统计列表中不按顺序排列的对数

基础概念

统计列表中不按顺序排列的对数，通常是指在一个序列中，找出所有不满足顺序要求的元素对的数量。例如，在一个升序排列的列表中，如果存在元素对 (i, j) 且 i < j 但 list[i] > list[j]，则这个对是不按顺序排列的。

类型

全局逆序对：在整个列表中统计所有不按顺序排列的对数。
局部逆序对：在列表的某个子区间内统计不按顺序排列的对数。

应用场景

数据验证：在数据处理过程中，确保数据的有序性。
算法研究：在排序算法的研究和优化中，分析算法的效率。
数据结构设计：在设计平衡树等数据结构时，通过逆序对的统计来优化树的结构。

问题及解决方法

问题：如何统计列表中不按顺序排列的对数？

解决方法：

可以使用归并排序的思想来统计逆序对的数量。归并排序在合并两个有序子数组的过程中，可以自然地统计逆序对。

def merge_sort_and_count(arr, temp_arr, left, right):
    inv_count = 0
    if left < right:
        mid = (left + right) // 2

        inv_count += merge_sort_and_count(arr, temp_arr, left, mid)
        inv_count += merge_sort_and_count(arr, temp_arr, mid + 1, right)

        inv_count += merge_and_count(arr, temp_arr, left, mid, right)
    return inv_count

def merge_and_count(arr, temp_arr, left, mid, right):
    i = left  # Starting index for left subarray
    j = mid + 1  # Starting index for right subarray
    k = left  # Starting index to be sorted
    inv_count = 0

    while i <= mid and j <= right:
        if arr[i] <= arr[j]:
            temp_arr[k] = arr[i]
            k += 1
            i += 1
        else:
            # Inversion count
            inv_count += (mid - i + 1)
            temp_arr[k] = arr[j]
            k += 1
            j += 1

    while i <= mid:
        temp_arr[k] = arr[i]
        k += 1
        i += 1

    while j <= right:
        temp_arr[k] = arr[j]
        k += 1
        j += 1

    for i in range(left, right + 1):
        arr[i] = temp_arr[i]

    return inv_count

def count_inversions(arr):
    n = len(arr)
    temp_arr = [0] * n
    return merge_sort_and_count(arr, temp_arr, 0, n - 1)

# 示例
arr = [1, 20, 6, 4, 5]
print("逆序对的数量:", count_inversions(arr))

参考链接：