数值分析中，龙格－库塔法（Runge-Kutta methods）是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。
RK45求解器，又称为Dormand-Prince求解器。这是比较精确的求解器，可以快速地求解微分方程，但是，需要消耗一些内存。在matlab simulink中默认条件下，系统自动选择RK45求解器。用户可以根据实际问题，选择合适的求解器。
对于微分方程：y’=f(x,y) y(i+1)=y(i)+h*K1 K1=f(xi,yi) 当用点xi处的斜率近似值K1与右端点xi+1处的斜率K2的算术平均值作为平均斜率K*的近似值，那么就会得到二阶精度的改进拉格朗日中值定理： y(i+1)=y(i)+[h*( K1+ K2)/2] K1=f(xi,yi) K2=f(x(i)+h,y(i)+h*K1) 依次类推，如果在区间[xi,xi+1]内多预估几个点上的斜率值K1、K2、……Km，并用他们的加权平均数作为平均斜率K*的近似值，显然能构造出具有很高精度的高阶计算公式。经数学推导、求解，可以得出四阶龙格－库塔公式，也就是在工程中应用广泛的经典龙格－库塔算法： y(i+1)=y(i)+h*( K1+ 2*K2 +2*K3+ K4)/6 K1=f(x(i),y(i)) K2=f(x(i)+h/2,y(i)+h*K1/2) K3=f(x(i)+h/2,y(i)+h*K2/2) K4=f(x(i)+h,y(i)+h*K3) 通常所说的龙格-库塔法是指四阶而言的，我们可以仿二阶、三阶的情形推导出常用的标准四阶龙格-库塔法公式
在先前的仿真代码中，一般采用以dsolve函数求解车辆运动学微分方程的方式作为被控的车辆模型，形如：
对于多自由度机械臂， 为了研究机械臂的运动特性， 因此需要建立多自由度机械臂的半实物仿真系统以及全数值仿真系统， 而对其动力学的研究又是其中必不可少的环节之一。考虑到实时系统下， 计算机的运算速度以及数据通讯速度， 用于模拟机械臂运动的正向动力学需满足实时性、 快速性以及稳定性。 为此，有必要研究一种针对多自由度冗余机械臂的实时动力学用于模拟机械臂的实际运动情况。
前期是分享了matlab下面实现四阶龙格库塔（Runge-Kutta）求解微分方程，这期分享一下C++、C、Java、Python下面的四阶龙格库塔（Runge-Kutta）求解微分方程。
功能函数：ode45，ode23，ode113 例：用RK方法（四阶龙格—库塔方法）求解方程 f=-2y+2x^2+2*x
小跳最近在搭建一个数值仿真环境，由于需要用到python里面的一些库，所以不得不把simulink的模型搬过来，我们都知道在simulink里，仿真的时候设置仿真步长和微分方程求解器是必要的步骤。但是为什么要设置这个小跳却早已忘记了。
昨晚分享的可以替代Matlab的几款开源科学计算软件（可以替代Matlab的几款开源科学计算软件），后台有读者留言说modelica，但本质上modelica不属于科学计算软件范畴，他属于系统仿真系列，故本文分享一些可以替代Simulink的几款开源系统仿真软件
就会有一个计算粒子随时间的位置的一阶常微分方程Ordinary Differential Equation (ODE)，一阶表示只有一阶的导数，常表示没有偏导
云机器人就是云计算与机器人学的结合。而机器人则是云机器人的主要终端，云可以为机器人提供数据监控以及分析服务，同时也可从远端遥操作机器人的动作。腾讯云社区为大家了解和使用腾讯云服务提供了优秀的平台。而对于机器人部分，下面给出关于机器人关键技术之一的动力学建模与仿真的介绍。
机器人的动力学仿真软件有很多，在之前的文章中【Robot-走近机器人动力学建模与仿真】也有详细的分类介绍，在众多的机器人仿真软件中，Adams 是科学研究中关于动力学仿真求解最稳定的。这主要是由于adams 具有强大的动力学微分仿真求解器.本文旨在详细介绍adams在机器人研发领域内的应用。
空间和时间相关问题的物理定律通常用偏微分方程（PDE）来描述。对于绝大多数的几何结构和所面对的问题来说，可能无法求出这些偏微分方程的解析解。不过，在通常的情况下，可以根据不同的离散化 类型来构造出近似的方程，得出与这些偏微分方程近似的数值模型方程，并可以用数值方法求解。如此，这些数值模型方程的解就是相应的偏微分方程真实解的近似解。有限元法（FEM）就是用来计算出这些近似解的。
什么是差分运算？如下图，数值计算过程我们计算函数上某点的导数时，可以选择某点附近（可以包含该点）的两个点，取这两个点的斜率来近似表示该点的导数。一阶导数有一阶向前差分、一阶向后差分和一阶中心差分。当然也有二阶导数的计算方法，如下图。
数学建模主要模型不单独写，参考数学模型第四版教材即可，只给出编程中一些重要的算法目录，如果有方法漏写，请评论区指出，笔者添加，谢谢QAQ
分享一下数值分析经常遇到的算法，代码有点多；算法原理之类的网上均可以找到，本文只给出对应的代码实现。
美赛马上来了，总结一下这些年参赛的算法(我打编程位)，数学建模主要模型不单独写，参考数学模型第四版教材即可，只给出编程中一些重要的算法目录，如果有方法漏写，请评论区指出，笔者添加，谢谢QAQ
振型叠加法解动力学方程 振型叠加法求解动力学方程由两个步骤组成：一是求解结构的固有频率和振型；二是求解结构的动力响应。本文重点讨论第二步。 对于结构的运动方程 引入坐标变换 式中， ，，， 称为广义位移。此变换的意义是将看成是的线性组合。从数学上看，是将位移从有限元系统的节点位移向量为基向量(物理坐标)的维空间转换到以为基向量(振型坐标)的维空间。 将代入，两边同时乘以,并考虑到关于刚度矩阵和质量矩阵的正交性，得到结构在以为基向量的维空间内的运动方程 其中 称为广义力。在两端同时左乘,并令,可将初始条件变换
正向动力学：已知机器人的关节驱动力矩和上一时刻的运动状态（角度和角速度），计算得到机器人下一时刻的运动加速度，再积分得到速度和角度；
梯形公式本质上依然还是基于微分差商，不过不同于之前直接使用微分的形式，这里更加严格的使用了积分的表达，即：
1、一般的最优化问题要最小化的性能指标定义在数域上，而变分问题的性能指标（目标泛函）的定义域是函数的集合。
之前过冷水有和大家分享热传导方程求解的方法，其本质上是微分方程的问题。考虑大多数读者对微分方程求解方法比较陌生，所以过冷水本期简单普及一下微分方程的求解问题。
现在是 2022-1-1，我简单的点评一下今年各位老师的出卷，如果读者想刷这一年的，可以作为参考
求解常微分方程常用matlab中的ode函数，该函数采用数值方法用于求解难以获得精确解的初值问题。ODE是一个包含一个独立变量（例如时间）的方程以及关于该自变量的一个或多个导数。在时域中，ODE是初始值问题，因此所有条件在初始时间t=0指定。
的表达式，只能对其进行离散采样，然后使用离散积分逼近真实的连续积分。通常近似的思路为：认为
机器学习的传统是将基于规则的推断和统计学习对立起来，很明显，神经网络站在统计学习那一边。神经网络在统计模式识别中效果显著，目前在计算机视觉、语音识别、自然语言处理等领域中的大量问题上取得了当前最优性能。但是，神经网络在符号计算方面取得的成果并不多：目前，如何结合符号推理和连续表征成为机器学习面临的挑战之一。
高对差分格式的认识和离散化分析问题的技巧，加深对理论课程的学习和理解，为数学专业和信息与计算科学专业其他后继课程的学习打好基础。
事实上，非线性存在于物理与工程中的各个领域。在机械中，就存在着大量的非线性现象。通过双摆和三摆的例子，来感受到一个小的扰动，随着时间的推移，到最终会带来多大的变化。
上篇博客介绍了Matlab求解常微分方程组解析解的方法：博客地址 微分方程组复杂时，无法求出解析解时，就需要求其数值解，这里来介绍。 以下内容按照Matlab官方文档提供的方程来展开（提议多看官方文档）
本文总结了常用的数学模型方法和它们的主要用途，主要包括数学和统计上的建模方法，关于在数学建模中也挺常用的机器学习算法暂时不作补充，以后有时间就补。至于究竟哪个模型更好，需要用数据来验证，还有求解方法也不唯一，比如指派问题，你可以用线性规划OR动态规划OR整数规划OR图与网络方法来解。
有限元方法（FEM）是一种数值技术，用于对任何给定的物理现象进行有限元分析（FEA）。
今天讲述的内容是GAN与动力学，这是一个非常好玩、非常新鲜的视角。考虑到很多人微积分和线性代数等知识的涉猎不多，我将会对涉及的内容都做出基本说明，也并不会涉及过深入的东西，然后争取串成一个故事，扩展一下大家的视野。
微分方程是数学中重要的一课。所谓微分方程，就是含有未知函数的导数。一般凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，就叫做微分方程。
编者按 为解决飞行器设计优化过程中物理场快速仿真问题和运行监测阶段物理场精确反演问题，国防科技创新研究院无人系统技术研究中心智能设计与鲁棒学习团队推出微分方程智能求解框架IDRLnet。该框架是国内首款基于内嵌物理知识神经网络的开源框架。IDRLnet作为该团队自主研发IDaaS平台的一个重要解算单元，与平台其他工具协同提升智能设计水平。IDRLnet已在红山开源平台上发布，旨在助力相关学术成果涌现，推动相关技术迭代，促进相关应用落地。 注： ① IDRLnet框架以智能设计与鲁棒学习团队命名，Intell
2004 年 SIGGRAPH 上，Microsoft Research UK 有篇经典的图像融合文章《Poisson Image Editing》。先看看其惊人的融合结果（非论文配图，本人实验结果）：
偏微分方程（PDE，Partial Differential Equation），这个在流体动力学、天体物理学等领域的常客，现在有了新求解“姿势”。
AI 科技评论按，本文作者成指导，字节跳动算法工程师，本文首发于知乎（https://zhuanlan.zhihu.com/p/68349210），AI 科技评论获其授权转载，正文内容如下：
含带导数符号或带微分符号的未知函数的方程称为微分方程。 如果在微分方程中未知函数是一个变元的函数，这样的微分方程称为常微分方程。
Scipy 是一个强大的科学计算库，它在 NumPy 的基础上提供了更多的数学、科学和工程计算的功能。本篇博客将深入介绍 Scipy 中的积分和微分方程求解功能，帮助你更好地理解和应用这些工具。
https://github.com/SciML/DifferentialEquations.jl
流体力学，是研究流体（液体和气体）的力学运动规律及其应用的学科。主要研究在各种力的作用下，流体本身的状态，以及流体和固体壁面、流体和流体间、流体与其他运动形态之间的相互作用的力学分支。流体力学是力学的一个重要分支，它主要研究流体本身的静止状态和运动状态，以及流体和固体界壁间有相对运动时的相互作用和流动的规律。在生活、环保、科学技术及工程中具有重要的应用价值。
ode23s（stiff differential equation solver）是MATLAB中的一种求解刚性（stiff）微分方程的数值方法。刚性微分方程通常具有多个时间尺度差异较大的变量，并且其中至少有一个变量具有快速变化的特性。
在上一讲我们已经介绍了特征值和特征向量的一种应用，那就是求解差分方程，这一讲，讲解其另一个应用——求解微分方程，当然，首先从一阶常系数微分方程开始讲解。
这些题目都是考研常见的，主要还是题型的识别，然后记住类型，综合利用齐次方程与非齐次方程的关系，注意特解的设法，
本笔记不涉及基础知识，重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多，不定时更新。且为了提高效率，用表线性梳理的形式代替思维导图，望谅解。
MATLAB有很多用于求解微分方程的内置函数。MATLAB包含了用于求解常微分方程（ODE）的函数，微分表达式一般如下
这是Facebook发表的新模型，1秒给出的答案，超越了Mathematica和Matlab这两只付费数学软件30秒的成绩。
“强基固本，行稳致远”，科学研究离不开理论基础，人工智能学科更是需要数学、物理、神经科学等基础学科提供有力支撑，为了紧扣时代脉搏，我们推出“强基固本”专栏，讲解AI领域的基础知识，为你的科研学习提供助力，夯实理论基础，提升原始创新能力，敬请关注。
分数阶微积分研究将导数和积分扩展到此类分数阶，以及求解涉及这些分数阶导数和积分的微分方程的方法。该分支在流体动力学、控制理论、信号处理等领域越来越流行。我们也意识到这个主题的重要性和其潜力，因此在最近发布的 Wolfram 语言 13.1 版本中增加了对分数阶微分和积分的支持。
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