希尔伯特曲线是一条填满整个平面的神奇曲线,可以理解为一种线段和正方形平面的一一映射,本文记录相关内容。...定义
其构造方式是把前一阶的曲线复制四份, 将左下角和右下角的曲线做一个沿对角线的翻转, 然后增加三条线段把这四份连起来.这些曲线的极限就是希尔伯特曲线。...n 阶的希尔伯特曲线是从 [0,1] 区间到 [0,1] \times[0,1] 平面区域的映射 f_{n} ,把 0 和 1 映射到区域左下角和右下角:
f_{n}(0)=(0,0),...在 [0,1]×[0,1] 里面随便选一个点 (x,y) , 将平面不断四等分为上下左右四个闭区域, 用同样的方法, 能对应到定义域里的闭区间, 最后套出一个自变量 x_0 来, 使得 f(x_0)=(...这恰恰说明, Hilbert 曲线, 是满射(映上的), 不是单射(1-1的), 所以也不是双射.
仍然是曲线
曲线要求是 [0,1] 到 R^2 上的连续映射. 这里的连续性还比较好说.