详解及代码实现

当然，这个附加的数不是随意的，它要使所生成的新帧能与发送端和接收端共同选定的某个特定数值整除（注意，这里不是直接采用二进制除法，而是采用 “模2除法”）。...因为在发送端发送数据帧之前就已通过附加一个数，做了“去余”处理（也就已经能整除了），所以结果应该是没有余数。如果有余数，则表明该帧在传输过程中出现了差错。...具体来说，CRC校验原理就是以下几个步骤：先选择（可以随机选择，也可按标准选择，具体在后面介绍）一个用于在接收端进行校验时，对接收的帧进行“模2除法”运算的除数（是二进制比较特串，通常是以多项方式表示...，所以CRC又称多项式编码方法，这个多项式也称之为“生成多项式”）。...理论上，使用上述CRC校验步骤的第二步计算CRC的时候，需要将所有的二进制序列（包括后加的k-1个0）作为一个整体按照第一章节中模2除法的方法，除以选定的除数。

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基于FPGA 的CRC校验码生成器

4、关于生成多项式g(x) 在产生CRC校验码时，要用到除法运算，一般来说，这是比较麻烦的，因此，把二进制信息预先转换成一定的格式，这就是CRC的多项式表示。...0×0＝0 0×1＝0 1×0＝0 1×1＝1 多位二进制模2乘法类似于普通意义上的多位二进制乘法，不同之处在于后者累加中间结果时采用带进位的加法，而模...4）除法运算： 0÷1＝0 1÷1＝1 多位二进制模2除法也类似于普通意义上的多位二进制除法，但是在如何确定商的问题上两者采用不同的规则。...实际上，在CRC运算中，总能保证除数的首位为1，则模2除法运算的商是由余数首位与除数首位的模2除法运算结果确定。因为除数首位总是1，按照模2 除法运算法则，那么余数首位是1就商1，是0就商0。...《FPGA产生基于LFSR的伪随机数》中关于该电路特性的介绍，如果您不需要了解原理，直接略过即可;有所改进的地方就是，可以将伪随机数发生器看作一个Moore型状态机，它的输出只与当前的状态有关；而此时利用

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系统架构师（1）计算机组成与结构

指令操作数的寻址方式立即寻址方式指令的地址码字段指出的不是地址，而是操作数本身。直接寻址方式在指令的地址字段中直接指出操作数在主存中的地址。...3时,相当于3条流水线并行执行,即取指、分析、执行每个阶段都同时处理3条指令, 因此,当题目提到度的概念时，计算时需要将:指令条数=指令条数/度。...6.5.4.Cache命中率当CPU所访问的数据在cache中时，称为命中，直接从Cache中读取数据，否则没有命中，需要从主存中读取所需的数据。...，该校验方法中，使用多项式除法（模2 除法）运算后的余数为校验字段。...2进制位数-1个0） 2.1100000做模2除法运算，被除数为多项式1011，求得校验码（余数）为010 3.CRC码为信息码+校验码即1100010 计算机体系结构习题 Flynn分类法根据计算机在执行程序的过程中

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快速傅里叶变换(FFT)详解

平行四边形定则：AB+AD=AC 复数定义设a,b为实数，i^2=-1，形如a+bi的数叫负数，其中i被称为虚数单位，复数域是目前已知最大的域在复平面中，x代表实数，y轴（除原点外的点）代表虚数，...运算法则加法：因为在复平面中，复数可以被表示为向量，因此复数的加法与向量的加法相同，都满足平行四边形定则（就是上面那个）乘法：几何定义：复数相乘，模长相乘，幅角相加代数定义： =...而缩小后的问题仍然满足原问题的性质，所以我们可以递归的去搞这件事情！直到多项式仅剩一个常数项，这时候我们直接返回就好啦时间复杂度：不难看出FFT是类似于线段树一样的分治算法。...观察一下原序列和反转后的序列？聪明的你有没有看出什么显而易见的性质？没错！我们需要求的序列实际是原序列下标的二进制反转！...i 与 i/2 的关系是： i可以看做是i/2的二进制上的每一位左移一位得来 // 那么在反转后的数组中就需要右移一位，同时特殊处理一下奇数 fast_fast_tle(a,1);

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CRC码计算及校验原理的最通俗诠释

当然，这个附加的数不是随意的，它要使所生成的新帧能与发送端和接收端共同选定的某个特定数整除（注意，这里不是直接采用二进制除法，而是采用一种称之为“模2除法”）。...到达接收端后，再把接收到的新帧除以（同样采用“模2除法”）这个选定的除数。因为在发送端发送数据帧之前就已通过附加一个数，做了“去余”处理（也就已经能整除了），所以结果应该是没有余数。...图5-9 “模2除法”和“模2乘法”示例具体来说，CRC校验原理就是以下几个步骤：（1）先选择（可以随机选择，也可按标准选择，具体在后面介绍）一个用于在接收端进行校验时，对接收的帧进行除法运算的除数...（是二进制比较特串，通常是以多项方式表示，所以CRC又称多项式编码方法，这个多项式也称之为“生成多项式”）。...（4）当以上新帧到达接收端后，接收端会把这个新帧再用上面选定的除数11001以“模2除法”方式去除，验证余数是否为0，如果为0，则证明该帧数据在传输过程中没有出现差错，否则出现了差错。

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【愚公系列】软考中级-软件设计师 005-计算机系统知识（校验码）

2.模2运算模2运算是一个对二进制数进行运算的操作，它的原理是将两个二进制数按位进行异或运算。具体来说，对于两个二进制数a和b，模2运算可以表示为a ⊕ b，其中⊕表示异或操作。...在模2运算中，每一位的结果只有两种可能：0和1。如果两个二进制数的对应位相同，那么结果为0；如果对应位不同，结果为1。模2运算常用于校验和计算、差错检测和纠错编码等领域。...例如，对于两个二进制数1010和1101，进行模2运算的结果为0111。模2运算是一种二进制算法，CRC校验技术中的核心部分。本质是异或运算，且不考虑进位和借位。...0×0＝0 0×1＝0 1×0＝0 1×1＝1 多位二进制模2乘法类似于普通意义上的多位二进制乘法不同之处在于后者累加中间结果（或称部分积）时采用带进位的加法模2乘法对中间结果的处理方式采用的是模...模2除法具有下列三个性质： 1、当最后余数的位数小于除数位数时，除法停止。 2、当被除数的位数小于除数位数时，则商数为0，被除数就是余数。

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详解零知识证明的四大基础技术，如何与以太坊发生反应

同胚指连续变形下的不变性，同态指映射下代数运算关系的保持性。我们使用一个拥有一些同态属性的（并不是完全同态的，至少在实际使用中有一些不是同态的）编码 / 加密函数 E。...RSA 和零知识证明现在让我们快速回想一下 RSA 是如何工作的，先不管那些琐碎的细节。想想看，我们经常用一个数字对一些数字取模，而并不是所有的整数。...这就是例如『算法』的来源 -- 这就是一个当输入值大小为 n 时，至多需要个步数的算法。这里的『程序』和『算法』广义上是相同的。...验证者使用一些特定的加密方法 E 并在 CRS 中如何使用零知识来简单估计一个多项式 首先让我们先来看一种简单的情况，即一个多项式在私密点上的加密估值，而不是完整的 QSP 问题。...我们现在已经在对 EVM 添加一些新的功能和限制了，例如更好的支持及时编译以及在现存实现下最小改动的解释器的实现。当然也不排除直接用 eWASM 来替换 EVM。

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计算机组成原理 --- 数据信息的表示

将移码作为浮点数的阶码具有下列优点： 1 ）移码通过偏移的方法把真值映射到正数域，这样子可以直接按照无符号数规则比较两个移码表示数据的大小，便于浮点数的比较。...1，阶码的偏移值才是 127 而不是 128....码距是编码体质里的一个重要概念，通过上面的例题不难看出，通过增加码距就能把一个不具备检错的编码变成具有检错功能的编码。校验码就是利用这一原理，在正常编码的基础上，通过增加一些附加的校验码而形成。...模2运算 1）模2加减运算就是按位加减运算，即不带进位和借位的二进制加法和减法运算，模2加和模2减运算结果相同，运算规则如下： ?...因模2加，R（x） + R（x） = 0，所以：当不出错时，CRC码一定能被G（x）除尽。下面我们来看一个例题： ? 接受方利用G（x）对收到的编码多项式做模2除运算。 ?

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FEC 的介绍

：a+0 = a 和 a·1 = 1（注：这里的0,1 不是自然数的0,1，代表着域上的加法单位元素和乘法单位元素） 6、每个域上的元素都存在其负元和逆元： a+(-a) = 0, a·(a -1) =...1 当域中的元素是有限个的时候，这个域就是有限域，而伽罗华则提出了一种有限域的构造方法，叫做伽罗华域GF(2w)。...4 本原多项式&&伽罗华域的构造方法&&生成元由于有限域具有如上非常棒的一些特性，因此可以被广泛的应用于通信、加密、随机序列生成等各个领域，所以如何生成有限域则成了一个广泛研究的课题，而本原多项式则是能够生成整个伽罗华域的一个关键要素...乘法变成了多项式的乘法，一个二进制的多项式乘法模以一个次数为n的本原多项式。...有了矩阵方程做基础，有了伽罗华域提供了有限域上的加减乘除，有了生成元简化多项式的计算，万事均备，只欠东风，只需要选择一个合适的矩阵就可以了。

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详解Winograd变换矩阵生成原理

（操作上更像Correlation而不是Convolution）；通俗来说两个离散序列在做Convolution操作的时候，首先需要将其中一个序列做镜像翻转，然后两个序列相向移动，从开始第一个元素重合到最后一个元素重合为止...说明了对任何整数、和，关于未知数和的方程：有整数解时当且仅当是和的最大公约数的倍数，也就是要求。...这也就说明，在“模105同余”的意义下，之前通过分解问题、组合解答的方法所得到的恰恰就是唯一解把这个问题推广到一般情况，假设整数两两互素，则对于任意的整数，同余方程组都存在整数解...类似的中国剩余定理同样可以应用到多项式上，下面参考[28]给出多项式版本的中国剩余定理的定义：假设存在理数系数的多项式 它们之间两两互素，则对于任意的有理数系数的多项式 ，同余方程组都存在有理数系数的多项式解...[17] 多项式长除法 [18] 用辗转相除法求多项式的最大公因式 [19] 维基百科--裴蜀定理 [20] 数论小结 [21] 扩展欧几里得算法有限域上多项式求逆 [22] 维基百科--模逆元 [23

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Why and How zk-SNARK Works: Definitive Explanation（1）

只要将密文一直除以 5，直到结果为 1，那么做除法的次数也就是被加密值的数。可以采用模运算进行解决。强同态加密：，是要加密的值。不同指数下运算得到了同样的结果：。...事实上，如果模取得相当大，从运算结果倒推指数运算就不可行了；现代密码学很大程度上就是基于这个问题的“困难”。...加密多项式：配合这些工具，我们现在就可以在加密的随机数 x 上做运算并相应地修改零知识协议了。我们来看一下如何计算多项式 p(x) = x³ – 3x² + 2x。...通过Knowledge-of-Exponent Assumption (简称 KEA)方法来实现： a）Alice 有一个值 a，她想要 Bob 对其进行任意指数的求幂（这里 a 是一个有限域群的生成器...verifier 校验：现在我们就可以确保 prover 是用了 verifier 提供的多项式而不是其它值做计算的了，因为别的方法不能够保持 α-变换。

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伽罗华域性质简析

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密码学：群环域

【愚公系列】软考高级-架构设计师 005-校验码

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