这种分解被称为QR分解。 QR分解也有若干种算法，常见的包括Gram–Schmidt、Householder和Givens算法。 QR分解是将矩阵分解为一个正交矩阵与上三角矩阵的乘积。...用一张图可以形象地表示QR分解： ? 为啥我们需要正交分解呢？ 实际运用过程中，QR分解经常被用来解线性最小二乘问题，这个问题我们后面讲述。...提到正交分解就不得不讨论（Householder transformation Householder变换）豪斯霍尔德变换和（Schmidt orthogonalization Schmidt正交化）施密特正交化...则称H是一个Householder矩阵或Householder变换。则对于任意的 ? 存在Householder矩阵H，使得Hx=-au。其中 ?...，则Q是酉矩阵之积，从而必有酉矩阵并且A=QR matlab代码 function[ X,Q,R ] = QRHouseholder(A,b) %用Householder变换将方阵A分解为正交Q与上三角矩阵
QR分解有多种算法实现，包括Gram-Schmidt正交化方法、Householder变换方法和Givens旋转方法等，下面我们介绍Gram-Schmidt正交化方法和Householder变换方法，并在...变换 Householder变换是一种镜面反射变换，householder变换矩阵为H = I - 2wwT，如何理解这个变换矩阵呢，考虑向量w，那么有： Hw = (I - 2wwT)w = w -...wTv) = v 这说明对于垂直于w的向量，householder变换的作用就是对其不起任何作用，那么对于一个普通的向量v来说，平行于w的分量被householder反向，垂直于w的分量不变，那么最终的效果就是将向量...v作关于法向量为w的平面的镜像对称 基于Householder变换的QR分解 因为H=H-1，所以A=H1H2,…,Hn-1R，即Q= H1H2,…,Hn-1，再根据A=QR，QTQ=I→R=QTA。...可见householder实现的QR分解求逆结果效果很好，基本上和matlab内置求逆函数结果相同，速度上也不慢。
设入射光线的单位向量为s=（-1/2，-√3/2），反射光线的单位向量为t=（1，0），法线的单位向量为w=(w1,w2)=（1/2,√3/2）构造一个正交矩阵 H=I-2wwT 其中I是单位矩阵，矩阵...H叫做初等反射矩阵，或称为Householder矩阵。...Hs=t的变换叫做Householder变换。 Householder变换可对矩阵作QR分解。...利用Householder变换将矩阵每一列对角线及以下的元素组成的向量变成e=（1,0,0，...）的形式。...例如对矩阵A作QR分解 MATLAB编程计算之后，得到如下的结果： Q是一个正交矩阵，R是上三角矩阵,且A=QR。
，我还以为那些东西没人看呢(⊙o⊙)，最近抽空整理成pdf，需要的下载吧 1.微积分总结 微积分总结 2.线性代数那些事 行列式：理解行列式的几何意义 矩阵：理解矩阵是线性变换，线性变换有哪些，逆矩阵和伴随矩阵以及矩阵的秩的意义...特征向量和特征值：理解特征值和特征向量对于线性变换的几何意义 相似矩阵：理解相似矩阵是同一个线性变换在不同坐标系下的不同表达 正交矩阵：理解正交矩阵对应的正交变换，介绍Givens旋转和Householder...反射 矩阵分解：理解并实现矩阵的各种分解：LU分解，Cholesky分解，QR分解，特征值分解和奇异值分解 3.数值算法与应用 第一章 线性方程组求解 内容包括：高斯消去法，LU分解，Cholesky...分解，矩阵的逆矩阵求解 第二章 非线性方程求解 内容包括：二分法，牛顿法，割线法，IQI法，Zeroin算法 第三章 矩阵特征值和奇异值求解 内容包括：基本幂法，逆幂法和移位幂法，QR分解，Householder...变换，实用QR分解技术，奇异值分解SVD 第四章 曲线拟合和多项式插值 内容包括：曲线拟合，拉格朗日插值多项式，牛顿插值多项式，分段线性插值，保形分段三次插值，三次样条插值
课余时间写的一本关于数值算法与应用的总结小书 总共写了四个章节：[点击章节标题可以直接查看并下载 (^o^)/~] 第一章 线性方程组求解 内容包括：高斯消去法，LU分解，Cholesky分解，矩阵的逆矩阵求解...第二章 非线性方程求解 内容包括：二分法，牛顿法，割线法，IQI法，Zeroin算法 第三章 矩阵特征值和奇异值求解 内容包括：基本幂法，逆幂法和移位幂法，QR分解，Householder变换，实用QR...分解技术，奇异值分解SVD 第四章 曲线拟合和多项式插值 内容包括：曲线拟合，拉格朗日插值多项式，牛顿插值多项式，分段线性插值，保形分段三次插值，三次样条插值 ?
Lanczos算法是一种基于瑞利-里兹方法的正交变换法，该方法在许多有限元软件得到了应用。例如ANSYS中模态分析就有Lanczos算法。 Lanczos基本算法流程： 对i=2,3，......,q（q是欲求频率阶数），下列公式可形成一组关于质量矩阵M正则化得向量x1、x2、...xq 因此，矩阵Tq的特征值与Kφ= λMφ的特征值互为倒数关系。...Tq是三对角矩阵，用QR迭代法或者Householder变换可高效地求解其特征值与特征向量。点击这里查看Householder变换 当q<n时，Lanczos算法可得出精确的低阶频率结果。...实际应用的Lanczos算法都是在上述基本算法基础上改进的。...这是算法本身的局限性。
四、1951 矩阵计算的分解方法 [1951: Alston Householder of Oak Ridge National Laboratory formalizes the decompositional...approach to matrix computations.] 1951年，阿尔斯通橡树岭国家实验室的Alston Householder提出，矩阵计算的分解方法。...Francis，找到了一种稳定的特征值的计算方法，这就是著名的QR算法。...QR算法把矩阵分解成一个正交矩阵(希望读此文的你，知道什么是正交矩阵。:D。)...Cooley，和普林斯顿大学的John Tukey，AT＆T贝尔实验室共同推出了快速傅立叶变换。
四、1951 矩阵计算的分解方法 [1951: Alston Householder of Oak Ridge National Laboratory formalizes the decompositional...approach to matrix computations.] 1951年，阿尔斯通橡树岭国家实验室的Alston Householder提出，矩阵计算的分解方法。...Francis，找到了一种稳定的特征值的计算方法， 这就是著名的QR算法。...QR算法把矩阵分解成一个正交矩阵(希望读此文的你，知道什么是正交矩阵。:D。)...Cooley，和普林斯顿大学的John Tukey， AT＆T贝尔实验室共同推出了快速傅立叶变换。
四、1951 矩阵计算的分解方法 [1951: Alston Householder of Oak Ridge National Laboratory formalizes the decompositional...approach to matrix computations.] 1951年，阿尔斯通橡树岭国家实验室的Alston Householder提出，矩阵计算的分解方法。...Francis，找到了一种稳定的特征值的计算方法，这就是著名的QR算法。...QR算法把矩阵分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的积，是一个迭代算法，它把复杂的高次方程求根问题化简为阶段性的易于计算的子步骤，使得用计算机求解大规模矩阵特征值成为可能。...Cooley，和普林斯顿大学的John Tukey，AT＆T贝尔实验室共同推出了快速傅立叶变换。
矩阵计算的分解方法 1951年，橡树岭国家实验室的A1ston Householder系统阐述了矩阵计算的分解方法。研究证明能把矩阵因子分解为三角、对角、正交和其他特殊形式的矩阵是极其有用的。...这种分解方法使软件研究人员能生产出灵活有效的矩阵软件包。这也促进了数值线性代数中反复出现的大问题之一的舍入误差分析问题。...QR 算法正好是能达到这一目的的方法，基于QR 分解，A可以写成正交矩阵Q 和一个三角矩阵R 的乘积，这种方法叠代地把A=Q(k)R(k)变成A(k+1)==Q(k)R(k) 就加速收敛到上三角矩阵而言多少有点不能指望...20世纪60年代中期QR 算法把一度难以对付的特征值问题变成了例行程序的计算。 在EDA领域，计算矩阵特征值也是一个常见的问题，例如 RCReduction问题。...通过QR分解可以把比较困难的直接求解转换为迭代求解，有利于程序实现。 7. 快速排序法 1962：伦敦Elliott Brothers, Ltd.的Tony Hoare提出了快速(按大小)分类法。
观点 核心问题是求多元方程组的解，核心知识：内积、秩、矩阵求逆，应用：求解线性回归、最小二乘法用QR分解，奇异值分解SVD，主成分分析（PCA）运用可对角化矩阵 向量 基础 向量：是指具有...通常用到的行列式是一个数 行列式是数学的一个函数，可以看作在几何空间中，一个线性变换 对“面积”或“体积”的影响。...A的逆矩阵记作：A-1 ? image.png 矩阵的初等变换 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等 变换． ?...：A的列(行)向量都是单位向量，且两两正交 QR 分解（正交三角分解） 对于m*n的列满秩矩阵A，必有： ?...image.png 奇异值分解 可以看作是对称方阵在任意矩阵上的推广。 ?
若主轴上没有0值，则无需交互行，因此只需进行第3类初等行变换（把第 i 行加上第 j 的 k 倍）即可完成此变换。...例如 第3类行变换可以通过左乘相应的初等矩阵image实现，对上例来说进行的3个变换就是相应初等矩阵的乘积。...2.QR分解 QR分解是将矩阵分解为一个正交矩阵与上三角矩阵的乘积。...用一张图可以形象地表示QR分解： 这其中， Q Q Q为正交矩阵， Q T Q = I Q^TQ = I QTQ=I，R为上三角矩阵。 实际中，QR分解经常被用来解线性最小二乘问题。...因此，它是特殊的上三角阵。 为什么要进行Jordan分解呢？或者说，Jordan分解能解决什么问题呢？
QR解码流程：运动均值去噪、二阶微分边缘检测、获取QR定位标志、生成finder pattern 聚类、计算相交的水平聚类和垂直聚类的中心、识别符号。...粗略估计 对每三个聚类组合进行QR解码，分为：一、判断符号方向。二、finder pattern 边缘点分类。三、根据二得到的模块尺寸估计ur版本和dl版本。四、格式信息解码。...这样处理的理由：模块尺寸在图像中不是同一的，并且只知道符号中的3个定位点，不能进行更为精确的homography变换，只能根据三个点进行仿射变换粗略估计模块尺寸和版本。分类方法：1、新进行仿射变换。...2、寻找QR的可能边缘点，根据这些边缘点，拟合right直线和bottom直线。 3、获取四个角点，调整右下角点位置，初始化homograph变换参数。对于版本大于1的符号才做右下角的位置调整。...4、使用新的cell homography 变换更新角点。 信息采样：根据每个cell元的homography变换参数和版本信息，依次读取QR码数据。 四、数据反布局。
1 标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵 酉变换 设V是n维酉空间，\mathscr{A}是V的线性变换，若\forall \alpha, \beta \in V都有 (\mathscr{A}(\alpha...) 设\mathscr{A}是酉空间（或欧式空间）V的线性变换，则下列命题等价： \mathscr{A}是酉变换（或正交变换） ||\mathscr{A}(\alpha)||=||\alpha||，其中...\forall \alpha \in V \sigma将V的标准正交基变到标准正交基 酉变换（或正交变换）在标准正交基下的矩阵表示是酉矩阵（或正交矩阵） ---- 满秩矩阵的QR分解 若n阶实矩阵A\in...,\alpha_n是\mathbb{C}^{n\times n}中线性无关向量组 正交化 image.png image.png image.png image.png QR分解定理：A\in...\mathbb{C}^{n\times n}，则存在酉矩阵Q和正线上三角阵R，使 A=QR 且分解唯一
[导读] 算法（Algorithm）是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。...而快速傅立叶变换（FFT）是用于高效计算离散傅立叶变换（DFT）的算法。 它可以用于将数字信号分解为频率分量，然后可以对其进行分析。 类似地，存在离散傅里叶逆快速傅里叶逆变换（IFFT）。...QR法或QR迭代法是在QR分解的基础上，由John G. F. Francis和Wera Nikolajewna Kublanowskaja在1961-1962年独立提出的。...其前身是Heinz Rutishauser(1958)提出的LR算法，该算法稳定性较差，基于LR分解。QR算法的迭代往往收敛于矩阵的Schur形式。...最小二乘法是系统参数辨识中的重要估计方法,并在众多领域和场合得到了广泛的应用。 QR分解算法在现在火热的人工智能领域更是基础算法之一，有此有其是改变世界的算法并不夸张。
，仍能保持承影面上投影几何图形不变的变换。...透视变换是按照物体成像投影规律进行变换，即将物体重新投影到新的成像平面。透视变换常用于机器人视觉导航研究中，由于相机视场与地面存在倾斜角使得物体成像产生畸变，通常通过透视变换实现对物体图像的校正。...参数二：dst，目标图像中的四个像素坐标 参数三：solveMethod，选择计算透视变换矩阵方法的标志，默认情况下选择的是最佳主轴元素的高斯消元法DECOMP_LU enum DecompTypes...= 4, DECOMP_NORMAL = 16 }; 标志位 值 作用 DECOMP_LU 0 最佳主轴元素的高斯消元法 DECOMP_SVD 1 奇异值分解（SVD）方法...DECOMP_EIG 2 特征值分解法 DECOMP_CHOLESKY 3 Cholesky分解法 DECOMP_QR 4 QR分解法 DECOMP_NORMAL 16 使用正规方程公式，可以去前面的标志一起使用
最后我们还介绍了两个其它关于 RandNLA 的导论资源 [6,7]，供感兴趣的读者参考。 2 线性代数 在这一节，我们将简要概述基本的线性代数属性和在这一章中将用到的数学符号。...QR 分解：任意的矩阵 A ∈ R^n×n 都可以分解成一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积：A=QR 其中 Q ∈ R^n×n 是正交矩阵，R ∈ R^n×n 是上三角矩阵。...QR 分解在求解线性方程组的时候很有用，它的计算复杂度为 O(n^3)，并且是数值稳定的。...为了用 QR 分解求解线性方程组 Ax=b，我们首先对等式两边同时左乘一个 Q^⊤，即 Q^⊤QRx = Rx = Q^⊤b。然后，我们用反向代入求解 Rx = Q^⊤b。...此外，矩阵 p-范数对于矩阵的初等变换是不变的，即||PAQ||p = ||A||p，其中 P 和 Q 为对应维度的初等变换矩阵。同样，如果我们考虑矩阵分割： ?
最后我们还介绍了两个其它关于 RandNLA 的导论资源 [6,7]，供感兴趣的读者参考。 2. 线性代数 在这一节，我们将简要概述基本的线性代数属性和在这一章中将用到的数学符号。...QR 分解：任意的矩阵 A ∈ R^n×n 都可以分解成一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积：A=QR 其中 Q ∈ R^n×n 是正交矩阵，R ∈ R^n×n 是上三角矩阵。...QR 分解在求解线性方程组的时候很有用，它的计算复杂度为 O(n^3)，并且是数值稳定的。...为了用 QR 分解求解线性方程组 Ax=b，我们首先对等式两边同时左乘一个 Q^⊤，即 Q^⊤QRx = Rx = Q^⊤b。然后，我们用反向代入求解 Rx = Q^⊤b。...归纳矩阵 p-范数遵循以下 submultiplicativity 法则： 此外，矩阵 p-范数对于矩阵的初等变换是不变的，即||PAQ||p = ||A||p，其中 P 和 Q 为对应维度的初等变换矩阵
Math.NET的目标是为提供一款自身包含清晰框架的符号运算和数学运算/科学运算，它是C#开发的开源类库。Math.NET含了一个支持线性代数的解析器，分析复杂微分，解方程等等功能。...涵盖的领域包括特殊函数（special functions这个不太确定怎么翻译），线性代数，概率模型，随机数，插值，积分变换等等。...此外，发布包内的F#扩展现在使用F# 3.0，其最新版本完全专注于向量，并支持线性代数中的瘦QR分解（thin QR decomposition）。...，应用于形式上是硬件工程和数字信息的一些想法和概念，从一个不同的、全新的角度来看抽象数学和代数。...其目标是提供一个延展框架来实现对代数表达 式的符号控制。并且，基础解析器能够把简单表达式解析成符号树或翻译成数学程序。
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