最快的数值积分算法_如何使用用户输入作为数值积分算法的函数？_基于Matlab的数值积分 - 腾讯云开发者社区 - 腾讯云

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数值积分|高斯积分

还可以用梯形中位线表示上式的意义是：一次函数的高斯积分需要一个高斯积分点即x=0的位置，确定的权重是2，积分点的函数值是f(0)。...对于式(3)，取一般的二次函数，可以验证：上式的意义是:二次函数的高斯积分需要两个高斯积分点和，权重各为1，就可以计算积分了。...同样，对于二次函数，只要你告诉我这俩函数值，我不需要知道函数的表达式，只要把这俩函数值和各乘以权重（都为1）相加即可算出积分值了....也就是说，n个高斯积分点可以计算2n-1次及以下的函数积分。 ? 高斯积分点是强制使这种数值积分结果与前2n-1阶多项式的积分相等解出来的。比如你打算使用n个点，你还有n个未知权重。...你就要使这种数值积分的结果等于对应的从0到2n-1的所有多项式项在区间内的积分结果。这样你就有一个2n阶的非线性方程组，解了它，就能获得积分点和权重值。

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数值积分|自适应梯形积分

在区间上，采用梯形公式计算的定积分如果将区间二等分，采用梯形公式计算的定积分其中如果将区间三等分，采用梯形公式计算的定积分其中由此可以得到递推式表示两次迭代的相对误差...python代码 import math ###自适应梯形公式求积分 ### y = 1/( 1+x^2 ) def Func(x): return 1/( 1+pow(x,2) ) def...T = AdaptiveTrapzCtrl(Func, 0.6, 1, eps = 1e-6) print(T) 计算结果是0.24497869339807107，精确值为：算法基本原理...：把原区间分为一系列小区间(n份)，在每个小区间上都用小的梯形面积来近似代替原函数的积分，当小区间足够小时，就可以得到原来积分的近似值，直到求得的积分结果满足要求的精度为止。...但是这个过程中有一个问题是步长的取值，步长太大精度难以保证，步长太小会导致计算量的增加。

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数值积分|二元函数的高斯积分

一元函数高斯积分的积分区域为[-1,1]，二元函数的高斯积分区域为，也就是一个边长为2的正方形区域，称为标准区域。 ?...考虑二重积分利用累次积分和一元函数的高斯积分公式可以得到：或者这就是二元函数的高斯积分公式。其中W表示积分点权重，n表示积分点数目。n随着被积函数阶次增加而增加。...实际应用中，积分区域大多是非标准区域。比如 ? 这时就需要将非标准区域映射到标准区域，即 x = x(ξ, η), y = y(ξ, η) 其中是是xOy坐标系下四个顶点的坐标。...四个顶点的坐标分别为(0,0),(2,0),(2,3),(0,2) 雅可比矩阵采用4个积分点的高斯积分 ? 注意这里的是高斯积分点的坐标, 。接下来用Python编程可得到结果。...毕竟数值计算都要编程的。 ?

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数值积分|泰勒(Taylor)公式求积分

泰勒(Taylor)公式大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来。ƒ(x)在x=a处的泰勒展开式为： ? 注意，等号右边是无穷多项。...展开多项式的函数图像与ƒ(x)=e^x对比 ? ƒ(x)=cosx在x=0处展开多项式的函数图像与ƒ(x)=cosx对比 ? 可以看到，展开多项式项数越多，得到的图像和原函数越接近。...[算例] 1.求积分 ? 要求误差小于0.001 展开得 ? x=1代入 ? ? 如果要求误差小于10^-6, 则保留前五项 ?...泰勒公式，应用于数学、物理领域，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。...如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

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matlab—数值微积分

十四、数值微积分 14.1 polyva() 多项式计算在理工科教学、科研中有着特殊地位和意义。matlab作为重要的工程计算软件也给出了相应的计算指令来完成这一工作。...图14-2 polyder函数 14.3 polyint() 多项式积分函数polyint，其调用格式为：polyint(p,c);，p是多项式对应的系数，c是常数项（可以任意指定）示例（5x^4-2x...图14-3 polyint函数 14.4 dif() 上面我们讲的都是多项式的一些数值计算的方法，但如果不是多项式如何计算呢，举个栗子，如何求sin(x)在某一点的微分，即使我们知道sin’(x) =...图14-5 diff函数当然我们知道cos(pi/2)=0，这里显然不等于0，读者可以把h不断缩小，得出来的值也会不断接近0 14.5 integral() integral函数的作用是求定积分，其调用格式为...：integral(fcn handle,x0,x1);，fcn handle是函数句柄，x0表示积分下限，x1表示积分上限，函数句柄的概念我不做过多解释，读者只需要记住使用的格式，下面先给出示例示例

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数值积分|自适应辛普森积分公式

在数值积分| 辛普森公式提到，辛普森积分最简单的形式是也就是说至少要三个积分点，两个积分子区间。所以，自适应辛普森积分公式要从S1起步,即 ?...将式与自适应梯形公式比较，可得由此可以得到递推式若以表示前后两次计算结果的相对误差，即若满足要求，则停止计算。...计算结果是0.7853981628062056，精确值为算法基本原理：把原区间分为一系列小区间(n份)，在每个小区间上都用小的梯形面积来近似代替原函数的积分，当小区间足够小时，就可以得到原来积分的近似值...，直到求得的积分结果满足要求的精度为止。...但是这个过程中有一个问题是步长的取值，步长太大精度难以保证，步长太小会导致计算量的增加。

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数值积分| 辛普森公式

辛普森积分法是一种用抛物线近似函数曲线来求定积分数值解的方法。...把积分区间等分成若干段，对被积函数在每一段上使用辛普森公式，根据其在每一段的两端和中点处的取值近似为抛物线，逐段积分后加起来，即得到原定积分的数值解。 ?...现已知各点的函数值yj = f (xj ) ,由上述公式可得 ? 以上各式相加得到 ? 这就是辛普森公式。 ?...如图2所示，对于复杂函数，可以在划分好区间之后，通过插值的办法将其改写为抛物线形式： ? 其中E(x)是误差。各区间积分，累加，同样可得到辛普森公式。...[算例1] 用辛普森公式计算函数y=5x^4在区间[0，2]的积分(n=4) 。 ? ? 精确值是32 [算例2] 用辛普森公式计算函数y=1/x在区间[1，2]的积分。

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13行代码实现最快速最高效的积分图像算法。

用积分图也确实能解决很多实际的问题，比如我博客中的基于局部均方差相关信息的图像去噪及其在实时磨皮美容算法中的应用一文我就在网上看到很多人用累计积分图和乘积积分图来实现了。...首先一个普遍的问题就是：积分图像的大小。...你可以看到，90%自己写的积分图的作者都是把积分图像定位为W * H，但是不知道他们有没有注意到OpenCV里积分图的相关文档，我这里贴出OpenCV的官方文档： C++: void integral...第二，就是积分图的计算的优化，很多博客也都描述了他们的优化方式，虽然他们都是描述的同一个算法，比如百度上比较靠前的博文：【图像处理】快速计算积分图中就用下述前两幅图描述了他的优化过程： ? ...，就是如果某个算法需要计算同一个图像的多个半径的模糊值，则积分图只需要计算一次，只在众多的基于多尺度模糊的算法中也是能提速的方案之一。

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数值积分|第一类反常积分

1 概述无穷区间的积分又称第一类反常积分。常规计算方法是将积分上限视为常数，然后按照定积分来处理，再将计算结果取极限。如图1所示： ? ?...2 算法实现第一类反常积分的数值算法大致思路就是不断扩展积分区间，若扩展前后的积分的相对误差满足要求，则停止计算。 ? ?...如图2所示，计算反常积分时，先计算 ,再计算 ,然后计算 , 若的相对误差满足要求，则停止计算。...python代码如下： import math ### 第一类反常积分(无穷区间)数值分析 ### y = 1/( x^2 ) ### 积分区间[1,+inf) def Func(x):...PS：无穷区间的长度并不是有几十万甚至几十亿那么长。本例的无穷区间在收敛时为1001.

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数值积分|第二类反常积分

1 概述第二类反常积分是值积分区间包含奇异点(singular points)。常规计算方法是将积分积分区间在奇异点内收，然后按照定积分来处理，再将计算结果取极限。如图1所示： ? ?...2 算法实现 image.png python代码如下： import math ### 第二类反常积分数值分析 ### y = 1/sqrt(x) ### 积分区间(0, 1] def Func...(x): return 1/ math.sqrt(x) def Improp2(Func, a, b, eps = 1e-6): ### ### a为区间的左端点，是奇异点 ##...#子区间积分时，还要调用自适应梯形公式，这里可以任选方法。...第二类反常积分的数值算法大致思路就是在奇异点附近划分一个子区间，将这个子区间二等分，将其中之一积分，剩下的再二等分，将其中之一积分，如此下去，不断扩展积分区间，若扩展前后的积分的相对误差满足要求，则停止计算

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数值计算——MATLAB数值积分原理详讲

大家的日常学习是一个循序渐进的过程，随着对问题的不断深入简单问题也会有新的发现。这不我们再来回头讲讲过冷水之前学习过程中遇到的数值积分的问题。对以下图像进行积分：只知道到图像点不知道函数解析形式。...2:采用数值积分实际无法积分整个区间，在采用quad()命令解决问题时，其值也和我们已知的积分值有出入，quad()为何不完美？...Matlab提供的数值积分函数并不是真的直接给出该函数的数值积分，而是对所求函数处理后的积分。...现和大家分享最常用的三种插值型数值积分方法：矩形法、梯形法、抛物线法，多项式法。...你需要查看我数值优化—三种复杂函数数值积分方法实例演示。过冷水和大家的分享就这些，有疑问或者感兴趣的问题需要解答，可在下方留言，过冷水均会热心解答。

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数值计算方法 Chapter2. 数值微分和数值积分

数值积分 1. 插值型数值积分插值型数值积分和上述插值型数值微分的思路是完全一致的，就是用插值函数来拟合未知曲线，然后用这个插值函数在对应空间上的积分值来近似未知函数的积分值。...阶代数精度，即：当目标函数的阶数不高于阶时，数值积分的结果没有误差。...Newton-Cotes积分 Newton-Cotes积分算是插值型数值积分中的一个特例。他是说在积分区间里面等分各个位置，然后用这些等分的位置上的函数值进行插值最后进行函数的求解。 1....复化数值积分 Newton-Cotes积分或者更一般的插值型数值积分本质上思路都是用一个拟合函数来对原始的未知函数或者复杂函数进行替换，然后用这个拟合函数的积分值来近似原本的函数的积分值。...而这里的复化数值积分思路则与上述有所不同，它更接近于积分原本的定义，就是直接先对积分区间进行分段，然后在每一个区间段内进行近似积分求解，最后将他们的总和作为最终的数值积分结果。

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4.1 数值积分、高等函数绘制

维基百科关于积分的说明： Integral From Wikipedia, the free encyclopedia Jump to navigationJump to search This article...被积函数在积分区间的积分就是该区间内曲线与x周所围成的面积，如下图所示： ? 那么问题来了。怎么求解曲线与x轴包围的面积？...好了，该自己动手实现程序了，我们计算一个函数的积分了，函数y(x)=sqrt(1-x^2)，这个函数熟悉吗？其实就是一个圆心位于原点的半径为1的圆，积分区间为0到1，积分是多少？...return Math.sqrt(1-x*x); 3. } 好简单吧，积分函数怎么写？函数参数应该有被积函数fun、积分起点start、积分终点end、和积分区间分割的份数nDivided。...然而，这样计算积分在实际科研中并没什么用，因为效率太低。有兴趣的同学可以查看数值积分进一步了解。等等，标题里还有高等函数的绘制内容，这里就不介绍了，请参考第3章曲线绘制。

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数值积分|牛顿-柯特斯公式

已知的值。以这n+1个点进行拉格朗日插值，得到n次多项式，再对该n次的多项式求积分。 ?...将积分区间等分，则n次拉格朗日插值多项式为：其中那么记由可得这就是牛顿-柯特斯公式。其中，称为柯特斯系数。...由式可知，柯特斯系数与被积函数以及积分区间都无关，只要给出积分区间的等分数n，就可以算出柯特斯系数。例如，当n=2时对应的牛顿-柯特斯公式为：此即为辛普森(Simpson)公式。...牛顿-柯特斯公式的缺点：对于次数较高的多项式而有很大误差（龙格现象），一般取低阶公式计算。 [算例] 用牛顿--柯特斯公式计算积分时时时精确值为

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数值积分|中点法则(Midpoint Rule)

黎曼(Riemann)对定积分的定义是：积分区间划分为无数子区间，子区间内任意一点的函数值乘以子区间的长度得到一个矩形面积，然后将这些矩形面积累加起来可以得到积分值。...中点法则(Midpoint Rule)是取子区间的中点的函数值作为矩形的高，如图所示 ? 对于定积分，将积分区间划分成4个等长子区间 ,每个子区间中点的函数值为 ....可以得到定积分的近似值为：如果划分为8个子区间，可得到精确值是0.69314781... 子区间划分越多，误差就越小。...为了配合编程实现，可以通过将子区间的数量增加三倍来设计算法，而不是前面的辛普森，龙贝格公式增加两倍子区间。如图所示，空心圆圈表示必须计算的新值，而实心圆圈表示前一个迭代步计算的值。 ?...可得到递推式： [算例]用中点法则求 import math ### Midpoint ruler求积分 ### y = 4/( 1+x^2 ) def Func(x): return

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Python 基于积分原理计算定积分并可视化数值积分计算的动画过程

\text { 并基于积分原理计算 } \int_{0}^{1} x^{3}+1 \text { 的值 } 1....并基于积分原理计算 ∫01x3+1 的值 def func(x): return x ** 3 + 1 down = 0 upper = 1 interval = np.linspace(...= func(left) area = width * height result += area print(f"{result:.2f}") 结果如下：取 50 个矩形计算数值积分的时候...\text { }可视化积分的动画过程 2....可视化积分的动画过程导入需要的依赖库： import numpy as np import matplotlib.path as path import matplotlib.pyplot as plt

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函数式编程计算数值积分

以函数式编程方式，计算数值积分。定积分的定义点击这里：定积分的精确定义下面以定积分为例，展示过程。...如图所示，将积分区间6等分，每一个子区间长度为0.5，则数值积分值为最终结果与精确值的误差为 python代码 steps = 6 #积分区间六等分 a = 0.0 b = 3.0 dx =...}映射成为{0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3} map_r1 = map(lambda x: (x+1)*dx, r) # 子区间右端点函数值，即每个矩形的高度 map_h = map(...,...,500} r = range(steps) map_r1 = map(lambda x: (x+1)*dx, r) # 子区间右端点函数值，即每个矩形的高度 map_h = map(f..., map_r1) int = dx * sum(map_h) print(int) 采用同样思路的C++代码(需要支持C++20标准的编译器) #include #include

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数值优化—三种复杂函数数值积分方法实例演示

在0.1~1 区间上的值，初步看该方程的积分项比较复杂不易给出原函数。用MATLAB也无法直接求出原函数。自然而然就想该函数如何在不求积分项原函数的情况下计算出积分项的具体值。...在抓耳挠腮之际想起了公众号的一篇推文：蒙特卡洛法应用。可以直接求函数指定区间的面积，相当于求积分。蒙特卡洛算法求面积示意图如下： ? 在该思路的启发下过冷书立刻实践给出了对应的代码，求得函数解。...，过冷书吐槽算法算复杂积分精度不好，涉及到循环函数麻烦，可以用泰勒公式将复杂函数转换为多项式的形式，多项式原函数很容易求。...根据图像分析可得如下结论：（1）：三种方法计算的函数值大致走势一致，三种方法互证可行性，自变量较大是三者一致性较好，自变量减小时，差别明显；（2）蒙特卡洛算法和符号算法整体吻合程度较高，在精度要求不是非常高的计算中可以用蒙特卡洛方法思路解决问题...在实际应用中三种方法的可行性都比较高，能够解决复杂函数积分的问题，实际在解决数学问题中方法是很多的，蒙特卡洛算法、多项式应用较广，感兴趣的可深入研究。

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解析解和数值解的区别举例_不定积分有数值解吗

数值解(numerical solution)，是指给出一系列对应的自变量，采用数值方法求出的解，是在特定条件下通过近似计算得出来的一个数值，是采用某种计算方法,如有限元的方法, 数值逼近,插值的方法..., 得到的解.别人只能利用数值计算的结果解析解(analytical solution)，是通过严格的公式所求得的解。...就是给出解的具体函数形式，从解的表达式中就可以算出任何对应值，就是一些严格的公式,给出任意的自变量就可以求出其因变量,也就是问题的解, 他人可以利用这些公式计算各自的问题。...所谓的解析解是一种包含分式、三角函数、指数、对数甚至无限级数等基本函数的解的形式。解析解为一封闭形式〈closed-form〉的函数，因此对任一独立变量，带入解析函数求得正确的相依变量。...因此，解析解也被称为闭式解（closed-form solution）举例说明; x^2=2 解：x=sqrt(2) — （解析解）解：x=1.414 — （数值解）发布者：全栈程序员栈长

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数值积分法求解常微分方程

Scipy 的 integrate 模块的 odeint 函数可以用来以数值积分法求解常微分方程。...sqrt import sympy import scipy from scipy import integrate from matplotlib import pyplot as plt # 上篇的向量场绘图函数...x轴负方向延伸 xp = np.linspace(x0, x0+2, 100) # 初值处向x轴正方向延伸 yn = integrate.odeint(f_np, y0, xn) # 数值积分法求解常微分方程...，负方向积分 yp = integrate.odeint(f_np, y0, xp) # 数值积分法求解常微分方程，正方向积分 fig, ax = plt.subplots(1,

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