输入数据的差异三、计算操作的复杂性四、反向传播算法的实现梯度计算和矩阵运算之间的计算量差异矩阵运算梯度计算举例说明前向和反向传播计算量差异前向：矩阵运算和非线性激活函数反向传播：计算大量的梯度和进行参数更新这种差异主要源于以下几个因素...这种差异是神经网络训练过程中的正常现象，也是模型学习和优化的基础。在实际应用中，可以通过调整模型架构、优化算法和参数设置等方法来平衡不同层之间的计算量，从而提高模型的训练效率和性能。...梯度计算和矩阵运算之间的计算量差异矩阵运算在Transformer中，矩阵运算通常涉及大量的数值计算和矩阵元素的运算。...虽然梯度计算涉及更多的数学运算（如求导和链式法则），但在现代深度学习框架中，这些计算通常被高度优化并并行处理。因此，在实际应用中，很难直接比较梯度计算和矩阵运算之间的计算量差异。...它们之间的计算量差异取决于多种因素，包括模型的规模、数据的分布、具体的运算类型以及所使用的深度学习框架等。
原理与计算方式 批量梯度下降（BGD）：BGD在每次迭代时，都会使用整个训练数据集来计算损失函数的梯度，然后根据梯度更新模型参数。...小批量梯度下降 （MBGD）：MBGD则是取两者的折中，每次迭代使用一小部分样本，即一个小批量来计算梯度和更新参数。...收敛特性 BGD：由于每次都使用全部数据计算梯度，对于凸函数，BGD能够保证收敛到全局最优解。其收敛曲线相对平滑，因为每次更新的方向都是基于整体数据的准确梯度。...MBGD：计算量介于BGD和SGD之间，合理选择小批量大小，可以在计算效率和内存占用之间取得较好的平衡。...综上所述，BGD、SGD和MBGD各有优劣，在实际应用中，需要根据数据集的大小、计算资源、模型的复杂度以及对精度和速度的要求等因素，选择合适的梯度下降算法。
本文将探讨Python数值方法在工程和科学领域的广泛应用，介绍其在数值计算、数据分析、模拟建模等方面的优势和实际应用。...1.3 常用的数值方法库及其功能介绍在Python中，有许多优秀的数值计算库可供使用，其中一些常用的库及其功能包括：NumPy：提供了多维数组对象和各种用于数组操作的函数，是Python科学计算的基础库...结果分析：科学家可以使用Python编写仿真结果分析脚本，对仿真结果进行后处理和可视化，提取关键信息和结论。...分析结果可视化：使用Python的数据可视化库绘制结构的振动模态图、响应曲线等，帮助工程师理解结构的动态特性。...解决方案：建立气候模型：使用Python编写气候模型的数值算法，包括大气环流、海洋循环等物理过程的数值计算。模型参数校准：通过对历史气象数据进行拟合和参数优化，提高模型的准确性和稳定性。
一、引言 在移动应用开发中，本文讲如何在安卓应用中实现一个增加和减少选择数值的控件。 思考： 为什么需要增加和减少控件？...增加和减少控件为用户提供了一种快速、直观的方式选择一个数值，而且不需要手动输入。这种控件在许多场景中应用广泛，比如 购物车应用：用于选择商品的数量。 设置页面：如调节音量、亮度、字体大小等。...三、技术实现 （1）在XML配置 在XML布局文件，定义了一个水平方向的LinearLayout，包含两个ImageView（用于增加和减少按钮）和一个TextView（用于显示当前数值） <LinearLayout...(levels[currentLevelIndex - 1]); } 四、效果图和视频效果图 五、结论 通过本文的介绍，详细讲解了如何在 Android 应用中实现一个增加和减少数值的控件。...无论是新手开发者还是有经验的开发人员，增加和减少控件的设计和实现都是提升用户体验的重要，希望通过本文的介绍，能够帮助大家在实际Demo或是实战中更好应用实现这个控件。
方法一:toBinaryString(n) 算出1的个数 public static void main(String[] args) { Scanner scanner = new...'1'){ count++; } } System.out.println(count); } 算出0的个数...count++; } } System.out.println(count); } 方法二：按位与 算出1的个数...count += n & 1; n >>= 1; } System.out.println(count); } 算出0的个数
到2025年，混合精度训练已成为深度学习框架的标准配置，在计算机视觉、自然语言处理和强化学习等领域均有广泛应用。 在强化学习领域，混合精度训练尤其适用于价值网络和策略网络的大规模训练。...FP16与FP32的数据类型对比 在深度学习训练中，浮点数的选择直接影响模型训练的效率和稳定性。...这种结构差异直接导致FP16的数值表示能力仅为FP32的 165536\frac{1}{65536} 。...例如计算1.0001+0.0001时，FP16可能直接输出1.000，因为无法精确表示中间结果。 吸收误差：当两个数量级差异过大的数相加时，较小数会被"吞噬"。...实验数据显示，在典型神经网络训练过程中，约4%的梯度值会落在 2−322^{-32} 到 2−202^{-20} 区间，这些数值在FP16表示中会被直接截断为零。
1.2 反向传播（Backpropagation） 反向传播是神经网络训练的核心算法，用于调整网络的权重和偏置，以最小化预测结果与真实值之间的误差。...计算梯度： 对每个权重和偏置，计算损失函数关于它们的梯度 更新权重和偏置： 使用梯度下降法或其变种，更新网络的权重和偏置，使得损失函数值逐步减小。...交叉熵损失（Cross-Entropy Loss）： 主要用于分类问题，衡量预测概率分布与真实分布之间的差异。...基本的梯度下降法步骤如下： 初始化参数： 随机初始化网络的权重和偏置。 计算梯度： 使用反向传播算法，计算损失函数关于每个参数的梯度。 更新参数： 根据梯度和学习率，更新网络的权重和偏置。...3.2 梯度下降法的变种 为了提高训练效率和效果，梯度下降法有多种变种，每种变种都有其独特的特点和应用场景： 批量梯度下降（Batch Gradient Descent）： 使用整个训练集来计算梯度和更新参数
KL散度衡量两个概率分布的差异程度，其定义为：KL(P||Q) = Σ_i Σ_j p_ij log(p_ij/q_ij)。优化过程通常采用梯度下降法，其中梯度计算涉及高维与低维相似度之间的差异。...KL散度优化的梯度推导 KL散度的数学定义与目标函数 在t-SNE算法中，KL散度（Kullback-Leibler divergence）作为衡量高维空间概率分布P与低维空间概率分布Q之间差异的指标。...并行计算：利用矩阵运算同时计算所有点对的梯度，而非循环处理 这些技术细节直接影响算法的收敛性和最终可视化效果，是工程实现中不可忽视的部分。...梯度计算中的数值稳定性 在KL散度优化的梯度计算过程中，数值稳定性是需要特别注意的问题。由于涉及概率比和对数运算，当数据点在高维或低维空间中非常接近时，可能会出现数值下溢或除零错误。...限制最小距离：设置一个最小距离阈值，防止点与点之间距离过小导致数值问题。 可视化结果的解释误区 t-SNE可视化结果虽然直观，但容易产生一些常见的解释误区： 1.
希望大佬带带）图片该文章收录专栏 [✨--- 《深入解析机器学习：从原理到应用的全面指南》 ---✨]数据标准化和归一化在使用梯度下降算法进行模型训练时，对输入特征进行比例缩放（或归一化）有以下几个原因...：加速收敛：梯度下降的目标是找到损失函数最小化的参数值，而不同特征可能具有不同的尺度和范围。...请注意，在应用这些技术时，应该先分割出训练集和测试集，并且仅使用训练集上的统计信息来对整个数据集进行转换。然后将相同的变换应用于测试集以确保结果的可靠性。...由于使用均值和标准差进行缩放，异常值对结果影响较小。在某些机器学习算法中表现较好，如逻辑回归、线性回归等基于距离计算或梯度下降的模型。...因此，在选择数据标准化还是数据归一化时可以考虑以下因素：特征类型：如果特征之间具有明显的大小差异，并且你希望保留其相对关系，则可以选择使用数据标准化（比如人体大小与头发大小，人体总体一定远远大于头发的关系
希望大佬带带） 该文章收录专栏 [✨— 《深入解析机器学习：从原理到应用的全面指南》 —✨ 数据标准化和归一化 在使用梯度下降算法进行模型训练时，对输入特征进行比例缩放（或归一化）有以下几个原因...： 加速收敛：梯度下降的目标是找到损失函数最小化的参数值，而不同特征可能具有不同的尺度和范围。...请注意，在应用这些技术时，应该先分割出训练集和测试集，并且仅使用训练集上的统计信息来对整个数据集进行转换。然后将相同的变换应用于测试集以确保结果的可靠性。...因此，在选择数据标准化还是数据归一化时可以考虑以下因素： 特征类型：如果特征之间具有明显的大小差异，并且你希望保留其相对关系，则可以选择使用数据标准化（比如人体大小与头发大小，人体总体一定远远大于头发的关系...因此，在使用深度神经网络时，可以考虑直接使用 Batch Norm 进行特征处理而不需要显式地对输入进行标准化或归一化。
关于梯度、Hessian矩阵、雅克比矩阵，以及梯度下降法，牛顿法，拟牛顿法，各种反向传播算法的详细讲述可以阅读《机器学习与应用》，清华大学出版社，雷明著一书，或者SIGAI之前的公众号文章。...梯度计算一般使用本文所讲述的自动微分技术，计算出梯度值给优化器使用，用于训练阶段。如果使用标准的梯度下降法进行迭代，在第k次迭代时的计算公式为 ? 在这里 ? 为目标函数在当前点 ?...自动微分 自动微分是介于符号微分和数值微分之间的一种方法：数值微分一开始就代入数值近似求解；符号微分直接对表达式进行推导，最后才代入自变量的值得到最终解。...自动微分将符号微分应用于最基本的运算（或称原子操作），如常数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数等基本函数，代入自变量的值得到其导数值，作为中间结果进行保留。...每个节点都有直接后续节点y1,...y2，简写为向量y。这对应于如下映射函数 ? 根据《机器学习与应用》一书中已经推导的结果，有 ? 其中 ? 为雅克比矩阵。
而这里的所谓"学习”，就是不断调整权重和偏置，从而找到神经元之间最合适的权重和偏置，让损失函数的值达到最小。 1.5 导数和梯度 神经网络的特征之一，就是从数据样本中学习。...即，先求解析解，然后转换为程序，再通过程序计算出函数的梯度。 自动微分法(Automatic Differentiation) ：介于数值微分和符号微分之间的方法，采用类似有向图的计算来求解微分值。...2.5 自动微分 2.5.1 中间方法 自动微分是介于数值微分和符号微分之间的方法，采用类似有向图的计算来求解微分值。 数值微分：一开始就直接代入数值近似求解。...自动微分：首先对基本算子（函数）应用符号微分方法，其次带入数值进行计算，保留中间结果，最后通过链式求导法将中间结果应用于整个函数，这样可以做到完全向用户隐藏微分求解过程，也可以灵活于编程语言的循环结构、...使用自动微分和不使用自动微分对代码总体改动非常小，由于它实际是一种图计算，可以对其做很多优化，所以该方法在现代深度学习系统中得到广泛应用。
这需要对问题和底层算法有清晰的理解，即充分理解问题和算法，确保使用正确模型，并正确解释结果。 本文介绍并解释了梯度下降算法和反向传播算法。...然而，已知的研究结果对构建模型非常有价值，与机器不同，在做逻辑预测时，人类无需借助大量的数据来解决问题，人们直接从经验和错误中吸取教训。...输入和权值经过乘法运算，结果由加法器()求和，激活函数调节该层的最终输出。...图1：作者创建的浅层神经网络图 为了评估神经网络的性能，需要一种机制来量化神经网络预测值和实际数据样本值之间的差异，从而计算出影响神经网络内权重和偏差的修正因子。...神经网络使用的成本函数示例： • 均方误差 • 分类交叉熵 • 二进制交叉熵 • 对数损失 在讨论完如何通过一种网络预测技术来提高神经网络的性能之后，下文将集中讨论梯度下降、反向传播和成本函数之间的关系
当评分函数输出结果与真实结果之间差异越大，损失函数越大，反之越小。...理解这一点的关键是，权重 W 的大小对于分类分值有直接影响（对他们的差异也有直接影响）：当我们将 W 中值缩小，分类分值之间的差异也变小，反之亦然。...在本教程中，我们会交换使用次梯度和梯度两个术语。某点的次梯度是该点的左右导数之间的任意值。...分析梯度法，计算迅速，结果精确，但是实现时容易出错，且需要使用微分。 下面我们展开介绍这两种方法 3.1 数值梯度法 数值梯度法是借助于梯度的定义对其进行逼近计算。...为了解决这个问题，在实际操作时常常将分析梯度法的结果和数值梯度法的结果作比较，以此来检查其实现的正确性，这个步骤叫做梯度检查。
由于性质不同，不同评价指标通常具有不同的量纲和数量级。当各指标相差很大时，如果直接使用原始指标值计算综合指标，就会突出数值较大的指标在分析中的作用、削弱数值较小的指标在分析中的作用。...为消除各评价指标间量纲和数量级的差异、保证结果的可靠性，就需要对各指标的原始数据进行特征缩放。...目的是消除不同样本之间特性、数量级等特征属性的差异，转化为一个无量纲的相对数值，结果的各个样本特征量数值都处于同一数量级上。 ?...因为计算梯度时会使用特征的值，如果各特征的的取值范围差异很大，不同特征对应梯度的值就会差异很大。为保证平滑走到最优点、按相同速率更新各特征的权重，需要进行特征放缩。...通过特征放缩，可以使数值范围变小，进而加速梯度下降。
换言之，计算损失函数对所有参数的导数：∂J/∂θ，其中θ表示模型中的参数。 我们通过计算数值梯度并比较数值梯度和根据反向传播求出的梯度（解析梯度）间的差异，来测试我们的实现代码。...^2−3^2]/[1e−2]=6.009999999999849 可以看到，解析梯度和双边数值梯度之间的差值几乎为零；而和右边形式的数值梯度之间的差值为 0.01。...因此在下文中，我们使用双边形式计算数值梯度。 另外，我们使用下式对数值梯度和解析梯度间的差值进行标准化。 (3) ?...最后，编写梯度检验函数，利用此函数计算解析梯度和数值梯度之间的差值，并借此判断反向传播的实现代码是否正确。...如果使用了 drop-out 策略，（直接进行）梯度检验会失效。可以在进行梯度检验时，将 keep-prob 设置为 1，训练神经网络时，再进行修改。
3.牛顿法的关键点 牛顿法利用了函数的一阶和二阶导数信息，直接寻找梯度为0的点。牛顿法的迭代公式为： ? 其中H为Hessian矩阵，g为梯度向量。...牛顿法不能保证每次迭代时函数值下降，也不能保证收敛到极小值点。在实现时，也需要设置学习率，原因和梯度下降法相同，是为了能够忽略泰勒展开中的高阶项。...具体做法是寻找一个向低维空间的投影矩阵W，样本的特征向量x经过投影之后得到的新向量： y = Wx 同一类样投影后的结果向量差异尽可能小，不同类的样本差异尽可能大。...它衡量的内类样本的发散程度。其中mi为每个类的均值向量，m为所有样本的均值向量。类间散布矩阵定义为： ? 它衡量的了各类样本之间的差异。训练时的优化目标是类间差异与类内差异的比值： ?...卷积神经网络具有迁移学习的能力，我们可以把这个网络的参数作为训练的初始值，在新的任务上继续训练，这种做法称为fine-tune，即网络微调。大量的实验结果和应用结果证明，这种微调是有效的。
3.牛顿法的关键点 牛顿法利用了函数的一阶和二阶导数信息，直接寻找梯度为0的点。牛顿法的迭代公式为： 其中H为Hessian矩阵，g为梯度向量。...牛顿法不能保证每次迭代时函数值下降，也不能保证收敛到极小值点。在实现时，也需要设置学习率，原因和梯度下降法相同，是为了能够忽略泰勒展开中的高阶项。...另外，不使用概率模型的分类器也被归类为判别模型，它直接得到预测函数而不关心样本的概率分布： 判别模型直接得到预测函数f(x)，或者直接计算概率值p(y|x)，比如SVM和logistic回归，softmax...具体做法是寻找一个向低维空间的投影矩阵W，样本的特征向量x经过投影之后得到的新向量： y = Wx 同一类样投影后的结果向量差异尽可能小，不同类的样本差异尽可能大。...卷积神经网络具有迁移学习的能力，我们可以把这个网络的参数作为训练的初始值，在新的任务上继续训练，这种做法称为fine-tune，即网络微调。大量的实验结果和应用结果证明，这种微调是有效的。
梯度下降法的关键点 梯度下降法沿着梯度的反方向进行搜索，利用了函数的一阶导数信息。梯度下降法的迭代公式为： 根据函数的一阶泰勒展开，在负梯度方向，函数值是下降的。...牛顿法的关键点 牛顿法利用了函数的一阶和二阶导数信息，直接寻找梯度为0的点。牛顿法的迭代公式为： 其中H为Hessian矩阵，g为梯度向量。...另外，不使用概率模型的分类器也被归类为判别模型，它直接得到预测函数而不关心样本的概率分布： 判别模型直接得到预测函数f(x)，或者直接计算概率值p(y|x)，比如SVM和logistic回归，softmax...具体做法是寻找一个向低维空间的投影矩阵W，样本的特征向量x经过投影之后得到的新向量： y = Wx 同一类样投影后的结果向量差异尽可能小，不同类的样本差异尽可能大。...卷积神经网络具有迁移学习的能力，我们可以把这个网络的参数作为训练的初始值，在新的任务上继续训练，这种做法称为fine-tune，即网络微调。大量的实验结果和应用结果证明，这种微调是有效的。
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