在本题中，匹配是指字符串的所有字符匹配整个模式。例如，字符串"aaa"与模式"a.a"和"ab_ac_a"匹配，但是与"aa.a"和"ab*a"均不匹配
若给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列Z={z1,z2,…,zk}，是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k有：zj=xi,j。例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D，A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。
思路:后缀是指要解决的子问题是原问题的后半部分，如果用字符串类描述，相当于子问题永远都是原问题的后半部分 str[i:]
今天分享的题目是 LeetCode 上的第 1143 题最长公共子序列，难度是中等。解题的思路是动态规划(Dynamic Programing)。 动态规划的题解都是不好想到的，如果没有动态规划相关的的经验，基本上想不到这样的解题方法。我写这篇文章的意义，也就是将解这道题或者类似题目的动态规划的解题方法讲解清楚，为后续的发展打下基础。
不知道大家做算法题有什么感觉，我总结出来做算法题的技巧就是，把大的问题细化到一个点，先研究在这个小的点上如何解决问题，然后再通过递归/迭代的方式扩展到整个问题。
题目：给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。
前段时间一直在做关于数据结构的题，也算是对数据结构有了一定的了解，知道了有些数据结构的基本算法。现在刚刚开始接触动态规划，其实写这篇文章的初衷是一来锻炼一下自己的总结能力，二来也是希望通过这篇文章，来指引和我一样的初学者，废话不多说了，开始吧。
LCS-LENGTH（Longest Common Subsequence Length）问题的带备忘的版本通常指的是使用动态规划（Dynamic Programming, DP）和备忘录（Memoization）来优化算法性能，避免重复计算。通过维护一个表（即“备忘录”）来存储已经计算过的子问题的解，从而在解决新问题时可以直接查找已存储的结果，而不是重新计算。
首先需要科普一下，最长公共子序列（longest common sequence）和最长公共子串（longest common substring）不是一回事儿。什么是子序列呢？即一个给定的序列的子序列，就是将给定序列中零个或多个元素去掉之后得到的结果。什么是子串呢？给定串中任意个连续的字符组成的子序列称为该串的子串。给一个图再解释一下：
这是 LeetCode 上的「1713. 得到子序列的最少操作次数」，难度为「困难」。
给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000。
最长公共子序列运用十分广泛，例如人脸识别，相似度比较等方面。子序列表示原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。 比如：“abc”，“ac”是子序列，但“ca”不是 实现代码：
动态规划最长公共子序列（LCS）问题（Java实现） 首先，明白一个公共子序列和公共子串的区别 公共子序列： 可以不连续 公共子串： 必须连续 问题分析 --- 求最长公共子序列，先明白两个概念 子序列 - 一个给定序列中删去若干元素后得到的序列 公共子序列 - 给定两个序列X，Y，当另一序列Z 既是X 的子序列，又是Y 的子序列时，就称Z 为X、Y 的公共子序列 明白上述两个概念后，我们就可以开始搜索最长公共子序列 这个问题可以使用暴力方法解决，但是由于要全部搜索一遍，时间复杂度为 O(n2<su
希望上海疫情尽早过去，其实有一段稳定的时间是比较适合沉淀一下技术的，多少还是自己有些散漫，近期应该会恢复更新《手撕MySQL》系列文章。这篇文章通过一道经典例题：最长公共子序列，给大家讲讲动态规划，并且给出一道LeetCode周赛动态规划题作为练手并讲解，相信看完文章之后，你会对动态规划有更深的理解。
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 。
在Go语言中，求两个序列的最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）可以使用动态规划（Dynamic Programming, DP）的方法。下面是一个Go语言实现的示例代码，用于找到给定两个序列的LCS：
众所周知，很多社区都是有内容审核机制的，除了第一次发布，后续的修改也需要审核，最粗暴的方式当然是从头再看一遍，但是编辑肯定想弄死你，显然这样效率比较低，比如就改了一个错别字，再看几遍可能也看不出来，所以如果能知道每次都修改了些什么，就像git的diff一样，那就方便很多了，本文就来简单实现一个。
给定两个序列 ，设 为 的长度，其中 分别表示 从首元素到第 i 个元素的一段、 从首元素到第 个元素的一段, 分别表示 中第 i个元素、 中第 个元素，序列 和 的长度分别为 和 。则 的状态转移方程为：
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。
作者：司徒正美 链接：https://segmentfault.com/a/1190000012864957 最长公共子序列（Longest Common Subsequence LCS）是从给定的两个序列X和Y中取出尽可能多的一部分字符，按照它们在原序列排列的先后次序排列得到。LCS问题的算法用途广泛，如在软件不同版本的管理中，用LCS算法找到新旧版本的异同处;在软件测试中，用LCS算法对录制和回放的序列进行比较，在基因工程领域，用LCS算法检查患者DNA连与键康DNA链的异同;在防抄袭系统中，用LCS算
动态规划是一种常见的算法设计方法，主要用于优化多阶段决策问题的求解过程，具有高效性和可靠性。其基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，逐个求解这些子问题，并保存每个子问题的结果，避免重复计算，以便快速地求出原问题的解。动态规划主要应用于最优化问题，如最长公共子序列、背包问题等。
动态规划处理字符相关案例中，求最长公共子序列以及求最短编辑距离，算是经典中的经典案例。
一个字符串的子序列是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
很久前就有小伙伴被动态规划所折磨，确实，很多题动态规划确实太难看出了了，甚至有的题看了题解理解起来都费劲半天。
最长公共子序列，。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。
动态规划并不是一种具体的算法，而是一种思想，个人觉得就是缓存+枚举，把求解的问题分成许多阶段或者多个子问题，然后按顺序求解各子问题。前一子问题的解为后一子问题提供了有用的信息。在求解任一子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。
最长公共子序列(LCS,Longest Common Subsequence)。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。而最长公共子串(要求连续)和最长公共子序列是不同的。 设X(m)={x(1), x(2), x(3),....,x(m)} 和 Y(n)={y(1), y(2), y(3),....,y(n)}的最长公共子序列Z(k)={z(1), z(2),z(3),....,z(k)} 首先，将原问题分解为子
本文记录寻找两个字符串最长公共子串和子序列的方法。 名词区别 最长公共子串（Longest Common Substring）与最长公共子序列（Longest Common Subsequence）的区别： 子串要求在原字符串中是连续的，而子序列则只需保持相对顺序，并不要求连续。 最长公共子串 是指两个字符串中最长连续相同的子串长度。 例如：str1=“1AB2345CD”,str2=”12345EF”,则str1，str2的最长公共子串为2345。 动态规划 如果 str1 的长度为
这一节的题目绝大部分都是选择的Leetcode中的hard（当然也有少部分的medium）。主要是挑选了一些之前看过的高频题。这些题目没有什么通用的解法，每一个题都需要仔细的去建模和考量，才能够写出对应的状态转移方程。读者可以尝试自己先思考，也可以通过解析摸一摸困难的动态规划题，可能会有哪些难点。
一、动态规划的基本思想 动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。 在这类问题中，可能会有许多可行解。 每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。 基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。 适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。 如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。 我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。 这就是动态规划法的基本思路。 具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。 二、设计动态规划法的步骤 找出最优解的性质，并刻画其结构特征； 递归地定义最优值（写出动态规划方程）； 以自底向上的方式计算出最优值； 根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。 步骤1～3是动态规划算法的基本步骤。 在只需要求出最优值的情形，步骤4可以省略； 若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤4。 三、动态规划问题的特征 动态规划算法的有效性依赖于问题本身所具有的两个重要性质： 最优子结构： 当问题的最优解包含了其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。 重叠子问题： 在用递归算法自顶向下解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，在以后尽可能多地利用这些子问题的解。
写在前面：从本章开始，算法导论章节进入第四部分：高级设计和分析技术。在读的过程中，可以明显感觉到本章内容跟之前章节的内容要复杂得多。这么来说，之前章节的内容更多的是在教我们使用一些在算法设计过程中常用的工具（即数据结构），而本章以后的内容是在述说更上层的方法论（如何根据不同的问题精确地设计不同的算法）。这就好比建房子时，有了一切所需的工具之后，如何根据不同的地段或房主的要求，设计出切实可行的房子结构，这取决于建筑设计师的思想。因此，本章以后的内容在某种程度上更为复杂，尤其是动态规划这章。曾经听搞
最长公共字串，最长公共子序列，最长递增子序列都是典型的动态规划问题，最长公共子串和最长公共子序列的差别是最长公共子序列可以不连续，但是最长公共子串必须连续。先来看最长公共子串，首先会想到暴力法解决，最长公共子串的暴力法会达到指数级，所以我们直接用dp解决，先确定状态，由于最长公共子串必须是连续的，所以我们这个状态很好想出来，dp[i][j]代表字符串str1位置i之前和str2位置j之前公共子串多长，下面确定状态转移方程
解释：一个字符串的子序列是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串，如下图示：
最长公共子序列是一个经典的基础算法问题 在两个序列中 如果序列1中的元素a也存在于序列2，则认为a是1，2的公共元素。 当序列3中的每一个元素都能够满足在不改变次序的情况下依次属于1，2，那么则认为3是1，2的公共子序列。多个公共子序列中，元素最多的即为最长公共子序列。
1、先建立一个二维数组array[str1.size()][str2.size()]（全部初始化为0），初始化第一行和第一列（元素相同处置1），然后进入状态方程
最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称 LCS）是一道非常经典的面试题目，因为它的解法是典型的二维动态规划，大部分比较困难的字符串问题都和这个问题一个套路，比如说编辑距离。而且，这个算法稍加改造就可以用于解决其他问题，所以说 LCS 算法是值得掌握的。
四、硬币找零问题 给你不同面值的硬币和金额总额。写一个函数来计算需要最少数量的硬币。如果钱不能由当前硬币组合，返回-1 我们首先提炼这个问题的特征，①硬币可重复多次使用，②对于每一枚硬币，都有两种决策，选或者不选。那么我们先试着把暴力代码写出来 image.png 图4-1找零暴力代码 这里有两个注意点，第一，某种硬币可以无限拿，这种方式如何表示？其实只要在你选择这个硬币之后，idx不加1，这样下次就还是拿这种硬币。第二，无法找零的情况，要返回-1，但是我们这里有加1，可能导致最后输出的值不是-1
给定一个如下图所示的数字三角形，从顶部出发，在每一结点可以选择移动至其左下方的结点或移动至其右下方的结点，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的数字的和最大。
【导读】最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称 LCS）是一道非常经典的面试题目，因为它的解法是典型的二维动态规划，大部分比较困难的字符串问题都和这个问题一个套路，比如说编辑距离。而且，这个算法稍加改造就可以用于解决其他问题，所以说 LCS 算法是值得掌握的。
这是力扣的 1732 题，难度为简单，解题方案有很多种，本文讲解我认为最奇妙的一种。
动态规划篇——线性DP 本次我们介绍动态规划篇的线性DP，我们会从下面几个角度来介绍： 数字三角形 最长上升子序列I 最长上升子序列II 最长公共子序列 最短编辑距离 数字三角形 我们首先介绍一下题目： /*题目概述*/ 给定一个如下图所示的数字三角形，从顶部出发，在每一结点可以选择移动至其左下方的结点或移动至其右下方的结点，一直走到底层 要求找出一条路径，使路径上的数字的和最大。 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4
当ｉ＝１，则ｄｐ［１］＝２；因为ｄｐ［ｉ］会和之前每一个元素ｊ代替进行比对，当ａ［ｉ］＜ａ［ｊ］，并且ｄｐ［ｊ］＋１＞ｄｐ［ｉ］．则ｄｐ［ｉ］＝ｄｐ［ｊ］＋１
首先，子序列问题本身就相对子串、子数组更困难一些，因为前者是不连续的序列，而后两者是连续的，就算穷举都不容易，更别说求解相关的算法问题了。
动态规划可以被视为一种有限状态自动机，其中每个状态代表了问题的一个子集，状态之间的转移代表了子问题之间的关联。在有向无环图（Directed Acyclic Graph，简称DAG）中，每个节点代表一个状态，而边则代表了状态之间的转移关系。通过这种方式，动态规划将问题转化为在一个DAG上寻找最优路径的问题。
前面的一系列文章跟大家分享了各种数据结构和算法的实现，本文将分享一些算法的设计技巧：分而治之、动态规划，使用这些技巧可以借算法来解决问题，提升自己解决问题的能力，欢迎各位感兴趣的开发者阅读本文。
http://blog.csdn.net/nevasun/article/details/6977511
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