Coq中的Cauchy-Schwartz不等式？

Coq中的Cauchy-Schwartz不等式是指在Coq证明助手中使用的一种数学不等式，它是由法国数学家Augustin-Louis Cauchy和德国数学家Hermann Schwarz独立发现的。

Cauchy-Schwartz不等式是一种关于内积空间的不等式，它表明对于任意的向量a和b，有以下不等式成立：

|<a, b>|^2 ≤ <a, a> * <b, b>

其中，<a, b>表示向量a和b的内积，|<a, b>|表示内积的模。

Cauchy-Schwartz不等式在数学和工程领域有广泛的应用，特别是在线性代数、信号处理、优化问题等方面。它可以用来证明向量的正交性、判断向量的线性相关性、推导最优化问题的约束条件等。

在Coq中，可以使用标准库中的Cauchy_Schwarz定理来证明Cauchy-Schwartz不等式。该定理的类型为：

Cauchy_Schwarz : ∀ (E : InnerProductSpace) (u v : E), |<u, v>|^2 ≤ <u, u> * <v, v>

其中，E表示内积空间，u和v表示该空间中的向量。

对于Coq中的Cauchy-Schwartz不等式，腾讯云并没有直接相关的产品或链接地址。但腾讯云提供了云计算服务、人工智能服务、物联网服务等，可以帮助用户构建和部署各种应用和解决方案。您可以访问腾讯云官方网站（https://cloud.tencent.com/）了解更多相关信息。

页面内容是否对你有帮助？

有帮助

没帮助

2.级数放缩中，常用级数与无穷积分的转换（几何意义放缩）。 3.记住常用不等式，如凹凸性中的不等式等。 4.数列的极限存在等价于单调有界。 5.求极限要敢夹逼。常用三角函数有界性。 6.遇见三角函数的级数、无穷积分，常取n*pi ~ (n-1)*pi为区间。 7.级数求和中，凑裂项求极限。 8.Cauchy-Schwatz不等式，用于对某些加法的放缩。同时，对于某些已知系数关系的不等式，但和当前系数不一样的式子，先提取向量去拼凑关系，再应用这个不等式。 9.数列判敛可以考虑差级数收敛。 10.有除法迹象时，考虑对数序列和放缩。

柯西-施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz inequality，简称为 CS 不等式）被认为是数学中使用最广泛的不等式之一。

开发者必读：计算机科学中的线性代数

选自arXiv 作者：Petros Drineas、Michael W. Mahoney 机器之心编译参与：李泽南、刘晓坤、蒋思源矩阵计算在计算机科学中占有举足轻重的地位，是每个开发者都需要掌握的数学知识。近日，来自普渡大学的 Petros Drineas 与 UC Berkeley 的 Michael Mahoney 提交了一篇概述论文《Lectures on Randomized Numerical Linear Algebra》可以作为线性代数知识的参考资料，本文将对其中的部分内容（主要为第二章：

摘自《数值最优化方法》 \qquad 已知设步长为 α \alpha α，下降方向为 d d d， f ( x k + α d ) f(x_{k}+\alpha d) f(xk+αd)在 x k x_{k} xk的 T a y l o r Taylor Taylor展示为 f ( x k + 1 ) = f ( x k + α d ) = f ( x k ) + α g k T d + O ( ∣ ∣ α d ∣ ∣ 2 ) f(x_{k+1})=f(x_{k}+\alpha d)=f(x_{k})+\alpha g_{k}^{T}d+O(||\alpha d||^{2}) f(xk+1)=f(xk+αd)=f(xk)+αgkTd+O(∣∣αd∣∣2)为使函数值下降，下降方向满足 g k T d < 0 g_{k}^{T}d<0 gkTd<0 \qquad 收敛性和收敛速度收敛性算法产生的点阵 { x k } \{x_{k}\} { xk}在某种范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ||\cdot|| ∣∣⋅∣∣意义下满足 l i m k → ∞ ∣ ∣ x k − x ∗ ∣ ∣ = 0 \mathop{lim}\limits_{k\to\infty}||x_{k}-x^{*}||=0 k→∞lim∣∣xk−x∗∣∣=0称算法是收敛的，当从任意初始点出发时，都能收敛到 x ∗ x^{*} x∗称为具有全局收敛性，仅当初始点与 x ∗ x_{*} x∗充分接近时才能收敛到 x ∗ x^{*} x∗称算法具有局部收敛性。 \qquad 收敛速度(已知收敛)：若 l i m k → ∞ ∣ ∣ x k + 1 − x ∗ ∣ ∣ ∣ ∣ x k − x ∗ ∣ ∣ = a \mathop{lim}\limits_{k\to\infty}\frac{||x_{k+1}-x^{*}||}{||x_{k}-x^{*}||}=a k→∞lim∣∣xk−x∗∣∣∣∣xk+1−x∗∣∣=a \qquad 当 0 < a < 1 0<a<1 0<a<1时，迭代点列 { x k } \{x_{k}\} { xk}的收敛速度是线性的，这时算法称为线性收敛。当 a = 0 a=0 a=0时， { x k } \{x_{k}\} { xk}的收敛速度是超线性的，称为超线性收敛。 \qquad 二阶收敛：若 l i m k → ∞ ∣ ∣ x k + 1 − x ∗ ∣ ∣ ∣ ∣ x k − x ∗ ∣ ∣ 2 = a \mathop{lim}\limits_{k\to\infty}\frac{||x_{k+1}-x^{*}||}{||x_{k}-x^{*}||^{2}}=a k→∞lim∣∣xk−x∗∣∣2∣∣xk+1−x∗∣∣=a \qquad a a a为任意常数，迭代点列 { x k } \{x_{k}\} { xk}的收敛速度是二阶的，这时算法称为二阶收敛。超线性收敛和二阶收敛的收敛速度较快，是理想的收敛速度。 \qquad 负梯度法和牛顿 ( N e w t o n ) (Newton) (Newton)型方法 N e w t o n Newton Newton型方法特殊情形的一种负梯度方法—最速下降法。首先下降方向满足 g k T d < 0 g_{k}^{T}d<0 gkTd<0，为使 ∣ g k d ∣ |g_{k}d| ∣gkd∣达到最大值，则由 C a u c h y − S c h w a r z Cauchy-Schwarz Cauchy−Schwarz不等式 ∣ g k T d ∣ ≤ ∣ ∣ g k ∣ ∣ ∣ ∣ d ∣ ∣ |g_{k}^{T}d|\leq||g_{k}||||d|| ∣gkTd∣≤∣∣gk∣∣∣∣d∣∣知当且仅当 d = d k = − g k / ∣ ∣ g k ∣ ∣ d=d_{k}=-g_{k}/||g_{k}|| d=dk=−gk/∣∣gk∣∣时，等式成立， g k T d g_{k}^{T}d gkTd达到最小。考虑在 d k d_{k} dk方向上的步长，取其负梯度方向即 d k = − g k d_{k}=-g_{k} dk=−gk。 \qquad 收敛性分析 1. 给定 G G G度量下的范数定义，给出 K a n t o r o v i c h Kantorovich Kantorovich不等式。定义设 G ∈ R n × n G\in\mathbb{R}^{n\times n} G∈Rn×n对称正定， u , v ∈ R n u,v\in\mathbb{R}^{n} u,v∈Rn则 u u u与 v v

参考书目和论文：《统计学习方法》 A Tutorial on Support Vector Machine for Pattern Recognition 在机器学习中我们知道学习方法的泛化能力往往是通过研究泛化误差的概率上界所进行的，这个就简称为泛化误差上界。用直观的理解，在有限的训练数据中得到一个规律，认为总体也是近似这个规律的，那么就能用这个规律进行预测。比如一个大罐子里装满了红球和白球，各一半，我随手抓了一把，然后根据这些红球白球的比例预测整个罐子也是这样的比例，这样做不一定很准确，但结果总是近似

010

扫码

添加站长进交流群

领取专属 10元无门槛券

手把手带您无忧上云

Coq中的Cauchy-Schwartz不等式？

社区

活动

资源

关于

腾讯云开发者

热门产品

热门推荐

更多推荐