不同于前者，ARP的基本特征是车队从一个仓库出发，对所有需要服务的边进行作业，而不是在顶点进行服务。弧路径问题大致可以分为三类：中国邮路问题、乡村邮路问题和带容量约束的弧路径问题。...自1981年Golden和Wong提出带容量约束的弧路径问题（Capacitated Arc Routing Problem，简称CARP）后，CARP便普遍应用在日常生活中，特别是市政服务方面，如道路洒水车路径规划...P2 问题和模型 给定一个无向图G=(V,E)，CARP有如下一些基本的定义： 虽然Golden等(1981)首次定义了CARP的数学模型，但由于模型的变量和约束会随着规模呈现指数增长，不利于求解，所以下面介绍...首先对其他符号说明如下： 决策变量： 建立如下整数规划(IP)模型： 目标函数(1)表示最小化总行驶成本； 约束(2)表示所有需求边都得被服务，且每条需求边只能被一辆车服务； 约束(3)限制车辆不得超载...，或者问题中对个别重要路径限制了比较短的服务时间窗 带补给点CARP 该问题是指车辆在道路进行服务过程中，中途的顶点可以对服务车进行原料补充。
在该方向上寻找使得函数值最小的步长，通过求解如下一元函数优化问题实现 ? 优化变量是α。实现时有两种方案。第一种方案是将α的取值离散化，即取典型值 ? ，分别计算取这些值的目标函数值然后确定最优值。...给定数学期望与方差即有如下等式约束 ? 为了保证p(x)是一个概率密度函数，还有如下约束 ? 熵对应的泛函为 ? 这是一个带等式约束的泛函极值问题。构造拉格朗日乘子泛函 ?...代入目标函数中，得到只有变量e的函数 ? 上式的后半部分和e无关，由于e是单位向量，因此有 ? 的约束，这可以写成 ? 。要求解的是一个带等式约束的极值问题，可以使用拉格朗日乘数法。...即求解下面的优化问题： ? 其中tr为矩阵的迹，I为单位矩阵，该等式约束保证投影基向量是标准正交基。与一维的情况相同，其解为如下矩阵的特征值 ? 矩阵W的列 ? 是要求解的基向量。...的邻居集合里则权重值为0。另外限定权重矩阵的每一行元素之和为1，即： ? 这是一个带约束的优化问题，求解该问题可以得到权重系数。假设算法将向量从D维空间的x映射为d维空间的y。
draw_grid.m %DRAW_GRID % Screen plot of grid tic [X,Y] = meshgrid([0,cumsum(d...
机器学习要求解的数学模型 几乎所有的机器学习算法最后都归结为求一个目标函数的极值，即最优化问题，例如对于有监督学习，我们要找到一个最佳的映射函数f (x)，使得对训练样本的损失函数最小化（最小化经验风险或结构风险...矩阵正定，函数在该点有极小值 如果Hessian矩阵负定，函数在该点有极大值 如果Hessian矩阵不定，还需要看更（此处误） 在导数为0的点处，函数可能不取极值，这称为鞍点，下图是鞍点的一个例子（来自...对于带等式约束的极值问题，经典的解决方案是拉格朗日乘数法。 对于如下问题： 构造拉格朗日乘子函数： 在最优点处对x和乘子变量λi的导数都必须为0： 解这个方程即可得到最优解。...解决这个问题可以通过调整牛顿方向的步长来实现，目前常用的方法有两种：直线搜索和可信区域法。可信域牛顿法是截断牛顿法的一个变种，用于求解带界限约束的最优化问题。...隐马尔可夫模型的解码算法（维特比算法），强化学习中的动态规划算法是这类方法的典型代表，此类算法一般是离散变量的优化，而且是组合优化问题。前面讲述的基于导数的优化算法都无法使用。
机器学习要求解的数学模型 ---- 几乎所有的机器学习算法最后都归结为求一个目标函数的极值，即最优化问题，例如对于有监督学习，我们要找到一个最佳的映射函数f (x)，使得对训练样本的损失函数最小化（最小化经验风险或结构风险...矩阵正定，函数在该点有极小值 如果Hessian矩阵负定，函数在该点有极大值 如果Hessian矩阵不定，还需要看更（此处误） 在导数为0的点处，函数可能不取极值，这称为鞍点，下图是鞍点的一个例子（来自...对于一些实际应用问题，一般还带有等式或者不等式约束条件。对于带等式约束的极值问题，经典的解决方案是拉格朗日乘数法。...解决这个问题可以通过调整牛顿方向的步长来实现，目前常用的方法有两种：直线搜索和可信区域法。可信域牛顿法是截断牛顿法的一个变种，用于求解带界限约束的最优化问题。...隐马尔可夫模型的解码算法（维特比算法），强化学习中的动态规划算法是这类方法的典型代表，此类算法一般是离散变量的优化，而且是组合优化问题。前面讲述的基于导数的优化算法都无法使用。
缺点： 对输入数据的表达形式很敏感（离散、连续，值极大极小之类的） 线性回归 线性回归试图学得一个线性模型以尽可能准确地预测实值输出标记。...缺点 梯度下降法的最大问题就是会陷入局部最优，靠近极小值时收敛速度减慢。...2、批量梯度下降法 最小化所有训练样本的损失函数，使得最终求解的是全局的最优解，即求解的参数是使得风险函数最小，但是对于大规模样本问题效率低下。...5、拟牛顿法 拟牛顿法的本质思想是改善牛顿法每次需要求解复杂的Hessian矩阵的逆矩阵的缺陷，它使用正定矩阵来近似Hessian矩阵的逆，从而简化了运算的复杂度。...6、拉格朗日法 拉格朗日乘数法 拉格朗日乘子法主要用于解决约束优化问题，它的基本思想就是通过引入拉格朗日乘子来将含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有（n+k）个变量的无约束优化问题。
KKT条件:通常我们要求解的最优化条件有如下三种: 无约束优化问题:通常使用求导,使导数为零,求解候选最优值 有等式约束的优化问题:通常使用拉格朗日乘子法,即把等式约束用拉格朗日乘子和优化问题合并为一个式子...将原始问题 ? 转换为无约束最优化的对偶问题 ? .首先求解内部的极小化问题,即求L(P,W)对P(y|x)的偏导数 ? ,并令偏导数等于0,解得 ?...策略:间隔最大化,可形式化为一个求解凸二次规划的问题,也等价于正则化的合页损失函数的最小化问题....支持向量机的最优化问题一般通过对偶问题化为凸二次规划问题求解,具体步骤是将等式约束条件代入优化目标,通过求偏导求得优化目标在不等式约束条件下的极值....,其中b(x,γm)为基函数,γm为基函数的参数,βm为基函数的系数.在给定损失函数L(y,f(x))的条件下,学习加法模型就是求解损失函数极小化问题 ?
SciPy很适合用于十分依赖数学和数值运算的问题，其内部的模块包括优化模块、线性代数模块、统计模块、傅里叶变化模块、积分模块、信号处理模块、图像处理模块、稀疏矩阵模块、插值模块等。...SciPy中本专业比较重要且常用的有优化、线性代数、统计这三个模块： 拟合与优化模块（scipy.optimize）： scipy.optimize提供了很多数值优化算法，包括多元标量函数的无约束极小化...、多元标量函数的有约束极小化、全局优化、最小二乘法、单变量函数求解、求根、线性规划、指派问题等问题的求解。...scipy.stats对离散统计分布和连续统计分布均可有效处理，内部函数包括离散统计分布的概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）、累积分布函数（Cumulative...求解该类问题最小值的方法一般是从初始点开始使用梯度下降法求解，因此模型输入中需要指定要求解的函数以及初始点，在optimize模块中可以使用bfgs算法（牛顿算法），代码及返回结果如下： optimize.fmin_bfgs
还是一样的原因，我们要解这个方程的根，就需要求解Jacobi矩阵，也就是说要求解下面这个问题 这里的 ， 为一个系数， ， ， 。...所以在一般的光滑优化里，对于约束和目标函数都没有很明显的形式限制，换句话说这是一个非常一般化的问题。 罚项法 罚项法 (Penalty Method) 的含义就是通过罚项来转换优化问题的性质。...换句话说，只要函数的约束条件不满足，就会根据它脱轨的情况来做一定的惩罚。所以如果要最小化这个函数，势必不能够不考虑约束条件的存在。...这样做一个最明显的特点就是把一个带约束优化的问题重新变回了无约束优化问题。 下面一个定理说明了这个方法的可行性。...Theorem 1: 考虑一个序列 并且 ，并且考虑设 为对应的 的全局极小值，那么 的极限点 就是原始带约束光滑优化问题的解。
等价于约束最优化问题 将求最大值问题改为等价的求最小值问题 引入拉格朗日乘子 将原始问题 转换为无约束最优化的对偶问题 首先求解内部的极小化问题,即求 L(P，W) 对 P(y|x) 的偏导数...支持向量机的最优化问题一般通过对偶问题化为凸二次规划问题求解，具体步骤是将等式约束条件代入优化目标,通过求偏导求得优化目标在不等式约束条件下的极值。...对偶算法：原始问题的对偶问题是,构造拉格朗日函数 先求对 w，b，ξ 的极小值，分别求偏导并令导数为0，得 代入原函数，再对极小值求 a 的极大值，得到 利用后三条约束消去 μ，再将求极大转换为求极小...不断地将原问题分解为子问题并对子问题求解，就可以求解原问题。注意子问题两个变量中只有一个是自由变量，另一个由等式约束确定。...在给定损失函数 L(y，f(x)) 的条件下，学习加法模型就是求解损失函数极小化问题 前向分步算法求解的想法是：从前往后，每一步只学习一个基函数及其系数，优化 得到参数 βm 和 γm，更新 ，
KKT 条件：通常我们要求解的最优化条件有如下三种： 无约束优化问题：通常使用求导，使导数为零，求解候选最优值。...首先求解内部的极小化问题,即求 L(P，W) 对 P(y|x) 的偏导数 ? 并令偏导数等于0，解得 ?...支持向量机的最优化问题一般通过对偶问题化为凸二次规划问题求解，具体步骤是将等式约束条件代入优化目标,通过求偏导求得优化目标在不等式约束条件下的极值。...不断地将原问题分解为子问题并对子问题求解，就可以求解原问题。注意子问题两个变量中只有一个是自由变量，另一个由等式约束确定。...其中 b(x，γm) 为基函数，γm 为基函数的参数，βm 为基函数的系数。在给定损失函数 L(y，f(x)) 的条件下，学习加法模型就是求解损失函数极小化问题 ?
这个问题的求解普遍使用的是SMO算法，这是一种分治法，它每次选择两个变量进行优化，这两个变量的优化问题是一个带等式和不等式约束条件的二次函数极值问题，可以求出公式解，并且这个问题也是凸优化问题。...在微积分中我们学习过，带等式约束的最优化问题可以用拉格朗日乘数法求解，对于既有等式约束又有不等式约束的问题，也有类似的条件定义函数的最优解-这就是KKT条件。对于如下优化问题： ?...这个原问题和我们要求解的最小化问题有同样的解，如果x违反了等式或不等式约束，上面问题的最优解是无穷大，因此不可能是问题的解。如果x满足等式和不等式约束，上面的问题的最优解就是 ? , 因此二者等价。...SMO算法 前面我们给出了SVM的对偶问题，但并没有说明对偶问题怎么求解。由于矩阵Q的规模和样本数相等，当训练样本数很大的时候，这个矩阵的规模很大，求解二次规划问题的经典算法将会遇到性能问题。...，从而保证目标函数是凸函数即开口向上的抛物线，有极小值。如果 ? 或者 ? ，该怎么处理？对于线性核或正定核函数，可以证明矩阵K的任意一个上述子问题对应的二阶子矩阵半正定，因此必定有 ?
面临的问题 和梯度下降法一样，牛顿法寻找的也是导数为0的点，这不一定是极值点，因此会面临局部极小值和鞍点问题，这在之前的文章中已经介绍过了，这里不再重复。...可信域牛顿法 可信域牛顿法（Trust Region Newton Methods）可以求解带界限约束的最优化问题，是对牛顿法的改进。...算法寻找一个 ，在满足约束条件 下近似最小化 。...L1正则化L2损失函数线性支持向量机训练时求解如下最优化问题： 目标函数的前半部分其中为L1范数的正则化项，后半部分括号里为合页损失函数。...函数solve_l1r_l2_svc实现求解L1正则化L2损失函数支持向量机原问题的坐标下降法。在这里我们重点看牛顿方向的计算，直线搜索，参数更新这三步，其他的可以忽略掉。
对于离散型随机变量，熵定义的是如下函数 ? 其中xi 为随机变量取第 i 个值的概率。约束条件为 ? 由于对数函数的定义域是非负的，因此可以去掉不等式约束。构造拉格朗日乘子函数 ?...可以证明，当两个分布相等的时候，交叉熵有极小值。假设第一个概率分布固定即p(x)为常数，此时交叉熵为如下形式的函数 ? 约束条件为 ? 构造拉格朗日乘子函数 ?...交叉熵函数的Hessian矩阵为： ? 该矩阵正定，因此交叉熵损失函数是凸函数，上面的极值点是极小值点。...这就是交叉熵的特殊情况，随机变量只取0和1两个值。要求该函数的最大值，等价于求下面函数的极小值： ? 目标函数的梯度为 ? Hessian矩阵为 ? 如果单个样本的特征向量为 ?...logistic回归求解的优化问题是不带约束条件的凸优化问题。可以证明，如果使用欧氏距离作为目标函数则无法保证目标函数是凸函数。
另外，如果Hessian矩阵不可逆，则这种方法失效。 4.拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法是一个理论结果，用于求解带有等式约束的函数极值。对于如下问题： ? 构造拉格朗日乘子函数： ?...拉格朗日对偶是其中的典型例子。对于如下带等式约束和不等式约束的优化问题： ? 与拉格朗日乘数法类似，构造广义拉格朗日函数： ? ? 必须满足 ? 的约束。原问题为： ?...上面的问题带有冗余，如果w是最优解，将其乘以一个不为0的系数之后还是最优解。为了消掉冗余，加上如下约束： ? 然后使用拉格朗日乘数法，最后归结于求解矩阵的特征值与特征向量： ?...这个问题带有太多的不等式约束，不易求解，因此通过拉格朗日对偶转换为对偶问题求解： ? 同样的，这个问题也是凸优化问题。...选择优化变量的依据是KKT条件，对这两个变量的优化是一个带等式和不等式约束的二次函数极值问题，可以直接得到公式解。另外，这个子问题同样是一个凸优化问题。 标准的支持向量机只能解决二分类问题。
另外，如果Hessian矩阵不可逆，则这种方法失效。 4. 拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法是一个理论结果，用于求解带有等式约束的函数极值。...对于如下带等式约束和不等式约束的优化问题： 与拉格朗日乘数法类似，构造广义拉格朗日函数： 必须满足 的约束。...则上面的重构误差最小化等价于求解如下问题： 通过拉格朗日乘数法可以证明，使得该函数取最小值的ej为散度矩阵最大的d'个特征值对应的单位长度特征向量。...这个问题带有太多的不等式约束，不易求解，因此通过拉格朗日对偶转换为对偶问题求解： 同样的，这个问题也是凸优化问题。...选择优化变量的依据是KKT条件，对这两个变量的优化是一个带等式和不等式约束的二次函数极值问题，可以直接得到公式解。另外，这个子问题同样是一个凸优化问题。 标准的支持向量机只能解决二分类问题。
另外，如果Hessian矩阵不可逆，则这种方法失效。 4.拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法是一个理论结果，用于求解带有等式约束的函数极值。...拉格朗日对偶是其中的典型例子。对于如下带等式约束和不等式约束的优化问题： 与拉格朗日乘数法类似，构造广义拉格朗日函数： 必须满足 的约束。...则上面的重构误差最小化等价于求解如下问题： 通过拉格朗日乘数法可以证明，使得该函数取最小值的ej为散度矩阵最大的d'个特征值对应的单位长度特征向量。...这个问题带有太多的不等式约束，不易求解，因此通过拉格朗日对偶转换为对偶问题求解： 同样的，这个问题也是凸优化问题。...选择优化变量的依据是KKT条件，对这两个变量的优化是一个带等式和不等式约束的二次函数极值问题，可以直接得到公式解。另外，这个子问题同样是一个凸优化问题。 标准的支持向量机只能解决二分类问题。
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