2 第二条：从0到3，再从3到2 相关题目： Problem Description 题目给出一个有n个节点的有向图，求该有向图中长度为k的路径条数。...Output 输出一个整数，即为图中长度为k的路径的条数。...分析： 1) 2) A^2中，a[0][3]=3，位于 0 行 3 列元素值的含义是从顶点0到顶点3长度为2的路径一共有3条。...3) B^m（2≤m≤n）中位于 i 行 j 列（0≤i，j≤n-1）的非零元素的含义是：图中从顶点 i 到顶点 j长度为 m 的路径条数。...] + "条"); System.out.println("所有顶点中，长度为" + m + "的路径条数一共是" + count + "条"); } } 将上述问答题的矩阵带入程序
图中的所有顶点构建成一个顶点集合。是图的组成部分。...Tips：顶点可以是现实世界中的城市、地名、站名、人…… 边： 图中的边用来描述顶点之间的关系，图中所有边构建成一个边的集合，所以说，图包括了顶点集合和边集合，两者缺一不可。...findVertexs( )：查询所有顶点信息。 findPath( fv,tv)：查找从一个顶点到另一个顶点之间的路径。 …… 3....搜索路径 ---- 在图中经常做的操作，就是查找从一个顶点到另一个顶点的路径。 什么是路径？ 无权图中，路径指从一个顶点到另一个顶点经过边的数量。...有权图中，路径指从一个顶点到另一个顶点经过的所有边上权重相加之和。 如查找到 A1 到 E5 之间的路径长度： 直观思维角度查找一下，可以找到如下路径以及路径长度。
结点的路径长度是指从根结点到该结点的路径上分支的数目 树的带权路径长度是指树中所有叶结点的带权路径长度之和 给定n个权值并作为n个叶结点按一定规则构造一棵二叉树，使其带权路径长度达到最小值，则这棵二叉树被称为最优二叉树...，也称哈夫曼树 完全无向图中的每两个顶点之间都存在着一条边 完全有向图中的每两个顶点之间都存在着方向相反的两条边 假设图中有n个顶点，e条边，则： 完全无向图含有e=n(n-1)/2条边； 完全有向图含有...e=n(n-1)条边； 在一个无向图中，若存在一条边(u,v),则称顶点u与v互为邻接点 顶点的度是指图中与该顶点相关联的边的数目 有向图顶点的度 顶点v的入边数目是该顶点的入度，记为ID(v)...; 顶点v的出边数目是该顶点的出度，记为OD(v); 顶点v的度等于它的入度和出度之和，即D(v)=ID(v)+OD(v) 若无向图G中任意两个顶点之间都有路径相通，则称此图为连通图 若无向图为非连通图...，则图中各个极大连通子图称作此图的连通分量 若有向图中任意两个顶点之间都存在一条有向路径，则称此有向图为强连通图 常见的图的存储结构有两种，分别为：邻接矩阵和邻接表 无向图的邻接矩阵是对称的(可采用压缩存储
add_edge(fv，tv，w )：在 2 个项点之间建立起一条边并指定连接权重。 find_vertex( key ) : 根据关键字 key 在图中查找顶点。...find_vertexs( )：查询所有顶点信息。 find_path( fv,tv)：查找.从一个顶点到另一个顶点之间的路径。 2....[] # 暂省略…… 初始化方法用来初始化图中的数据类型： 一维列表 vert_list 保存所有顶点数据。...搜索路径 在图中经常做的操作，就是查找从一个顶点到另一个顶点的路径。...如怎么查找到 A0 到 E4 之间的路径长度： 以人的直观思维角度查找一下，可以找到如下路径： {A0，B1，C2，E4}路径长度为 8。 {A0，D3，E4} 路径长度为 7。
2.注意： 图中元素称为顶点（Vertex） 线性表中可以没有元素称为空表，树中可以没有结点叫做空树，图结构中不允许没有顶点 图中任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示 3.各种图定义...从图中的某个顶点v出发，访问此顶点，然后从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和v有路径想通的顶点都被访问到。...若图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中所有访问点都被访问到为止。...，而是一步步求出它们之间顶点的最短路径，过程中都是基于已经求出的最短路径的基础上，求得最远顶点的最短路径，最终得到结果 解决了从某个源点到其余各顶点的最短路径问题，时间复杂度为O(n^3) 3.费洛伊德...Floyd）算法 公式：D0[v][w]=min{D-1[v][w],D-1[v][0]+D-1[0][w]} 代码简洁，一个二重循环初始化加一个三重循环权值修正，时间复杂度也是O(n^3)，如果面临需要求所有顶点至所有顶点的最短路径问题时
图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间的边的集合组成，通常表示为:G(V,E), 其中G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。...接下来我们把图的定义与线性表定义的进行一下对比，让我们来更好的体会一下图的各种定义与其他数据结构的差异: 线性表中，我们把数据元素叫做元素，树种将数据元素叫结点，在图中的数据元素，我们则称之为顶点。...线性表中，相邻的数据元素之间具有线性关系，树结构中，相邻两层的结点具有层次关系，而图中，任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以是空的。...图的定义我们就暂时讲到这里，更细致的定义希望大家自己在网络或者书籍中获取资料，毕竟我写的再多，也不如教科书详尽，今天我们就来讲一个图的应用，关于路径查找的问题。...在这里我想先说明，我们的路径查找是一种针对无向图的路径查找，比如给出起始点A，查询顶点A至顶点B是否有路径，若是有路径，则打印出A至B的路径。而这个路径，我们寻找的不一定是最短路径。
前言 因无向、无加权图的任意顶点之间的最短路径由顶点之间的边数决定，可以直接使用原始定义的广度优先搜索算法查找。...但是，无论是有向、还是无向，只要是加权图，最短路径长度的定义是：起点到终点之间所有路径中权重总和最小的那条路径。...当所有边更新完毕后，需要重新开始，对图结构中所有边上的顶点权重再进行一次更新，一至到不再引起权重变化时 BF 算法才算结束。 BF 算法的本质还是广度优先搜索算法，附加了更新顶点权重的逻辑。...DJ 算法相比较 BF 算法有 2 个不同的地方： 在无向加权图中，BF 算法需要对相邻 2 个顶点进行双向权重计算。 DJ 算法搜索时，每次选择的下一个顶点是所有权重值最小的顶点。...总结 在加权图中查找最短路径长度算法除了 BF、DJ 算法，还有 A* 算法 D* 算法。有兴趣的可以自行了解。
这里提供了NeighborVertex类型，在Vertex类型的基础之上封装了权重。 1.1.2 图类 图类用于维护l图中的所有顶点以及顶点之间的关系，以及针对于图的相关算法。...id); //显示所有顶点 void showAllVers(); }; 查找函数： 查找算法有 2 种方案： 按值查找。...权重可以是时间、速度、量程数…… 2.1 无权无向图最短路径算法 查找无向图中任意两个顶点间的最短路径长度，可以直接使用广度搜索算法。如下图求解 A0 ~ F5 的最短路径。...A0-D3-E4-F5 的路径为 3。 编码实现广度优先算法： 在图类添加广度搜索函数： 在图类添加如下函数：使用广度优先搜索算法查找顶点与顶点之间的路径。...因有向加权图中的边是有权重的。故对于有向加权图则需要另择方案。 3. 总结 本文讲解了如何使用链表存储图数据结构，以及使用广度搜索算法实现无向无权重图中顶点之间的路径搜索。
，直至图中所有和V0有路径相通的顶点都被访问到。...简述图的广度优先搜索 从图中的某个顶点V0出发，并在访问此顶点之后依次访问V0的所有未被访问过的邻接点，之后按这些顶点被访问的先后次序依次访问它们的邻接点，直至图中所有和V0有路径相通的顶点都被访问到。...在添加的顶点 w 和已经在生成树上的顶点v 之间必定存在一条边，并且该边的权值在所有连通顶点 v 和 w 之间的边中取值最小。之后继续往生成树上添加顶点，直至生成树上含有 n-1 个顶点为止。...n次循环至n个顶点全部遍历： 从权值数组中找到权值最小的，标记该边端点k 打印该路径及权值 如果存在经过顶点k到顶点i的边比v->i的权值小 更新权值数组及对应路径 简述堆 堆是一种完全二叉树形式，其可分为最大值堆和最小值堆...； 二叉查找树的右子树若不为空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； 二叉查找树的左、右子树也分别为二叉查找树； 没有键值相等的结点。
访问顶点 v； 2. 依次从 v 的未被访问的邻接点出发，对图进行深度优先遍历；直至图中和 v 有路径相通的顶点都被访问； 3....若此时图中尚有顶点未被访问，则从一个未被访问的顶点出发，重新进行深度优先遍历，直到图中所有顶点均被访问过为止。...该算法的输入包含了一个有权重的有向图 G，以及 G 中的一个来源顶点 S。我们以 V 表示 G 中所有顶点的集合。每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。...因此，w(u,v) 就是从顶点 u 到顶点 v 的非负权重（weight）。边的权重可以想像成两个顶点之间的距离。任两点间路径的权重，就是该路径上所有边的权重总和。...已知有 V 中有顶点 s 及 t，Dijkstra 算法可以找到 s 到 t 的最低权重路径 (例如，最短路径)。这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点 s 到任何其他顶点的最短路径。
如果考虑到带权的结点，结点的带权的路径长度为从该结点到树根之间的路径长度与结点上权的乘积。树的带权路径长度为树中所有叶子结点的带权路径长度之和。 假设有n个权值{w1,w2,......如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图（Directed graphs）。 简单图——在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。...在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有n(n-1)/2条边。 在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。...图中顶点间存在路径，两顶点存在路径则说明是连通的，如果路径最终回到起始点则称为环，当中不重复叫简单路径。若任意两顶点都是连通的，则图就是连通图，有向则称强连通图。...计算最短路径： 迪杰斯特拉（Dijkstra）算法——并不是一下子就求出了源点到终点的最短路径，而是一步步求出它们之间顶点的最短路径，过程中都是基于已经求出的最短路径的基础上，求得更远顶点的最短路径，
例如：在 n 个城市之间铺设光缆，以保证这 n 个城市中的任意两个城市之间都可以通信。由于铺设光缆的价格很高，且各个城市之间的距离不同，这就使得在各个城市之间铺设光缆的价格不同。...连通图：在无向图中，若任意两个顶点与都有路径相通，则称该无向图为连通图。 强连通图：在有向图中，若任意两个顶点与都有路径相通，则称该有向图为强连通图。...由于顶点A、C均被标记，故不能选择距离为3的路径。此时应选择距离最短边（C，B）。标记B、并将B添加至集合U中。 （4）集合U新加入顶点B。与顶点B邻接顶点有A、C、D、F。...4 克鲁斯卡算法——Kruskal算法 4.1 算法流程 （1）把图中的所有边按代价从小到大排序。 （2）把图中的n个顶点看成独立的n棵树组成的森林。 ...最小生成树为： img 4.3 性能分析 Kruskal算法为了提高每次贪心选择时查找最短边的效率，可以先将图G中的边按代价从小到达排序，则这个操作的时间复杂度为O(elge)，其中e为无向连通网中边的个数
（3）在所有路径中选择距离最短的路径。 3.3 实例图解 例如：图3.3.1所示的有向图中，选取A为源点，D为终点，采用遍历的方式获取最短路径。...若上述操作没有对dist进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。否则执行下次循环； （3）检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。...（2）读取队列头的顶点，并将头顶点u出队列，将与u邻接的所有顶点v进行松弛，若v没有在队列中，则将邻接顶点v入队列。如果已经在队列中，则不再入队。 （3）队列为空时，单源最短路径查找完毕。...7.2 算法流程 （1）从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。 ...（3）顶点2到顶点3又可以通过顶点4中转，经过转后顶点2至顶点5距离为12。此时路径为2->4->3->5。
2 重要概念 有向无环图（Directed Acyclic Graph, DAG）是有向图的一种，字面意思的理解就是图中没有环。常常被用来表示事件之间的驱动依赖关系，管理任务之间的调度。...如果用图中的顶点表示活动，以有向图的弧表示活动之间的优先关系，这样的有向图称为AOV网，即顶点表示活动的网。...在AOV网中，如果从顶点vi到顶点j之间存在一条路径，则顶点vi是顶点vj的前驱，顶点vj是顶点vi的后继。活动中的制约关系可以通过AOV网中的表示。...（2）从图中删除该节点及其所有出边（即与之邻接的所有顶点入度-1） （3）反复执行这两个步骤，直至所有节点都输出，即整个拓扑排序完成；或者直至剩下的图中再没有入度为0的节点，这就说明此图中有回路，不可能进行拓扑排序...（4）回退至顶点2，顶点2出度为0，顶点2入栈。 （5）回退至顶点1，顶点1可以前进位置为顶点4，顺序为1->4。 （6）顶点4出度为0，顶点4入栈。
如果一个图有n个顶点，并且有小于n-1条边，则此图必是非连通图。 强连通图、强连通分量：在有向图中，若从顶点v到顶点w和从顶点w到顶点v之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的。...邻接矩阵法 所谓邻接矩阵存储，就是用一个一维数组存储图中顶点的信息，用一个二维数组存储图中边的信息（即各顶点之间的邻接关系）。...i个顶点的出度（或入度） 用邻接矩阵发存储图，很容易确定图中任意两个顶点之间是否有边相连。...当采用邻接表存储时，查找所有顶点的邻接点所需要的时间为O(|E|)，访问顶点所需要时间为O(|V|)，此时，算法的总时间复杂度为O(|V|+|E|)。...图的应用 图的应用主要包括：最小生成（代价）树、最短路径、拓扑排序和关键路径。 最小生成树 一个连通图的生成树是图的极小连通子图，它包含图中的所有顶点，并且只含尽可能少的边。
有向图(i,j)是关联至（incident to）顶点j而关联于（incident from）顶点i。 ? 如果图的所有边都是无向边，那么该图叫做无向图。...如果图的所有边都是有向边，那么该图叫做有向图。 一个图不能有重复的边。在无向图的任意两个顶点之间，最多只能有一条边。在有向图的任意两个顶点i和j之间，从顶点i到顶点j最多有一条边。...一条路径的长度时该路径的所有边长度之和。从路口i到路口j的最短路径是在相应的网络（即加权有向图）中从顶点i到顶点j的最短路径。 设G=(V,E)是一个无向图。...我们需要找到能够覆盖所有语言顶点的最小翻译人员顶点集。 如下图，对这个问题进行描述： ? 特性 在一个无向图中，与一个顶点i相关联的边数称为该顶点的度。 在无向图中，顶点的度之和是边数的2倍。...在无向图中，每一条边都与两个顶点相关联，因此顶点的度之和是边数的2倍。 一个顶点的度在0~n-1之间，因此度的和在n~n(n-1)之间，则边数在0~n(n-1)/2之间。
Linux内核在管理vm_area_struct（虚拟内存）时就是采用了红黑树来维护内存块的。 图的相关概念 图结构中结点之间的关系是任意的，图中的任意两个结点都可能有关系。...最短路径 Dijkstra算法（迪杰斯特拉） 迪杰斯特拉算法 用于计算图中某一结点到其余顶点的最短路径 思路： 集合s存放图中一找到最短路径的顶点 集合U存放途中剩余顶点 算法步骤： 算法步骤： a.初始时...算法描述： a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。...拓扑算法的核心 过程： 从有向图中选择一个没有前驱（入读为0）的顶点输出 删除1中的顶点，并且删除从该顶点发出的全部边 一直重复 若图中没有环的时候，还可采用深度优先搜索遍历的方法进行拓扑排序 关键路径的相关概念...本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容， 请发送邮件至 举报，一经查实，本站将立刻删除。
（3）可以很方便地查找图中任一条边或弧的权值，只要 A[i][j]为 0 或∞，就说明顶点 vi 和 vj 之间不存在边或弧。...假设初始状态是图中所有顶点未曾被访问过，则深度优先遍历可从图中某个顶点 v 出发，访问此顶点，然后依次从 v 的未被访问的邻接顶点出发深度优先遍历图，直至图中所有和 v 有路径相通的顶点都被遍历过。...换句话说，广度优先遍历图的过程是以某个顶点 v 作为起始点，由近至远，依次访问和 v 有路径相通且路径长度为 1， 2，…的顶点。...那么，这个问题就可归结为在网中求顶点 A 到顶点 B 的所有路径中边的权值之和最小的那一条路径，这条路径就是两个顶点之间的最短路径(Shortest Path)，并称路径上的第一个顶点为源点（Source...最短路径是网中求一个顶点到另一个顶点的所有路径中边的权值之和最小的路径。可以求从一个顶点到网中其余顶点的最短路径，这称之为单源点问题，也可以求网中任意两个顶点之间的最短路径。本章只讨论了单源点问题。
在有向加权图中，会以附加在每条边上的权重的数据含义来衡量。权重可以是时间、速度、量程数…… 2.1 无向图最短路径算法 查找无向图中任意两个顶点间的最短路径长度，可以直接使用广度搜索算法。...如下图求解 A0 ~ F5 的最短路径。 Tips： 无向图中任意 2 个顶点间的最短路径长度由边数决定。...：用来广度优先搜索算法查找顶点与顶点之间的路径 ''' 广度优先搜索 ''' def bfs_nearest_path(self, from_v, to_v):...--------顶点及顶点之间的关系-------------') for v in graph.find_vertexes(): print(v) # 查找路径...，查找起始点到目标点的最短路径，使用广度优先搜索算法便可实现，但如果是有向加权图，可能不会称心如愿。
遍历或搜索是可在图上执行的基本操作之一。在广度优先搜索(BFS)中，我们从一个特定的顶点开始，在进入下一层的顶点之前探索它当前深度的所有邻居。...图3表示对图2中使用的同一个示例图进行DFS遍历的动画。注意它是如何遍历到深度和回溯的。 应用 用于查找两个顶点之间的路径。 用于检测图中的循环。 用于拓扑排序。...用于解决只有一个解的谜题(如迷宫) 最短路径 ? 从一个顶点到另一个顶点的最短路径是图中应该移动的边的权值总和最小的路径。 图4显示了一个动画，其中确定了图中顶点1到顶点6的最短路径。...算法 Dijkstra的最短路径算法 、bellman算法 应用 用于在谷歌maps或Apple maps等地图软件中查找从一个地方到另一个地方的路线。 用于网络中解决最小时延路径问题。...循环是图中第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。如果我们从一个顶点出发，沿着一条路径，最后到达起始点，那么这条路径就是一个循环。循环检测是检测这些循环的过程。图5显示了遍历一个循环的动画。
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