而接下来这个定理，名字上虽然已经没有了基本（fundamental）二字，但是其名——主定理（main theorem）的响度一点也不压于基本定理的声音。...想讲它还有一个原因是，它是难得的一个在离散数学为主导的计算机科学中，用分析的思想来解决的问题的例子。而且还是那么的基础和优雅，说它是整个计算机理论的基石之一也不为过。...主定理的基本内容 主定理谈的是一个由分治算法得到递推关系式的时候，如何来推导时间和空间复杂度的问题。...则 关于主定理的思考 在实际应用中，主要用主定理来计算在递归算法中的复杂度为多少，操作的时候主要看的就是a和b的相对大小的复杂度表达n ^ (log_b a)和f(n)之间的关系，来决定谁占主要因素...实际应用中，g(x)是一些标准的，不带系数的幂函数，对数函数和指数函数的乘积，f(x)是我们实际问题中遇到的需要计算复杂度的函数，不同于o(x)表示的极限下的无穷小量，大O的渐进符号表示的是一个无穷大的大的程度究竟是多少
在前面两篇文章中，我们聊透了算术基本定理的证明和意义，相关内容请戳： 聊一聊数学中的基本定理（二）——算术基本定理的价值 聊一聊数学中的基本定理（一）——算术基本定理的证明 但是，那毕竟是人类数学史上...代数基本定理的内容 代数基本定理：任何一个一元复系数方程式都至少有一个复数根。也就是说，复数域是代数封闭的。...另外，最大模原理可以被看作是所谓的开映射定理的一个特例。开映射定理声称，一个全纯函数必然将开集映射到开集。...以上就是代数基本定理的相关内容，相比算术基本定理对整数结构的重新定义，代数基本定理也给出了在复数范围内的多项式的基本结构，n次多项式有n个复根即表明，它可以在复数范围内因式分解成n个线性的一次表达式的乘积...下一篇，我们继续基本定理的脉络，去看一下更近代的数学里还有什么基本定理等着我们吧！
今天我们再进入下一个领域——以极限为基础的微积分，看看在这个领域，到底什么才是基本定理。...这二者互为逆运算，而我们的微积分基本定理，自然是阐明这二者联系的定理了。 我们不妨先复习一下微分和积分的概念。...中的 x，有 第二基本定理 假设有两函数， ，若满足以下条件： 且F 是闭区间 [a,b] 上的连续函数， f 是黎曼可积函数， 则有： 常简记为 没错，微积分基本定理一共有两条，我们分别来看...总结和畅想 其实啊，很多数学定理，尤其是那种最初等根本的定理，看起来就是在说一个很显然的事实，有时候其证明虽然晦涩，用的人也不会去管证明细节。...但是直观看上去，其成立要么揭示了一种本质的结构，比如算术基本定理和代数基本定理；要么就是源于我们本身对数学大厦的构建，如微积分基本定理，无论哪种，都是深刻而安全地向我们挖掘着这上帝给我们留下的宝藏，希望我们的一生中间能够多获得一点这样的洗礼
虽然都以有类型λ演算为理论基础（Agda是UTT，Coq是归纳构造演算），但是表现在证明上，两者就有很大的不同了。在Agda中，命题的证明就是给出一个类型的一个项。...可以说，在Agda中证明一个命题能充分体现Curry-Horwad同构的实质。进一步的说，Agda根本没有强调“证明”，而你的每一次证明，其实都是C-H同构的体现。而Coq却完全相反。...Agda的证明并没有用Function.Equality的_⇔_，因为我个人觉得那个东西非常复杂。 证明过程中，Agda实际上是在辅助使用者获得某类型的项。...另外，Agda的证明代码也需要一定理解才能获得大致的证明思路。 相比之下，Coq的证明过程更加近似于人工证明。...Coq的证明中自然而然的带入的证明的“顺序”，所以在一定程度上，阅读Coq的代码更容易得到证明的大致思路。
民意调查，数据挖掘者调查和学术文献数据库研究表明，近年来R的受欢迎程度大幅增加。 4. COQ / GALLINA Coq是一个交互式的定理证明工具。...它允许表达数学断言，机械地检查这些断言的证明，帮助找到形式化的证明，并从其正式规范的建设性证明中提取认证程序。 Coq工作在归纳结构微积分理论的基础上，归纳结构微积分是结构微积分的一个衍生物。...作为编程语言，Coq实现了一种依赖类型的函数式编程语言，作为逻辑系统，Coq实现了一个更高阶的类型理论。 Coq提供了一种名为Gallina的规范语言。...IDRIS Idris是一种具有相关类型的通用纯函数编程语言。类型系统类似于Agda使用的类型系统。 语言支持可与Coq媲美的交互式定理证明，包括策略，即使在定理证明之前，重点仍然放在通用编程上。...Idris的其他目标是“充足”性能，易于管理的副作用和支持实施嵌入式领域特定语言。 我的看法 研究型语言。它结合了Haskell和Coq的元素。很有意思。 8.
在机器学习中，自由度可以指模型中的参数数量，例如线性回归模型中的系数数量或深度学习神经网络中的权重数量。...自由度是统计学和工程学中的术语，也通用于机器学习。 统计学中的自由度 在统计中，自由度是用于计算一个统计量时，所用的一系列数值中可以变换的个数。 自由度：大致来说，就是计算统计所需的最少数据量。...机器学习中的自由度 在预测建模中，自由度通常是指模型中从数据估计的参数数量。这可以涵盖模型的系数以及用于模型误差计算的数据。 理解这一点的最佳例子是线性回归模型。...此外，在深度模型中，有效自由度可以与模型中参数的数量分开讨论。 如我们所述，对于简单的分类模型，自由度等于模型中的参数数量。...在深度网络中，自由度通常远小于模型中参数的数量，深度网络往往有较小的自由度。
在本科的时候，学习电路系统分析时印象很深的一堂内容是讲解叠加定理：对于一个线性系统，一个含有多个独立源的双边线性电路的任何支路的响应，等于每个独立源单独作用时的响应的代数和。...恰巧最近分析应用中的电路时序问题，在分析各种类型的时序时发现这条定理用在保持时间与建立时间上也非常nice！...对于建立时间Tsu： 1、 当仅存在时钟路径的延时，从整体来看，IN端口的Data需要在时钟信号CLK上升沿的前1ns即开始保持稳定，此时整体的建立时间为1ns 则时钟路径延迟对建立时间的影响为-1ns...2、 当仅存在数据路径的延时时，从整体来看，IN端口的Data需要在时钟信号CLK的上升沿之前的4ns保持稳定即可，此时整体的建立时间为4ns。...2、 当仅存在数据路径的延时时，从整体来看，IN端口的Data需要在时钟信号CLK的上升沿之后的0ns保持稳定即可，此时整体的保持时间为0ns。
例如CompCert，使用Coq交互式定理证明器验证的C编译器，是无处不在的GCC和LLVM等使用的唯一编译器。...比如Coq和Isabelle等证明助手，通过训练一个模型来一次预测一个证明步骤，并使用模型搜索可能的证明空间。...如上图所示，仅使用定理语句作为证明生成模型的输入，然后从模型中抽取证明尝试，并使用Isabelle执行证明检查。...为了进一步提高Baldur的性能，研究人员向模型提供了额外的上下文信息（比如其他定义、或理论文件中的定理陈述），这使证明率提高到47.5%。...研究人员从数据集中提取每个定理的证明步骤，并将它们连接起来以重建原始证明。 证明修复 还是以上面的fun_sum_commute为例， Baldur首次生成的证明尝试，在证明检查器中失败。
因此，有两件事决定你此生的幸福指数，即一份即使占用业余生活时间都愿意去做的工作，一个给你工作增加助力、生活增加欢乐，陪你度过每个黑暗夜晚的伴侣。...而且，随着互联网的普及，这个社会每天都在产生新的你从没听说的职业，也同时有很多旧的职业在消失，根本看不清未来哪些职业是靠谱的、适合的、有前景的。...在不断变化的职业世界中，我发现需要找到自己内在不变的东西，也就是我的兴趣、能力、价值观三者的交汇处。于是，我仔细回顾我的成长经历、家庭背景、大学干过的各种事。...于是，即使是在油田工作那半年业余时间我也是做销售，后来从油田辞职出来去的一个做企业培训工作中做的是培训助教和销售的工作，后来又做了几份销售工作，在去年10月份我开始运营一个微信公共号幸福销售人，截止目前写了...今年4月份，我跳槽到一家在线教育的公司，一个月后凭借我上面的一些积淀和领导的信任，我顺利地转岗做了企业内部的销售培训师，终于初步实现了自己大四时的规划，目前对我来说工作和生活没有绝对的界限，是一种比较享受的状态
ACID和CAP定理中都有C，代表Consistent一致性，很多人容易将这两个C混为一谈，其实这两个一致性是有区别的。...事务的定义是一系列操作要么全部成功，要么全部不成功，数据库的事务机制是通过ACID实现的，数据库ACID的具体定义见这里，ACID中的一致性的定义是：一个事务可以封装状态改变（除非它是一个只读的）。...回到事务话题，如果要在分布式系统中实现像ACID那样的事务机制，只有强一致性还是不够的，如果我们操作步骤顺序很重要，不可以中断或打乱，我们要么一起一次执行它们，如果并发执行这些操作步骤，无论怎么并发，也要如同它们是在独立执行...，我们最终得到的结果总是相同的，这是一种更强的一致性：线性一致性linearizable consistency,类似ACID中的隔离层(serial isolation level)。...The CAP FAQ将CAP定理中的一致性定义为这种线性一致性或称为atomic原子一致性。一种比普通一致性更强的一致性，这也是大家又将ACID的C和CAP的C等同在一起的原因。
文|孟永辉 正如比特币的鼻祖中本聪一样，神秘、隐晦是比特币长久以来的标签。或许正是如此，比特币才愈发受到人们的追捧与期待。这或许与人性天然的冒险、猎奇的性格特征有关。...或许这正是中本聪创立比特币的原因所在。互联网的巨大能量的确让我们能够想到这一点:创造一个基于互联网的货币表达方式，让它不再受到现实世界的规制。 比特币的这种正确的衍生逻辑正是它错误的原因所在。...而它应当不完全是创造，而是应当与现实世界密切结合，再正向地促进现实世界的发展才能让它能够从现实世界中获取养分，从而成就其伟大。 金融的伟大之处不在于金融本身，比特币同样如此。...中本聪在创造比特币的时候可能想要成就给它一种伟大，但他忽略了成就一个事物伟大的本身要先让与这个事物伟大的东西伟大起来。因此，比特币暂停交易与ICO沦陷有着一定的必然联系。...ICO的沦陷、比特币交易平台的关闭成为继互联网金融监管后金融市场遭遇到的最大变局。比特币的鼻祖中本聪或许不会想到他所设计的自由恰恰成就了比特币的不自由，这到底是一种讽刺，还是一种趋势，我们并不知道。
为每一个 Inductive 定义的数据类型生成了归纳原理，包括那些非递归的 Coq generates induction principles for every datatype defined...因此，其归纳定理 list_ind 是一个被 X 参数化多态的函数。...归纳假设就是 P n' -> P (S n') 这个蕴含式中的前提部分 使用 nat_ind 时需要显式得用 intros n IHn 引入，于是就变成了 proof context 中的假设....Induction Principles in Prop 理解依赖类型的归纳假设 与 Coq 排除证据参数的原因 除了集合 Set，命题 Prop 也可以是归纳定义与 induction on 得....n), P n E 可以被简化为只对 nat 参数化的归纳假设： ∀P : nat → Prop, ... → ∀(n : nat) (E: even n), P n 因此 coq 生成的归纳原理也是不包括证据的
（充分利用了图像中的平移不变性、局部信息连续性），可以使用少得多的参数在图像处理任务上取得非常好的效果。...符号推理（SYMBOLIC REASONING） 在解码过程中，我们可以通过自然语言文本的一些「写作习惯」特征和已经预测出的标签序列，对下文标签规则推理出一些建议标签。...在实际使用过程中，我们会综合上个序号内容的处理方式，给出下个序号内容处理的最佳路径并以稀疏向量的形式输入到变焦控制器内，使其可以更加高效地处理数据。 ?...上例中，蓝色部分表示模型使用了句级、段级的预测，红色部分表示模型使用了字级的预测。可以看出，在信息意义不大的部分，模型选择了略读，而在关键信息出现的地方，模型采用了精读的方式处理。...变焦神经网络非常适合应用于各类长文本处理任务当中，其使用的编解码方式也可结合其他技术推广到各类自然语言处理任务中，产生新的火花。
编写一个程序不仅仅是“编码”，它变成了证明一个定理的行为。这形式化了编程行为，并提供了从数学上推理程序正确性的方法。 该对应以独立发现它的两位研究人员命名。...1934年，数学家和逻辑学家哈斯克尔·柯里（Haskell Curry）注意到数学中的函数（function）与逻辑中的蕴涵关系（implication relationship）之间的相似性，它采用两个命题之间的...在类型论中，这个命题将由“下雨 → 地面是湿的”的函数建模。外观不同的公式实际上在数学上是相同的。...这些是有助于构建形式证明的软件工具，例如Coq和Lean。在Coq中，证明的每一步本质上都是一个程序，证明的有效性通过类型检查算法进行检查。...数学家也一直在使用证明助手——特别是Lean定理证明器——来形式化数学，这涉及以严格的、计算机可验证的格式表示数学概念、定理和证明。这使得有时非正式的数学语言可以被计算机检查。
. — Coq \x:T. t is always value — most FP lang, either CBV or CBN Coq 这么做挺奇怪的，不过对 Coq 来说: terms can be...considered equiv up to the computation VM (在其项化简可以做到的范围内都算相等) this rich the notion of Coq’s value (所以...Coq 的值的概念是比一般要大的) Three ways to construct value (unary relation = predicate) Inductive value : tm →...(in metalanguage, Coq here) 如果我们考虑用于替换掉某个变量的项 s 其本身也含有自由变量， 那么定义替换将会变得困难一点。...— 在 PLT 中我们采取了更严格的定义 Only safe if we only consider s is closed term.
2021-08-08：自由之路。电子游戏“辐射4”中，任务“通向自由”要求玩家到达名为“Freedom Trail Ring”的金属表盘，并使用表盘拼写特定关键词才能开门。...给定一个字符串 ring，表示刻在外环上的编码；给定另一个字符串 key，表示需要拼写的关键词。您需要算出能够拼写关键词中所有字符的最少步数。最初，ring 的第一个字符与12:00方向对齐。...您需要顺时针或逆时针旋转 ring 以使 key 的一个字符在 12:00 方向对齐，然后按下中心按钮，以此逐个拼写完 key 中的所有字符。...旋转 ring 拼出 key 字符 key[i] 的阶段中：您可以将 ring 顺时针或逆时针旋转一个位置，计为1步。...旋转的最终目的是将字符串 ring 的一个字符与 12:00 方向对齐，并且这个字符必须等于字符 key[i] 。
本文展示了与先前工作相比的显著性能改进，以及在具有挑战性的不受控制的捕捉场景中移动人类的单目视频中的自由视点渲染的令人信服的例子。...这个问题——移动物体的自由视点渲染——是一个长期存在的研究挑战，因为它涉及到合成以前看不见的相机视图，同时考虑布料褶皱、头发运动和复杂的身体姿势。...在测试时，可以在视频中的任何一帧暂停，并根据该帧中的姿势，从任何视点渲染生成的体积表示。...在图像上采样大小为H×H的G个patch，并在每个批次中渲染总共G×H×H射线。将渲染的patch与输入图像上位置相同的patch进行比较。在具体实施中，使用G=6和H=32。...实验结果指向了在运动中对人类进行建模的一个有希望的方向，并最终从随意捕捉中实现完全逼真的、自由视点的人渲染。
这里就要用到一个非常重要的定理——奈奎斯特采样定理，它在模拟信号和数字信号之间架起了一座桥梁，将声音这种模拟信号转换成可以在线路中传输的数字信号，让相隔千里的人们也能彼此通话。...那么，奈奎斯特采样定理中的奈奎斯特到底是谁？ ? Harry Nyquist 他就是美国电子工程师、物理学家Harry Nyquist。...热噪声：由导体内自由电子的热震动引起，存在于所有电子器件和传输运动中。 1932 年，Nyquist发表了一篇关于反馈放大器稳定性的经典论文。他在论文中提出的奈奎斯特稳定判据成为了控制论的奠基理论。...为了解决计算机处理模拟信号的问题，香农提出了采样定理，并发表在《通信的数学理论》中。 论文中的定理13表示了采样定理： ? 其中， ?...虽然采样定理的重要性显而易见，但它似乎还没有明确地出现在通信理论的著作中。 为什么奈奎斯特的名字会出现在采样定理前面？ 奈奎斯特采样定理最早可以追溯到贝尔实验室1959年出版的一本书里。
拉格朗日方程的一个副产品是诺特定理，以二十世纪德国数学家埃米·诺特（Emmy Noether）命名。“该定理对于物理学和对称论来说非常基础。...简单地讲，该理论是说如果你的系统有一个 对称性，则必伴随一个守恒量。比如，今天的物理基本定律与明天的是一样的（时间对称性），这意味着能量是守恒的；物理定律在这儿在外太空是相同的，则意味着动量守恒。...对称性在基础物理中是起推进作用的概念，这主要得益于诺特的贡献”。 诺特定理 连续对称性和守恒定律的一一对应。...对于物理系统对于空间平移的不变性（换言之，物理定律不随着空间中的位置而变化）给出了线性动量的守恒律； 对于转动的不变性给出了角动量的守恒律； 对于时间平移的不变性给出了著名的能量守恒定律。...在量子场论中，和诺特定理相似，沃德－高桥恒等式（Ward-Takahashi）产生出更多的守恒定律，例如从电势和向量势的规范不变性得出电荷的守恒。
费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由17世纪法国数学家皮耶·德·费玛提出。 x^n + y^n = z^n 没有正整数解 (n >2)。...毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。 证明费马大定理的过程是一部数学史。...由此把法尔廷斯证明的莫德尔猜想、肯.里贝特证明的弗雷命题和怀尔斯证明的谷山---志村猜想联合起来就可说明费马大定理成立。...1994年10月25日11点4分11秒，怀尔斯通过他以前的学生、美国俄亥俄州立大学教授卡尔.鲁宾向世界数学界发了费马大定理的完整证明邮件，包括一篇长文“模椭圆曲线和费马大定理”，作者安德鲁.怀尔斯。...[2] 怀尔斯和他以前的博士研究生理查德·泰勒用了近一年的时间，用之前一个怀尔斯曾经抛弃过的方法修补了这个漏洞，这部份的证明与岩泽理论有关。这就证明了谷山-志村猜想，从而最终证明了费马大定理。
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