网上讲高斯过程回归的文章很少，且往往从高斯过程讲起，我比较不以为然：高斯过程回归（GPR）， 终究是个离散的事情，用连续的高斯过程( GP) 来阐述，简直是杀鸡用牛刀。...所以我们这次直接从离散的问题搞起，然后把高斯过程逆推出来。 这篇博客的主要目的是解释高斯过程回归这个主意是怎么想出来的，模型多了去了，为毛要用它。...（答案是好用） 这篇博客有两个彩蛋，一个是揭示了高斯过程回归和Ridge回归的联系，另一个是介绍了贝叶斯优化具体是怎么搞的。...先说一说 高斯过程回归 的 Intuition: ?...，我们在这个二维平面上，利用高斯过程回归，对每一个地理位置估计一个该位置对应的出油量。
网上讲高斯过程回归的文章很少，且往往从高斯过程讲起，我比较不以为然：高斯过程回归（GPR）， 终究是个离散的事情，用连续的高斯过程( GP) 来阐述，简直是杀鸡用牛刀。...高斯过程回归 的 Intuition ? ...，我们在这个二维平面上，利用高斯过程回归，对每一个地理位置估计一个该位置对应的出油量。...高斯过程回归(GPR)和贝叶斯线性回归类似，区别在于高斯过程回归中用核函数代替了贝叶斯线性回归中的基函数（其实也是核函数，线性核）。 ...由贝叶斯线性回归和高斯过程回归的对比可知，贝叶斯线性回归是高斯过程回归中的一个子集，只是它用的是线性核而已，通过两者的公式就可以看出它们之间的关系： ?
使用不同核函数的高斯过程 高斯过程 像所有其他机器学习模型一样，高斯过程是一个简单预测的数学模型。像神经网络一样，它可以用于连续问题和离散问题，但是其基础的一些假设使它不太实用。...为什么GP比DNN的更差呢对于那些不习惯处理长方程的人来说，推导和理解高斯过程的数学的确令人生畏，但在其核心，高斯过程只是对贝叶斯回归的扩展。 现在，让我们进入高斯过程的数学解释!...高斯过程回归(GPR)是一种使用一些独立数据x来预测一些输出y的方法，顾名思义，它假设误差是高斯分布的，但也假设数据是多元高斯分布的。...这个技巧可以用来产生任意程度的贝叶斯多项式回归。 深层高斯过程 从数学上讲，深层高斯过程可以看作是一个复合多元函数，其中“深层”方面增加了正态高斯过程的能力。...随机过程组成 深度高斯过程导致了非高斯模型的建模能力，以及协方差函数中的非高斯特性。实际上，所提出的是改变由组合随机过程所建模的函数的性质。这是一种从已知过程中创造新的随机过程的方法。
高斯过程回归是一种贝尔斯方法，能用于预测概率建模，这使得其在优化、时间序列预测等方面成为重要工具。高斯过程回归有关于高斯过程，高斯过程本质是一系列的随机变量，其中任何有限的变量组合都有相同的高斯分布。...高斯过程通过包含均值函数，提供包含不确定性以及点估计的概率预测。 协方差(核)函数 协方差函数，也称为核函数，在高斯过程中用于测量输入数据点之间的相似性。...1.2 高斯过程回归的概念 对于回归任务，采用一种称为高斯过程回归的非参数概率机器学习模型。它是建模输入与输出变量之间复杂和模糊交互的强大工具。...在 高斯过 回归中，假设数据点是由多元高斯分布生成的，目标是推断这个分布。 1.3 高斯过程回归的步骤 数据收集：收集你的回归问题的输入-输出数据对。...选择核函数：选择一个适合你问题的协方差函数（核）。核的选择会影响高斯过程回归可以建模的函数形状。 参数优化：通过最大化数据的似然性来估计核函数的超参数。这可以使用诸如梯度下降等优化技术来完成。
2.通过实验表明按照EfficientNet中的方法减小网络计算量不一定是最优的方法。 3.在网络计算量的限制下，使用高斯过程回归的方法寻找最优的输入图片分辨率、网络宽度和深度。...由上图可得到如下结论： 性能较好的网络，它们的、和大都在如下范围内： ，， 按照EfficientNet论文中的思想去减少EfficientNet-B0的计算量，得到的模型不是最优的。...分别计算、和与的相关度，得到结论：好的模型，输入图像分辨率和计算量有很强的相关性，深度和计算量有较强的相关性，宽度和计算量有弱的相关性。...使用高斯过程回归分别对和、和之间的关系进行建模，将上图中的20个模型作为训练数据。 下面阐述对和之间关系的建模过程。 使用表示训练集中20个模型的值，使用表示训练集中20个模型的值，训练集可表示为。...建立高斯过程模型： 上式中是服从分布的随机噪声。根据高斯过程回归的理论，给定1个新的，要求得的与的联合高斯分布如下： 上式中，，，，取RBF。
【编者按】本文解释高斯过程回归的由来及其优势，除了揭示了高斯过程回归和Ridge回归的联系，还介绍了贝叶斯优化的具体实现。作者认为，高斯过程是一个非常包罗万象的根基，类似于小无相功。...Regression)的文章很少，且往往从高斯过程讲起，我比较不以为然：高斯过程回归（GPR）， 终究是个离散的事情，用连续的高斯过程( GP) 来阐述，简直是杀鸡用牛刀。...所以我们这次直接从离散的问题搞起，然后把高斯过程逆推出来。 这篇博客的主要目的是解释高斯过程回归这个主意是怎么想出来的，模型多了去了，为毛要用它。...先说一说 高斯过程回归 的 Intuition: ?...，我们在这个二维平面上，利用高斯过程回归，对每一个地理位置估计一个该位置对应的出油量。
我们来尝试解决一个完整的线性回归问题： 设： 训练样本(x,y)，其中x是输入特征，y是目标变量 回归方程的形式是： (1) 我们假设误差项： 服从独立同分布的高斯分布( )，即 (2) （...这里对误差项服从的分布的假设，直观地理解，就是误差在越接近0的地方出现的概率越大，越远离0的地方出现的概率越小，在0两边出现的概率对称，并且误差服从的分布总是让多次测量的均值成为对真值最好的估计。...并且这个结论与我们假设的 没有关系。 接下来，我们继续我们的目标，寻找使损失函数 最小的 ： 寻找 通常有两种方法，一种是求解析解 ，求解过程这里暂不做展开。...梯度下降的过程是： Step 1 给定 的初始值，计算 ； Step 2 在 的基础上减去 在该点的梯度，得到新的 ，计算 ； Step 3 重复以上步骤，直到 取到局部最小值； Step...梯度方向是 (6) 的反方向，因此用梯度下降法迭代 的过程可以写为： (7) 观察用梯度下降法迭代 的过程，迭代效果的好坏对 初始值的选择、迭代步长 有很高的依赖，在工程上对线性回归的优化通常是基于这两点展开
2 高斯过程 在介绍高斯过程前，我们先了解下模型预测过程中的贝叶斯概率解释，还是上述任务，假设我们训练了一个非线性模型 来对图像做分类， 的参数 为 ，训练数据为 ，其中 为输入...如果我们想要预测测试集的情况，就需要先假设 的先验分布。高斯过程模型，就是可以不参数化 ，并实现 分布估计的手段。...2.1 高斯过程定义 高斯过程是观测值出现在一个连续域上的随机过程，其标准定义为： 是一个高斯过程，当且仅当对集合 的任意有限子集 ， 是一个多元正态分布，也同等于 的任意线性组合是一个单变量正态分布...2.2 基于高斯过程的贝叶斯优化 看着高斯过程的定义，感觉像似看了个寂寞。我们通过基于高斯过程的贝叶斯优化，来看高斯过程具体是怎么一回事。...第一轮迭代 第二轮、第七轮以及第十轮迭代的效果如下图所示，我们基本得到了 的后验分布。通过高斯过程估计 分布的流程大体如此，详情可参见实战代码。
p=21625 我们知道参数的置信区间的计算，这些都服从一定的分布(t分布、正态分布），因此在标准误前乘以相应的t分值或Z分值。但如果我们找不到合适的分布时，就无法计算置信区间了吗？...当我们想给预测一个置信区间时，预测的置信区间取决于参数估计误差。...R语言Bootstrap、百分位Bootstrap法抽样参数估计置信区间分析通勤时间和学生锻炼数据 01 02 03 04 预测置信区间 让我们从预测的置信区间开始 > for(s in 1:500)...值得注意的是，在残差正态性假设下（回归线的斜率和常数估计值），置信区间（90%）如下所示： predict(reg,interval ="confidence", 在这里，我们可以比较500个生成数据集上的值分布...显然，我们不能假设高斯残差，因为有更大的正值，而不是负值。考虑到数据的性质，这是有意义的（制动距离不能是负数）。 然后开始讨论在供应中使用回归模型。
具体的建模方法，最经典的包括高斯过程回归（GPR）和Tree Parzen Estimator（TPE），它们的细节会在后面的部分讲解。...① 基于GPR的贝叶斯优化 高斯过程回归，是基于高斯过程的贝叶斯推断方法。 高斯过程，就是一个高斯分布的随机过程。我们对x和y做的一个先验假设：每一个对应的，都是一个高斯分布。...然后我们再来看高斯过程回归，所谓回归，就是根据一些观测点（也可以称为训练数据），来进行一些推断。上面的高斯过程描述了的过程，高斯过程回归就是想基于我们得到的一些观测点来得到条件分布。...还是看sklearn的例子，在得到一些观测点之后，我们就可以推出后验分布： 高斯过程的后验分布，来源：sklearn 这样，每观测到一个新的点，就可以更新一次我们的总体分布，这个过程就叫高斯过程回归（...好，上面是知道了高斯过程回归是咋回事，现在的问题是：已知了一些超参数的观测结果，如何选择下一个超参数在何处取？
机器之心编译 高斯过程可以让我们结合先验知识，对数据做出预测，最直观的应用领域是回归问题。...高斯过程 复习好了多元高斯分布的基础属性，我们接着就可以把它们组装到一起，来定义高斯过程，并展示怎么用高斯过程来解决回归问题。...为了在训练数据上进行回归，我们会用贝叶斯推断来处理这个问题。贝叶斯推断的核心思想就是：在获得新的信息以后，更新当前的假设。对于高斯过程来说，这个信息指的就是训练数据。...先验分布 回到我们原来的回归任务，正如我们之前提到过的，高斯过程定义了潜在函数的概率分布。由于这是一个多元高斯分布，这些函数也呈正态分布。...虽然我们大都在回归问题的语境下讨论高斯过程，它也可以用在其它的任务上，比如模型剥离和假设检验。
：不确定性估计：高斯过程能够自然地给出预测的不确定性。...3.3 高斯过程与其他机器学习方法的比较与其他常见的机器学习方法相比，高斯过程具有以下特点：与线性回归的比较：高斯过程可以看作是线性回归的非参数扩展，能够处理非线性关系，而线性回归只能捕捉线性关系。...预测战斗胜率：红色曲线表示高斯过程回归模型对战斗胜率的预测值。这条曲线平滑地通过数据点，并尽量接近实际观测值，显示了模型对数据的拟合能力。置信区间：图中橙色阴影区域表示预测值的 95% 置信区间。...我们展示了高斯过程回归模型在预测战斗胜率方面的应用。模型能够较好地拟合数据，并提供置信区间以表示预测的不确定性。每天一个简单通透的小案例，如果你对类似于这样的文章感兴趣。...高斯过程与其他算法：与线性回归、支持向量机和神经网络等算法相比，高斯过程在处理小样本数据和提供不确定性估计方面具有独特优势。同时，我们也讨论了高斯过程的计算复杂度和内存需求较高等缺点。
需要明确，在置信度（检验水准为0.05）确定的情况下置信区间的计算需要Estimate（系数样本估计值）和Std.err（标准误） 即upr=Estimate+1.96Std.err lwr=Estimate...-1.96Std.err 方法一 这个方法不能得到哑变量的系数，只能得到这个变量的系数；比如说Time这个变量是3个水平，两个哑变量，按照方法一只能得到Time这个变量的，无法得到Time2和TIme3...参照于TIme1的。...如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容， 请发送邮件至 举报，一经查实，本站将立刻删除。
图3 贝叶斯优化的原理 2 高斯过程回归 2.1 高斯过程 多维高斯分布具有诸多优良的性质。...高斯过程回归对应的是第二种方法。 高斯过程回归（Gaussian Process Regression，GPR）对表达式未知的函数（黑盒函数）的一组函数值进行贝叶斯建模，给出函数值的概率分布。...这里的关键问题是如何根据已经搜索的点确定下一个搜索点，通过高斯过程回归和采集函数实现。高斯过程回归根据已经搜索的点估计其他点处目标函数值的均值和方差，如图5所示。...图5中蓝色实线为真实的目标函数曲线，黑色虚线为算法估计出的在每一点处的目标函数值。图中有7个已经搜索的点，用红色点表示。蓝色带状区域为在每一点处函数值的置信区间。...计算出的条件期望值。计算这个数学期望所采用的概率分布由高斯过程回归定义，是f(x)的条件概率。 由于高斯过程回归假设f(x)服从正态分布，可以得到数学期望的解析表达式。
高斯过程回归（GPR）是一种非参数化的贝叶斯方法，用于解决回归问题。与传统的线性回归模型不同，GPR 能够通过指定的核函数捕捉复杂的非线性关系，并提供不确定性的估计。...GPR 算法简介GPR 的定义高斯过程回归（Gaussian Process Regression, GPR）是一种基于高斯过程的统计模型，用于处理回归问题。...GPR 算法的数学基础高斯过程回归的数学模型高斯过程回归（GPR）的数学模型可以通过以下步骤来描述：定义高斯过程：高斯过程是一个由多变量正态分布定义的随机过程。...sklearn 中的 GaussianProcessRegressor 和核函数，用于构建和训练高斯过程回归模型。matplotlib 用于数据可视化。...# 创建高斯过程回归模型，就如同一个武学大师gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel, n_restarts_optimizer=9)创建一个高斯过程回归模型
摘要 本文提出了一个表示高保真点云传感器观测的框架，用于实现高效的通信和存储。该方法利用稀疏高斯过程将点云进行压缩编码。...我们的方法只使用一个模型（一个2D稀疏高斯过程）来表示自由空间和被占据空间，而不是现有的双模型框架（两个3D高斯混合模型）。...我们的方法利用变分稀硫高斯过程作为一个生成模型，以一个紧凑的形式表示点云。这种轻量级表示通过低带宽通信传输到原始点云重建的基地。...在使用数据集 D 代表 GP 后，任何新的查询 的输出 都可以使用 GP 预测来估计： 和 是后验均值和协方差函数[2]。...B.基于方差的抽样 重构过程通过一个与定位子侧的 VSGP 配置相同核（ RQ ）和似然（高斯）的 GP 完成。基础 GP 接受在诱导点上训练。
置信区间也能在回归预测模型中用于呈现误差，例如：范围x到y覆盖模型真实误差的可能性有95％。或者，在95%的置信水平下，模型误差是x+/-y。...通常，得出估计的样本越大，估计就越精确，置信区间也越小（越好）。 更小的置信区间：更精确的估计 更大的置信区间：不太精确的估计 ? 也可以说，CI透露给我们估计的精确程度，而误差范围是精度的衡量标准。...伯努利审判中的比例具有一种特定的分布，被称为二项分布。值得庆幸的是，对于大样本量（例如超过30），我们可以用高斯分布近似。 ? 在统计学中，一系列成功或失败的独立事件称为伯努利过程。...，z是高斯分布的临界值。...bootstrap是一种模拟蒙特卡罗方法，其中样本是从固定的有限数据集中有放回的抽取出来的，并且在每个样本上估计一个参数。该过程通过采样得到了对真实总体参数的一个健壮的（robust）估计。
无论如何，如果我们像往常一样拟合线性回归模型，让我们看看结果是什么： 估计标准 误差t值Pr（> | t |） -0.08757 0.36229 -0.242 0.809508...因此，对角线元素是估计的方差（平方标准误差）。...这与先前基于模型的标准误差0.311形成对比。因为此处残差方差不是恒定的，所以基于模型的标准误差低估了估计的可变性，并且夹心标准误差对此进行了校正。让我们看看它对置信区间和p值有何影响。...为此，我们使用估计量渐近（在大样本中）正态分布的结果。...x 0.4946667 2.3259412 因此，X系数的95％置信区间限制为（0.035,2.326）。
我们回顾了高斯过程（GP）拟合数据所需的数学和代码，最后得出一个常用应用的 demo——通过高斯过程搜索法快速实现函数最小化。下面的动图演示了这种方法的动态过程，其中红色的点是从红色曲线采样的样本。...在本文中，我们做的工作有： 回顾计算上述后验概率所需的数学运算 讨论数值评估，并使用 GP 来拟合一些实例数据 回顾拟合的 GP 如何快速最小化成本函数，例如机器学习中的交叉验证分 附录包括高斯过程回归推导...方程 (5) 是高斯过程回归的一个主要结果——有了这个结果，我们就可以评估后验概率了。注意，在采样值 y 中所有点的均值是线性的，并且在测量值附近每个点处的方差减小。...结果是橙色相对蓝色后验估计更加紧密平滑。在这两幅图中，实曲线表示后验分布均值，竖线表示一个σ置信区间。 ? 2....使用此式和（A8），我们可以得到 f 的后验概率 ? 利用这个公式，可以很容易地从近似后验中获得置信区间和样本，类似于回归。
我们回顾了高斯过程（GP）拟合数据所需的数学和代码，最后得出一个常用应用的 demo——通过高斯过程搜索法快速实现函数最小化。下面的动图演示了这种方法的动态过程，其中红色的点是从红色曲线采样的样本。...附录包括高斯过程回归推导，SKLearn 的 GP 实现和 GP 分类器的快速回顾。...方程 (5) 是高斯过程回归的一个主要结果——有了这个结果，我们就可以评估后验概率了。注意，在采样值 y 中所有点的均值是线性的，并且在测量值附近每个点处的方差减小。...结果是橙色相对蓝色后验估计更加紧密平滑。在这两幅图中，实曲线表示后验分布均值，竖线表示一个σ置信区间。 ?...使用此式和（A8），我们可以得到 f 的后验概率 ? 利用这个公式，可以很容易地从近似后验中获得置信区间和样本，类似于回归。 ?
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