所以总结一下的话，可以理解为它不断创造条件得到一个包含所有X端点的匹配，如果一开始没有找到，就先从图中找一个没有饱和的点，把它的另一个点加进来，然后看还有没有饱和的可能性），没有就把那条路的相邻的边加进来...下面有个例子用的就是这个方法。 “图G的平凡标号”那个图上X集中的各顶点上的数字5,2,4,1就是顶点标号，Y集中的顶点标号全为0。...因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和（即不是最优匹配）。...因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。...如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。 我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。
10.1 图与模型 这里讨论的都是有限图（finite graph）。 本文适用于bupt的离散数学，或了解学习图论相关知识。 ---- 在代码框中的内容是我认为不太重要的内容。...---- 定义subgraph（子图）这一概念：对(V,E)的子图(W,F)，其中W是V的子集，F是E的子集。直观来说对一个图去掉某些边或者点得到的都是它的子图。...对于一个连通的、顶点数至少=2的多重图，它有欧拉回路当且仅当每个顶点的度都为偶数。而这样的多重图有欧拉道路而非欧拉回路则当且仅当它有两个度为奇数的顶点。...解法比较直观，即找到权值最小的边的两个顶点出发，每一步都是贪心取最小权值直到走完这个图并且回到顶点。将这两个顶点的路径对比，权值较小的那一个就是权值和最小的哈密顿回路。...如图所示是很典型的例子，其中环是一条边，故仅经过一次即可；左侧有一条单边，则应该经过后直接返回。
无向图：若图的每条边都没有方向，则称该图为无向图。 有向图：若图的每条边都有方向，则称该图为有向图。 顶点的度： 对于无向图，顶点的度表示以该顶点作为一个端点的边的数目。...邻接表：图的一种链式存储结构：对于图 G 中每个顶点 Vi，把所有邻接于 Vi 的顶点 Vj 链成一个单链表，这个单链表称为顶点 Vi 的邻接表。...路径长度：一条路径上经过的边的数量。 环：某条路径包含相同的顶点两次或两次以上。 有向无环图：没有环的有向图，简称DAG。...解题思路： 可以用dfs遍历每个节点； 遍历时，用map存储新图结点、旧图结点的映射关系； 之所以要存储映射关系，是因为：图中同一个结点只能出现一次，该结点的相关边都是对它的引用。...给定数字 n 和一个无向边 edges 列表（每一个边都是一对标签）。 你可以假设没有重复的边会出现在 edges 中。
一个有向图（或有向图）是一组顶点和一组有向边，每条边连接一个有序对的顶点。我们说一条有向边从该对中的第一个顶点指向该对中的第二个顶点。对于 V 个顶点的图，我们使用名称 0 到 V-1 来表示顶点。...一条路径或循环的长度是指它的边数。 我们说一个顶点 w 是从顶点 v 可达的，如果存在一条从 v 到 w 的有向路径。...在 G 中找到一个完美匹配；将匹配中的边从双分区的一侧定向到另一侧；将剩余的边定向到相反方向；在不在完美匹配中的边中，返回那些端点在不同强连通分量中的边。 有向图的传递闭包。...对于每个作业，从其起始顶点到其结束顶点添加一条权重等于其持续时间的边。对于每个前置约束 v->w，从对应于 v 的结束顶点到对应于 w 的开始顶点添加一条零权重边。...给定一个加权线图（无向连通图，所有顶点的度为 2，除了两个端点的度为 1），设计一个算法，在线性时间内预处理图，并能在常数时间内返回任意两个顶点之间最短路径的距离。 部分解决方案。
下面介绍一些图的基本定义： ①邻接点： 对于无向图，每条边的两个端点互为邻接点； 对于有向图， 有向边的终点是 起点的 邻接点，反之不成立！...②弧头和弧尾： 有向边也被称为 弧 ，无箭头一端的顶点通常被称为"初始点"或"弧尾"，箭头指向的顶点被称为"终端点"或"弧头"。...重要结论： 无论是有向图还是无向图，顶点数n、边数e、和度数之间有关系：所有顶点的度数之和 等于 边数的2倍 ④路径和回路： 从一个顶点到另一顶点途径的所有顶点组成的序列（包含这两个顶点），称为一条路径...③连通图 在无向图中，若每一对顶点 u和v之间都能找到一条路径，则此图称为 连通图； 若无向图不是连通图，但图中存储某个子图符合连通图的性质，则称该子图为连通分量。...连通图中的生成树必须满足以下 2 个条件： ●包含连通图中所有的顶点； ●任意两顶点之间有且仅有一条通路； 因此，连通图的生成树具有这样的特征，即生成树中边的数量 = 顶点数 - 1。
子图（Sub-Graph） - 当图 G'=(V',E') 其中 V‘包含于 V，E’包含于 E，则 G' 称作图 G=(V,E) 的子图。每个图都是本身的子图。...导出子图（Induced Subgraph） - 以图 G 的顶点集 V 的非空子集 V1 为顶点集，以两端点均在 V1 中的全体边为边集的 G 的子图，称为 V1 导出的导出子图；以图 G 的边集 E...入度（In-degree）和出度（Out-degree） - 对于有向图来说，一个顶点的度可细分为入度和出度。...路径（Path） - 从 u 到 v 的一条路径是指一个序列 v0,e1,v1,e2,v2,...ek,vk，其中 ei 的顶点为 vi 及 vi - 1，k 称作路径的长度。...如果它的起止顶点相同，该路径是 “闭” 的，反之，则称为 “开” 的。一条路径称为一简单路径 (simple path)，如果路径中除起始与终止顶点可以重合外，所有顶点两两不等。
若能将无向图G=(V,E)的顶点V划分为两个交集为空的顶点集，并且任意边的两个端点都分属于两个集合，则称图G为一个为二分图。...可以看到，在上面的二分图中，每条边的端点都分别处于点集X和Y中。 2. 匹配 图G的一个匹配是由一组没有公共端点的不是圈的边构成的集合。...对于一般图来说，最大独立集是一个NP完全问题，对于二分图来说：最大独立集=|V|-二分图的最大匹配数。 8....P的路径长度一定为奇数，第一条边和最后一条边都是未匹配的边（根据要途经已匹配的边和要经过另一个未匹配点，这个结论可以理解成第一个点和最后一个点都是未匹配点，可以在Fig.3上的增广路观察到） 2).对增广路径编号...最小点覆盖问题 另外一个关于二分图的问题是求最小点覆盖：我们想找到最少的一些点，使二分图所有的边都至少有一个端点在这些点之中。倒过来说就是，删除包含这些点的边，可以删掉所有边。
给定一个二分图G(无向图)，在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配. ...原理类似于DAG的最小路径覆盖的解释，因为每个节点都能找到一个后继节点继续往下一直走，所以必然原来有向图存在环。...有向图的最优有向环覆盖：在有向图中找到1个或多个点不想交的环，这些环正好覆盖了有向图的所有节点且这些环上边的权值最大。...顶点覆盖：GG 中的任意边都有至少一个端点属于SS 的顶点集合S⊂VS⊂V 。 相应的也有：最大匹配，最小边覆盖，最大独立集，最小顶点覆盖。...首先要把DAG中的每个点在二分图的左右点集都保存一遍，然后对于DAG中的边i->j， 那么就在二分图中添加边左i->右j。 之后求该二分图的最大匹配边数即可。
• 我们可以找到这些差异边中的一条，使得在 T_1 中用 T_2 中的一条边替换它，会导致一个环的形成。...反向证明（举出反例）： 考虑一个简单的图，它由三个顶点 A, B, C 和三条边 (A, B, 1), (B, C, 1), (A, C, 2) 组成，其中每条边后面的数字表示其权重。...这是因为最小生成树的定义就是连接所有顶点的权重最小的边的集合。 证明：假设我们有一个图G，对于每个切割都存在一条横跨该切割的唯一的轻量级边。我们可以按照以下步骤构建最小生成树： 1....反例：现在我们来举一个反例来证明逆论断不成立，即存在一个图，它有不止一棵最小生成树，但每个切割至少有一条轻量级边。...考虑一个图，它由四个顶点 ( A, B, C, D ) 组成，边 ( AB ) 和 ( CD ) 的权重为1，边 ( AC ) 和 ( BD ) 的权重为2。
图2.1 3 最大匹配 最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 3.1是一个最大匹配，它包含4条匹配边。 ?...图3.1 4 完美匹配 完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。...完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突），但并非每个图都存在完美匹配。...增广路径性质： （1）P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M，因为两个端点分属两个集合，且未匹配。 （2）P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’。 ...（2）从顶点b出发，第一非匹配边为，到达顶点e，选择匹配边，到达a，选择非匹配边，g为非匹配点，找到一条增广路径。 ? （3）交换增广路径中的匹配边与非匹配边，得到如下匹配。 ?
一个欧拉回路是图中一条经过每条边恰好一次的回路，如果图是连通的并且每个顶点的度数都是偶数，则这样的回路存在。 欧拉回路算法（O(V+E) 时间复杂度） 1....检查图的连通性：使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）确保图是连通的。 2. 检查每个顶点的度数：如果所有顶点的度数都是偶数，则存在欧拉回路。 3....对于给定的图G=(V,E)，要找到一个正反向通过每条边恰好一次的路径，我们可以通过以下步骤来实现： 1. 检查图是否适合：首先检查图是否是连通的，并且所有顶点的度数都是奇数。...欧拉路径是一条路径，它通过图中每条边恰好一次，如果这个路径是闭合的，即起点和终点是同一个顶点，则称为欧拉回路。对于无向图来说，要存在欧拉路径或回路，必须满足以下条件： 1....对于每条边，如果它还没有被访问过，就从这条边的另一个顶点继续DFS。 4. 当我们回到起点时，就找到了一条欧拉回路；如果我们到达了一个之前访问过的顶点（但不是起点），就找到了一条欧拉路径。
含有n个顶点的有向完全图有n(n-1)条有向边。 2、连通、连通图和连通分量 在无向图中，若从顶点v到顶点W有路径存在，则称v和w是连通的。 若图G中任意两个顶点都是连通的，则称图G为连通图。...4、生成树 连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。若图中顶点数为n，则它的生成树含有n-1条边。对于生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路。...5、顶点的度、入度和出度 图中每个顶点的度定义为该顶点一个端点的边的数目。 对于无向图，顶点v的度是指衣服与该顶点的边的条目，记为TD(v). 在具有n个顶点e条边的无向图中，有连加TD(v)=2e。...这是因为每条有向边都有一个起点和终点。 6、路径、路径长度和回路 顶点Vp到顶点Vq之间的一条路径是指顶点序列Vp，Vi1，Vi2，……，Vim，Vq。路径上边的数目称为路径长度。...第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环。如果一个图有n个顶点，并且有大于n-1条边，则此图一定有环。 7、简单路径、简单回路 在路径序列中，顶点不重复出现的路径称为简单路径。
就是顶点之间的连线。 路径上所包含的边数m-1为该路径的长度。如图中V1到V3之间的路径长度为2。 有向图的路径是有向的，其中每一条边均为有向边。 带权图的路径长度为所有边上的权值之和。...链表的节点被称为边节点，表示依附于对应的顶点的一条边。 adjvex域存放该边的另一端点在顶点数组的下标。 weight存放边的权重，对于无权重的图，此项可以忽略。...); // 找到顶点v的第一个邻接点，如果无邻接点，返回-1，如果有则返回该顶点在vNodes中的下标 while (w !...，这里是整型（也可定义为其他类型） ArcNode firstarc; // 指向单链表，即指向该顶点的第一条边 } 上述代码中定义了一个迷宫类Maze，它包含三个成员变量：数组vNodes用来保存图结构的顶点信息...res中记录下来的行走路径打印出来，然后返回true，说明已经找到了一条通路，可以提前结束遍历。
方向起始的顶点称为起点或尾（弧尾）。方向指向的顶点称为终点或头（弧头）。 如果图中的边没有方向性，即每条边都是顶点的无序偶对，称之为无向图（undirected graph）。 ?...对于有向图路径也是有向的，路径的方向只能是从起点到终点，且与它经过的每一条边的方向一致。 路径上的边或弧的数目称之为该路径的长度。 除始点和终点外，其他各顶点均不同的路径称之为简单路径。...2>分类 在无向图的邻接表中，顶点的每一个边表结点对应于与顶点相关联的一条边。 在有向图的邻接表中，顶点的每一个边表结点对应于以顶点为始点的一条弧，因此也称有向图的邻接表的边表为出边表。...； （4）对于无向图，一个非零元素表示与该行顶点相邻接的另一个顶点； （5）对于有向图，非零元素则表示以该行顶点为起点的一条边的终点。...如果(u,v)是G中所有的一个端点在U（即u∈U）里，另一个端点不在U（即v∈V-U）里的边中，具有最小权值的一条边，则一定存在G的一棵最小生成树包括此边（u,v）。这个性质称为MST性质。
理论判断 如果某个图为二分图，那么它至少有两个顶点，且其所有回路的长度均为偶数，任何无回路的的图均是二分图（树就是二分图）。 个人理解：两个顶点很好理解，毕竟一个点也不能配对。...这棵树的根是一个左部节点，所有叶子节点也都是左部节点（因为最终匹配失败了），并且树上第1、2、3…层都是非匹配边，第2、4、6…为匹配边。 顶标：全称“顶点标记值”。...求出一个最小的点集S，使得图中任意一条边都有至少一个端点属于S。...每个匹配边左右两点同时被标记或同时未被标记（从图中可以看出，匹配边可以分为两类，一类匹配边的右部点存在一条边连向左部的一个非匹配点，那么肯定两个点都被标记，还有一种就都不被标记，看图找一找就知道了） 二分图的边可以分为匹配边和非匹配边两种...现在要你设计多条路线覆盖所有的点,每条路线都是一个环,并且每个点仅能被一条路线覆盖且只经过一次(终始点除外)。
由于(u, v)属于最小生成树T，那么它必然是连接集合S和集合V-S的边中权重最小的一条。这是因为在构造最小生成树的过程中，每次添加的都是连接已访问节点集合和未访问节点集合之间权重最小的边。...最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）：对于一个连通加权图G，其最小生成树是一棵包含图G所有顶点的树，且树中的边权重和最小。 2....横跨这个切割的边是指一个端点在S中，另一个端点在V-S中的边。 2. 轻量级边：在所有横跨某个切割的边中，权重最小的边称为轻量级边。 证明：假设图G的一条边(u, v)包含在图G的某棵最小生成树T中。...假设：假设存在一个图G，它的一条边(u, v)包含在G的某棵最小生成树T中，但这条边不是横跨图G的某个切割的轻量级边。 2....最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）：对于一个连通无向图G，其最小生成树是一棵包含所有顶点的树，且边的权值之和最小。 2.
那么存在一个边(u, v)属于G'但不属于T'，且该边的权重小于或等于T'中任意一条边的权重。 2. 因为T'是连通的，所以我们可以找到一个从u到v的路径P，使得路径上的每一条边都属于T'。 3....最小生成树：对于一个连通图 ( G = (V, E) )，它的最小生成树是一个子图，该子图是树且包含 ( V ) 中的所有顶点，并且所有边的权值之和最小。 2....最小生成树：对于一个连通图 ( G = (V, E) )，它的最小生成树是一个子图，该子图是树且包含 ( V ) 中的所有顶点，并且所有边的权值之和最小。 2....T'的连通性：由于T'是连通的，这意味着对于V'中的任意两个顶点，都存在一条路径连接它们，且这条路径完全由T'中的边构成。 5....} } 这段代码定义了一个简单的图，并使用Kruskal算法找到了它的最小生成树。
但也可以用G来泛指图 V(G)和E(G)分别表示G的顶点集和边集,|V(G)|和|E(G)|分别表示G的顶点数和边数 对于有n个顶点的图G，我们称顶点数为G的阶,G为n阶图 对于E为空集的图，我们称它为零图...如果该图只有一个顶点，则称它为1阶零图，也称为平凡图 环 在无向图G中，如果存在e={v1,v2}，则称v1和v2相邻，且v1,v2是e的端点。如果v1=v2，则称e为环。...中没有回路，但是在任意两个不同的顶点之间加一条边后所得的图中有唯一的一个含新边的圈 森林 如果一个无向图G的所有连通分支都是树，则称G为森林。...v>，则称u为v的父亲，v为u的儿子，如果u可达v(u≠v)，则称u为v的祖先，v为u的后代 每个顶点都是一个分支点，如果每个分支点至多有n个儿子，则称这个根树为n叉树 二叉树 二叉树的概念 二叉树是根树中的一个重要结构...，它的每个顶点都至多有2个子树，且有左右之分，称为左子树和右子树 二叉树的遍历 按照一定的规则和顺序走遍二叉树的所有结点，且每个结点只被访问一次，称为遍历
就是一个带边值的图中从某一个顶点到另外一个顶点的最短路径。 官方定义：对于内网图而言，最短路径是指两顶点之间经过的边上权值之和最小的路径。 并且我们称路径上的第一个顶点为源点，最后一个顶点为终点。...网图是两顶点经过的边上权值之和最少的路径。 非网图是两顶点之间经过的边数最少的路径。 我们把路径起始的第一个顶点称为源点，最后一个顶点称为终点。...它并不是一下子就求出了V0到V8的最短路径，而是一步步求出它们之间顶点的最短路径，过程中都是基于已经求出的最短路径的基础上，求得更远顶点的最短路径，最终得到你要的结果。...解决的问题大多是这样的：有一个无向图G(V,E)，边E[i]的权值为W[i]，找出V[0]到V[i]的最短路径。 2.迪杰斯特拉算法的原理 ?...(附上小图一张) ①首先，引入一个辅助向量D，它的每个分量D[i]表示当前所找到的 Dijkstra算法运行动画过程 Dijkstra算法运行动画过程 从起始点 （即源点 ）到其它每个顶点 的长度。
二分图 二分图是这样的一个图：其顶点可以划分为两个集合 X 和 Y , 任何一条边所关联的两个顶点中，恰好有一个属于集合 X , 另一个属于 Y。同一个集合内的顶点必没有边相连。...如果一个图是二分图，那么它一定没有 奇环 (边为奇数的环路)，如果一个图没有 奇环 , 那么它就一定是 二分图。...二分图的匹配 给定一个二分图 G , 在 G 的一个子图 M 中，M 的边集 {E} 中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称 M 是一个匹配。...翻译成人话就是 在图 G 中找到一些边构成一个集合，这个集合中的任意一条边所连接的两个顶点都只属于这条边的连个端点，即每条边的顶点都不与其他边共用。...如果始终没有找到未匹配点（找不到最后一条非匹配边）, 最后会扩展出一棵匈牙利树（root 是未匹配点，叶子节点都是匹配点），从 root 到 leaf 的路径都不是增广路。
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