PyTorch中的自动微分与雅可比向量积 自动微分（Automatic Differentiation，AD）是深度学习框架中的关键技术之一，它使得模型训练变得更加简单和高效。...在本文中，我们将深入探讨PyTorch中的自动微分，并介绍如何使用雅可比向量积（Jacobian Vector Product，JVP）来进行梯度计算，从而优化神经网络的训练过程。 什么是自动微分？...自动微分是一种计算导数的技术，它能够自动计算复杂函数的导数。PyTorch通过autograd模块实现了自动微分。让我们从一个简单的例子开始，了解PyTorch中的自动微分是如何工作的。...雅可比向量积是一个向量和一个向量的乘积，其中第一个向量是函数的导数，第二个向量是任意向量。 PyTorch中的autograd模块提供了autograd.grad函数，使我们能够计算雅可比向量积。...雅可比向量积在训练神经网络中起到关键作用，特别是在使用优化算法进行参数更新时。它能够高效地计算梯度，提高训练速度和稳定性。 结论 PyTorch中的自动微分和雅可比向量积是深度学习中不可或缺的工具。
我们首先先简单了解一下这个包如何训练神经网络。 背景介绍 神经网络(NNs)是作用在输入数据上的一系列嵌套函数的集合，这些函数由权重和误差来定义，被存储在PyTorch中的tensors中。...神经网络训练的两个步骤： 前向传播：在前向传播中，神经网络通过将接收到的数据与每一层对应的权重和误差进行运算来对正确的输出做出最好的预测。...的梯度是雅可比矩阵： 一般来说，torch.autograd是一个计算雅可比向量积的引擎。也就是说，给定任何向量?=(?1?2...??)?，计算乘积?⋅?。如果?恰好是标量函数的梯度?=?(?⃗...)，即 然后根据链式法则，雅可比向量乘积将是?相对于?⃗ 的梯度 雅可比向量积的这种特性使得将外部梯度馈送到具有非标量输出的模型中非常方便。external_grad 代表 ....图中，箭头表示前向传播的方向，节点表示向前传递中每个操作的向后函数。蓝色标记的叶节点代表叶张量 a和b ? 注意 DAG在PyTorch中是动态的。
正向模式 给定一个函数 f: θ∈R n，v∈R n，正向模式的AD会计算 f(θ) 和雅可比向量乘积Jf (θ) v，其中Jf (θ) ∈R m×n是f在θ处评估的所有偏导数的雅可比矩阵，v是扰动向量...对于 f : R n → R 的情况，在雅可比向量乘积对应的方向导数用 ∇f(θ)- v表示，即在θ处的梯度∇f对方向向量v的映射，代表沿着该方向的变化率。...值得注意的是，正向模式在一次正向运行中同时评估了函数 f 及其雅可比向量乘积 Jf v。此外，获得 Jf v 不需要计算雅可比向量Jf，这一特点被称为无矩阵计算。...反向模式 给定一个函数 f : R n → R m，数值 θ∈R n，v∈R m，AD反向模式会计算f(θ)和雅可比向量乘积v |Jf (θ)，其中Jf∈R m×n是f在θ处求值的所有偏导数的雅可比矩阵...请注意，v |Jf 是在一次前向-后向评估中进行计算的，而不需要计算雅可比Jf 。 运行时间成本 两种AD模式的运行时间以运行正在微分的函数 f 所需时间的恒定倍数为界。
」的论文，指出「神经正切核」的特征值可以准确地预测神经网络的泛化性能。...「神经正切核」是近年来神经网络优化理论研究的热点概念，研究表明：通过梯度下降以无穷小的步长（也称为梯度流）训练的经过适当随机初始化的足够宽的神经网络，等效于使用称为神经正切核（NTK）的核回归预测器。...在本文中，作者指出：通过研究神经网络的神经正切核的特征系统，我们可以预测该神经网络在学习任意函数时的泛化性能。...3 神经正切核 一个前馈神经网络可以代表下面的函数： 其中，θ是一个参数向量。令训练样本为x，目标值为y，测试数据点为x'，假设我们以较小的学习率η执行一步梯度下降，MSE 损失为 。...非均方误差曲线 图 9：本文提出的理论可以正确预测，对于特征值较小的特征函数。 MSE会随着数据点被加入到较小的训练集中而增大。
可逆神经网络 可逆网络具有的性质： 网络的输入、输出的大小必须一致。 网络的雅可比行列式不为 0。 1.1 什么是雅可比行列式？...雅可比行列式通常称为雅可比式（Jacobian），它是以 n 个 n 元函数的偏导数为元素的行列式 。...1.2 雅可比行列式与神经网络的关系 为什么神经网络会与雅可比行列式有关系？这里我借用李宏毅老师的 ppt（12-14页）。想看视频的可以到 b 站上看。...1.3.4 雅可比行列式的计算 其编码公式如下： 其解码公式如下： 为了计算雅可比矩阵，我们更直观的写成下面的编码公式： 它的雅可比矩阵为： 其实上面这个雅可比行列式也是1，因为这里 ，...以两个残差块的结构实例图来分析，其中每个残差块有 2 层神经网络组成，如下图： 假设激活函数 ReLU 用 g(x) 函数来表示，样本实例是 [x1,y1]，即输入是 x1，目标值是 y1，损失函数还是采用平方损失函数
重要的是，流的正向和逆向评估以及雅可比行列式的计算可以局部化到子流中。如图2所示，假设 ，正向评估为： 我们还应澄清我们所说的“可处理的雅可比行列式”是什么意思。...我们始终可以使用D次前向模式或反向模式自动微分来计算具有D个输入和D个输出的可微函数的雅可比矩阵。然后，我们可以明确计算该雅可比行列式的行列式。...还很容易证明上述变换的雅可比矩阵是三角形的，因此雅可比行列式是可处理的。由于每个 不依赖于 z>i，因此 对 的偏导数在 j > i 时为零。...用于计算雅可比行列式的变换器的导数原则上可以通过解析获得，但更常见的做法是通过反向传播进行计算。.... , hD) 可以在一次神经网络传递中获得，然后通过 并行计算 z0 的每个维度。其次，掩码自回归流是通用逼近器。
Code，因此需要稠密深度图对Depth Code的雅可比（即神经网络Decoder的雅可比）。...现有的深度学习库中如Tensorflow, Pytorch并没有为计算雅可比矩阵而优化设计，而是依赖于Back propagation进行梯度反传来计算梯度训练网络（这里“梯度”表示单个像素对其他量的雅可比...Back propagation经过链式法则计算，十分的慢，并不适合快速计算出神经网络的雅可比。...因此，我们提出使用有限差分的方法计算出神经网络的雅可比，不需要Back propagation，仅需要Decoder网络的一次forward pass即可。下式中 ?...系统仅使用稀疏的测量即可更新稠密的深度图。此外，论文中还介绍了非常快速的基于有限差分的神经网络压雅可比矩阵计算方法。
专栏目录： 第一章：PyTorch之简介与下载 PyTorch简介 PyTorch环境搭建 第二章：PyTorch之60min入门 PyTorch 入门 PyTorch 自动微分 PyTorch 神经网络...每个张量都有一个 .grad_fn 属性保存着创建了张量的 Function 的引用，（如果用户自己创建张量，则g rad_fn 是 None ）。...现在让我们看一个雅可比向量积的例子： x = torch.randn(3, requires_grad=True) y = x * 2 while y.data.norm() 计算整个雅可比，但是如果我们只想要雅可比向量积，只需要简单的传递向量给 backward 作为参数。...一个典型的神经网络训练过程包括以下几点： 1.定义一个包含可训练参数的神经网络 2.迭代整个输入 3.通过神经网络处理输入 4.计算损失(loss) 5.反向传播梯度到神经网络的参数 6.更新网络的参数
其次我们需要考虑如何具体地计算这些矩阵运算而不使用构建雅可比矩阵。这是非常重要的，因为模型的特征数量 m 可能是几万的数量级，这意味着雅可比矩阵可能有数十亿的元素。...神经网络中典型的层级函数也采用这种高效实现的运算。...这种向量-雅可比乘积（vector-Jacobian product）运算是任何反向传播算法实现的关键，Theano 称其为「Lop」（左乘算符）、PyTorch 称之为「backward」方法、TensorFlow...为了进一步简化，令 b 指代向量-雅可比乘积（即 backwards()、Left operator、grad_func），使用 Hadamard 乘积的符号表示元素对应乘积。...我们就可以将向量-雅可比乘积写为： ? 我们最终可以将前向/反向传播的公式写为： ? 这一过程的计算图可以表示为（以下两个计算图是等价的）： ? ?
这里F是非标量张量所以我们需要把梯度参数传递给和张量F维数相同的反向传播函数 ? 在上面的代码示例中，将梯度参数传递给backword函数并给出了所需的梯度值a和b。...要理解这一点，我们需要了解.backward()函数是如何工作的。再次提到这些文档: torch.autograd是一个计算向量-雅可比积的引擎。...即给定任意向量v，计算其乘积J@v.T注:@表示矩阵乘法 一般来说，雅可比矩阵是一个全偏导数的矩阵。如果我们考虑函数y它有n维的输入向量x它有m维的输出。...然后计算包含以J表示的所有偏导数的雅可比矩阵: ? v为backword函数提供的外梯度。...T = J 但是，当输出张量是非标量时，我们需要传递外部梯度向量v，得到的梯度计算雅可比向量积，即J@v.T 在这里，对于F = a*b在a = [10.0, 10.0] b =[20.0, 20.0]
一、实验介绍 本实验展示了使用PyTorch实现不同激活函数。 计算净活性值，并将其应用于Sigmoid、双曲正切、ReLU和带泄漏的修正线性单元函数。...以下是前馈神经网络的一般工作原理： 输入层：接收原始数据或特征向量作为网络的输入，每个输入被表示为网络的一个神经元。每个神经元将输入加权并通过激活函数进行转换，产生一个输出信号。...隐藏层：前馈神经网络可以包含一个或多个隐藏层，每个隐藏层由多个神经元组成。隐藏层的神经元接收来自上一层的输入，并将加权和经过激活函数转换后的信号传递给下一层。...在前向传播过程中，每个神经元将前一层的输出乘以相应的权重，并将结果传递给下一层。这样的计算通过网络中的每一层逐层进行，直到产生最终的输出。...定义输入、权重、偏置 x：一个形状为(2, 5)的张量，代表两个样本，每个样本有5个特征。 w：一个形状为(5, 1)的张量，代表权重向量，其中每个权重与一个特征相对应。
诀窍是通过编码器和解码器雅可比的一对向量-雅可比和雅可比-向量乘积来估计编码器雅可比行列式的梯度，这些乘积在标准自动微分软件库中很容易获得。...因此，正规化流文献的大部分内容都涉及到构建可逆架构，这些架构具有表现力并允许更有效地计算雅可比行列式的行列式。...我们通过估计log |Jθ(x)|的梯度来避免这个计算，通过一对向量-雅可比和雅可比-向量乘积来估计，这些乘积在标准自动微分软件库中很容易获得。...证明是通过直接应用雅可比公式，见附录A.1。这本身并不是一个简化，因为等式(3)的右侧现在涉及到计算雅可比矩阵及其逆矩阵。...以前的工作已经证明，这种归纳偏差比数据增强更有效，数据增强是在训练时对每个数据点应用随机旋转和平移（Köhler等人，2020；Hoogeboom等人，2022）。
MPS 后端扩展了 PyTorch 框架，提供了在 Mac 上设置和运行操作的脚本和功能。MPS 使用针对每个 Metal GPU 系列的独特特性进行微调的内核能力来优化计算性能。...核 CPU、64 核 GPU）128GB 内存，2TB SSD 的 Mac Studio 系统进行测试的结果。...性能测试是使用特定的计算机系统进行的，反映了 Mac Studio 的大致性能。...(Beta)Forward-mode 自动微分 Forward-mode AD 允许在前向传递中计算方向导数（或等效地雅可比向量积）。...此外，新版本还有一些更新： 模块：模块计算的一个新 beta 特性是功能性 API。
这种设计处于表达能力强大但易于反转的甜蜜点（Draxler 等人，2023），并且具有可追踪的雅可比行列式。...神经网络 θ(b) 允许在耦合层中建模维度之间的依赖关系。计算耦合层的逆是容易的，因为对于被动维度来说， 。这使得计算反转活跃维度所需的参数 θ(b) 成为可能。...此外，体积保持流实际上只有一个最大值，第二个伪模式与第一个通过高密度的桥连接。具有可变雅可比行列式的归一化流不会出现这些问题（第三行）。...对于正向传播，这导致雅可比行列式消失，对于逆向传播则导致雅可比行列式爆炸。这说明了 Koehler 等人 (2021，备注 2) 中提到的一个观点，即对于小的近似误差，网络是病态的，使得构造不现实。...如果我们暂时假设神经网络可以精确表示任意连续函数，那么这个假设的最大损失改进是由Draxler等人（2020年，定理1）计算出来的。
第 8 节提供了有关雅可比行列式计算的更多细节。...换句话说，雅可比行列式在每个点 x 处跨越局部坐标系，与 PCA 类似，但适应 x 邻域中 p(X) 的局部几何形状 - 虽然 PCA 坐标系全局恒定，但解缠结坐标系可以旋转和 每个点的缩放比例都不同。...8 雅可比行列式的高效计算 变量转换公式在实践中只有在雅可比行列式可以有效地计算并调整局部体积的收缩或扩展的概率时才有用。...在没有特殊结构的情况下，雅可比行列式的高效计算要困难得多，是一个热门的研究课题。...与计算 tr(log(J)) 相比的关键优势在于，结果表达式 可以仅通过雅可比向量和向量-雅可比乘积来计算，现代自动微分库可以高效地实现这些操作，而无需构建 J 或 log(J)。
如果我们试图用100个数据点调整一条曲线，那么我们需要计算每一个数据点的差。最后，我们会得到一个r1 r2 r3，等等，直到我们在这个例子中达到r100。差平方和对应于: ?...在这一点上要记住的是，我们的模型可以包含多个参数a，并且我们需要找到函数f相对于每个参数的导数。 请注意，此计算是针对数据中存在的每个点执行的。...雅可比行列式是一个矩阵，其中包含一个函数相对于每个参数的所有一阶偏导数。 记住，下标i代表一个特定的数据点。如果数据包含100个点那么雅可比矩阵就有100行3列因为我们有3个参数。...如果我们使用雅可比行列式的概念来重写最后找到的dS / da方程。我们将有： ? 注意我是如何用矩阵来表示这个方程的。我去掉了现在雅可比矩阵的和，剩余都用矩阵来写。...我们如何知道每次迭代的hGN值？ 在高斯-牛顿法中，函数f是使用一阶泰勒展开式近似的，这意味着 ? 还记得我们说过的术语dfi（a）/ daj也称为雅可比行列式，因此前面的等式也可以写成： ?
总的来说，他们使用的是压缩的 LeNet-5 卷积神经网络，卷积是网络的第一步计算，使用一个带权重的窗口（卷积核）逐次扫描图像并提取笔画特征。...其中手写板每次产生 2tick 的坐标信号，接着由屏幕绘制。 随后输入的手写数字进入卷积层，计算方法是累加卷积核被遮盖的部分，并将结果输出到下一层。...到了全连接层，它的每层由若干神经网络构成。每个神经元都连接多个输入，并产生一个输出。神经元将每个输入加权累加，然后带入一个激活函数输出。...需要注意的是，加权求和是「线性分割」，而激活函数一定是非线性的，用于提升维度。作者使用了 tanh（双曲正切）作为了激活函数。 反映到实际的神经元电路中，如下图所示。...同时，权重被储存在投掷器（用来调整物品配比生成不同频率的随机串）中，输入乘以权重后通过模电累加。 最终电路实现 关于电路实现，首先通过模电计算加法，然后转为数电信号。
推断网络是一个学习从观测到潜在变量的逆映射的模型。使用推断网络，我们避免了为每个数据点计算变分参数的需要，而是可以计算一组适用于训练和测试时推断的全局变分参数φ。...正态化流的推断 为了通过有限正态化流实现可扩展的推断，我们必须指定一类可逆变换，并提供一种有效的计算雅可比行列式的方法。...虽然构建用于方程(5)的可逆参数函数是直截了当的，例如可逆神经网络（Baird 等, 2005；Rippel & Adams, 2013），但这种方法通常具有计算雅可比行列式的复杂度，随着隐藏层维度 D...因此，我们需要一种允许低成本计算行列式的正态化流，或者不需要雅可比行列式的正态化流。 4.1....训练是通过对模型参数 和变分参数 使用随机反向传播，按照经退火的自由能（20）的梯度的蒙特卡罗估计进行的。蒙特卡罗估计是使用每个数据点每个参数更新的潜变量的单个样本来计算的。
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