求解最优化问题中，拉格朗日乘子法和KKT条件是两种最常用的方法。在有等式约束时使用拉格朗日乘子法，在有不等式约束时使用KKT条件。...例子：椭球 内接长方体的最大体积，即求 f(x,y,z) = 8xyz 的最大值。方法1：消元法根据条件消去z，然后带入函数转化为无条件极值问题。...举个例子：min f(x,y) s.t. g(x,y) = c 画出 z = f(x,y)的等高线?绿线是约束g(x,y) = c的轨迹。蓝线是f(x,y)的等高线。...f(x)与g(x)梯度共线，此时就是在条件约束g(x)下，f(x)的最优解。3、不等式约束设目标函数 ，不等式约束为 ，等式约束条件 。...此时的约束优化问题描述如下： 我们定义不等式约束下的拉格朗日函数 ：
目录 无约束优化 等式约束 不等式约束（KKT条件） 1、无约束优化 无约束优化问题即高数下册中的 “多元函数的极值" 部分。...驻点：所有偏导数皆为0的点； 极值点：在邻域内最大或最小的点； 最值点：在定义域内最大或最小的点； 关系： 驻点不一定是极值点，极值点一定是驻点； 极值点不一定是最值点，最值点一定是极值点； 求解最值：...对于$z=f(x,y)$在$\varphi(x,y)=0$的条件下的最值问题： 构造拉格朗日函数：$L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$； 对拉格朗日函数求解...，得到的即为在条件$\varphi(x,y)=0$下，$z=f(x,y)$所有可能的极值点。...3、不等式约束 当约束是不等式的时候，可以在不等式约束中加入松弛变量，使其变为等式约束问题，再进行一些分析。
z 三者之间的关系。...尽管它不一定是 z = f ( x , y ) 的极大值，但却是符合约束条件 g ( x , y ) = 0 的极大值！...图中两条蓝线具体对应的函数分别是f(x,y)=d1和f(x,y)=d2。d1和d2是两个常数，对应上图中两个蓝圈对应的z轴坐标。此处d2<d1。 我们设红点的自变量值为 ? ，则在红点处 ?...点处f(x,y)与g(x,y)的梯度，要么方向相同，要么方向相反。 所以，一定存在 ? ，使得： ? 这时我们将 λ 称为拉格朗日乘子！ 定义拉格朗日函数： ? ——其中 λ 是拉格朗日乘子。...于是，原本有约束的优化问题，就可以转化为对拉格朗日函数的无约束优化问题了。 不等式约束条件 了解了约束条件是等式的情况，我们再来看约束条件是不等式的情况。 原命题如下： ?
优化问题，在本例中是最小化问题，可以用以下方式表示 给定:一个函数f:一个{\displaystyle \to}\to R，从某个集合a到实数 搜索:A中的一个元素x0，使得f(x0)≤f(x)对于A中的所有...x。...在连续优化中，A是欧氏空间Rn的某个子集，通常由一组约束、等式或不等式来指定，这些约束、等式或不等式是A的成员必须满足的。在组合优化中，A是离散空间的某个子集，如二进制字符串、排列或整数集。...优化软件的使用要求函数f用合适的编程语言定义，并在编译或运行时连接到优化软件。优化软件将在A中提供输入值，实现f的软件模块将提供计算值f(x)，在某些情况下，还将提供关于函数的附加信息，如导数。...FICO Xpress Galahad library GEKKO Python Gurobi LIONsolver MIDACO一个基于进化计算的数值优化软件包。
为了方便,分别用y_{1}~y_{5}表示A~E，于是最大熵模型的最优化问题是: min-H(p)=\sum_{i=1}^{5}p(y_{i})logp(y_{i}) s.t....{i=1}^{5}\widetilde{p}(y_{i})=1 引进拉格朗日乘子w0和w1,定义拉格朗日函数如下: L(p,w)=p(y_{i})log p(y_{i})+w_{1}(p(y_{1})+...p(y_{2})-\frac{3}{10})+w_{0}(\sum_{i=1}^{5}p(y_{i})-1) 根据拉格朗日对偶性,可以通过求解对偶最优化问题得到原始最优化问题的解。...这就是Jensen不等式的大显神威的地方。 Jensen不等式 设f是定义域为实数的函数，如果对于所有的实数x。如果对于所有的实数x，f(x)的二次导数大于等于0，那么f是凸函数。..._{z}^{ } Q_{i}(z^{(i)})=1所以就可以得到公式（3）的不等式了。
设目标函数f(x)，不等式约束为g(x)，有的教程还会添加上等式约束条件h(x)。...此时的约束优化问题描述如下： 则我们定义不等式约束下的拉格朗日函数L，则L表达式为： 其中f(x)是原目标函数，hj(x)是第j个等式约束条件，λj是对应的约束系数，gk...例如，一个三元函数w(x,y,z), 它是x,y,z的函数，且在一个约束条件下求它的极值。我们假设图中的曲面就是约束方程g(x,y,z)=0的图像，即约束面。...之前没有约束面时，w取极值的必要条件是各个方向偏导数为零，而对于可微函数各个方向偏导为零的充分必要条件是沿x,y,z 方向的偏导为零。...现在有了约束面，我们不再需要这么苛刻的必要条件，因为有了约束面，x,y,z在一定程度上被限制了，只能在约束面内移动，因此只需要沿约束面内的各个方向运动时的偏导数（变化化率）为零就可以了，此时自由度由三维下降到两维
_{i=1}^{5}p(y_{i})=\sum_{i=1}^{5}\widetilde{p}(y_{i})=1 引进拉格朗日乘子w0和w1,定义拉格朗日函数如下: L(p,w)=p(yi)logp(yi...10})+w_{0}(\sum_{i=1}^{5}p(y_{i})-1) 根据拉格朗日对偶性,可以通过求解对偶最优化问题得到原始最优化问题的解。...这就是Jensen不等式的大显神威的地方。 Jensen不等式 设f是定义域为实数的函数，如果对于所有的实数x。如果对于所有的实数x，f(x)的二次导数大于等于0，那么f是凸函数。...一般意义上的Jensen不等式可以参考：百度词条：Jensen不等式 回到公式（2），因为f(x)=log x为凹函数（其二次导数为−1x2<0-\frac{1}{x^{2}}<0）。..._{z}^{ } Q_{i}(z^{(i)})=1所以就可以得到公式（3）的不等式了。
Jensen不等式 回顾优化理论中的一些概念。设f是定义域为实数的函数，如果对于所有的实数x， ? ，那么f是凸函数。当x是向量时，如果其hessian矩阵H是半正定的（ ?...Jensen不等式应用于凹函数时，不等号方向反向，也就是 ? 。 2. EM算法 给定的训练样本是 ? ，样例间独立，我们想找到每个样例隐含的类别z，能使得p(x,z)最大。...的期望（回想期望公式中的Lazy Statistician规则） 设Y是随机变量X的函数（g是连续函数），那么 （1） X是离散型随机变量，它的分布律为，k=1,2,…。...若绝对收敛，则有 （2） X是连续型随机变量，它的概率密度为，若绝对收敛，则有 对应于上述问题，Y是 ? ，X是 ? ， ? 是 ? ，g是 ? 到 ? 的映射。...如果我们定义 ? 从前面的推导中我们知道 ? ，EM可以看作是J的坐标上升法，E步固定 ? ，优化 ? ，M步固定 ? 优化 ? 。 3.
],、，、’ \式中： [x(j) = (p(j) /eH/{0,0] hi彡d(tXh2,办)，y彡1。...[0038] 式中：x。为控制器的状态变量;A。为控制系统的状态矩阵;B。为控制系统的输入矩 阵;C。为控制系统的输出矩阵;u。为控制系统输入，y。为系控制系统输出。D。为标量，反映了 输出y。...[0047]引理1:对于给定的正定矩阵M>0,以下不等式对于在区间[a，b]上连续可微函数x 都成立： [0051 ]引理2:对于给定的正定矩阵R>0，矩阵I，W2和标量a G (〇，1)，定义对于所有的...y.diag(Zi,0,ii) + (h2-h^xdiagiZ,,%^ [0070] 氧-―g(Z丨，耳)，之二-g(Z2,3Z2) [0071] 0；=[< (/(0< (d ⑴-(/z?...通过图4中无时滞条件下的系 统响应，可以看出广域控制器WADC优化了系统的性能，消除了内部振荡。
引言 上一篇文章中，我们通过数学推导，将 SVM 模型转化为了一个有不等式约束的最优化问题。...问题描述 下图展示了直角坐标系内目标函数 z = f(x, y) 的几何曲面（粉色），以及 φ(x, y) = 0 的约束曲面（蓝色） 我们将三维曲面映射到二维直角坐标系中的等高线画出来。...有不等式约束的最优化问题 — KKT 条件 当约束加上不等式之后，情况变得更加复杂起来。...极值点在约束条件区域内 下图展示了 (x0, y0) 在 g(x) < 0 的区域内的情况： 无论是两图中的那种情况，最优化问题的极值点就是 f(x, y) 的极值点，也就是说约束条件失去了作用，此时我们只需要通过求导法则就可以得到...z=f(x, y) 的极值点。
显然如果x,y∈Rn，则有： ? 这一结论的意义在于，如果一个优化问题是不带约束的优化，则其优化变量的可行域是一个凸集。 仿射子空间。...多面体定义为如下向量的集合： ? 它就是线性不等式围成的区域。下面我们给出证明。对于任意的x,y∈Rn，并且Ax≤b,Ay≤b，如果0≤θ ≤1，则有： ?...凸函数 在微积分中我们学习过凸函数的定义，下面来回忆一下。在函数的定义域内，如果对于任意的x和y，以及实数0≤θ ≤1，都满足如下条件： ? 则函数为凸函数。这个不等式和凸集的定义类似。...凸优化问题的另一种通用写法是： ? ? ? 其中是gi (x)不等式约束函数，为凸函数；hi (x)是等式约束函数，为仿射函数。上面的定义中不等式的方向非常重要，因为一个凸函数的0-下水平集是凸集。...即x的δ邻域内的点z，都有： ? 则称x为局部最优点。对于一个可行点x，如果可行域内所有点z处的函数值都比在这点处大，即： ? 则称x为全局最优点，全局最优解可能不止一个。
极值点 然后比较几个 极值点，选出 最大最小值 即可 不过 条件极值 难，从来都不是难在做法上，而是构造的 拉格朗日数乘法方程 难解 接下来的内容，将会围绕优化解方程出发，分享几个我常用的方法...： 对于一个二元多项式 f(x,y) ，如果用 x 代替 y ，用 y 代替 x ，后 代数式 保持不变，则称 f(x,y) 具有 轮换对称性 上述定义可以扩充到 n 元，此外...y,z ，满足 \begin{cases} x^2 + 2y^2-z = 6 \\ 4x + 2y + z = 30 \end{cases} ，求 z 的取值范围 【解】目标函数 z ，约束条件...\begin{cases} x^2 + 2y^2 = z + 6 \\ 4x + 2y = 30 - z \end{cases} 式左侧是 多项平方和，(2) 式左侧式 多项和 考虑 柯西不等式 放缩...构造 柯西不等式： [ \begin{aligned} (x^2 + (\sqrt{2} y)^2) \cdot (4^2 + (\sqrt{2})^2) &\ge (4x + 2y)^2 \\ (z
e.g. x, y = np.mgrid[-1: 1: 31j, -1: 1: 31j] z = x**2 - y**2 d2l.set_figsize((6, 4)) ax = d2l.plt.figure...().add_subplot(111, projection='3d') ax.plot_wireframe(x, y, z, **{'rstride': 2, 'cstride': 2}) ax.plot...) z = x**2 + 0.5 * np.cos(2 * np.pi * y) # Plot the 3D surface d2l.set_figsize((6, 4)) ax = d2l.plt.figure...().add_subplot(111, projection='3d') ax.plot_wireframe(x, y, z, **{'rstride': 10, 'cstride': 10}) ax.contour...(x, y, z, offset=-1) ax.set_zlim(-1, 1.5) # Adjust labels for func in [d2l.plt.xticks, d2l.plt.yticks
假设空间H: H=h∣Y=hθ(X),θ∈RnH = {h|Y=h_{\theta}(X), \theta \in R^n}H=h∣Y=hθ(X),θ∈Rn 假设空间由θ\thetaθ参数定义的一个函数族...PLA是一个简单的迭代算法:最终的分类效果是对训练数据集"完美划分".既然是一个迭代过程,刚开始划分效果并不好,需要进行优化,但是如何优化呢?或者说优化方法是什么?PLA给出了具体的方法....先定义几个概念,瓶子模型的ν\nuν对应于训练集上的错误率in-sample error: Ein(h)=(fractionofDwherefandhdisagree)=1N∑n=1N[h(xn)≠f(...Error Measures 误差计算 学习并不是对目标函数f的完美复制(也不可能实现).最终的假设函数g仅仅是目标函数f的一个近似(估计).所以,为了度量g对f估计的有多好,两者之间多相似,我们需要定义一个误差计算方法...误差计算方法能量化模型每个假设函数h与目标函数f之间的差距: Error=E(h,f)Error = E(h, f)Error=E(h,f) E(h,f)是基于整个h和f,是由每个单独的输入点x上的误差来决定
（用 γ hat 表示）的定义： 从上述函数间隔和几何间隔的定义可以看出：几何间隔就是函数间隔除以 ||w||，而且函数间隔 y * (w*x+b) = y * f(x) 实际上就是 | f(x) |...一般的，一个最优化数学模型能够表示成下列标准形式： 其中f(x)是需要最小化的函数，h(x)是等式约束，g(x)是不等式约束，p和q分别为等式约束和不等式约束的数量。...核函数是指：设从输入空间 Χ 到特征空间 H的一个映射 h，对任意 x, z 属于 X，函数 K(x, z) 满足 K(x, z) = （h(x), h(z)），则称 K 为核函数。...核技巧：在学习与预测中只定义核函数，而不显示的定义映射函数 h。 通常，直接计算 K(x, z)比较容易，而通过 h(x) 和 h(z) 计算 K(x, z)并不容易。...一般的，一个最优化数学模型可以表示成如下形式： h(x) 是等式约束，g(x)是不等式约束，p, q表示约束的数量。
,x(m)}，我们希望构建一个能够根据x值预测y值的分类器。 预测类型—下表归纳了不同类型的预测模型 模型类型—下表归纳了不同的模型 符号和概念 假设—记一个假设为 hθ，且是我们选择的一个模型。...给定一组输入数据x(i)，则模型预测输出为hθ(x(i))。 损失函数—一个损失函数可表示为L:(z,y)∈R×Y⟼L(z,y)∈R，它将与实际数据值y对应的预测值z作为输入，并输出它们之间的差异。...我们一般不需要知道XX的显式映射，只需要知道K(x,z)的值即可 拉格朗日—我们定义拉格朗日L(w,b)为： 生成学习 生成模型首先尝试通过估计P(x|y)来了解数据是如何生成的，而后我们可以用贝叶斯规则来估计...训练误差—给定一个分类器h，我们将训练误差定义为error ˆϵ(h)，也被称作经验风险或经验误差，如下所示： Probably Approximately Correct—即PAC，是一个框架，在此框架下...詹森不等式—令f为凸函数、X为一个随机变量。将会有如下不等式： 聚类 最大期望算法（EM） 隐变量—是指使估计问题难以解决的隐藏/未观察到的变量，通常表示为z。
教学过程师：我们已学过等式，不等式，现在我们来看两组式子(教师出示小黑板中的两组式子)，请同学们观察，哪些是等式？哪些是不等式？第一组：1+2=3; a+b=b+a; S =ab; 4+x =7…....其次是一种有序状态，就是说，是事物各安其位、各守本分、各司其职的良序，而不是事物错位、僭越、混乱的无序或恶序… 本文首先定义了线性多步法基本公式的概念,并应用MATLAB的符号运算,推导了求解常微分方程初值问题的...中餐菜名通常由原料名称，烹制方法、菜肴的色香味形器、菜肴的创始人或发源地等构成。...这种反映菜肴内容和特色的命名方法叫做写实性命名法，此外还… 设x,y,z>0,且yz+zx+xy=3.求证(y^2+z^2+18)/(3+x^2)+(z^2+x^2+18)/(3+y^2)+(x^2+y...^2+18)/(3+z^2)>=15证 所证不等式齐次为Σ[y^2+z^2+6(yz+zx+xy)]/(x+y)*(x+z)>=15 (1)(1)Σ… 教学目标1．了解公式的意义，使学生能用公式解决简单的实际问题
因此可得函数f(x,y)与g(x,y)在切点处的梯度（gradient）成正比。 于是我们便可以列出方程组求解切点的坐标(x,y)，进而得到函数f的极值。...(u'拉格朗日乘子的理解') ax.set_xlabel('x') ax.set_zlabel('z') ax.set_ylabel('y') plt.show() 输出的结果如图所示： ?...KKT条件 继续讨论关于带等式以及不等式的约束条件的凸函数优化。...上述的二维优化问题，则多了一个不等式： ? ? 对于上述优化问题可以转化为求下列函数的最值： ? 可以转化为一下两种情况： （1）当可行解在约束内部区域的时候,令β=0即可消去约束。...则感知器模型最终可以写作： ? 假如分类正确： ? 相反分类错的的话： ? 可以写出损失函数：所以我们可以定义我们的损害函数为期望使分类错误的所有样本(m条样本)到超平面的距离之和最小。
有时，可以看到L(θ)是连乘的，所以为了便于分析，还可以定义对数似然函数，将其变成连加的： ? 下面剩下的问题就是对函数求极值，怎么求一个函数的最值？...但是直接求 一般比较困难，因为有隐藏变量z存在，但是一般确定了z后，求解就容易了。也就是说我们的目标是找到适合的θ和z让L(θ)最大。 EM是一种解决存在隐含变量优化问题的有效方法。...的期望（回想期望公式中的Lazy Statistician规则） 设Y是随机变量X的函数（g是连续函数），那么 （1） X是离散型随机变量，它的分布律为，k=1,2,…。...若绝对收敛，则有 （2） X是连续型随机变量，它的概率密度为，若绝对收敛，则有 对应于上述问题，Y是 ? ，X是 ， 是 ，g是 到 ? 的映射。...这犹如在x-y坐标系中找一个曲线的极值，然而曲线函数不能直接求导，因此什么梯度下降方法就不适用了。
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