设L=<a1,a2,…,an>是n个不同的实数的序列，L的递增子序列是这样一个子序列Lin=<aK1,ak2,…,akm>，其中k1<k2<…<km且aK1<ak2<…<akm。求最大的m值。
不知道大家做算法题有什么感觉，我总结出来做算法题的技巧就是，把大的问题细化到一个点，先研究在这个小的点上如何解决问题，然后再通过递归/迭代的方式扩展到整个问题。
若给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列Z={z1,z2,…,zk}，是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k有：zj=xi,j。例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D，A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。
最长公共子序列问题：给定两个序列X={x1,x2,....xm}, Y={y1,y2,yn},找出XY的最长公共子序列 1 最长公共子序列结构 1 xm=yn，则zk = xm = yn，且zk-1是xm-1和yn-1的最长公共子序列 2 xm!=yn,zk!=xm,则Z是xm-1,yn的最长共公共子序列 3 xm!=yn,zk!=yn,则Z是xm,yn-1的最长公共子序列 2 子问题的递归结构 1 xm=yn时，找出xm-1,yn-1的最长公共子序列 2 xm!=yn时，找出xm
http://blog.csdn.net/yysdsyl/article/details/4226630
首先，子序列问题本身就相对子串、子数组更困难一些，因为前者是不连续的序列，而后两者是连续的，就算穷举都不容易，更别说求解相关的算法问题了。
这是 LeetCode 上的「1713. 得到子序列的最少操作次数」，难度为「困难」。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
最长公共子序列(LCS,Longest Common Subsequence)。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。而最长公共子串(要求连续)和最长公共子序列是不同的。 设X(m)={x(1), x(2), x(3),....,x(m)} 和 Y(n)={y(1), y(2), y(3),....,y(n)}的最长公共子序列Z(k)={z(1), z(2),z(3),....,z(k)} 首先，将原问题分解为子
你是否有这样的困惑？在掌握了一些基础算法和数据结构之后，碰到一些较为复杂的问题还是无从下手，面试时自然也是胆战心惊。究其原因，可以归因于以下两点：
当ｉ＝１，则ｄｐ［１］＝２；因为ｄｐ［ｉ］会和之前每一个元素ｊ代替进行比对，当ａ［ｉ］＜ａ［ｊ］，并且ｄｐ［ｊ］＋１＞ｄｐ［ｉ］．则ｄｐ［ｉ］＝ｄｐ［ｊ］＋１
前文《序列比对（23）最长公共子字符串》介绍了如何求解两个字符串的最长公共子字符串，本文将介绍如何求解两个字符串的最长公共子序列。二者听起来很像，所以我们首先得说明一下子字符串和子序列的区别。
问题描述： 求两个字符序列的公共最长子序列。 ---- 最长公共子串 在回到子序列问题之前，先来了解一下子串的问题。 例如，HISH和FISH两个字符序列的公共最长子串就是：ISH。很容易理解。 ---- 绘制网格 通过上一次背包问题的学习，给了我一些很重要的启示： 每种动态规划解决方案都设计网格。 动态规划可以帮助你在给定约束条件下找到最优解。 问题可分解为彼此独立且离散的子问题时，就可以使用动态规划法来解决。 那么，要解决这个问题的网格长什么样呢？要确定这一点，你首先得回答： 1.单元格中的值是什么？
动态规划是一种常用且高效的算法技术，用于解决一类具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。在本篇博客中，我们将重点介绍动态规划的基本概念与特点，探讨其在解决典型问题中的应用，并通过实例代码演示动态规划算法的实现，每行代码都配有详细的注释。
一、动态规划的基本思想 动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。 在这类问题中，可能会有许多可行解。 每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。 基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。 适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。 如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。 我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。 这就是动态规划法的基本思路。 具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。 二、设计动态规划法的步骤 找出最优解的性质，并刻画其结构特征； 递归地定义最优值（写出动态规划方程）； 以自底向上的方式计算出最优值； 根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。 步骤1～3是动态规划算法的基本步骤。 在只需要求出最优值的情形，步骤4可以省略； 若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤4。 三、动态规划问题的特征 动态规划算法的有效性依赖于问题本身所具有的两个重要性质： 最优子结构： 当问题的最优解包含了其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。 重叠子问题： 在用递归算法自顶向下解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，在以后尽可能多地利用这些子问题的解。
我也不知道为啥要收fei，我普通上传，但是平台好像不能直接看，大家可以试看，因为该文档就两页，还没完善
典型的动态规划问题 dp[i][[j]：表示前i个和前j个字符最大LCS 当A[i] = B[i]的时候： 那么显然dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1,因为dp[i-1][j-1]就是前最大的情况 当A[i] != B[i]: dp[i][j] = max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]) 初始条件很简单，显然ii,j有一个为0,dp都是0
最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称 LCS）是一道非常经典的面试题目，因为它的解法是典型的二维动态规划，大部分比较困难的字符串问题都和这个问题一个套路，比如说编辑距离。而且，这个算法稍加改造就可以用于解决其他问题，所以说 LCS 算法是值得掌握的。
【导读】最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称 LCS）是一道非常经典的面试题目，因为它的解法是典型的二维动态规划，大部分比较困难的字符串问题都和这个问题一个套路，比如说编辑距离。而且，这个算法稍加改造就可以用于解决其他问题，所以说 LCS 算法是值得掌握的。
作为一名程序员，掌握各种算法可以帮助我们解决各种复杂的问题，提高代码的效率和性能，同时也是面试中常被考察的重要内容之一。无论是开发新的软件应用、优化现有的算法逻辑还是解决各类计算问题，算法都是不可或缺的工具。因此，程序员必须掌握一系列常用的算法，以确保能够高效地编写出稳定、功能强大的软件。
上一次介绍了动态规划解决钢条切割问题，这次介绍一下动态规划的原理，什么样的最优化问题适合用动态规划解决？ 具有的两个基本特征：最优子结构和子问题重叠。 最优子结构 如果一个问题的最优解包含其子问题的最优解，称此问题具有最优子结构性质。 最优子结构发现过程： 证明问题最优解的第一个组成部分是做出一个选择。 对于一个给定问题，在其可能的第一步选择中，假定已经知道那种选择才会得到最优解。 给定可获得最优解的选择后，你确定这次选择会产生哪些子问题，以及如何最好地刻画子问题空间。 利用“剪切-粘贴”的技术证明：作为构
A subsequence of a given sequence is the given sequence with some elements (possible none) left out. Given a sequence X = < x1, x2, ..., xm > another sequence Z = < z1, z2, ..., zk > is a subsequence of X if there exists a strictly increasing sequence < i1, i2, ..., ik > of indices of X such that for all j = 1,2,...,k, xij = zj. For example, Z = < a, b, f, c > is a subsequence of X = < a, b, c, f, b, c > with index sequence < 1, 2, 4, 6 >. Given two sequences X and Y the problem is to find the length of the maximum-length common subsequence of X and Y.
现在，我们可以绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线，只要 A[i] == B[j]，且我们绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。
前面三篇文章已经为大家介绍了利用动态规划算法解决问题的思路以及相关的代码实现，最为核心的就是第一步利用数学中函数的思想来建立模型，然后求解问题。这三个问题构建的数学函数都有一个共同的特征就是所构建的函数都是一元函数即y = f(x)。
问题描述 给定两个序列，求出它们的最长公共子序列。 如：序列X={a,b,c,b,d,a,b}，Y={b,d,c,a,b,a}，则X和Y的最长公共子序列为{b,c,b,a} 子序列：子序列为原序列的一个子集，并不要求连续，但要求子序列中元素的顺序和原序列元素的顺序一致。 定理 设两个序列分别是X={x1,x2……,xm}，Y={y1,y2……,yn}，它们的最长公共子序列为Z={z1,z2,……,zk}。 若xm=yn，则先求Xm-1和Yn-1的最长公共子序列，再在其尾部加上xm即可得
在Go语言中，求两个序列的最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）可以使用动态规划（Dynamic Programming, DP）的方法。下面是一个Go语言实现的示例代码，用于找到给定两个序列的LCS：
给定两个字符串，求解这两个字符串的最长公共子序列（Longest Common Sequence）。比如字符串1：BDCABA；字符串2：ABCBDAB。则这两个字符串的最长公共子序列长度为4，最长公共子序列是：BCBA
很久前就有小伙伴被动态规划所折磨，确实，很多题动态规划确实太难看出了了，甚至有的题看了题解理解起来都费劲半天。
今天分享的题目是 LeetCode 上的第 1143 题最长公共子序列，难度是中等。解题的思路是动态规划(Dynamic Programing)。 动态规划的题解都是不好想到的，如果没有动态规划相关的的经验，基本上想不到这样的解题方法。我写这篇文章的意义，也就是将解这道题或者类似题目的动态规划的解题方法讲解清楚，为后续的发展打下基础。
这道题目是给两个单词 word1 和 word2，每次只能从中删除一个字符，最后两单词相等，求最少删除次数。
在线提交(不支持C#): https://www.lintcode.com/problem/longest-common-subsequence/
取出序列中某些特定的项并保持它们在原来序列中的顺序，所得到的新序列成为原序列的子序列。
给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000。
首先需要科普一下，最长公共子序列（longest common sequence）和最长公共子串（longest common substring）不是一回事儿。什么是子序列呢？即一个给定的序列的子序列，就是将给定序列中零个或多个元素去掉之后得到的结果。什么是子串呢？给定串中任意个连续的字符组成的子序列称为该串的子串。给一个图再解释一下：
本文记录寻找两个字符串最长公共子串和子序列的方法。 名词区别 最长公共子串（Longest Common Substring）与最长公共子序列（Longest Common Subsequence）的区别： 子串要求在原字符串中是连续的，而子序列则只需保持相对顺序，并不要求连续。 最长公共子串 是指两个字符串中最长连续相同的子串长度。 例如：str1=“1AB2345CD”,str2=”12345EF”,则str1，str2的最长公共子串为2345。 动态规划 如果 str1 的长度为
比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs与belong中都出现过并且出现顺序与母串保持一致，我们将其称为公共子序列。最长公共子序列（Longest Common Subsequence,LCS），顾名思义，是指在所有的子序列中最长的那一个。子串是要求更严格的一种子序列，要求在母串中连续地出现。在上述例子的中，最长公共子序列为blog（cnblogs,belong），最长公共子串为lo（cnblogs, belong）。
动态规划处理字符相关案例中，求最长公共子序列以及求最短编辑距离，算是经典中的经典案例。
动态规划（Dynamic Programming）是一种解决优化问题的算法思想，通常用于解决具有重叠子问题性质和最优子结构性质的问题。动态规划将问题分解成一系列重叠的子问题，并通过保存子问题的解来避免重复计算，从而提高算法的效率。
我昨天面了天美L1的游戏客户端开发，面了我100分钟，问完实习、项目、计算机图形学和C++后给了我两道算法题做，一道是最长公共子序列，一道是LRU缓存，我知道是经典的题目，但是我都没敲过，最长公共子序列面试前一晚运气好随口问了一下GPT的解决思路，记得是二维的动态规划
倘若要在一堆数据中对一个关键词进行匹配搜索，传统做法是把数据拆分开，然后遍历他们，看看是否包含这个关键词，对于 “fin” 和 “finish” 这样存在包含关系的单词来说是没问题的，但是对于 “fish” 和 “finish” 这样并不存在包含关系的单词就失效了，这时候期望计算出两个单词的相似性，比如 “fish” 和 “finish” 都包含 “ish”，“ish” 的长度是 3，我们可以理解相似性为 3。目前主流做法是通过最长公共子串来寻找两个或多个已知字符串最长的子串。
同理 2 3 2 1 4 5的子序列也有很多，但是应该比下面的要少，因为出现重复的元素
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。
http://blog.csdn.net/nevasun/article/details/6977511
前段时间一直在做关于数据结构的题，也算是对数据结构有了一定的了解，知道了有些数据结构的基本算法。现在刚刚开始接触动态规划，其实写这篇文章的初衷是一来锻炼一下自己的总结能力，二来也是希望通过这篇文章，来指引和我一样的初学者，废话不多说了，开始吧。
动态规划最长公共子序列（LCS）问题（Java实现） 首先，明白一个公共子序列和公共子串的区别 公共子序列： 可以不连续 公共子串： 必须连续 问题分析 --- 求最长公共子序列，先明白两个概念 子序列 - 一个给定序列中删去若干元素后得到的序列 公共子序列 - 给定两个序列X，Y，当另一序列Z 既是X 的子序列，又是Y 的子序列时，就称Z 为X、Y 的公共子序列 明白上述两个概念后，我们就可以开始搜索最长公共子序列 这个问题可以使用暴力方法解决，但是由于要全部搜索一遍，时间复杂度为 O(n2<su
LCS-LENGTH（Longest Common Subsequence Length）问题的带备忘的版本通常指的是使用动态规划（Dynamic Programming, DP）和备忘录（Memoization）来优化算法性能，避免重复计算。通过维护一个表（即“备忘录”）来存储已经计算过的子问题的解，从而在解决新问题时可以直接查找已存储的结果，而不是重新计算。
动态规划法：与贪心法类似，动态规划法也是一种求解最优化问题的算法设计策略。它也采取分布决策的方法。但与贪心法不同的是，动态规划法每一步决策依赖子问题的解。直观上，为了在某一步做出决策，需要先求若干子问题，这就使得动态规划法是自底向上的。 按照多部决策方法，一个问题的活动过程可以分成若干阶段，每个阶段可能包含一个或多个状态。多部决策求解方法就是从初始状态开始做出每个阶段的决策，形成一个决策序列，该决策序列也成为策略。对于每一个决策序列，可以用一个数值函数（目标函数）衡量该策略的优劣。问题求解的目标是获取最优决
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。
因为回文串正着反着都一样所以，这题可以再弄一个输入字符串翻转的字符串，然后求最长公共子序列。
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