第三章，微积分和微分方程，介绍了微积分的主题，如微分和积分，以及一些更高级的主题，如常微分方程和偏微分方程。...按照以下步骤来看看它是如何完成的： 一旦导入了 SymPy，我们就定义将出现在我们的表达式中的符号。这是一个没有特定值的 Python 对象，就像数学变量一样，但可以在公式和表达式中表示许多不同的值。...我们使用sympy中的diff例程来完成这个操作，它对指定的符号进行符号表达式微分，并返回导数的表达式。...有许多算法可以找到这种形式的方程的解。在这个配方中，我们将使用牛顿-拉弗森和弦截法来解决形式为f(x) = 0 的方程。...我们将左侧存储在一个变量中，以便在步骤 4中使用，并使用断言来检查这个不等式是否成立： r = alpha*k / h**2 assert r < 0.5, f"Must have r < 0.5, currently
V是DxM矩阵，其中M是要评估的项目数。因此，NxM评级矩阵R可以通过以下方式近似： ? 公式1：R表达式 从现在开始，我们的工作是找到UT和V，它们将反过来成为模型的参数。...如前所述，我们的模型参数将是U和V，而R将是我们的数据集。经过培训后，我们将得到一个修订的R *矩阵，该矩阵还将包含对用户项目单元格最初在R中为空的评分。我们将使用此修订的评分矩阵进行预测。...其中σ是零均值球形高斯分布的标准偏差。然后，通过替换等式2中的这些表达式，我们将得到： ? 由于U和V矩阵彼此独立（用户和项独立发生），因此该表达式也可以这样写： ?...一旦找到最佳值，就可以使用方程式7获得log-MAP的值（最大后验值）。正如我们在Python实现中所看到的那样，我们可以使用该值来监控训练收敛 。...它利用具有相似首选项的用户提供的数据向特定用户提供推荐。它也被称为低秩矩阵分解方法，因为它使用低秩矩阵来估计等级R矩阵，然后进行有用的预测。
这系列的第一篇文章的目标是为你提供必要的数学基础，以便在即将发表的文章中解决AI这个子领域中最有希望的领域。 ? 图4.AI主体学习了如何玩Atari的突破。 1....这里R是主体希望在状态s（等式4）中获得的奖励。 该过程的动机是，对于旨在实现某个目标的AI主体，例如赢得国际象棋比赛，某些状态（比赛配置）在策略和赢得比赛的潜力方面比其他状态更有希望。 ?...图7 动作-价值函数的图示 记住：动作-价值函数告诉我们在特定状态下采取特定行动有多好。 ? 等式13 行动作-价值函数 以前，状态-价值函数v（s）可以分解为以下形式： ?...等式16 状态-价值函数作为行动-价值的加权和 ? 现在让我们考虑图9中的相反情况。二叉树的根现在是一个我们选择采取特定动作的状态。 请记住，马尔可夫过程是随机的。...图10 q（s，a）的递归行为的可视化 3.5 最优策略 深度强化学习中最重要的主题是找到最优的动作 - 价值函数q *。 查找q *表示主体确切地知道任何给定状态下的动作的质量。
一个变换（或者说矩阵）的特征向量就是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已。...有了上述认识，当我们要看该矩阵对任一向量x的作用效果的时候，在特征分解的视角下，我们可以把x往特征向量方向上分解，然后每个方向上做伸缩，最后再把结果加起来即可；在奇异值分解的视角下，我们可以把x往V方向上分解...奇异值分解和上面所讲的特征分解有很大的关系，而我的理解是： 不是所有的矩阵都能对角化（对称矩阵总是可以），而所有矩阵总是可以做奇异值分解的。...假设在下面问题中，我们想通过矩阵A的左逆B来求解线性方程： 是否存在唯一的映射将A映射到B取决于问题的形式。...例如，迹运算提供了另一种描述矩阵Frobenius 范数的方式： (不必知道是什么，只要知道有这样的运算就好，如果有兴趣，当然可以去了解) 用迹运算表示表达式，我们可以使用很多有用的等式巧妙地处理表达式
在求解问题的过程中，为每只动物分配一个变量（c 代表鸡，r 代表犀牛，g 代表山羊），并为每一个属性（头、脚、角）写下一个方程式。每个变量前面的数字或系数代表了每只动物拥有的该属性的数量。...然后，我们将 r 的值替换到其他两个方程式中，以此类推，直到方程式里只包含一个变量，这时你就可以精确得到该变量的值。重复此过程，利用已解决的变量来得出其它变量即可。...该算法最终成功的关键在于，它会随机进行三个初始猜测。随机性可能对于猜测而言不是良好的起点，但作为一种通用方法，它具有独特优势，尤其是在处理大量问题时。...也就是说，随机性可确保算法不会最终使搜索偏向问题的某一部分（从而有可能忽略实际解决方案所在的空间）。 彭泱说：“我需要确保所有的猜测都是足够随机的，以便它们涵盖所有可能的组合。...此搜索功能可确保算法将在某处找到答案，但是它本身并不能识别答案。为此，彭泱和Vempala必须做额外的证明。 该算法将随机猜测作为矩阵中的条目进行追踪。
这种方法有两个主要组成部分（如图7所示）：首先，将PGM嵌入到基于物理的表示中，以编码由领域特定信息产生的模型变量之间的复杂依赖关系，并启用生成物理上合理的分布。...当使用可微分编程（引擎主题之一）构建基于物理的机器学习时，机械物理模型和数据驱动学习的协同作用就会发挥作用，我们将在下面的第一个示例中对此进行探讨。...相反，AD 作为一个技术术语是指一系列特定的技术，这些技术通过在代码执行期间累积值来计算导数，以生成数值导数评估而不是导数表达式。...除了 DP 之外，使用模拟智能主题在该领域具有巨大潜力，特别是通过半机械建模将实验和结构数据纳入综合多尺度模拟方法，该方法可以对药物设计中涉及的一系列长度和时间尺度进行建模和发展[361]。...Julia ：可微分编程作为科学的 ML 通用语言 Python、R 和 Julia 等动态编程语言因其执行效率高而在科学计算和 AI/ML 中很常见，可实现快速代码开发和实验。
在某些情况下，当某一时间的温度 t0 为已知时（称为初始条件），即可得到方程 (3) 的一个解析解，表达式如下： （4） 如此，该固体中的温度通过一个代数方程（4）来表示，其中的某个时间值 t1 就会有一个对应时间的温度值...此外，对于解可微分 的情况（即二阶导数明确定义），这些解是相同的。这些公式化是等效的，因为从（10）推导（15）的过程依赖于格林第一恒等式，而其只有在 T 有连续的二阶导数的情况下才成立。...这是有限元公式化的第一步。利用弱公式化，就有可能对数学模型方程进行离散化，从而得到数值模型方程。可以利用伽辽金法——许多可能的有限元法公式化中的一种——来进行离散化。...假设有一种数值方法可以对一个单位正方形（Ω）上的泊松方程进行求解，且该正方形具有齐次边界条件 （23-24） 此方法可用于对改动后的问题进行求解 （25-26） 其中， （27） 这里， 是可以被自由选择的一个解析表达式...如果一个有限元公式可以使试函数不同于基函数，则该公式称为 Petrov-Galerkin 法。这是一种常用的方法；例如，在解决对流-扩散问题的过程中，只会对流线方向进行稳定化处理。
具有1个变量和1个目标的线性模型的方程 在上面的等式中，beta是系数。这些系数是需要的，以便用模型进行预测。 那么如何找到这些参数呢？ 为了找到参数，需要最小化最小二乘或误差平方和。...估计系数的相关性 既然有系数，那么如何判断它们是否与预测目标相关？ 最好的方法是找到p值。该p值来定量统计学意义; 它允许判断零假设是否被拒绝。 零假设？...因此零假设是相反的：特征与目标之间没有相关性。 因此，找到每个系数的p值将表明该变量在预测目标方面是否具有统计意义。作为一个经验一般规则，如果p值是小于0.05：有变量和目标之间有很强的关系。...那么一次对一个特征进行线性回归吗？当然不是。只需执行多元线性回归。 该方程与简单线性回归非常相似; 只需添加预测变量的数量及其相应的系数： ? 多元线性回归方程。...添加互动 在线性模型中具有多个预测变量意味着某些预测变量可能对其他预测变量产生影响。 例如想要预测一个人的工资，了解她的年龄和在学校度过的年数。当然这个人年龄越大，这个人在学校度过的时间就越多。
幸运的是，我可以通过许多方法自动找到Beta的最佳值。任何熟悉MATLAB中的nlinfit或SciPy的curve_fit函数的人都知道，一旦您有了模型的数学表达式，这个非线性回归过程是简单的。...假设我们有一个函数f它由一个自变量x和一组参数a决定，这是y= f(x,a)这个函数正在对我们已经知道输出ŷ的流程进行建模。目标是找到一组参数a，使y尽可能接近ŷ。...如果我们试图用100个数据点调整一条曲线，那么我们需要计算每一个数据点的差。最后，我们会得到一个r1 r2 r3，等等，直到我们在这个例子中达到r100。差平方和对应于: ?...解决方案 求函数最小值的一种常用方法是计算函数对特定变量的导数。在这种情况下，我们想找到使函数s最小的a值。可以写成: ?...此参数是允许在高斯牛顿或梯度下降更新之间进行更改的参数。当λ小时，该方法采用高斯-牛顿步长；当λ大时，该方法遵循梯度下降法。通常，λ的第一个值较大，因此第一步位于梯度下降方向[2]。
您可以与也有权访问同一组织的其他用户共享 URL。随着查询的每个部分的构建，结果和 URL 都会更新，以便可以在电子邮件、聊天等中共享正在进行的搜索。...您将找到图表、表格和可切换的标签摘要（或分面图facet map）。顶部的搜索栏可让您查看输入的搜索条件。该表反映了具有可排序列的事件。...方程式指南 方程必须： 至少包含一个字段或函数 至少包含一个操作符 有显式运算符。...方程只能对数值列和函数进行运算，其中包括： 函数： count count_unique count_if failure_count avg sum percentiles (p50, p75 etc...将光标悬停在顶部 project 行项目上，单击显示的操作图标，然后选择 “Add to filter”。这将进一步缩小您的结果范围，以便您可以继续调查该特定 project 的 issues。
在 12.3 版中，我们添加了选项 DatasetTheme 来指定Dataset对象应如何显示的“主题” 。 在下面，每个主题只是设置特定的选项，您可以自己设置。但主题是一种方便的“银行切换”选项。...这需要树的节点包含完整的子表达式——因此树中给定级别上的表达式本质上是像Map这样的函数被认为是该级别的表达式（使用Heads → True）： 这是另一个版本，现在有效地消除了嵌套子表达式的冗余...此外，在图中，给定节点的边不会以任何特定顺序出现；但在树中会安特定顺序出现。最后，树有一个特定的根节点；图不一定有这样的东西。...在版本 12.3 中，我们为Predict和Classify等函数添加了新选项，以便在训练和计算中控制如何处理数据中通常缺失（或丢弃）的元素，例如，提供一种方法来根据缺失的数据确定结果中的不确定性。...，您可以从出版物中剪下结构图并找到分子的名称： 给定一组分子，人们经常想问的一个问题是“这些分子之间有什么共同点？”
现在就有了三个方程式和三个未知数。 解决该问题的一种方法是操作一个方程式，并根据其他两个方程式定义一个变量。例如，0c + 1r + 2g = 10 变成 r = 10 – 2g。...在其他两个方程式中用该值替换 r，然后像这样继续进行，直到仅用一个变量定义了所有变量，就可以精确求解。然后，你可以重复执行此过程，利用已求解的变量来求解下一个变量。...一次进行多个猜测似乎是有用的，但是想让该策略起作用并不是那么简单。新算法的有效性在很大程度上取决于如何聪明地做出引发迭代过程的初始猜测，以及找到将并行猜测的结果组合成单个最终答案的巧妙方法。...在该研究中，许多技术问题都涉及证明随机猜测的不同部分也可以协同工作，包括实际上是最终解的任何特定猜测。Vempala 表示：「存在协调随机性」。...Vempala 说：[两个猜测之间的所有内容也包括在内。] 此搜索功能可确保算法将在某处找到答案。但是它本身并不能识别答案。因此彭泱和 Vempala 还需要进行进一步的证明工作。
例如，对伴随的 ODE 进行反转或通过求解器依赖反向传播的原始方法对于神经 ODE 而言在数值上不稳定，并且为机器学习而制造的传统优化器，如随机梯度下降和 ADAM 难以处理病态 Hessians物理信息神经网络...我们计划继续研究这些主题，并确保我们的软件是一流的。...例如，虽然我们的全局灵敏度分析工具已记录在微分方程求解器中，但这些方法实际上适用于任何函数f(p)： 在 SciML 保护伞下进行重组将使用户更容易发现和应用我们在微分方程上下文之外的全局敏感性分析方法...另一个示例包括我们的代理建模库 Surrogates.jl，该库通常使用 DifferentialEquations.jl 和机器学习 AD 工具（如 Zygote.jl）进行测试，这意味着您可以确定我们的代理建模工具可以在微分方程上进行训练然后使用在深度学习堆栈内部...我们计划改进 Python 和 R 端工具的安装，使其自动下载预编译的 Julia 二进制文件，以便用户只需使用 CRAN 或 pip 安装包即可使用该工具。
微分方程的数值求解过程 在 Wolfram 语言中，对微分方程进行数值求解的函数有两个：NDSolve 和 NDSolveValue。两者仅在输出格式上有细微差异，内部处理则完全一致。...以在单位圆上的泊松方程 –∇2u = 1 为例，如果以在 x>=0 上 u=0 作为边界条件： 所得出解的图形为： 2.1 输入表达式 目前，在 NDSolve 中适用于有限元法的偏微分方程式必须具有以下形式...举一个简单的例子， 该式相当于方程式(1) 中 c = –∇u, f = –4，并且将其他系数设置为 0 的情况。...此处，由于 u 是向量，如果是二维，则第一个方程式由两个方程式 ux 和 uy 组成，微分算子∇作用于该方程式（请参见下面的代码）。让我们计算二维空腔中的速度场。...以下以此为模型计算非线性联立 PDE（Gray-Scott 模型）的示例。从外部将作为原料的化学物质 U 连续地引入填充有另一种物质 V 的反应容器中，并进行自催化反应。
传统的参数化微分方程是特例，残差网络和循环网络等很多流行的神经网络架构呈现离散化。神经微分方程能够提供高容量的函数近似，在模型空间上表现出强先验，有能力处理不规则数据，还具有很高的内存效率。...作为离散架构的连续时间限制，包括对可表达性的理论结果； 神经受控微分方程（neural controlled diffeqs）：用于建模时间序列函数、处理不规则数据； 神经随机微分方程（neural stochastic...此外，这篇论文还涉及了其他一些主题，比如用于动力学系统的符号回归（如通过正则化演化）、深度隐式模型（如深度均衡模型、可微优化）。...机器之心对该论文的核心内容进行了简要介绍。 论文概览 阅读这篇论文需要掌握的预备知识包括常微分方程（ODE）和深度学习的基础知识。...训练神经微分方程意味着通过微分方程的解进行反向传播，通过 ODE 进行微分的方法有三种：离散后优化 – 此类方法内存效率低，但准确且快速；先优化再离散 – 此类方法内存效率高，但速度有点慢；可逆 ODE
其结果表明，这种模型的性能要远超现在常用的能进行符号运算的工具，例如Mathematica、Matlab、Maple等。 有例为证： ?...（真是“机器翻译”解决一切啊） 具体来讲，作者在文章中主要针对函数积分和常微分方程（ODE）进行研究。...例如，表达式简化等于找到树的较短等效表示。 在这篇文章中，作者考虑两个问题：符号积分和微分方程。两者都可以归结为将一个表达式转换为另一个表达式。...给定n 个运算子的表达式，通过计算机代数系统求解出该表达式的积分；如果不能求解，则将该表达式丢弃。...由于对表达式是否正确可以很容易地进行验证，因此作者提出如果生成的beam中的表达式中，只要有一个正确，则表示模型成功解决了输入方程（而不是只选用得分最高的）。
神经网络在统计模式识别中效果显著，目前在计算机视觉、语音识别、自然语言处理等领域中的大量问题上取得了当前最优性能。...在序列内，运算符、函数或变量都由特定 token 来表示，符号位于整数前面。表达式与树之间存在映射关系，同样地，树与前缀序列之间也存在一对一的映射。...研究者对二阶常微分方程也使用了类似的方法，不过二阶方程有两个常量 c_1 和 c_2，因此简化略微复杂一些。 无效表达式：最后，研究者从数据集中删除无效的表达式。...研究者将集束中所有假设的对数似然分数按其序列长度进行归一化。这里使用的集束宽度为 1（即贪婪解码）、10 和 50。 在解码过程中，模型不可避免地会生成无效的前缀表达式。...表 3：该研究提出的模型与 Mathematica、Maple 和 Matlab 在包含 500 个方程的测试集上的性能对比情况。此处，Mathematica 处理每个方程时有 30 秒的超时延迟。
在一定条件下这个变换是可逆的且是一一对应的。 积分变换在图像特征提取，信号处理，甚至在解常/偏微分方程都能提供一个强有力的武器，可以说是不可或缺的方法。...的表达式啦，所以 这里令 由上面推导的 , 公式有 故有 代入n=0，其实就是 的表达式，更一般地，若令 ,一样可以推理出 观察可知，只取决于n，故写在一起有： 其中...它还有位移性质，即 换元积分法可证 最重要的是微分性质和积分性质， 分部积分，将f'(t)甩到后面去 特别的，有 对应的就有象函数的导数性质了，即 该两个性质对解微分方程非常实用，直接在方程左右两段进行傅里叶变换即可...，这样一来就把导数去掉了，但是有个条件是微分方程自变量的定义域是R才行,这也是该变换的一个局限，但是一般现实生活中比方说时间t是不可能为负的，为了解决这个场景的问题，引入了拉普拉斯变换 拉普拉斯变换 傅氏变换需要满足在...一般来讲，指数衰减函数 是绝对可积的，用它乘以任何一个函数也有可能绝对可积,它的作用是对一些间断点和离散点的补充衰减，只要参数 选取的得当，就存在乘积绝对可积的情况(黎曼积分中的一个推论) 所以让这两个函数乘以函数
所有生成模型都试图学习它们的训练数据的分布，因此最大化模型对x0赋予的似然性会是合理的。计算这一似然性需要对所有从t = T到t = 1的步骤进行边缘化处理。...最大化方程（14）给出了过程pθ关于 ，该过程具有产生观察到的x0的最大对数似然的性质。然而，评估上述表达式涉及对从噪声到数据流形的所有可能轨迹进行积分，这是不可行的。...显然，在训练数据集中的元素处评估的 给出了该特定示例的对数似然，即从随机初始化开始的逆过程应在该特定数据点结束的对数似然。如果这个数字很高，我们有一个相反的过程，使得生成数据点成为可能。...方程（36）中的表达式类似于方程（24），但请注意方差项已被参数σt替换，该参数可以取任何值，包括零。...请注意，我们需要使用导数的链式法则来计算 。在应用中，我们通常选择较低的M值来进行这些计算，有时甚至低至M = 10或者甚至M = 1，以便能够快速计算梯度的近似值。
代理人的目标是学习采取行动在任何特定情况下，随着时间的推移最大化累积奖励。 2 马尔可夫决策过程 Markov决策过程（MDP）是一个离散时间的随机控制处理。...这里R是代理人希望在状态s中获得的奖励。该过程的动机是，对于旨在实现某个目标（例如赢得国际象棋游戏）的AI代理，某些状态（游戏配置）在策略和赢得游戏的潜力方面比其他状态更有前途。 ?...在状态s中，我们有特定的概率Pss '到下一个状态s中结束。在这种情况下，我们有两个可能的状态。...式9 3.2 马尔可夫决策过程 - 定义 马尔可夫决策过程是马尔可夫奖励过程的决策。马尔可夫决策过程由一组元组描述，A是代理可以在状态s中采取的一组有限的可能动作。...图10 3.5最优政策 深度强化学习中最重要的主题是找到最优的动作-值函数q*。查找q*表示代理确切地知道任何给定状态下的动作的质量。此外，代理商可以决定必须采取哪种行动的质量。
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