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费马小定理证明

火车上看的一篇文章。写得真是简单易懂。 （选自《数论妙趣——数学女王的盛情款待》第六章　开门咒） 　　费马小定理有多种证法，以同余证法最为简短而精致。 　　任意取一个质数，比如13。...考虑从1到12的一系列整数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，给这些数都乘上一个与13互质的数，比如3，得到3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36。...这些余数实际上就是原来的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，只是顺序不同而已。 　　把1,2,3,„,12统统乘起来，乘积就是12的阶乘12！。...如果用p代替13，用x代替3，就得到费马小定理 xp－1≡1 mod p。...费马小定律可以快速求得x关于p的逆。前提是x与p互质。 x*xp-2 ≡1 mod p 所以xp-2就是x关于p的乘法逆元。

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    贝叶斯定理证明：直觉未必正确

    一个例子让数学定理如何证明直觉之虚妄。 让我们先来看看生活中的一个小例子。...——从概率学的角度讲，这其实是贝叶斯定理（Bayes's Theorem）的体现。 首先我们将患病的事件记做D，检测为阳性的事件记做T。如果患病的事件没有发生，则称为“Not D”，符号记为：￢D。...则P(T)可以记为： P(T) = P(T,D) + P(T,￢D) 这个公式是一个公理，因为在具有D、T两个事件的情况下，P(T)必然只存在两种情况，要么在T发生时，D也发生；要么在T发生时，D没有发生...那么贝叶斯定理就可以记为： P(D|T) = P(T|D)P(D)/[P(T|D)P(D) + P(T|￢D)(P￢D)] 现在我们可以计算P(D|T)，即测试为阳性时，患D病的概率值了。...我们已知： P(T|D)：当患D病时，检测为阳性的概率为0.99； P(D)：10000个人有1个人患D病，则概率为1/10000=0.0001； P(T|￢D)：没有患D病时，检测为阳性的概率为1-0.99

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    费雪分离定理的证明与评价

    目录 简介 证明 图解 评价 费雪 简介 费雪分离定理(Fisher Separation Theorem)由经济学家欧文·费雪(Irving Fisher, 1867-1947)提出，该定理指出在完美资本市场...这从理论上证明了大型现代化公司存在的可能性，因此成为公司金融的奠基理论之一。...NPV，只要NPV为正的项目就应该被投资，这也证明了NPV法则的正确性。...评价 费雪分离定理的关键假设在于完美资本市场(PCM)，包括无交易成本、信息完全对称、市场完全竞争等，是一个非常强的假设。...当资本市场完善时，投资仅承担扩大财富的功能，而要满足消费者不同的跨期偏好，通过资本市场借贷即可实现任意的财富跨期转移；当资本市场不完善时，投资也需要承担一定的财富跨期转移功能，此时不同的跨期偏好就会导致不同的投资决策

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    【运筹学】对偶理论 : 互补松弛性 ( 定理内容 | 定理证明 )

    文章目录 一、互补松弛性 二、证明 互补松弛性 一、互补松弛性 ---- \rm X^0 和 \rm Y^0 分别是 原问题 \rm P 问题 和 对偶问题 \rm D 的 可行解 , 这两个解各自都是对应...线性规划问题 的 最优解 的 充要条件是 : \begin{cases} \rm Y^0 X_s = 0 \\\\ \rm Y_sX^0 = 0 \end{cases} 其中 \rm X_s ,...Y_s 是 松弛变量 或 剩余变量 ; 二、证明 互补松弛性 ---- 原问题 : \begin{array}{lcl} \rm maxZ = C X \\\\ \rm s.t\begin{cases...代入到 \rm A^TY - Y_s = C^T 等式中 , 可以得到 \rm Y_s^0 的一个可行解 ; 根据 对偶理论中的 强对偶定理 , 只要 " \rm X^0 和 \rm...Y^0 分别是 原问题 \rm P 问题 和 对偶问题 \rm D 的 最优解 " 那么其目标函数就是最大值与最小值的界限值 , 将这两个最优解代入到对应的目标函数中 , 求得的两个值是相等的

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    扒一扒那些叫欧拉的定理们（七）——欧拉线定理的证明

    欧拉线定理分析和证明第一部分 共线（以及其对偶形式共点）的证明，是平面几何里一类非常典型，分量很重的形式，在接触梅涅劳斯定理（对偶形式赛瓦定理）以前，证明这个简直就是瞎蒙乱撞，没有个章法，这两个定理直接为这类证明提供了模板...比如这个欧拉线定理，众多角的相等，垂直关系使得其并不适合直接去套用梅涅劳斯定理，就像本身外心内心垂心的存在性证明也是用的很朴素的方法来说明的。...因此，我们应该更多地直接从角180度，以及点的实际构造角度出发，比较直接地说明问题。 我们来看具体的证明过程： 图2 欧拉线定理证明第一部分图 ?...这里证明三点共线的思路是，直接连接线段交在某点上，然后证明该点就是第三点。这个逻辑也是在梅涅劳斯定理以前最常用的方法，还有同一法也是类似的思路了，都属于构造法。...欧拉线定理分析和证明第二部分 接着我们来证明，九点圆圆心也在OGH所在的直线上，并且在GO的中点上。 图3 欧拉线定理证明第二部分图 ? 如图所示，H，G，Ω分别是图中的垂心，重心和外心。

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    【专题】公共数学_中值定理证明题

    大概还有一半没写，但是我保证大家掌握了以下的方法，证明题基本超过同届 80% 的人了 剩下一半，等我找时间写了只能 考研中常用的的中值定理 费马(Fermat)引理 我这里写 费马引理，但大多数考研教材上都写的是...（往往在缺少一阶导数零点时使用，如【2019-21】） 步骤：利用连续函数 最值定理，并说明 极值 不在 端点取到，而在 区间内部 取到 如下面这个 导数零点定理 的证明，中间有用到这个思想 导数零点定理...\lt b) ，再由 费马(Fermat)引理 可知： f'(\xi) = 0 关于 导数零点定理 我没在真题中见过，可能唯一作用是用来证明 导数介值定理 的吧 证明题中可能用的不是很多，作为数学常识记住就好了...) 而中值定理的证明题，都是给定一个 f'(\xi) = 0 的结论，然后让我们利用已知条件，构造 出符合条件的 g(x) 最后利用中值定理，在一段区间上，估计出题目要求的满足 f'(\xi)...2集 通杀一类题) 辅助多项式的方法，可以用于 2007 / 2019 年的中值定理证明题中。

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    扒一扒那些叫欧拉的定理们（六）——九点圆定理的证明

    今天我们接着上一讲的平面几何欧拉定理的证明，来看看与之相关的九点圆定理的证明以及其中的数学智慧。...这个矩形的证明其实和一般的四点共圆证明思路去证明相交弦逆定理啊，圆周角逆定理啊，或者内对角互补这样常见的思路还挺不一样的，主要是中点多，垂直多，这个远远超过性质要求的结论竟然也成立啊！...九点圆定理证明赏析 从这个证明中，我想分享一下几个思考点。 首先，其实它的证明逻辑链条远远没有欧拉定理本身那么复杂和冗长，分支路径众多，但确实其证明思路起点比较偏门，是这里的难点。...就拿中间证明四点共圆的过程说，它相当于是证明了这个问题的超问题，最后甚至还找到了这个九点圆的圆心，也是一种超定理要求的体现，即证明了一个定理的充分不必要条件，证明了一个统治这个定理的定理。...记得当年在找平面几何辅助线或证明一些可能有帮助的引理时，都是先拿着尺子比划，看是不是大体上成立，才会去证明，否则就会放弃这个方向，这其实就是实验验证猜想的过程，然后就是理论证明了。

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    随机过程（C）——可选停时定理的应用，鞅的不等式与收敛性证明

    证明 ，其中 ，并且在 的时候取等号。 这个题和Problem 3很类似，也是利用可选停时定理来给出一些概率不等式估计的例子。 在这个题中，我们想用的鞅和Problem 4是相同的。也就是 。...其实大家也可以看出来，在这里我们举了很多与可选停时定理相关的例子，但并不是一味地重复，因为每一个题都有一些小的变化。这也侧面上说明了可选停时定理的一个适用性。...事实上，我们说它也是一种可选停时定理的应用，也没有太大问题，因为这个性质确实也可以使用它来证明。首先我们研究的其实就是鞅的一个变化，看它什么时候可以突破 。...好的，下面我们进入这个定理的证明。这个定理的证明思路其实依然来源于实分析（或者说高等概率论）。...小结 本节依然在关注鞅，包括可选停时定理的应用，鞅本身的一些不等式估计，和对于鞅本身的收敛性的分析。事实上，鞅本身作为概率论中的工具之一，也会被用来作为证明一些概率论定理和性质的辅助手段。

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    扒一扒那些叫欧拉的定理们（五）——平面几何欧拉定理的证明

    今天我们接着上一讲的内容，来看看平面几何欧拉定理的证明过程，以及其中的数学智慧。...平面几何欧拉定理的思路分析与证明 平面几何欧拉定理 如下图所示，三角形外心与内心的距离d可表示为：d ^ 2 = R(R - 2r)，其中R为外接圆半径，r为内切圆半径。...我从今天的视角来看，它的思考过程就如上面证明欧拉定理的这个过程一样，是个不断尝试，转化，再尝试，再转化，直到结论变得显然地这样一个化归的过程。最后这个思维链条可以自动地退栈，以证明最开始的结论。...好了，平面几何欧拉定理证明相关内容就说到这里。 在我总结整理欧拉定理相关的内容时候，就发现了很多旁的内容，就像走在丛林中，除了想到达目的地，四周也到处是可以挖掘的宝藏。...欧拉定理的证明我相信你还没看过瘾（其实是我还没写过瘾），接下来的文章，我们会继续介绍一下欧拉线定理以及九点圆定理的内容和给出证明和思考，敬请期待。 ?

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    勾股定理竟然有500种证明方法，你会几种？

    04 欧几里德证明 公元前4世纪，古希腊数学家欧几里德，在《几何原本》中明确证明了勾股定理。 说明：同底等高的长方形面积是三角形面积的2倍，如下同色块的面积是相等的。 ?...05 赵爽证明 三国时期吴国数学家赵爽，在《周髀算经》的注释中记载“勾股各自乘，并之为玄实，开方除之即弦”。并通过“勾股圆方图”证明了勾股定理。...06 爱因斯坦证明 爱因斯坦在11岁时获得了一本几何书，有一天叔叔给他讲勾股定理时，他觉得证明太复杂，于是就自己想了一种方法来证明。...07 加菲尔德证明 加菲尔德在1880年当选美国第20任总统，他在五年前证明了勾股定理，因此也称这个证明方法为“总统证法”。 说明：梯形面积等于3个直角三角形的面积之和。 ?...(以后我会专门写一篇n维空间的文章) ? 14 无穷级数证明 根据极限定理，有。 根据如下图先得到。 ? 然后通过如下图的无限划分，得到。 ? 再通过如下图得到。 ? 最后通过如下运算证明勾股定理。

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    hdu-1098 Ignatiuss puzzle（费马小定理）费马小定理同余式证明应用Ignatiuss puzzle运行结果

    费马小定理 费马小定理是数论中的一个定理：假如a是一个整数，p是一个质数，那么 是p的倍数，可以表示为 如果a不是p的倍数，这个定理也可以写成(同余式写法) 同余式 如果两个正整数 a和 b之差能被...n整除，那么我们就说 a和 b对模n同余，记作： 证明 任意取一个质数，比如13。...如果用p代替13，用x代替3，就得到费马小定理xp－1≡1 mod p。...应用 计算2^100除以13的余数 2^100除以13的余数 证明对于任意整数a而言 恒为2730的倍数。...13减1为12，12的正因数有1, 2, 3, 4, 6, 12，分别加1，为2, 3, 4, 5, 7, 13，其中2, 3, 5, 7, 13为质数， 根据定理，

    1.4K40

    【组合数学】多项式定理 ( 多项式定理 | 多项式定理证明 | 多项式定理推论 1 项数是非负整数解个数 | 多项式定理推论 2 每项系数之和 )

    文章目录 一、多项式定理 二、多项式定理 证明 三、多项式定理 推论 1 四、多项式定理 推论 2 一、多项式定理 ---- 多项式定理 : 设 n 为正整数 , x_i 为实数 , i=1,2...n 次方 ; 二、多项式定理 证明 ---- 多项式中 (x_1 + x_2 + \cdots + x_t)^n : 分步进行如下处理 : 第 1 步 : 从 n 个因式中 , 选 n...注意上面的式子是多重集的全排列数 =\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} 三、多项式定理 推论 1 ---- 多项式定理 推论 1 : 上述多项式定理中 , 不同的项数 是方程...n_1 + n_2 + \cdots + n_t = n 非负整数解个数 C(n + t -1 , n) 证明过程 : 1 ....推论 2 ---- 多项式定理 推论 3 : \sum\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} = t^n 证明过程 : 多项式定理中 \ \ \ \ (x_1 + x_2 + \

    1.5K00

    随机过程（3）——无限状态的平稳测度，返回时间，访问频率：几个定理的证明

    这个定理的证明是极具挑战性的，如果读者无法读明白但又不需要了解这部分细节，可以跳过。...但反过来说，如果这两个性质我们都说明白了，其实这个定理也就证明完成了。 Step 1: 证明 , 。 注意到我们可以设 这个相当于是说寻找第一次两个随机变量相遇的时间。...但这样的话存在一个问题就是没有办法说明 一定是最小的那一个，所以与全文的证明逻辑是不自洽的。如果你跟上了，你一定明白我在说什么。 接下来，我们来说明这个定理证明的step 2。...概率的和一般来说就是期望，所以其实就是在一个循环内访问 的次数。...所以事实上， 我们称它为“一个循环内访问 的次数”，是有理论保障的。而在这里，这个时间区间其实就是 。 运用这个结论，其实可以更好的解释Theorem 2中，step 1的证明思路。

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    JavaScript 使用 for 循环时出现的问题

    有一些项目组在定位问题的时候发现，在使用 “for(x in array)” 这样的写法的时候，在 IE 浏览器下，x 出现了非预期的值。...解决方法很简单，要么别添加这个方法，要么用 “for (i=0; i 的循环等等。 但是问题的本质呢？..., 1:"something else"} 在一则 stackoverflow 的问答里面也提到了，遍历数组的时候用 for…in 和 for(;;) 的区别，前者的含义是枚举对象的属性，存在这样两个问题...在 JSLint 的 for in 章节里面也提到，for in 语句允许循环遍历对象的属性名，但是也会遍历到那些通过原型链继承下来的属性，这在很多情况下都会造成预期以外的错误。...的循环时的问题，因为 JavaScript 没有代码块级别的变量，所以这里的 i 的访问权限其实是所在的方法。

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    证明费马最后定理的英国数学家，终获2016阿贝尔奖

    挪威自然科学与文学院决定授予Wiles这一被誉为“数学界诺贝尔”的奖项，“因为他通过证明半稳定椭圆曲线是模曲线，出色地证明了费马最后定理，从而在数论领域开创了一个新时代。”...他说当整数n>2时，关于x、y、z的不定方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。更为重要的是，他声称他已经有了证明的方法，但是因为书本的边缘太窄而没办法把答案写进去。...费马大定理终于尘埃落定。阿贝尔奖委员会在颁奖词中说：“没有其他定理比费马大定理拥有更加浓厚的历史感以及更加激动人心的证明。”...怀尔斯给出的证明登上头条时，他并不愿意成为明星，但是后来他逐渐接受了这一点。...从那时开始，大量的数学家被怀尔斯的成就所鼓舞，进而去解决更多的定理。他说：“我想解决费马大定理这件事比我期望的还要好。现在还有很多很多的挑战，但是它已经成为一个不断扩展的数论。”

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    像搭乐高一样做数学定理证明题，GPT-3.5证明成功率达新SOTA

    不同于简单的计算问题仅仅需要验证最终的结果与答案是否匹配，定理的证明要求对数学概念拥有更严格的理解，而这种定理证明的正确性是难以通过直接的自然语言生成和判别或是简单的程序调用就能够完成的。...近年来，一种名为神经定理证明（neural theorem proving）的新范式以两种方式尝试将神经网络与形式定理证明相结合：使用神经网络对数学库中的定理和当前的证明目标分别进行向量表征并进行匹配，...筛选出最可能被使用的定理，帮助纯符号计算的自动定理证明器缩小证明搜索空间；或者将证明目标作为提示输入语言模型，使其直接生成相应的形式化数学证明代码，再使用相应的形式化验证器来判断该证明的正确性，这种直接代替人类编码者完成主要证明内容书写的直接模式在大语言模型取得突破后备受关注...然而，与数学文字问题一样，当前进行定理证明的方法通常是 “一次性的”，也即推理过程和中间结论仅仅作为通向最终证明的临时性路径，在完成证明的验证后即被丢弃、并不对后续的定理证明产生贡献。...，从具体的证明实例抽象出一般的数学命题，以增进定理库中命题的多样性、概括性和可复用性： 实验 实验表明，这些演化得到的新定理在后续的定理证明中起到了关键性的作用，miniF2F 数据集中的许多定理都是在利用这些从定理库中抽取得到的结果才得以证明的

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